Equações Biquadradas

A resolução de equações e a criação de fórmulas que encontram suas soluções sempre foram objetos de estudo da matemática. Geralmente, as equações estão associadas a situações reais em que se deseja descobrir a melhor alternativa para a solução do problema. A famosa fórmula de Báskara trata-se de um modelo matemático para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, mas existe um grande número de equações que não apresentam fórmulas para resolvê-las.

Vamos analisar o procedimento para resolver uma equação biquadrada.

Definição: Equação biquadrada é toda equação do tipo ax⁴ + bx² + c = 0, com a ≠ 0.

Observe que a equação acima é um polinômio de grau 4, podendo ter até quatro raízes reais.

O método de resolução de uma equação biquadrada consiste em transformá-la numa equação do 2º grau, fazendo, para isso, uma mudança de variável. Após esse procedimento, utiliza-se a fórmula de Báskara para obtenção das soluções.

Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.

Exemplo 1. Resolva a equação x⁴ – 3x² – 4 = 0.

Solução: O objetivo inicial é transformar a equação biquadrada em uma equação do 2º grau. Faremos, então, uma mudança de variável da seguinte maneira: x² = t.

Isso significa que na equação x⁴ – 3x² – 4 = 0 no lugar de x² colocaremos t. A equação original pode ser reescrita da seguinte forma:

(x²)² – 3x² – 4 = 0

Fazendo a mudança de variável, teremos:

t² – 3t – 4 = 0

Que é uma equação do 2º grau. Utilizando a fórmula de Báskara, obtemos:

Como x² = t, temos que:
x² = 4 → x´= 2 ou x´´= -2
e
x² = – 1 → não existe solução real
Portanto, S = {– 2, 2}

Exemplo 2. Encontre as raízes da equação x⁴ – 10y² + 9 = 0.

Solução: Fazendo x² = t e substituindo na equação, obtemos:
t² – 10t + 9 = 0

Como x² = t, segue que:
x² = 9 → x´=3 ou x´´ = – 3
e
x² = 1 → x⁽³⁾ = 1 ou x⁽⁴⁾ = – 1
Portanto, S = {– 3, – 1, 1, 3}.
Marcelo Rigonatto