OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

Definição
Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=a_nxⁿ + a_n-1.x^n-1 + a_n-2.x^n-2 + ... + a₂x² + a₁x + a₀.

Onde:

a_n, a_n-1, a_n-2, ..., a₂, a₁, a₀ são números reais chamados coeficientes.

n Î IN

x Î C (n^os complexos) é a variável.

GRAU DE UM POLINÔMIO:

Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente a_n¹0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos:

a) P(x)=5 ou P(x)=5.x⁰ é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.

b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.

c) P(x)=4x⁵+7x⁴ é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.

· Valor numérico

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:

Se P(x)=x³+2x²+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:

P(x)= x³+2x²+x-4

P(2)= 2³+2.2²+2-4

P(2)= 14

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).

Por exemplo, no polinômio P(x)=x²-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

Alguns exercícios resolvidos:

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x³+4x²-ax+1, calcular o valor de a.

Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.

P(-3)=0 => (-3)³+4(-3)²-a.(-3)+1 = 0

3a = -10 => a=-10/3

Resposta: a=-10/3

2º) Calcular m Î IR para que o polinômio

P(x)=(m²-1)x³+(m+1)x²-x+4 seja:

a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau

Resposta:

a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser diferentes de zero. Então:

m²-1¹0 => m²¹1 => m¹1

m+1¹0 => m¹-1

Portanto, o polinômio é do 3º grau se m¹1 e m¹-1.

b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x³ deve ser igual a zero e o coeficiente de x² diferente de zero. Então:

m²-1=0 => m²=1 => m=±1

m+1¹0 => m¹-1

Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.

c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser iguais a zero. Então:

m²-1=0 => m²=1 => m=±1

m+1=0 => m=-1

Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.

3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x³ é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).

Resolução:

Temos o polinômio: P(x)=x³+ax²+bx+c.

Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).

Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0 => (1)³+a.(1)²+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1

P(2)=0 => (2)³+a.(2)²+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8

P(3)=30 => (3)³+a.(3)²+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3

Temos um sistema de três variáveis:

Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:

a=9, b=-34, c=24

Portanto o polinômio em questão é P(x)= x³+9x²-34x+24.

O problema pede P(-1):

P(-1)= (-1)³+9(-1)²-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24

P(-1)= 66

Resposta: P(-1)= 66

· Polinômios iguais

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)ºB(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Exemplo:

Calcular a,b e c, sabendo-se que x²-2x+1 º a(x²+x+1)+(bx+c)(x+1).

Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:

x²-2x+1 º ax²+ax+a+bx²+bx+cx+c

1x²-2x+1 º (a+b)x²+(a+b+c)x+(a+c)

Agora igualamos os coeficientes correspondentes:

Substituindo a 1ª equação na 2ª:

1+c = -2 => c=-3.

Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:

a-3=1 => a=4.

Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:

4+b=1 => b=-3.

Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.

Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.

· Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.

Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:

1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)

2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0

Nessa divisão:

P(x) é o dividendo.

D(x) é o divisor.

Q(x) é o quociente.

R(x) é o resto da divisão.

Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Se D(x) é divisor de P(x) Û R(x)=0

Exemplo:

Determinar o quociente de P(x)=x⁴+x³-7x²+9x-1 por D(x)=x²+3x-2.

Resolução: Aplicando o método da chave, temos:

Verificamos que:

· Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x²-2x+3 por D(x)=2x-1.

Utilizando o método da chave temos:

Logo: R(x)=3

A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2.

Agora calculamos P(x) para x=1/2.

P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3

P(1/2) = 3

Observe que R(x) = 3 = P(1/2)

Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

· Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a
P(-b/a).

Note que –b/a é a raiz do divisor.

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x²+5x-1 por x+1.

Resolução: Achamos a raiz do divisor:

x+1=0 => x=-1

Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):

P(-1)=(-1)²+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)

Resposta: R(x) = -5.

· Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x³+5x²-px+2 seja divisível por x-2.

Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.

P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19

Resposta: p=19.

Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r₁ e r₂.

Temos:

a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r₁ (eq. 1)

b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r₂ (eq. 2)

E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=cx+d

Da eq.3 vem:

P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d

Fazendo:

x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4)

x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Resolvendo o sistema obtemos:

Observações:

1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:

P(a)= r₁ =0

P(b)= r₂ =0

Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:

2ª) Generalizando, temos:

Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a₁), (x-a₂),..., (x-a_n) então P(x) é divisível pelo produto (x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n).

Exemplo:

Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?

Resolução:

0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1)

1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2)

E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x) (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=ax+b

Da eq.3 vem:

P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b

Fazendo:

x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4)

x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

b=6 e a=2.

Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6

Resposta: R(x) = 2x+6.

· O dispositivo de Briot-Ruffini

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x³-5x²+x-2 por (x-2).

Resolução:

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.

Resposta: Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:

1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.

2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.

3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.

5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.

· Decomposição de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos:

1º caso: O polinômio é do 2º grau.

De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax²+bx+c que admite as raízes r₁ e r₂ pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:

ax²+bx+c=a(x-r₁)(x-r₂)

Exemplos:

1) Fatorar o polinômio P(x)=x²-4.

Resolução: Fazendo x²-4=0, obtemos as raízes r₁=2 e r₂=-2.

Logo: x²-4 = (x-2)(x+2).

2) Fatorar o polinômio P(x)=x²-7x+10.

Resolução: Fazendo x²-7x+10=0, obtemos as raízes r₁=5 e r₂=2.

Logo: x²-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.

Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x³-x²-x.

Resolução:

2x³-x²-x = x.(2x²-x-1) à colocando x em evidência

Fazendo x.(2x²-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x²-x-1=0.

Uma das raízes já encontramos (x=0).

As outras duas saem da equação: 2x²-x-1=0 => r₁=1 e r₂=-1/2.

Portanto, o polinômio 2x³-x²-x, na forma fatorada é:

2.x.(x-1).(x+(1/2)).

Generalizando, se o polinômio P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ admite n raízes r₁, r₂,..., r_n, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ = a_n(x-r₁)(x-r₂)...(x-r_n)

Observações:

1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.

2) Uma raiz r₁ do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r₁)² e não por (x-r₁)³.

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Fração

Para que a apresentação do assunto em um único artigo não fique demasiadamente extenso, ele será dividido em duas ou mais partes. A primeira aborda um pouco de história das frações, cujo texto foi extraído da Wikipédia, sua definição e alguns conceitos e propriedades básicas. Nas próximas trataremos da redução, da simplificação e das operações com frações.

Um pouco de História

“No antigo Egito, por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.
Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.
Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas é só parar para pensar um pouquinho para descobrir que nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno.
Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).
Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no Egito nessa época os símbolos se repetiam muitas vezes.
Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.
Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.”

Definição

Fração é um número que designa uma ou mais partes iguais de uma unidade e sua representação genérica é:

onde a é o numerador e b o denominador e indicam os termos da fração.
O denominador (b) de uma fração estabelece em quantas partes iguais foi dividida a unidade e o numerador (a) quantas destas partes contém a fração.
Assim, se dividirmos a unidade em 5 partes iguais e tomarmos 1, 2, 3 ou 7 partes teremos as frações a seguir representadas:

Observe que, ainda considerando esse exemplo, se tomarmos 5 partes obtemos como resultado a própria unidade.

Leitura das Frações

Para se ler uma fração, enuncia-se primeiro seu numerador e depois o denominador de acordo com as seguintes regras:

• Quando o denominador é igual a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 lêem-se meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo ou nono, respectivamente. Exemplo : lê-se dois terços;
• Quando o denominador é maior do que 9 acrescenta-se a terminação avos. Por exemplo, , lê-se cinco onze avos;
• Os denominadores múltiplos ou potências de 10 podem ser lidos, por exemplo, como décimo – ou dez avos -, vigésimo, centésimo, milésimo. Exemplo : lê-se dois décimos. As frações cujos denominadores é uma potência de 10 – isto é, a unidade seguida de um ou mais zeros – são denominadas decimais: (sete décimos), (setenta e oito centésimos), (duzentos e trinta e dois milésimos);
• Costuma-se também, na leitura, intercalar a palavra sobre, depois de enunciar o numerador. A fração pode ser lida como duzentos e trinta e dois sobre cinco mil, quatrocentos e setenta e sete.

Comparação das frações com a unidade

Uma fração é inferior à unidade – menor do que 1 – quando seu numerador é menor do que seu denominador. Nestes casos as frações são denominadas próprias. Exemplos: , e .
Uma fração é superior à unidade – maior do que 1 – quando seu numerador é maior do que seu denominador. Nestes casos as frações são denominadas impróprias. Exemplo: , e . Um caso particular de fração imprópria, denominada de aparente, ocorre quando o numerador é múltiplo do denominador. Exemplo: .

Comparação das frações entre si

Da definição de fração resulta:

• De duas frações de mesmo denominador a maior é a que tem o numerador maior. Exemplo: \frac 59" alt="\frac 89 > \frac 59" style="vertical-align: middle; margin-top: -4px;">. Porque tendo as frações o mesmo denominador significa que a unidade foi dividida no mesmo número de partes iguais. Como a primeira tem o numerador maior – 8 – significa que ela tem mais partes do que a segunda, cujo numerador é 5.
• De duas frações de mesmo numerador a maior é a que tem o denominador menor. Exemplo: \frac {5}{13}" alt="\frac 59 > \frac {5}{13}" style="vertical-align: middle; margin-top: -4px;">. Nesse caso – e de forma geral -, como as frações têm o mesmo numerador (5), elas possuem o mesmo número de partes da unidade, e como o nono da unidade é maior do que o treze avos segue-se que a primeira fração é maior do que a segunda.
• De duas frações próprias entre cujos termos existe a mesma diferença, a maior é aquela cujos termos são maiores. Exemplo: \frac 57" alt="\frac 79 > \frac 57" style="vertical-align: middle; margin-top: -4px;">. Observe que na primeira fração faltam 2/9 para igualar a unidade e na segunda, 2/7. Pela regra anterior 2/9 é menor do que 2/7, logo 7/9 é a fração maior pois lhe falta menos para completar a unidade.

Propriedades das Frações

Propriedade 1. Uma fração representa o quociente da divisão do numerador pelo denominador.
Utilizaremos um exemplo prático para demonstrar a propriedade. Seja a fração 2/5, que segundo a propriedade deve representar o quociente de 2 por 5.
Observe inicialmente que 1/5 somado 5 vezes reproduz a unidade – decorrência da definição de fração. Logo, 2/5 somado 5 vezes darão 2 unidades, e, portanto a fração 2/5 representa o quociente de 2 por 5, pois multiplicada por 5 tem como resultado 2.
Propriedade 2. Quando uma divisão deixa um resto, pode-se completar o quociente por uma fração que tem por numerador o resto da divisão e por denominador o divisor.
Seja dividir 37 por 4 (= 37/4). Essa divisão tem como quociente 9 e resto 1. Assim podemos escrever:

37 = (9×4) + 1 = 36 + 1

Logo:

Observações:

• Na expressão acima na passagem da segunda igualdade foi utilizada a propriedade distributiva da divisão;
• A representação assinalada dentro do retângulo é denominada de número misto ou fração mista e lê-se nove inteiros e um quarto e, como o próprio nome sugere, é composta de uma parte inteira e outra fracionária;
• Uma fração mista é uma outra forma de representar uma fração imprópria;
• A operação inversa – transformar uma fração mista em uma fração imprópria – é feita multiplicando-se o número inteiro (9) pelo denominador (4) e somando o resultado ao numerador (1) para obter o numerador da fração imprópria (37) e o seu denominador é o mesmo da parte fracionária do número misto (4).

Propriedade 3. O valor de uma fração é o quociente da divisão do numerador pelo denominador.
Na definição geral de fração o numerador a e o denominador b podem ter qualquer valor. Assim, as expressões a seguir são consideradas como frações:

e são designadas geralmente como frações compostas. E o valor de uma fração composta é a fração simples que lhe é igual. Nos exemplos acima as frações compostas tem como valor 16/15 e 21/40, respectivamente.
Propriedade 4. Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é multiplicada ou dividida por esse número
Propriedade 5. Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração e dividida ou multiplicada pelo número.
Propriedade 6. Multiplicando-se ou dividindo-se os dois termos – numerador e denominador – por um mesmo número a fração não se altera.
De fato, multiplicando o numerador de uma fração qualquer pelo número c, a fração é multiplicada por c pela propriedade 4, e, multiplicando-se o denominador por c a fração é dividida por c pela propriedade 5. Logo a fração não muda ou não se altera uma vez que é multiplicada e dividida pelo mesmo número c.
Por raciocínio analógo demonstra-se a propriedade para o caso da divisão. Esta propriedade é bastante utilizada na solução de problemas, em especial na racionalização de denominadores de frações irracionais.
Referências:
Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945

Botânica

O estudo das plantas data de épocas bem antigas, quando o homem passou a analisá-las de acordo com a presença/ausência de venenos e benefícios para a saúde. Assim, em 1979, juntamente com os cursos de Biologia, foi reconhecida como ciência, sendo esta denominada "Botânica".

O Reino Plantae é de extrema importância à manutenção da vida na Terra, e não somente a nós, seres humanos. As plantas são, primordialmente, as responsáveis pela nutrição de todos os seres vivos, já que alimentam os herbívoros que, por sua vez, alimentam carnívoros que, mais adiante, são decompostos por fungos e bactérias. Além disso, servem de abrigo a incontáveis animais, fornecem oxigênio e também matéria-prima.

Estes seres eucariontes, multicelulares e autotróficos fotossintetizantes puderam ocupar os mais diversos ambientes, em virtude de algumas adaptações que adquiriram ao longo da evolução. Células protetoras das estruturas formadoras de gametas – os gametângios; e retenção do zigoto dentro do gametângio masculino são duas características que permitiram o sucesso dos vegetais em meio terrestre. A presença de vasos condutores de seiva foi, também, um fator determinante para que estas atingissem maiores alturas, e pudessem prosperar.

O Reino Plantae, até pouco tempo atrás, era dividido em dois grandes grupos:

- Criptógamas, cujas estruturas de reprodução não se apresentam visíveis; briófitas e pteridófitas;

- Fanerógamas, cujas estruturas de reprodução se apresentam visíveis; gimnospermas e angiospermas.

Atualmente, com o avanço da sistemática filogenética, observou-se que esta classificação se apresentava, de certa forma, inconsistente – assim como o sistema de classificação de Eichler (Talófitas, Pteridófitas, Espermatófitas e Angiospermas). Dessa maneira, em um sistema mais atual, temos as algas e fungos compondo, respectivamente, o Reino Protista e Reino Fungi; e as plantas propriamente ditas classificadas em:

Plantas avasculares: Filos Briophyta, Hepatophyta e Anthocerophyta.

Plantas vasculares:

- Sem semente: Filos Pterophyta, Lycophyta, Sphenophyta e Psilophyta.

- Com semente, sem frutos (gimnospermas): Filos Coniferophyta, Cycadophyta, Gnetophyta e Ginkgophyta.

- Com semente, com frutos e flores (angiospermas): Filo Magnoliophyta.

As angiospermas são as plantas que predominam em nosso planeta; sendo a morfologia, anatomia, histologia e fisiologia vegetal, geralmente, estudadas considerando representantes deste filo. Somente elas são consideradas pertencentes a um grupo monofilético, dentro da Botânica.

Sinais Gráficos

Sinais gráficos ou diacríticos são certos sinais que se juntam às letras, geralmente para lhes dar um valor fonético especial e permitir a correta pronúncia das palavras.

1-Til
Indica nasalidade.
Exemplos: maçã, Irã, órgão...

2-Trema
Indica que o u dos grupos gue, gui, que, qui é proferido e átono.
Exemplos: lingüiça, tranqüilo...
De acordo com o novo acordo da língua portuguesa, não é mais usada.

3-Apóstrofo
Indica a supressão de uma vogal. Pode existir em palavras compostas, expressões e poesias.
Exemplos: caixa-d'água, pau-d'água, etc

4-Hífen- Regras Gerais

Emprega-se o hífen:

a- em palavras compostas.Exemplos: beija-flor, amor-perfeito...
b- para ligar pronomes átonos às formas verbais.Exemplos: dar-lhe, amar-te-ia...
c- para separar palavras em fim de linha.
d- para ligar algumas palavras precedidas de prefixos. Exemplos: auto-educação, pré-escolar...

Observação: o uso do hífen é regulamentado pelo Pequeno Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa.Por se tratar de um item extremamente complexo, com regras confusas e extensas, os autores são contraditórios quando tratam do assunto.Procuramos sintetizar em um quadro o uso do hífen com os prefixos mais comuns.

Uso do hífen com os prefixos mais comuns

Prefixos	Quando se ligam a palavras iniciadas por	Exemplos
infra-, intra-, ultra-, contra-, supra-, extra-, pseudo-, neo- auto-, semi-	Vogal, h, r e s	infra- estrutura, intra-uterino, ultra-romântico, contra-senso, supra-sensível, extra-oficial, pseudo-hermafrodita exceção: extraordinário
anti-, ante-, arqui-, sobre-	H, R, S	ante-sala, anti-higiênico, sobre-sala
inter-, hiper-, super-	H, R	super-homem, inter-relação, hiper-raivoso
sub-	R, B	sub-região, sub-raça, sub-base
pan-, mal-, circum-	H ou vogal	mal-assombrado, circum-adjacente, pan-americano
bem-	Quando a palavra seguinte tem vida autônoma	bem-amado, bem-humorado
além,aquém, recém, pós, pré, pró	Sempre	pré-escola, pós-doutorado, pró-diretas, além-mar

5- Acento agudo
Indica vogal tônica aberta: pó, ré;

6- Acento circunflexo
Indica vogal tônica fechada: astrônomo, três;

7- Acento grave
Sinal indicador de crase: à, àquele;

8- Cedilha
Indica que o c tem som de ss: pança, muçulmano, moço
Autoria: Andrew Miccolis

Circulação

Tipos de Circulação
- circulação aberta: tipo de circulação em que o sangue ou hemolinfa sai do interior dos vasos e entra em contato direto com as células. Ocorre em artrópodes e na maioria dos moluscos.
- circulação fechada: tipo de circulação em que o sangue flui exclusivamente dentro dos vasos.
Não há contato direto entre o sangue e as células. Ocorre em anelídeos, moluscos cefalópodes e vertebrados.
- circulação simples: tipo de circulação em que o sangue passa uma única vez pelo coração em cada ciclo completo. Ocorre em vertebrados de respiração branquial.
- circulação dupla: tipo de circulação em que o sangue passa duas vezes pelo coração em cada ciclo completo. Ocorre em vertebrados de respiração pulmonar.
- circulação dupla incompleta: tipo de circulação em que ocorre mistura dos sangues venoso e arterial no coração ou na comunicação entre a artéria aorta e a pulmonar. Presente em anfíbios e répteis.
- circulação dupla completa: tipo de circulação em que não ocorre mistura dos sangues venoso e arterial no coração. Presente em aves e mamíferos.
- sangue venoso: sangue cuja taxa de gás carbônico é maior que a de oxigênio.
- sangue arterial: sangue cuja taxa de oxigênio é maior que a de gás carbônico.
O sistema circulatório humano
O sistema circulatório é formado pelo sangue, coração e pelos vasos sanguíneos. Tem como função transportar nutrientes, gases, células de defesa, hormônios e produtos de excreção por todo o corpo.
O sangue circula pelos vasos sanguíneos (artérias, veias e capilares) e compõe-se de células dispersas num líquido amarelado, o plasma. As artérias o conduzem do coração para os órgãos e tecidos do corpo, enquanto nas veias ele flui em sentido inverso.
O coração é um órgão musculoso dividido em quatro câmaras: duas superiores (átrios ou aurículas) e duas inferiores (ventrículos). Pelo lado direito só circula sangue venoso, rico em CO2.
Pelo esquerdo, sangue arterial, rico em O2. No sistema, o sangue percorre um circuito fechado.
Após passar pelos tecidos, chega ao coração pelas veias cavas. Entra no átrio direito, passa para o ventrículo direito e parte para os pulmões, onde será oxigenado. Retorna ao coração pelas veias pulmonares, ligadas ao átrio esquerdo. Desse, passa para o ventrículo esquerdo, de onde vai para o corpo pela aorta.
www.algosobre.om.br

Função do 1º Grau

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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www.accbarrosogestar.wordpress.com

Gráfico da função do 1º grau:

O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.

Exemplo:

1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

Gráficos crescente e decrescente respectivamente

Raiz ou zero da função do 1º grau

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0 » x=-1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.

Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x+1 » x = 1

Gráfico:

Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

Sinal de uma função de 1º grau

Observe os gráficos

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.

Exemplos:

1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y=f(x)=x+1
[Sol] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1
x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1
b) y=f(x)=-x+1
[Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
-x+1<0 » -x<-1 » x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)

Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br

Geométria plana

Geometria No Plano Com Circunferencia

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