Teorema de D’Alembert

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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matemática, os teoremas, as fórmulas, os postulados sempre recebem o nome de seus inventores e D’Alembert foi um desses, matemático e físico, foi um dos oficiais na revolução Francesa responsável pelas publicações solenes, anunciava a guerra e plocamava a paz.

Além disso, vários teoremas, tanto na física como na matemática, levaram o seu nome, na matemática podemos destacar no estudo dos polinômios o Teorema de D’Alembert, que diz:

Todo polinômio P(x) quando dividido por um binômio do tipo x – a, resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se, a constante a for raiz do polinômio P(x).

Exemplo: Sem efetuar as divisões, prove que o polinômio P(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² - 4x +3 é divisível por x - 3 e x - i.

As divisões dadas favorecem a aplicação do Teorema de D’Alembert, dessa forma podemos afirmar que: a constante a será raiz do polinômio P(x) se, somente se, o resto da divisão for igual a zero. Dessa forma, basta aplicarmos o Teorema do Resto.

Para divisor igual a x – 3, a = 3.

P(3) = 3⁴ – 4 . 3³ + 4 . 3² – 4 . 3 + 3
P(3) = 81 – 4 . 27 + 4 . 9 – 12 + 3
P(3) = 81 – 108 + 36 – 12 + 3
P(3) = -27 + 36 – 12 + 3
P(3) = 9 – 12 + 3
P(3) = -3 + 3
P(3) = 0

Portanto, o polinômio P(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² - 4x +3 é divisível por x – 3.

Para divisor igual a x – i, a = i.

P(i) = i⁴ – 4 . i³ + 4 . i² – 4 . i + 3
P(i) = 1 – 4 . (-i) + 4 . (-1) – 4i + 3
P(i) = 1 + 4i – 4 – 4i + 3
P(i) = 1 – 4 + 3
P(i) = - 3 + 3
P(i) = 0

Portanto, o polinômio P(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² - 4x +3 é divisível por x – i.
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Contéudo programatico no fundamental de Matemática

Conjunto dos Números Complexos aula 4

Conjuntos Numéricos

Os números são indispensáveis no estudo da Matemática e, por isso, são organizados em conjuntos que possuem características próprias. Ao longo da evolução da Matemática, os números foram surgindo e sendo classificados como Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais. Vamos conhecer cada conjunto e suas propriedades a fim de obtermos sucesso em estudos futuros.

Conjunto dos Números Naturais

Os números Naturais são representados pela letra maiúscula N e engloba todos os números inteiros positivos e o zero. Observe:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25,...}

O conjunto dos números Naturais é considerado infinito, isto é, não possui fim. Uma característica dos números Naturais é a utilização na contagem de objetos.


Conjunto dos Números Inteiros

Os números Inteiros são representados pela letra maiúscula Z e aborda todos os números inteiros positivos, negativos e o zero. Veja:

Z = {..., -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...}

O conjunto dos números Inteiros é considerado infinito. Como característica dos algarismos Inteiros, temos as representações de números negativos, como medidas de temperatura, saldos negativos, situações abaixo do nível do mar entre outras.


Conjunto dos Números Racionais

Os números racionais são representados pela letra maiúscula Q e agrupa todos os números inteiros positivos, negativos, o zero, números na forma decimal e os números fracionários, aqueles na forma de a/b com b ≠ 0.

Todos os números em que a divisão é uma dízima periódica são considerados números racionais. Exemplos:



As dízimas periódicas são números resultados de uma divisão, onde à direita da vírgula temos a formação de períodos. Observe:
A dízima 0,666... possui como período o número 6.
A dízima 0,727272... possui como período o número 72.

Toda dízima periódica possui uma representação na forma de fração. Veja:

Os números Racionais são utilizados para representar partes de um inteiro. Esse conjunto também é considerado infinito.

Conjunto dos Números Irracionais

Os números Irracionais são representados pela letra maiúscula I, o grupo é formado pelos números que não possuem representação fracionária. Os números são considerados dízimas não periódicas, isto é, são infinitos, mas a sua composição não fornece períodos.

√2 = 1,4142135623730950488016887242097...

√3 = 1,7320508075688772935274463415059...

–√7 = 2,6457513110645905905016157536393...

–√11 = 3,3166247903553998491149327366707...


Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números Reais é formado pela união dos conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais.

Conjunto dos Números Primos

Esse conjunto reúne todos os números Naturais que são divisíveis somente por 1 e por ele mesmo. Observe o Crivo de Eratóstenes a seguir, ele apresentará em azul os números primos de 1 a 100.

O número 2 é o único número primo par. Possui como divisores os números 1 e 2. Observe que todos os números primos indicados obedecem a essa característica.
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Gráfico de Inequações do 1º Grau

Diferente das equações, as inequações são expressões matemáticas que apresentam em sua configuração sinais de desigualdade. Veja:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual que
≤: menor ou igual que

As inequações são utilizadas em cálculos envolvendo restrições ao valor da incógnita. Por exemplo, ao resolvermos a equação 2x + 5 > 11, descobrimos que seu valor é correspondente a x > 3, de modo a respeitar a condição da inequação.

Os sinais de desigualdade podem ser utilizados em qualquer expressão matemática envolvendo incógnitas, como funções do 1º grau, do 2º grau, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, modulares.

As inequações também possuem gráficos representados no plano cartesiano. Na construção deles devemos levar em consideração o sinal da desigualdade.

Exemplo 1
Vamos determinar a construção do gráfico da seguinte expressão: 2x + 4 ≤ 0.

y = 0
2x + 4 ≤ 0
2x ≤ – 4
x ≤ –2

Gráfico




Exemplo 2

Construir o gráfico da inequação x + 4 ≥ 0, de acordo com a raiz da função.

y = 0
x + 4 ≥ 0
x ≥ – 4

Gráfico


Exemplo 3
Determinando o gráfico da inequação –2x + 7 > 0.

–2x + 7 > 0
–2x > –7
x < –7/2
x < –3,5
Gráfico

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Ponto médio de um segmento no plano

Marcelo Rigonatto

Cálculo do ponto médio

O segmento de reta é um subconjunto da reta, é parte da reta.
Ao contrário da reta, o segmento é finito, possuindo começo e fim, podendo ser medido. Mesmo sendo finito, ele possui infinitos pontos e o ponto que divide o segmento de reta em duas partes de mesmo tamanho é chamado de ponto médio.

Vamos determinar as coordenadas do ponto médio do segmento PQ da figura.

Assim, o ponto médio tem coordenadas:

Exemplo 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB de extremos A(1, 9) e B(7, 5).
Solução: Temos que

Portanto, o ponto médio do segmento AB tem coordenadas M(4 , 7)
Exemplo 2. O ponto médio do segmento PQ tem coordenadas M(5, 5). Sabendo que o ponto P tem coordenadas P(3, 4), quais são as coordenadas do ponto Q?
Solução: Sabemos que

Segue que

Portanto, o ponto Q tem coordenadas (7, 6).
Exemplo 3. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AM, sabendo que M é o ponto médio do segmento AB, sendo A(0, 0) e B(– 12, 20).

Solução: Primeiro determinaremos as coordenadas do ponto M. Como M é ponto médio do segmento AB, temos que:

Logo, M tem coordenadas (– 6, 10).

Queremos determinar o ponto médio do segmento AM. Vamos chamar esse ponto de N. Assim,

Portanto, o ponto médio do segmento AM tem coordenadas N(– 3, 5).

Gene - estrutura Conheça a unidade fundamental da vida

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Por que algumas pessoas têm olhos azuis e outras têm olhos castanhos? Por que a população humana apresenta variados tipos sanguíneos? Por que certas pessoas apresentam doenças congênitas?

As respostas a essas questões estão relacionadas aos genes, estruturas presentes em nossas células, responsáveis pelo controle de nossas características e pelo funcionamento do nosso organismo. Para entender como os genes funcionam e realizam esse controle é importante conhecermos a sua estrutura.

Genes e ácidos nucléicos
Os ácidos nucléicos são substâncias presentes em nossas células. Elas receberam esse nome pelo fato de terem sido, inicialmente, descobertas no núcleo, embora se saiba atualmente que também podem ser encontradas em outras organelas, como as mitocôndrias e os cloroplastos.

Existem dois tipos de ácidos nucléicos: o DNA (do inglês desoxirribonucleic acid ou ácido dexorribonucléico) e o RNA (do inglês ribonucleic acid ou ácido ribonucléico). Tanto a molécula de DNA como a de RNA são constituídas de unidades menores chamadas de nucleotídios.

Cada nucleotídio é formado por um grupo fosfato, um açúcar (desoxirribose no DNA e ribose no RNA) e uma base nitrogenada. Existem cinco tipos diferentes de bases nitrogenadas: timina (T), guanina (G), citosina (C) e adenina (A) são encontradas no DNA. Já no RNA, a timina é substituída por outra base, chamada de uracila (U).

Além das diferenças já citadas entre o DNA e o RNA, também é importante observar que, enquanto os nucleotídios do RNA se agrupam numa cadeia simples, a molécula de DNA apresenta duas cadeias emparelhadas e enroladas uma sobre a outra, formando uma estrutura conhecida como "dupla hélice". As cadeias do DNA emparelham-se pelas bases nitrogenadas: adenina com timina e citosina com guanina (A - T; C - G), mantendo-se unidas por pontes de hidrogênio.

Esquema das moléculas de DNA (à esquerda) e de RNA (à direita); P representa o fosfato e D (na molécula de DNA) a desoxirribose.

Os cromossomos, estruturas presentes no núcleo das células dos seres vivos em geral e no citoplasma das bactérias, são constituídos por um longo filamento de DNA associado a certas proteínas chamadas histonas. Alguns trechos do DNA presente nesses cromossomos dão início a processos de fabricação de proteínas com as mais diversas funções no organismo. Esses trechos de DNA são o que chamamos de genes.

Existem três tipos de RNA: mensageiro (RNAm), ribossômico (RNAr) e transportador (RNAt). Todos eles também participam dos processos de síntese protéica, cada um apresentando diferentes funções.
Maria Graciete Carramate Lopes

Área do retângulo

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Área do retângulo

Danielle de Miranda

Retângulos

As figuras planas possuem dimensões que possibilitam o cálculo de sua área. Essas figuras são diferenciadas pelo número de lados que elas possuem, ou seja, a sua nomenclatura e o cálculo da sua área dependerão do número de lados que a figura possuir.

Uma figura plana nada mais é que um plano que possui uma forma específica e para que ela exista é preciso que tenha no mínimo três lados. Veja abaixo a relação dos lados com a nomenclatura de algumas figuras planas.

3 lados = triângulo
4 lados = quadrilátero
5 lados = pentágono
6 lados = hexágono
7 lados = heptágono

O retângulo é um quadrilátero, pois possui 4 lados que podem ou não ser iguais. Quando os lados forem diferentes ela continua recebendo o nome de retângulo, agora quando os 4 lados forem iguais o retângulo poderá ser chamado de quadrado.



O cálculo da área desses dois tipos de retângulos é calculado da mesma forma. Como possuem duas dimensões: base e altura, o cálculo da sua área é o produto da base pela altura.

Pra compreender melhor como chegamos à conclusão de que a fórmula do cálculo da área de um retângulo é base x altura, veja a explicação abaixo:

Considere o retângulo com a superfície dividida em quadradinhos de lados iguais a um centímetro.



Nesse retângulo obtivemos 5 colunas de quadradinhos e 3 linhas de quadradinhos, assim para saber a quantidade de quadrados que essa figura possui em sua superfície basta multiplicarmos 5 x 3 = 15 quadradinhos. Como cada lado do quadradinho é igual a 1centímetro, podemos dizer que as dimensões desse retângulo são iguais a:



Aplicando o mesmo raciocínio do cálculo da quantidade de quadradinhos iremos encontrar a área da superfície desse retângulo da seguinte forma:

A = 5 cm x 3 cm
A = 15 cm²

Assim, provamos que o cálculo da área de um retângulo é:

A = BASE x ALTURA

Representando a base como b e a altura como h, simplificamos a fórmula:

A = b x h

Caso esse retângulo seja um quadrado (todos os lados iguais), podemos dizer que a base e a altura terão mesmo valor, assim iremos representá-las como sendo os lados do quadrado, representados pela letra l.
Portanto, a área de um quadrado pode ser indicada da seguinte forma:

A = l x l
A = l ²

Grafite

Por Alunos Online

Grafite

O grafite, prática de fazer marcas, inscrições e desenhos em muros, surgiu no Império Romano, onde eram feitas estas manifestações artísticas, por isso o nome grafite vem do italiano “graffiti”. Contudo, o grafite só ganhou popularidade nos anos 70, no Bronx, bairro de população negra de Nova York. Assim, as pessoas queriam uma forma de comunicação entre membros de uma mesma gangue ou registro de indignação frente ao preconceito e às injustiças sociais, onde os artistas passassem a ter uma linguagem intencional para interferir na cidade.

Geralmente, os desenhos feitos nos muros retratam temas como violência, paz, amor, contrastes sociais, etc. Algumas pessoas pensam que o grafite é uma forma de vandalismo, uma vez que suja as paredes de inúmeros edifícios e, muitas vezes, edíficações históricas. No entanto, o grafite não é uma arte ilegal, pois existem locais apropriados e iniciativas que proporcionam a manifestação de forma legal e civilizada.

Potenciação de Números Reais aula 1

Fatoração de polinômios agrupamento aula 2

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Matemática para o ENEM