Radicais

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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1.0 - Entendendo melhor os Números Irracionais





2.0 - Raiz Enésima de um Número




4.0 - Denominação dos Radicais





5.0 - Propriedade Fundamental dos Radicais




6.0 - Outras Propriedades dos Radicais




7.0 - Redução de Radicais ao mesmo índice


extraido de www.matematicamuitofacil.com

Matemáticos

Introdução : A matemática é a ciência dos números e dos cálculos. Desde a antiguidade, o homem utiliza a matemática para facilitar a vida e organizar a sociedade. A matemática foi usada pelos egípcios nas construção de pirâmides, diques, canais de irrigação e estudos de astronomia. Os gregos antigos também desenvolveram vários conceitos matemáticos. Atualmente, esta ciência está presente em várias áreas da sociedade como, por exemplo, arquitetura, informática, medicina, física, química etc. Podemos dizer, que em tudo que olhamos existe a matemática.

Abaixo, um pequeno histórico da evolução histórica da matemática :

1800 a.C. - Na Mesopotâmia, os sumérios desenvolvem um dos primeiros sistemas numéricos, composto de 60 símbolos.

520 a.C. - O matemático grego Eudoxo de Cnido define e explica os números irracionais.


300 a.C. - Euclídes desenvolve teoremas e sintetiza diversos conhecimentos sobre geometria. É o início da Geometria Euclidiana.


250 - Diofante estuda e desenvolve diversos conceitos sobre álgebra.


500 - Surte na Índia um símbolo para especificar o algarismo zero.


1202 - Na Itália, o matemático Leonardo Fibonacci começa a utilizar os algarismo arábicos.


1551 - Aparece o estudo da trigonometria, facilitando em pleno Renascimento Científico, o estudo dos astros.


1591 - O francês François Viète começa a representar as equações matemáticas, utilizando letras do alfabeto.


1614 - O escocês John Napier publica a primeira tábua de algorítimos.


1637 - O filósofo, físico e matemático francês René Descartes desenvolve uma nova disciplina matemática : a geometria analítica, com a misitura de álgebra e geometria.


1654 - Os matemáticos franceses Pierre de Fermat e Blaise Pascal desenvolvem estudos sobre o cálculo de probabilidade.


1669 - O físico e matemático inglês Isaac Newton desenvolve o cálculo diferencial e integral.


1685 - O inglês John Wallis cria os números imaginários.


1744 - O suíço Leonard Euler desenvolve estudos sobre os números transcendentais.


1822 - A criação da geometria projetiva é desenvolvida pelo francês Jean Victor Poncelet.


1824 - O norueguês Niels Henrik Abel conclui que é impossível resolver as equações de quinto grau.


1826 - O matemático russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky desenvolve a geometria não euclidiana.


1931 - Kurt Gödel, matemático alemão, comprova que em sistemas matemáticos existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.


1977 - O matemático norte-americano Robert Stetson Shaw faz estudos e desenvolve conhecimentos sobre A Teoria do Caos.


1993 - O matemático inglês Andrew Wiles consegue provar através de pesquisas e estudos o último teorema de Fermat.

extraido do colaweb

Divisibilidade

Conhecer os critérios de divisibilidade facilita a resolução de cálculos envolvendo divisões. Vejamos alguns critérios de divisibilidade:



DIVISIBILIDADE POR 2

Um número é divisível por 2 quando é par.

Números pares são os que terminam em 0, ou 2, ou 4, ou 6 , ou 8.

Ex : 42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570


DIVISIBILIDADE POR 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3.

Ex : 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6) - 36 (S=9) - 1.478.391 ( S=33) - 570 (S=1


DIVISIBILIDADE POR 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.

Ex : 956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200


DIVISIBILIDADE POR 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5 .

Ex : 475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65


DIVISIBILIDADE POR 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e3 ao mesmo tempo.

Ex : 36 - 24 - 126 - 1476


DIVISIBILIDADE POR 7

Tomar o último algarismo e calcular seu dobro. Subtrair esse resultado do número formado pelos algarismos restantes. Se o resultado for divisível por 7 então, o número original também será divisível por 7.

Ex1 :

238 : 8 x 2 = 16

23 - 16 = 7 : como 7 é divisível por 7 , 238 também é divisível.

693 : 3 x 2 = 6

69 - 6 = 63

63 : 3 x 2 = 6

6 - 6 = 0 : como 0 é divisível por 7, 693 também é divisível.

Ex2 :

235 : 5 x 2 = 10

23 - 10 = 13 : como 13 não é divisível por 7, 235 também não é divisível.


DIVISIBILIDADE POR 8

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8.

Ex : 876.400 - 152 - 245.328.168


DIVISIBILIDADE POR 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.

Ex : 36 - 162 - 5463 - 5.461.047


DIVISIBILIDADE POR 10

Um número é divisível por 10 quando termina em 0.

Ex : 100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630


DIVISIBILIDADE POR 11

Quando a diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, a partir da direita for múltipla de 11.

Ex : 7.973.207

S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23

S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12

diferença = 11


OBS: NÚMERO DE DIVISORES:

O conjunto dos divisores de um número natural x é o conjunto D(x) formado por todos os números naturais que são divisores de x.

Exemplo: o conjunto dos divisores de 36.

D(36) = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Algarismo romano

SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA

Os romanos usavam um sistema interessante para representar os números.

Eles usavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas atribuíam valores:

I
V
X
L
C
D
M

1
5
10
50
100
500
1.000



Os numerais I, X, C, M só podem ser repetidos até três vezes.

I = 1 II = 2 III =3
X = 10 XX = 20 XXX = 30
C = 100 CC = 200 CCC = 300
M = 1.000 MM = 2.000 MMM = 3.000


Vamos aprender alguns numerais romanos.

I = 1
XX = 20
CCC = 300

II = 2
XXX = 30
CD = 400

III = 3
XL = 40
D = 500

IV = 4
L = 50
DC = 600

V = 5
LX = 60
DCC = 700

VI = 6
LXX = 70
DCCC = 800

VII = 7
LXXX = 80
CM = 900

VIII = 8
XC = 90
M = 1.000

IX = 9
C = 100
MM = 2.000

X = 10
CC = 200
MMM = 3.000



ATENÇÃO!

Os numerais I, X e C, escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus valores aos desses numerais.

Exemplos:

VII = 7 ( 5 + 2 ) LX = 60 ( 50 + 10 ) LXXIII = 73 (50+20+3)

CX = 110 (100+10) CXXX = 130 (100+30) MCC = 1.200 (1.000+200)


Os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seus valores aos desses numerais.

Exemplos:

IV = 4 (5-1) IX = 9 (10-1) XL = 40 (50-10)

XC = 90 (100-10) D = 400 (500-100) CM = 900 (1.000-100)


Colocando-se um traço horizontal sobre um ou mais numerais, multiplica-se seu valor por 1.000.

Exemplos: _ _ _
V = 5.000 IX = 9.000 X = 10.000

Cinema

Por Patrícia Lopes

Principal elemento do cinema

Cinema consiste na arte de produzir obras estéticas, narrativas ou não, utilizando a técnica de projetar fotogramas de forma rápida e sucessiva, criando a impressão de movimento.

Um dos momentos mais importantes para o desenvolvimento das artes foi a invenção da fotografia, principalmente da fotografia animada. O cinema é possível graças à invenção do cinematógrafo criado pelos irmãos Lumière no final do século XIX. Esses foram os primeiros a conseguir passar um filme num ritmo constante por meio de uma película. A primeira apresentação de cinema aconteceu no Grand Café, em Paris, em 28 de dezembro de 1895. A apresentação foi composta por uma série de dez filmes, com duração de 40 a 50 segundos cada, uma vez que os rolos de película tinham quinze metros de comprimento.

A primeira sala construída especificamente para a projeção de filmes surgiu em Nova York, Estados Unidos, no ano de 1913. Com a Primeira Guerra Mundial, houve um declínio da produção européia, enquanto se assistia a ascensão dos filmes norte-americanos, com o estabelecimento do cinema espetáculo. Um grupo de produtores cinematográficos instalou-se em Hollywood, onde surgiu o templo do cinema.

O Oscar, troféu concedido anualmente às melhores produções de cinema, em 24 categorias, foi criado em 1927. A Academia de Artes e Ciências Cinematográficas de Hollywood (EUA) responsável por outorgá-lo, compõe-se de 5 mil membros, entre atores, atrizes, produtores, roteiristas, cenógrafos, diretores e fotógrafos.

O principal evento do cinema europeu é o Festival de Cannes, que acontece anualmente em maio, na França.

Termos semelhantes

Termos semelhantes
Para que um polinômio tenha termos semelhantes ele deverá possuir dois ou mais monômios. Esses termos semelhantes são monômios encontrados em um mesmo polinômio que possui partes literais e expoentes iguais.

Veja o exemplo de polinômios com termos semelhantes:

2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x é um polinômio com 6 monômios.

2x2 e – 3x2 são semelhantes, pois as suas partes literais são as mesmas.

– 5x e 7x são semelhantes, pois possuem partes literais iguais.

+3 e – 3 são semelhantes, pois nenhum dos dois possui partes literais.

Sabendo quais são os termos semelhantes no polinômio podemos uni-los, ou seja, colocar um do lado do outro.

2x2 – 3x2 – 5x + 7x + 3 – 3
↓ ↓ ↓
- x2 + 2x + 0

- x2 + 2x

O polinômio encontrado é o polinômio 2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x na forma reduzida, ou seja, sem nenhum termo semelhante.


Grau de um polinômio

O grau de um monômio é a soma dos expoentes da sua parte literal;

9x5 possui apenas um expoente, então o monômio é do 5º grau.

8x2 y4 possui dois expoentes, então devemos somá-los 2 + 4 = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau.

19abc possui três expoentes, devemos somá-los 1 + 1 + 1 = 3, portanto esse polinômio é de 3º grau.

Num polinômio que possui mais de 2 monômios, para encontrarmos o seu grau é preciso observar se ele está com os termos semelhantes reduzidos se estiver escrito na forma reduzida, o grau que ele irá assumir é o do monômio que tiver o grau maior.

5x4 + 3x2 – 5 está escrito na forma reduzida e o monômio de maior grau é o 5x4, então o polinômio será do 4º grau.

x2 + 4x – x2 + 10, possui termo semelhante (x2), então a sua forma reduzida ficará
4x + 10, o monômio de maior grau é 4x, portanto o grau do polinômio será de 1º grau.

Fatoração

Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica


Exemplo 19) Fatore c2 - 2bc - a2 + b2

Reagrupando o polinômio, teremos : b2 - 2bc + c2 - a2 = (b2 - 2bc + c2) - a2

O trinômio b2 - 2bc + c2 pode ser fatorado como : (b - c)2

E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c)2 - a2, e finalmente, teremos :

(b - c)2 - a2 = (b - c + a) (b - c - a)

Exemplo 20) Fatore: 5m8 + 10m4 - 15

Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:

5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3)

O trinômio m8 + 2m4 - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela raiz quadrada m4 de m8.

Dessa forma, teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3) = 5(m4 + 3) (m4 - 1)

E como (m4 - 1) = (m2 + 1) (m2 - 1) , e como (m2 - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m4 + 3)(m2 + 1)(m + 1)(m - 1)

Exemplo 21) Fatore: (x - y)2 + 2(y - x) - 24

Antes de mais nada, lembremos que (x - y)2 = (y - x)2 ( verifique se isso é verdade )

Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x)2 + 2(y - x) - 24

Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então :

(y - x)2 + 2(y - x) - 24 = A2 + 2A - 24

O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece multiplicada pela raiz
quadrada A de A2.

E assim : A2 + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y)2 + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y - x - 4)

Exemplo 22) Fatore x6 - y6

1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos

Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y6 é y2. Assim já temos o nosso primeiro fator x2 - y2
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x2 é x4 ; o produto entre x2 e y2 é x2y2 e o quadrado do
segundo é y2 é y4.

E dessa forma, teremos:

x6 - y6 = (x2 - y2) ( x4 + x2y2 + y4). Como a diferença de quadrados (x2 - y2) ainda pode ser fatorado, teremos :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x4 + x2y2 + y4).

Se escrevermos o trinômio ( x4 + x2y2 + y4) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá ser fatorado. Vejamos :

x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2, que é uma diferença de dois quadrados.

Assim : (x2 + y2)2 - x2y2 = ( x2 + y2 + xy) ( x2 + y2 - xy) = ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2). E finalmente :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma diferença de dois quadrados.

A raiz quadrada de x6 é x3 e a raiz quadrada de y6 é y3.

Assim já temos o nosso primeiro fator (x3 + y3) e o segundo fator (x3 - y3).

Assim, teremos : x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) .
Como a soma e a diferença de dois cubos (x3 + y3) e (x3 - y3) ainda podem ser fatorados, teremos :

x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) = (x + y) ( x2 - xy + y2) (x - y) ( x2 + xy + y2) , ou ainda :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE

Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar o sinal de identidade
que é uma ampliação do conceito de igualdade.

Vamos entender melhor essa diferenciação:

Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.

Elipse

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F₁ e F₂ de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F₁ e F₂ é igual a um valor constante 2a , onde a > c.

Assim é que temos por definição:

PF₁ + PF₂ = 2 a

Os pontos F₁ e F₂ são denominados focos e a distancia F₁F₂ é conhecida com distancia focal da elipse.

O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição,
a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.

2 – Equação reduzida da elipse

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos.

Sendo 2.a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:

PF₁ + PF₂ = 2.a

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:

b².x² + a².y² = a².b², onde b² = a² – c²

Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:

Veja a figura abaixo, que é elucidativa:

NOTAS:
1 – o eixo A₁A₂ é denominado eixo maior da elipse.
2 – o eixo B₁B₂ é denominado eixo menor da elipse.
3 – é válido que: a² - b² = c², onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
4 – como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
5 – o ponto (0,0) é o centro da elipse.
6 – se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse passa a ser:

Circunferência

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Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência.

A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas.

Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada.

Circunferência

A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

Algumas definições

Raio - Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.
Arco – é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.


Corda – é um segmento de infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos o que chamamos de diâmetro.

O diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio.
Assim, para medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.

Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.

Secante – é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contem uma corda.
Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou seja, corda PQ.
Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ.
Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as
extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.

O Comprimento da circunferência

Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será o seu comprimento. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro.
No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada.

Círculo

Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. É uma figura geométrica bastante comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, a mesa de refeição...
Agora pense, o que faríamos para:
* riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
* desenhar um círculo no seu caderno?
* marcar o limite das escavações de um poço no chão?
Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar.
A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo.
Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências.

O compasso possui duas “pernas”, uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência, a outra ponta,
com a grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência.

Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso.

À distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência.
Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz podem-se riscar uma circunferência no chão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam usar uma corda e duas estacas.

Equação reduzida da circunferência

Uma circunferência é determinada quando conhecemos a posição do seu centro e o valor do seu raio. Imaginando no plano cartesiano uma circunferência de centro no ponto C = (a, b) e com raio R, vamos representar por P = (x, y) um ponto qualquer que pertence a essa circunferência. Que propriedade tem o ponto P?
Se P pertence à circunferência, sua distância até o centro é igual ao raio.
Como a distância do ponto C = (a, b) ao ponto P = (x, y) é igual a R, usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:

(x - a)2 + (y - b)2 = R

Elevando ao quadrado os dois membros, a expressão obtida é a equação da circunferência de centro (a, b) e raio R.


Portanto, (x - a)² + (y - b)² = r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .

Exemplo:
Seja uma circunferência cuja equação é:

(x - 2) ² + (y - 3)² = 100

Verificar se a circunferência passa pela origem ,quais as coordenadas do centro e quanto vale o raio:

Pela expressão temos que: R = 10 e C(2,3)

Fazendo x=0 e y=0, temos que: (-2) ² + (-3) ² = 13
Como 13 é diferente de 100, logo a circunferência não passa pela origem.

Equação geral da circunferência

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:


Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é: (x - 2)² +(y + 3) ² = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
* os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
* não deve existir o termo xy.
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é

x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.

Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:
* 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente

x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 6

* 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

* 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

(x - 3) ² + (y + 1) ² = 16

* 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Em relação à circunferência de equação (x - a) ² + (y - b) ² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
a) P é exterior à circunferência


b) P pertence à circunferência

c) P é interior à circunferência

Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a) ² + (y - b) ² - r²:
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² > 0, então P é exterior à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² = 0, então P pertence à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² < 0, então P é interior à circunferência.

Posição de uma reta em relação a uma circunferência

Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência α de equação (x - a) ² + (y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e α :






Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência α :
(x - a) ² + ( y - b ) ² = r², temos:


Assim:

Condições de tangência entre reta e circunferência

Dados uma circunferência α e um ponto P(x, y) do plano, temos:

a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P


b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P


c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P.

Posições Relativas entre Ponto e Circunferência

* Externo:
d > r ;
d - r > 0


* Interno:
d < r
d - r < 0

* Pertence à Circunferência:
d = r
d - r = 0

Posições Relativas entre Reta e Circunferência

* Tangente:

A reta tem um só ponto A comum com a circunferência, e os outros pontos da reta são exteriores à circunferência. A tangente a um círculo, num ponto, é a perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto.
d = r
* Secante:

A reta tem dois pontos distintos A e B comuns com a circunferência.
d < r

* Externo:

A reta não tem ponto comum com a circunferência. Todos os pontos da reta são exteriores à circunferência
d > r

Posições Relativas entre duas Circunferências

Obs: (d = distância entre os Centros)

1 - Não se interceptam:
* Externamente:
A duas circunferências não têm ponto em comum.
d > r1 + r2

* Internamente:
As duas circunferências não têm pontos em comum e os pontos de uma delas são interiores à outra.
d < |r1 - r2|

2 - São Tangentes:
* Externamente:
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são exteriores à outra. O ponto comum é o ponto de tangência.
d = r1 + r2
* Internamente:
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são interiores à outra. O ponto comum é o ponto da tangência.
d = |r1 - r2|
3 - São Secantes:
As duas circunferências têm dois pontos distintos em comum. São denominadas circunferências SECANTES.
|r1 - r2| < d < r1 + r2

4 - Caso particular: Concêntricas:
As duas circunferências são interiores e os centros das duas são coincidentes.
d = 0

Conclusão

Nosso trabalho consiste em falar sobre circunferência. Nesta ação, conseguimos compreender o que é circunferência; é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.
Autoria: Daiane Fernandes

Regra de três

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► Exercícios de Regra de Três Simples e Composta


Definição

Regra de três é o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou grandezas inversamente proporcionais.

O problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais comumente chamado de regra de três simples.

Exercício de fixação da definição:

Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?

Grandeza 1: Distância percorrida

Grandeza 2: Tempo necessário


Cálculo:

Distância 1 = 480 Km - 02 horas

Distância 2 = ? Km - 06 horas

01 hora percorrida = 240 km

06 horas percorrida = 240 Km x 6

Resultado: 1440 Kms



Método mais prático de solução da regra de três simples

Faça um X na equação, pegue o primeiro número de cima (480) e multiplique pelo segundo número de baixo (06) depois é só dividir pelo número que restou (02) - O que você deseja saber está em Km, portanto a resposta será em Km




480 km - 02 horas

X

? km - 06 horas


Resp: ? = 480 . 06 / 02 = 1440 Km



Regra de três composta – Este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais.

Exercícios de fixação da definição:

1) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?

Grandeza 1 : Número de homens trabalhando

Grandeza 2 : Tempo de duração do trabalho

Grandeza 3 : Tamanho do muro

2) Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias??

Grandeza 1: Número de carros

Grandeza 2: Número de dias

Grandeza 3: Quantidade combustível

Método mais prático de solução da regra de três composta

Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.

A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura.

Veja:

1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.






Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração

2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?

Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)



Assim: 22 metros custarão R$ 110,00

3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas

Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas)




Exercícios de regra de três simples e composta


As respostas estão no final da página.

01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?

02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?

03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?

04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?

06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?

07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?

08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?

09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?

10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?

11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?

12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?

13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?

b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?

c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?

14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?

16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?

17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?

18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?

19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?

20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?


21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?

22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?

23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?

24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?

25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?


27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?


28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).

29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?


30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?


31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?

32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?

33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?

34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?

35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?

36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :

a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?

b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?


37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?

38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?

39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?

40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?

41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?


42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?

43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?

44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?

45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?

46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?

47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?

48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?

49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?

50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?

51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?


52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?


53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?

54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?

55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?

56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?

57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?

58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?

59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?

60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?

61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?

62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?

63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?

64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?

65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?

66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.

67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?

68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?

69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?

70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?

72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?


73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?

74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?


75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?


76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?


77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?

80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.

81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?

82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?

83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.


Regra de Três – Questões Objetivas

84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:

a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias

85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :

a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50

86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:

a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000

87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:

a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km

88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?

a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas

89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?

a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias

90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?

a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias

91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:

a) 2 min b) 2 min e 19 segundos

c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos

92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :

a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros

93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18

94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?

a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas

95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?

a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00

c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00

96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :

a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.

c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.

97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :

a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.

c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00


98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?

a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5

99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :

a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.

100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:

a) 8 dias b) 9 dias

c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.


101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?

a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos

102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:

a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos

d) 5 gatos e) 6 gatos

102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :

a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias

103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :

a) triplicar o nº de operários

b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia

c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de

operários

d) duplicar o nº de operários

e) duplicar o nº de operários e o número de horas

trabalhadas por dia

104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?

a) 7h 42 min


b) 7h 44 min


c) 7h 46 min


d) 7h 48 min


e) 7h 50 min


105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:

a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias

d) 45 dias e) 180 dias

106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?

a) 30 b) 40 c) 45 d) 50

107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :

a) b) c) d) e)



Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta


01) 40 kg
02) 14 sacas
03) 42 litros
04) 60 min
05) 60 minutos = 1 hora
06) 8 máquinas
07) 702 litros
08) 77 caixas
09) 532 km
10) 15 litros
11) 33 h 20 min
12) 6 minutos
13) 9 min / 54 min / 15 dias
14) 14 cm
15) 10 cm
16) 40 m3
17) 5.250 voltas
18) 110 g
19) 18 cm
20) 55 fitas
21) 56.250 litros
22) Nota 8
23) 9 metros
24) 30 m
25) 371 cm ou 3,71 m
26) 7.840 litros
27) 43.925 cm
28) 3.600 g
29) 300 azulejos
30) 40 graus
31) 770 m2
32) 42 m/s
33) 108 km/h
34) 270 recenseadores
35) 1.034 voltas
36) a)84 min b) 1 h 24 min
37) 14 dias
38) 10 dias
39) 4 horas
40) 60 km/h
41) 20 caminhões
42) 41 m
43) 20 metros
44) 40 dias
45) 14 peças
46) 16 pessoas
47) 4 h 15 min
48) 96 horas
49) 25 operários
50) 40 latas
51) 3 minutos
52) 10 caminhões
53) 4 horas
54) 25 m
55) 20 cm
56) 16 dias e 16 horas
57) 320 páginas
58) 420 páginas
59) 80 km/h
60) 75 voltas
61) 2.170 km
62) 2 horas
63) 4 dias
64) 150 kg
65) 50 dias
66) 250 litros
67) 12 operários
68) 15 dias
69) 16 dias
70) 4 dias
71) 216 caixas
72) 7 kw
73) 24 ovos
74) 5 min
75) 12 máquinas
76) 5 kg
77) 9 horas
78) 1.800 toneladas
79) 18 dias
80) 300 litros
81) 360 famílias
82) 480 colares
83) 5 horas
84) letra d
85) letra b
86) letra c
87) letra d
88) letra b
89) letra c
90) letra b
91) letra c
92) letra d
93) letra c
94) letra c
95) letra b
96) letra a
97) letra a
98) letra d
99) letra c
100) letra a
101) letra c
102) letra a
103) letra e
104) letra d
105) letra d
106) letra d
107) letra e