Elipse

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F₁ e F₂ de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F₁ e F₂ é igual a um valor constante 2a , onde a > c.

Assim é que temos por definição:

PF₁ + PF₂ = 2 a

Os pontos F₁ e F₂ são denominados focos e a distancia F₁F₂ é conhecida com distancia focal da elipse.

O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição,
a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.

2 – Equação reduzida da elipse

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos.

Sendo 2.a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:

PF₁ + PF₂ = 2.a

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:

b².x² + a².y² = a².b², onde b² = a² – c²

Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:

Veja a figura abaixo, que é elucidativa:

NOTAS:
1 – o eixo A₁A₂ é denominado eixo maior da elipse.
2 – o eixo B₁B₂ é denominado eixo menor da elipse.
3 – é válido que: a² - b² = c², onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
4 – como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
5 – o ponto (0,0) é o centro da elipse.
6 – se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse passa a ser: