Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, o produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
A matriz produto (A x B)mxn terá número de linhas de A e número de colunas de B.
Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.
Propriedades do Produto de Matrizes
Sendo A, B, C matrizes, e a um número real, e supondo as operações abaixo possíveis, temos que:
a) A.(B.C) = (A.B).C (ASSOCIATIVA)
b) A.(B+C) = A.B + A.C (DISTRIBUTIVA À DIREITA)
c) (A+B).C = A.C+B.C (DISTRIBUTIVA À ESQUERDA)
d) I É A IDENTIDADE
e) (A . B) = A . (B) = . (A . B)
f) (A . B)T = BT . AT
Observações Importantes:
1.ª A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes A e B tais que AB BA.
2.ª Na multiplicação de matrizes não vale o anulamento do produto, isto é, podemos ter A . B = 0 mesmo com A 0 e B 0.
3.ª Não vale também a simplificação, isto é, podemos ter AB = AC, mesmo com A 0 e B C.
Matriz Inversa
Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se inversível ou não singular se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A-1, denominada inversa de A, tal que:
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