Trigonometria, Período das funções

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Considere uma função y = f(x) de domínio D. Seja x Î D um elemento do domínio da função f. Consideremos um elemento p Î D.

Se f(x+p) = f(x) para todo x Î D, dizemos que a função f é periódica.

Ao menor valor positivo de p , denominamos período da função f.

Complicado? Não!
Veja o exemplo abaixo:

Seja y = f(x) = senx
Temos que f(x+2p ) = sen(x+2p ) = senx.cos2p + sen2p .cosx =senx .1 + 0.cosx = senx
ou seja, f(x+2p ) = f(x).
Portanto, sen(x+2p ) = senx

Da definição acima, concluímos que o período da função y = senx é igual a 2p radianos.

Analogamente, concluiríamos que:
O período da função y = cosx é 2p radianos.
O período da função y = secx é 2p radianos.
O período da função y = cosecx é 2p radianos.
O período da função y = tgx é p radianos.
O período da função y = cotgx é p radianos.

As afirmações acima equivalem às seguintes afirmações:
cos(x+2p ) = cosx|
sec(x+2p ) = secx
cosec(x+2p ) = cosecx
tg(x+p ) = tgx
cotg(x+p ) = cotgx
De uma forma genérica, poderemos dizer que o período T da função
y = a+b.sen(rx + q)
é dado por:


Observe que somente o coeficiente de x tem influencia para o cálculo do período da função.
A fórmula acima aplica-se também para o caso da função y = a + b.cos(rx+q).

No caso das funções y = a + b.tg(rx+q) ou y = a + b.cotg(rx+q) a fórmula a ser aplicada para o cálculo do período T é:


Exemplos:
Determine o período das seguintes funções trigonométricas:
a) y = sen(2x - 45º)
Resposta: T = 2p /2 = p radianos
b) y = 2.cos(3x+45º)
Resposta: T = 2p /3 rad = 120º . (Lembre-se que p rad = 180º).
c) y = 5 + 10.cos(p x + 2)
Resposta: T = 2p /p = 2 rad
d) y = tg(2x - p )
Resposta: T = p /2 rad
e) y = sen2x.cos4x + sen4x.cos2x
Resposta: A função pode ser escrita como y = sen(2x+4x) = sen6x
Logo, T = 2p /6 = p /3 rad ou 60º.
f) y = senx + cosx
Resposta: Antes de aplicar a fórmula do período, temos que transformar a soma do segundo membro, num produto. Logo,
y = senx + sen(90º - x)Observe que sen(90º-x) = sen90º.cosx - senx.cos90º = cosx.
Logo, a função dada poderá ser escrita como, usando a fórmula de transformação da soma de senos em produto.

Portanto o período procurado será T = 2p /1 = 2p rad.
Agora resolva estes:
Determine o período das seguintes funções:
a) y = sen10x
Resposta: T = p /5 rad.

b) y = 1 + cos(2x+p /4)
Resposta: T = p rad.

c) y = sen(x/3) + cos(x/2)
Resposta: T = 12p rad.
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