Seno, cosseno e tangente do arco duplo

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Seno, cosseno e tangente do arco duplo

Marcelo Rigonatto

Identidades trigonométricas

No estudo da trigonometria abordamos as relações existentes entre as medidas dos lados e as medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Esse ramo da matemática também estuda as funções trigonométricas e seus comportamentos. Bastante utilizada em nosso dia a dia, a trigonometria sempre fascinou matemáticos de todas as épocas que deixaram um legado de conhecimento sobre as propriedades dos triângulos retângulos.

Dadas as funções circulares de um arco x, é possível, mediante aplicação das fórmulas deduzidas, encontrarmos as funções circulares dos arcos 2x, 3x, ..., chamados, respectivamente, de arco duplo, arco triplo...

Vejamos as expressões que determinam o seno, o cosseno e a tangente do arco duplo. Para isso, faremos 2x = x + x.

1. Seno do arco duplo.
Temos que:

sen2x = sen (x + x)

Utilizando a fórmula do seno da soma de dois arcos, obtemos:

sen 2x = sen (x + x) = senx∙cosx + senx∙cosx

Então:

sen 2x = 2senx∙cosx

2. Cosseno do arco duplo

Também utilizando a fórmula do cosseno da soma de dois arcos, obtemos:

cos2x = cos(x + x) = cosx∙cosx - senx∙senx

Ou

cos2x = cos² x - sen² x

3. Tangente do arco duplo

Temos que:

Essas fórmulas são úteis para a simplificação de expressões envolvendo relações trigonométricas. Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.
Exemplo. Sabendo que sen x = 12/13 e cos x = 5/13, determine o valor de sen 2x e cos 2x.

Solução: Primeiro vamos determinar o valor de sen 2x. Como conhecemos os valores de sen x e cos x, basta aplicar a fórmula do arco duplo. Assim, temos que:

Agora, vamos determinar o valor de cos 2x.