progressão geometrica

Progressão geométrica é uma seqüencia numérica que cresce ou decresce pelo produto por uma taxa constante. Nessa progressão, os seus termos a partir do segundo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada razão q.

Por exemplo:

(1,2,4,8,16,32,64, ... ) essa seqüência é uma PG de razão igual a q = 2.

(5,15,45,135,405, ... ) essa seqüência é uma PG de razão igual a q = 3.

(2,1 ,1/2 ,1/4, 1/8, 1/16, ... ) essa seqüência é uma PG de razão igual a q = 1/2.

De uma maneira geral podemos definir uma progressão geométrica, assim:

Uma seqüência qualquer (a1,a2,a3, .... , an) será uma PG se, somente se,

an = an – 1 . q com n > 1.

E o cálculo da razão será realizado da seguinte forma:

a2 = a3 = ... = an = ... = q
a1 a2 an – 1

Classificação da PG

Dependendo dos termos que compor uma PG ela será classificada em:

• PG crescente são aquelas que os valores dos termos vão crescendo.

a 1 > 0 e q > 1, por exemplo: (1,2,4,8,16,32,64, ... )

a 1 < 0 e 0 < q < 1, por exemplo (-1 , -1/2, -1/4, ....)

• PG decrescente são aquelas que os termos vão diminuindo.

a 1 > 0 e 0 < q < 1, por exemplo: (64, 32, 16,8,... )

a 1 < 0 e q > 1, por exemplo: (-2,-4,-8,...)

• PG constante são aquelas que os termos são iguais, ou seja, a razão é igual a q = 1.
Por exemplo: (5,5,5,5,...,5)

• PG oscilante é uma PG que os seus termos intercalam em negativos e positivos, ou seja, que a1 ≠ 0 e q < 0.

• PG quase nula é uma PG que apenas o 1º elemento é diferente de zero.
Por exemplo: (2,0,0,0,0,0, ... )
Fórmula do termo geral da PG

Considerando a PG (a1, a2, a3, ... , a n – 1 , an) e utilizando a definição de PG
an = an – 1 . q com n > 1 podemos encontrar a fórmula do termo geral da PG, desde que a1 ≠ 0 e q ≠ 0.

a 2 = a1 . q
a 3 = a2 . q
a 4 = a3 . q
.................
an = a n – 1 . q
an = a1 . qn – 1

Portanto, o termo geral da PG é calculado com a utilização da fórmula:

an = a1 . qn – 1
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