Limites

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

www.youtube.com/accbarroso1      

Limites

Noção intuitiva de limite
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x y = 2x + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02

x y = 2x + 1 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x)b).

Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:

Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

Propriedades dos Limites

1ª)

O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.

Exemplo:

---

2ª)

O limite do produto é o produto dos limites.

Exemplo:

---

3ª)

O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

Exemplo:

---

4ª)

Exemplo:

---

5ª)

Exemplo:

---

6ª)

Exemplo:

---

7ª)

Exemplo:

---

8ª)

Exemplo:

Limites Laterais

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.

Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
O limite de f(x) para xa existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:

• Se
• Se

Continuidade

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

• 
• 
• 

Propriedade das Funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

• f(x)g(x) é contínua em a;
• f(x) . g(x) é contínua em a;
• é contínua em a .
• Limites envolvendo infinito
  Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
  Exemplo:
  
  a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
  b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
  c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
  d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito
  Limite de uma função polinomial para
  Seja a função polinomial . Então:
  Demonstração:
  
  Mas:
  
  Logo:
  
  De forma análoga, para , temos:
  Exemplos:
  
• Limites trigonométricos
  Demonstração:
  Para , temos sen x < x <>x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:
  
  Invertendo, temos:
  
  Mas:
• 
• g(x) <>x) <>x) são funções contínuas e se , então, . Logo,
• Limites exponenciais
  
  Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818.
  Veja a tabela com valores de x e de .

  x	1	2	3	10	100	1 000	10 000	100 000
  	2	2,25	2,3703	2,5937	2,7048	2,7169	2,7181	2,7182

  Notamos que à medida que .
  De forma análoga, efetuando a substituição , temos:
  
  Ainda de forma mais geral, temos :
  As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas.
  Se ,então .
  Mas:
  
  Logo:
  
  Como x 0 , então u 0. Portanto:
  
  Generalizando a propriedade acima, temos .
  
• www.somatematica.com.br

Tipos de Fração

Fração não é necessariamente a parte que tiramos de um inteiro, ela pode ser partes de um inteiro completo, dois inteiros completos, um inteiro mais uma parte, e assim sucessivamente. Levando em consideração todas as formas possíveis de encontrarmos uma fração podemos classificá-las em: próprias, impróprias ou aparentes.

Fração própria

Toda fração que for considerada própria deverá ser menor que um inteiro, ou seja, seu numerador é menor que seu denominador.

Considerando o inteiro dividido em 8 parte iguais . Se colorirmos 5 partes desse inteiro teremos:


A fração que irá representar a parte colorida é e a fração que irá representar a parte que não foi colorida é . As duas frações são classificadas como próprias, pois são menores que um inteiro.

Uma maneira prática de perceber se uma fração é ou não própria é observar o numerador e o denominador, portanto é própria, pois 5 (numerador) < 8 (denominador).

Fração imprópria

As frações impróprias são maiores que um inteiro, ou seja, o seu numerador é maior que o denominador.
A fração é uma fração imprópria, pois 5 (numerador) > 3 (denominador), veja como representaríamos:
significa que repartimos um inteiro em três partes e consideramos 5. Como 5 > 3, temos que construir mais um inteiro idêntico ao outro e completar a fração.


1 inteiro mais 2/3 é igual a


Fração aparente

Fração aparente é um tipo de fração imprópria, sendo que os numeradores são múltiplos dos denominadores, ou seja, ao dividirmos o numerador pelo denominador iremos obter valor inteiro como resposta.

A fração representa dois inteiros completos, pois 6 : 3 = 2, assim considerada aparente. Veja a sua representação:


2 inteiros são iguais a .
Danielle de Miranda

Equação Biquadrada

Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau.

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.

y⁴ – 10y² + 9 = 0 → equação biquadrada

(y²)² – 10y² + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis: y² = x, isso significa que onde for y² iremos colocar x.

x² – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x``

a = 1 b = -10 c = 9

∆ = b² – 4ac
∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64

x = - b ± √∆ 2a

x = -(-10) ± √64
2 . 1

x = 10 ± 8
2

x’ = 9

x” = 1

Essas são as raízes da equação x² – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y⁴ – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y² = x.

Para x = 9
y² = x
y² = 9
y = √9
y = ± 3

Para x = 1
y² = x
y² = 1
y = √1
y = ±1

Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-3, -1, 1, 3}.
Danielle de Miranda