Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Limites
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
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|

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x
1), y tende para 3 (y
3), ou seja:


![]() |
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x



De forma geral, escrevemos:
![]() |



Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x



Escrevemos:

Se g: IR





Propriedades dos Limites
1ª) 

O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
Exemplo:

2ª) 

O limite do produto é o produto dos limites.
Exemplo:

3ª) 

O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
Exemplo:

4ª) 

Exemplo:

5ª)

Exemplo:

6ª) 

Exemplo:

7ª) 

Exemplo:

8ª) 

Exemplo:

Limites Laterais
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:
![]() |
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:
![]() |
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
O limite de f(x) para x
a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:
O limite de f(x) para x

- Se
- Se
Continuidade
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:
Propriedade das Funções contínuas
Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
- f(x)
g(x) é contínua em a;
- f(x) . g(x) é contínua em a;
-
é contínua em a
.
- Limites envolvendo infinitoConforme sabemos, a expressão x
(x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x
(x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
Exemplo:a), ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
b), ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
c), ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero
ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
d), ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito
Limite de uma função polinomial paraSeja a função polinomial. Então:
Demonstração:Mas:Logo:De forma análoga, para, temos:
Exemplos: - Limites trigonométricosDemonstração:Para
, temos sen x < x <>x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:
Invertendo, temos:Mas: -
- g(x) <>x) <>x) são funções contínuas e se
, então,
. Logo,
- Limites exponenciais
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818.
Veja a tabela com valores de x e de.
x1 2 3 10 100 1 000 10 000 100 000 2 2,25 2,3703 2,5937 2,7048 2,7169 2,7181 2,7182 Notamos que à medida que.
De forma análoga, efetuando a substituição, temos:
Ainda de forma mais geral, temos :As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas.Se,então
.
Mas:Logo:Como x0 , então u
0. Portanto:
Generalizando a propriedade acima, temos.
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