Equação de 2º grau

Equação do 2º grau

Toda equação da forma ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais com a ≠ 0, é chamada de equação do 2° grau. Quando b = 0 ou c = 0, tem-se uma equação do 2° grau incompleta.

A resolução de equações incompletas do 2° grau:

Equações do tipo ax² + bx = 0

1) Resolver em R a equação x² - 4x = 0

Colocando o fator x em evidência, obtemos:

 x(x – 4) = 0

Quando o produto de dois números reais é igual à zero, então pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Portanto: x = 0      ou       x – 4 = 0

                                               x = 4

Logo as raízes são 0 e 4.

Verificação:

Para x = 0, temos: 0² - 4.0 = 0 – 0 = 0 (V)

Para x = 4, temos: 4² - 4.4 = 16 – 16 = 0 (V)

Portanto a solução está correta.

2) Resolver em R a equação:

(2x + 5)² + 3x = 25

4x² + 20x + 25 +3x = 25

4x² + 23x = 0

x(4x + 23) = 0

x = 0       ou      4x + 23 = 0

                                 4x = -23

                                   x = -23/4

3) Resolver em R a equação:

4/2x – 3x = 2 + 2/x, sendo x ≠ 0

Multiplicando os dois membros da equação por 2x, para eliminar os denominadores vem:

A partir do enunciado o número zero foi excluído da solução dessa equação (x ≠ 0), então: x = -2/3 é solução única.

4) Resolver em R a equação:

Equações do tipo ax² + c = 0

5) Resolver em R a equação  2x² - 18 = 0

Adicionamos 18 aos dois membros da equação:

2x² - 18 + 18 = 0 + 18

2x² = 18

Dividimos os dois membros da equação por 2

Então +3 e -3 são as raízes da equação.

6) Resolver em R a equação:

2x² + 4 = 0

Equações do tipo ax² = 0

A equação do tipo ax² = 0 admite uma única solução: x = 0

7) Resolver em R a equação 2x² = 0

Exercícios:

Resolva as equações em R:

A resolução de equações completas do 2º grau

Equações do tipo: ax² + bx + c = 0

Qualquer equação do 2º grau pode ser resolvida através da fórmula de Bháskara , o método usado anteriormente serve para facilitar a resolução de equações incompletas em b e em c, principalmente as incompletas em b que são muito mais fáceis de serem resolvidas daquela forma, pois o uso da fórmula de Bháskara naquele caso tornaria a solução mais complicada.

Demonstração da fórmula de Bháskara:

Dada a equação ax² + bx + c = 0 , multiplique os dois membros da equação por 4a:

(4a )(ax² + bx + c ) = (4a ) . 0

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

4a²x² + 4abx = -4ac

Adicione b² aos dois membros da equação:

4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²

Observe que o primeiro membro dessa igualdade é um trinômio quadrado perfeito igual a (2ax + b)²

(2ax + b )² = b² - 4ac

Extraia a raiz quadrada dos dois membros da igualdade:

Resolver em R a equação  2x² - 10x + 12 = 0 :

Temos a = 2 , b = -10 e c = 12, então:

Relações entre os coeficientes e as raízes

Relação de soma

Sendo x₁  e x₂ as raízes da equação do 2º grau, desejamos obter a relação de soma em função dos coeficientes (a , b , c)

Relação de produto:

Fatoração do trinômio do 2º grau

Sendo r₁ e r₂ as raízes do trinômio do segundo grau ax² +bx + c , temos que:

ax² + bx + c = a(x-r₁)(x-r₂)

Fatorar o trinômio do 2º grau

5x² - 3x – 2

Inicialmente determinamos as raízes do trinômio. As raízes são os números que atribuídos a variável x anulam o trinômio, isto é, 5x² - 3x – 2 = 0

Resolver em R a equação:

Obtenha as equações do 2º grau conhecendo as raízes:

a) 2 e 3

(x – 2)(x – 3) = x² - 3x – 2x + 6 = x² - 5x + 6

x² - 5x + 6 = 0

b)-1 e -2

(x + 1)(x + 2) = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2

x² + 3x + 2 = 0

Resolver em R a equação:

Condição de existência: x ≠ 0

O mmc dentre os denominadores 3² , 3x² e 3²x é o produto de todos os seus fatores, sendo que dentre fatores repetidos é escolhido o de maior expoente,isto é:

mmc( 3²,3x²,3²x) = 3²x² = 9x²

Multiplicando ambos os membros da equação por esse mmc,temos:

Resolver em R a equação:

Para o calculo do mmc dentre os denominadores, fatoramos cada um deles, obtendo:

2, 2²(x – 1) e (x + 1)(x – 1). O mmc é o produto de todos os fatores desses polinômios, sendo que dentre fatores repetidos é escolhido o de maior expoente, isto é:

mmc[2, 2²(x – 1), (x + 1)(x – 1)] = 2²(x + 1)(x – 1)

Exercícios resolvidos:

Resolva em R as equações:

A área de um retângulo é igual a 440 m². Sabendo que a medida da base e a da altura desse retângulo são números pares e consecutivos, determine seus valores.

A = x(x + 2)

440 = x² + 2x

x² + 2x – 440 = 0

Resolva em R as seguintes equações:

fonte:quimsigaud.tripod.com

Diagonais do paralelepípedo

Diagonal

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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O diagonal do paralelepípedo AG é representado por D com medidas
a, b e c, para calcular d com medida EG, temos:

Quadrado da diferença

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Algumas multiplicações envolvendo expressões algébricas revelam certos padrões matemáticos em suas resoluções. Essas expressões são conhecidas como produtos notáveis, que se dividem em quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. Desses, destacaremos a nossa atenção para o quadrado da diferença e seu desenvolvimento.

As expressões que possuem a forma (a – b)² podem ser resolvidas de duas formas distintas: aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou a regra prática.

Utilizando a propriedade distributiva na expressão (a – b)².
Pela definição de potenciação sabemos que (a – b)² pode ser escrito na forma
(a – b)* (a – b).

(a – b)* (a – b) = a*a – a*b – b*a + b*b = a² – 2ab + b²
(x – 4)² = (x – 4) * (x – 4) = x*x – 4*x – 4*x + 4*4 = x² – 8x + 16
(2y – 5)² = (2y – 5) * (2y – 5) = 2y*2y – 2y*5 – 5*2y + 5*5 = 4y² – 20y + 25
(5a – 2b)² = (5a – 2b) * (5a – 2b) = 5a*5a – 5a*2b – 2b*5a + 2b*2b = 25a² – 20ab + 4b²

Utilizando a regra prática na expressão (a – b)².
“O quadrado do primeiro termo menos, duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.”

(y – 6)² = (y)² – 2*y*6 + (6)² = y² – 12y + 36

(4b – 9)² = (4b)² – 2*4b*9 + (9)² = 16b² – 72b + 81

(7y – 6x)² = (7y)² – 2*7y*6x + (6x)² = 49y² – 84xy + 36x²

(10x – 2z)² = (10x)² – 2*10x*2z + (2z)² = 100x² – 40xz + 4z²

Marcos Noé

Lei dos Senos e dos Cossenos

Resolver triângulos é estabelecer um conjunto de cálculos que nos permitam determinar os lados, ângulos e outros segmentos do triângulo. A lei dos senos e dos cossenos, são utilizadas para a resolução de triângulos quaisquer.
Lei dos Cossenos

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Para esses triângulos podemos escrever:

Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Lei dos Senos

A lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.


A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo.
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Anfíbios

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Reino Animalia
Filo Chordata
Classe Amphibia
Ordens Caudata, Gymnophiona e Anura.

A Classe Amphibia contempla um grupo cuja maioria de seus indivíduos passa uma fase da vida na água e outra em ambiente terrestre: hábito este que fez jus ao seu nome, já que amphi=duas, e bio=vida. Nestes casos, os ovos se desenvolvem na água, dando origem a uma larva aquática denominada girino. Estes indivíduos respiram por meio de brânquias externas e possuem cauda.

Enquanto o girino se desenvolve, sua cauda e brânquias tendem a diminuir, ao mesmo tempo em que começam a surgir seus membros. Após certo tempo, que varia conforme a espécie, o anfíbio já é capaz de viver em ambiente terrestre e úmido, pois já possui patas, e seus pulmões já estão desenvolvidos. Além dos pulmões, estes indivíduos também efetuam suas trocas gasosas pela pele, o que caracteriza a respiração cutânea. Em virtude deste fator, a pele dos anfíbios é fina, permeável e rica em vasos sanguíneos.

Esta Classe possui três Ordens:

- Ordem Caudata – representada pelas salamandras, anfíbios dotados de caudas que, em alguns casos, permanecem em ambiente aquático por toda a vida.


Bolitoglossa paraensis: única espécie de salamandra encontrada em nosso país



- Ordem Gymnophiona – nesta, temos as cobras-cegas: animais de corpo alongado e sem patas.


Rhinatrema bivittatum: único representante brasileiro da Família Rhinatrematidae.



- Ordem Anura – aqui, temos os anfíbios mais conhecidos por nós: os sapos, as rãs e pererecas. Sapos possuem a pele mais rugosa e com glândulas bem visíveis; rãs são exímias saltadoras, possuem pernas longas, pele bastante lisa e facilidade para o nado; as pererecas, finalmente, possuem discos adesivos nas extremidades dos dedos, funcionando como ventosas – o que permite com que vivam em copas de árvores e também sejam encontradas em banheiros, etc. Machos de anuros costumam utilizar as vocalizações (coachos) como forma de comunicação entre seres. Assim, o canto facilita diversas interações sociais, como disputa de territórios entre machos, e a atração de fêmeas para reprodução.

Lithobates catesbeianus: espécie de rã introduzida em nosso país.


Devido ao fato de só termos uma espécie de salamandra no Brasil, devido à característica predominante nas cobras-cegas de viverem enterradas (hábitos fossoriais) e também à constatação de que a quantidade de anuros brasileiros é quase trinta vezes maior que a de gimnofionos; é mais comum encontrarmos informações sobre os anuros do que sobre as outras ordens.

Caso deseje consultar a lista que contém as espécies de anfíbios brasileiros, acesse o site da Sociedade Brasileira de Herpetologia.

Por Mariana Araguaia
Graduada em Biologia
Equipe Brasil Escola

Répteis

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Tuatara: representante da Ordem Ryncocephalia

Reino Animalia
Filo Chordata
Classe Reptilia

A palavra “réptil” deriva do termo latino “reptare”, que significa “rastejar”. Esta é uma das características principais dos indivíduos dessa classe que, de forma geral, possuem pele sem glândulas mucosas e dotada de escamas e/ou placas ósseas.

Melhor adaptados a ambientes terrestres, os répteis possuem respiração pulmonar, ovos com casca e anexos embrionários, e excreção de ácido úrico, insolúvel em água. Além disso, grande parte de seus representantes depende de fontes externas para manter sua temperatura corporal, fenômeno este que caracteriza a ectotermia.

A maioria das espécies possui fecundação interna, apresentando sexos separados, ausência de estágio larval, e oviparidade.

Tais animais possuem glândulas salivares, fígado, pâncreas e cloaca. Quanto ao sistema nervoso, pode-se constatar a presença de doze pares de nervos cranianos, terminações nervosas cutâneas, visão e olfato bem desenvolvidos.

Recentemente, com os avanços da filogenia, descobriu-se que os animais classificados como répteis não possuem a mesma origem evolutiva sendo, portanto, um grupo parafilético. Diversas novas informações ainda estão por vir ,porém, até segunda ordem, no Ensino Fundamental e Médio, estes animais são classificados em quatro ordens:

- Ordem Squamata: serpentes, lagartos e anfisbenas (também chamadas de cobras-de-duas-cabeças). Corpo coberto por escamas. Alguns lagartos soltam a cauda espontaneamente, como forma de confundir seus predadores. Certas serpentes possuem presas inoculadoras de veneno, denominadas peçonhas.

- Ordem Chelonia: tartarugas, cágados, jabutis e tracajás. A coluna vertebral e costelas se encontram unidas ao plastrão: nome dado à carapaça óssea desses animais. Não possuem dentes.

- Ordem Crocodilia: gaviais, jacarés e crocodilos. Possuem coração com quatro cavidades, diferentemente das outras ordens, que apresentam dois átrios e ventrículo com septo incompleto. Todos os seus representantes possuem dentes.

- Ordem Ryncocephalia: tuataras (espécies endêmicas da Nova Zelândia). Seus dois únicos representantes, Sphenodon punctatus e Sphenodon guntheri, assemelham-se a lagartos.

Por Mariana Araguaia
Graduada em Biologia
Equipe Brasil Escola

Nematódeos parasitas do ser humano

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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Nematódeos: animais de corpo alongado, cilíndrico e extremidades afiladas.

Os nematódeos endoparasitas do ser humano reúnem mais de cinquenta espécies, podendo o corpo alongado e cilíndrico desses possuir tamanho variado entre 1 milímetro e mais de 1 metro de comprimento.

Entre as principais parasitoses destacam-se:

Ascaridíase (Ascaris lumbricoides) → verme que vive e se reproduz no trato digestivo humano (intestino delgado). Mede, quando adulto, aproximadamente cinquenta centímetros, cujo modo de transmissão ocorre pela ingestão de ovos infectantes deste helminto, contidos no solo, na água ou nos alimentos contaminados com fezes humanas.

Normalmente sem sintomatologia, contudo pode causar dor abdominal, diarreia, náusea (vômito) e anorexia (distúrbio alimentar), causando também obstrução intestinal conforme a grande quantidade de vermes; bronquite e pneumonia quando as larvas migram para o pulmão.

Entre as medidas profiláticas destacam: higiene pessoal, lavar bem os alimentos e filtrar ou ferver a água antes do consumo e saneamento básico.

Ancilostomose e Necatoríase (Ancylostoma duodenali e Necator americanus - amarelão) → vermes com cerca de 20 milímetros e extremidade em forma de gancho, reproduzindo-se através de ovos expulsos juntamente às fezes. Essas eclodem no solo quente e úmido liberando larvas capazes de penetrar na pele de um hospedeiro humano.

Dentro do organismo, invade o sistema linfático e em seguida o circulatório, migrando para o coração e também para as vias respiratórias (o pulmão). Permanecem nos alvéolos pulmonares, progredindo aos brônquios e atingindo a faringe, sendo então deglutidas, passando pelo esôfago, estômago, atingindo o intestino onde depositam mais de 10.000 ovos por dia.

Manifestando os seguintes sintomas: anemia por perda de sangue (o indivíduo fica com aparência amarelada), fraqueza, irritação na pele no local da penetração da larva.

Medidas profiláticas: tratamento dos doentes, evitar contato com solo contaminado (uso de calçado) e saneamento básico.

Entre as demais parasitoses também importantes estão: Ancylostoma braziliensis (bicho-geográfico ou larva-migrans), Wucherelia bancrofti (filaria) e Oxyurus vermiculares ou Enterobius vermicularis (oxiurose ou enterobiose).

Por Krukemberghe Fonseca
Graduado em Biologia
Equipe Brasil Escola

Fruto

Os frutos são estruturas que protegem as sementes nas Angiospermas. Derivam do ovário das flores. Depois da fecundação dos óvulos no interior do ovário há um crescimento deste, que se dá por ação dos hormônios vegetais. É nessa fase que se inicia o processo de composição do fruto: estrutura, cores, consistência e sabores.

Quando as sementes já estão prontas (maduras) pra germinar, o fruto se rompe liberando-as para o solo, ou então estão prontos para serem ingeridos por outros animais. Sendo assim, pode-se concluir que a principal função do fruto é justamente proteger a semente enquanto ela se desenvolve. Mas também é responsável pela sua disseminação e pode ainda armazenar um reserva nutritiva.

Todo fruto apresenta uma estrutura básica:

- Epicarpo: é de fato a porção mais externa do fruto, oriunda da epiderme da folha carpelar. Normalmente é uma camada membranácea e muito fibrosa.

- Mesocarpo: é a porção intermediária (entre o epicarpo e o endocarpo). Às vezes armazena alguma substância de reserva. Oriunda dos parênquimas da folha carpelar.

- Endocarpo: é a porção (camada) mais interna, geralmente mais rígida, envolve a semente. Oriunda da epiderme interna do ovário.

Partes do fruto

Existem muitos frutos e, portanto, muitas maneiras de classificá-los. Abaixo segue alguns exemplos:

Quanto à composição:

- Frutos simples: são frutos oriundos do desenvolvimento do pedúnculo ou do receptáculo de uma única flor. Ex.: Limão, pêra, maracujá, maçã, mamão.

mamao

- Frutos compostos: são frutos que se originam do desenvolvimento do receptáculo de uma única flor, porém com muitos ovários. Ex.: Morango.

Frutos múltiplos ou infrutescências: neste caso estes frutos se originam a partir do desenvolvimento de ovários de muitas flores de uma mesma inflorescência, e crescem juntos, unidos. Ex.: figo, amora e abacaxi.

amora

Quanto à abertura:

- Frutos deiscentes: são os frutos que se abrem após a maturação para liberar as sementes. Quase sempre são secos. Ex.: Castanha.

- Frutos indeiscentes: são os frutos que não se abrem. Podem ser secos, carnosos ou lenhosos. Ex.: Laranja.

Frutos carnosos podem ser:

- Baga: frutos que apresentam um ou mais carpelos, com uma ou mais sementes. Ex.: Tomate, uva, laranja, abóbora.

- Drupa: um só carpelo, uma só semente, concrescida com o endocarpo. Ex.: Ameixa, azeitona, pêssego.

Bibliografia:
http://www.mundovestibular.com.br/articles/3469/1/FRUTO-E-PSEUDOFRUTOS/Paacutegina1.html
http://www.ambientebrasil.com.br/composer.php3?base=./educacao/index.php3&conteudo=./educacao/fruto.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fruto