Área em Coordenadas Polares

O Cálculo Diferencial e Integral realmente é algo impressionante. Quanto mais eu estudo, mas fico admirado com sua empregabilidade na resolução de problemas. Houve uma revolução na matemática depois de Descartes, onde foi possível escrever e resolver equações em coordenadas cartesianas; denotar um ponto por meio de um par ordenado (x, y) e assim a construção de gráficos para ilustrar as curvas. Em algumas situações é mais conveniente usar um outro sistema de coordenadas, como as coordenadas polares.

[Figura 1: Espiral de Arquimedes: r = a +bθ]

Antes de continuar a leitura deste artigo, sugiro que leiam sobre O Sistema de Coordenadas Polares no blog Fatos Matemáticos, onde o Professor Mestre Paulo Sérgio explana de maneira brilhante sobre o assunto. Se você, caro leitor, já está acostumado com este sistema, por favor, continue a leitura.

Para estabelecermos um sistema de coordenadas polares no plano, primeiro denotemos um ponto fixo O que será o pólo e um raio r, que é uma semi-reta orientada com origem em O, que chamamos de eixo polar. Um ângulo na posição padrão tem vértice no pólo e o eixo polar como seu lado inicial.

Seja P um ponto genérico no plano e seja r a distância entre P e o pólo. Assim:

Se P ≠ 0, então P pertence a uma única semi-reta com origem em Oconstituindo o lado terminal do ângulo. Este ângulo é denotado por θ e poderá ser em graus ou em radianos. Assim, o par ordenado do ponto P em coordenadas polares é indicado como:

As coordenadas polares estabelecem a posição de um ponto P em relação a uma grade, formada por círculos concêntricos com centro no pólo e semi-retas partindo de O. O valor de r localiza P num círculo de raio r; o valor de θ localiza P numa semi-reta que é o lado terminal do ângulo θ; e P é determinado pela intersecção do círculo com a semi-reta.

O gráfico de uma equação polar consiste em todos os pontos P do plano que tem pelo menos um par de coordenadas polares (r, θ) satisfazendo a equação.

Da mesma forma que podemos determinar a área de uma região sob a curva num plano cartesiano aplicando o conceito de integral definida, podemos determinar a área de uma região plana em coordenadas polares compreendia entre as semi-retas que determinam o ângulo θ.

Considere a figura abaixo, cuja equação polar é r = f (θ), onde f é uma função contínua. Quando θ cresce de θ = α para θ = β, o ponto P = (f (θ), θ) se desloca ao longo da curva polar de (f (α), α) para (f (β), β) e o segmento de reta OPpercorre uma região plana. Esta é a região compreendida pela curva polar entre as semi-retas que determinam o ângulo θ, ou seja, entre θ = α e θ = β.

[Figura 2]

A região polar mais simples talvez seja o setor circular compreendido pelo círculo de raio r entre θ = α e θ = β:

[Figura 3]

Sabemos que a área de um círculo de raio r é dada por:

Assim, a área do setor ocupa a fração (β – α) / 2π de todo o círculo e a área do setor será:

Geralmente, mesmo que a curva polar não seja um círculo, quando o ângulo cresce de θ para θ + dθ, ou seja, tem uma variação infinitesimal, o segmentoOP percorrerá uma região infinitesimal que podemos tomá-la como um setor infinitesimal de um círculo de raio r = f (θ):

[Figura 4]

Quando Δθ for infinitesimal, então a área infinitesimal do setor será dada por:

Para que tenhamos a área total da região desejada, devemos somar estes infinitésimos, isto é, integramos as áreas de todos estes setores infinitesimais, desde θ = α a θ = β. Assim, teremos:

Podemos representar esta fórmula sob a forma:

Exemplo 1: Encontrar a área do hemisfério superior da região compreendida pela curva polar cardióide, cuja equação é:

[Figura 5]

Quando θ varia de 0 a π, o segmento OP percorre o hemisfério superior da região interior à cardióide. Portanto, a área A da região será dada por:

Exemplo 2: Encontrar a área da região compreendida pela lemniscata de equação:

[Figura 6]

Vamos considerar somente 1/4 da lemniscata, já que é simétrica em relação ao pólo devido ao grau 2 de r. Assim, vamos considerar a porção da lemniscata para a qual:

Quando θ = 0 e r = 2, e como θ cresce, o ponto P = (r, θ) se desloca para a esquerda ao longo da parte superior da lemniscata até chegar ao pólo O, quando θ = π/4. Assim, o segmento OP percorre um quarto da área:

Este exemplo mostra que devemos saber o comportamento da curva para que possamos definir os limites de integração.

Quando utilizamos a fórmula

para encontrar a área de uma região compreendida por uma curva polar r = f (θ) num intervalo Δθ, devemos estar certos que α ≤ β e que o segmento de reta radial OP, percorre apenas uma vez cada ponto no interior da região. Por exemplo, se quisermos determinar a área total no interior do limaçon r = 2 – 3sen(θ), seria incorreto integrar de 0 a 2π, pois quando θ vai de 0 a 2π, o segmento OP percorre duas vezes todos os pontos pertencentes ao laço interior.

Exemplo 3: Encontrar a área do laço interior ao limaçon de equação:

[Figura 7]

Quando θ = 0, r = 2 e o ponto P (r, θ) = (2, 0) se encontra no eixo polar. Quando θ começa acrescer, r = 2 – 3sen(θ) começa a decrescer, atingindo 0 quando θ = sen–1(2/3), que é aproximadamente 41,8°. Neste ponto, o segmentoOP inicia o percurso da região desejada. Quando θ atinge o valor de π/2, então r= –1 e o segmento de reta OP, cujos pontos se movem para baixo, percorre exatamente metade a área desejada. Desta forma, a área da região será:

Sendo:

Então:

Também ocorre com freqüência a necessidade de encontrarmos a área de uma região plana compreendida por duas curvas, como por exemplo r = f (θ) e r = g(θ) entre dois pontos sucessivos de intersecção P1 e P2, onde:

[Figura 8]

Se a região compreendida pela curva r = g (θ) entre P1 e P2 está contida na região compreendida pela curva r = f (θ) entre P1 e P2, então a área desejada Aé apenas a diferença de áreas das duas regiões: