Equações Biquadradas

Equações Biquadradas


1.0 - Definição. Forma geral da equação.


Define-se equação biquadrada como a equação incompleta do quarto grau, que, após efetuadas todas as reduções possíveis, contém
apenas termos onde a incógnita está submetida a expoentes de grau par.

E desse modo, podemos escrever a forma geral da equação biquadrada como:

















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NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

INTRODUÇÃO:

Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possivel

exemplos:

a) 5 - 3 = 2 (possível: 2 é um número natural)
b) 9 - 9 = 0 ( possível: 0 é um número natural)
c) 3 - 5 = ? ( impossível nos números naturais)

Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos,

-1, -2, -3,.........

lê-se: menos um ou 1 negativo
lê-se: menos dois ou dois negativo
lê-se: menos três ou três negativo

Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos numeros inteiros relativos, que será representado por Z.

Z = { .....-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,......}

Importante: os números inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal de +.

exemplo

a) +7 = 7
b) +2 = 2
c) +13 = 13
d) +45 = 45

Sendo que o zero não é positivo nem negativo

EXERCICIOS

1) Observe os números e diga:

-15, +6, -1, 0, +54, +12, -93, -8, +23, -72, +72

a) Quais os números inteiros negativos?
R: -15,-1,-93,-8,-72

b) Quais são os números inteiros positivos?
R: +6,+54,+12,+23,+72

2) Qual o número inteiro que não é nem positivo nem negativo?
R: É o zero

3) Escreva a leitura dos seguintes números inteiros:

a) -8 =(R: oito negativo)
b)+6 = (R: seis positivo)
c) -10 = (R: dez negativo)
d) +12 = (R: doze positivo)
e) +75 = (R: setenta e cinco positivo)
f) -100 = (R: cem negativo)

4) Quais das seguintes sentenças são verdadeiras?

a) +4 = 4 = ( V)
b) -6 = 6 = ( F)
c) -8 = 8 = ( F)
d) 54 = +54 = ( V)
e) 93 = -93 = ( F )


5) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números positivos e as temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números inteiros relativos:

a) 5° acima de zero = (R: +5)
b) 3° abaixo de zero = (R: -3)
c) 9°C abaixo de zero= (R: -9)
d) 15° acima de zero = ( +15)



REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA



Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida, assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos.



_I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6

exercícios

1) Escreva os números inteiros:

a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6)
b) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2)
c) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1)
d) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 )
e) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2)
f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1)

2) Responda:

a) Qual é o sucessor de +8? (R: +9)
b) Qual é o sucessor de -6? (R: -5)
c) Qual é o sucessor de 0 ? (R: +1)
d) Qual é o antecessor de +8? (R: +7)
e) Qual é o antecessor de -6? ( R: -7)
f) Qual é o antecessor de 0 ? ( R: -1)

3) Escreva em Z o antecessor e o sucessor dos números:

a) +4 (R: +3 e +5)
b) -4 (R: -5 e - 3)
c) 54 (R: 53 e 55 )
d) -68 (R: -69 e -67)
e) -799 ( R: -800 e -798)
f) +1000 (R: +999 e + 1001)



NÚMEROS OPOSTOS E SIMÉTRICOS


Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma distancia do zero.


-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6


Observe que cada número inteiro, positivo ou negativo, tem um correspondente com sinais deferentes

exemplo

a) O oposto de +1 é -1.
b) O oposto de -3 é +3.
c) O oposto de +9 é -9.
d) O oposto de -5 é +5.

Obsevação: O oposto de zero é o próprio zero.

EXERCÍCIOS

1) Determine:

a) O oposto de +5 = (R:-5)
b) O oposto de -9 = (R: +9)
c) O oposto de +6 = (R: -6)
d) O oposto de -6 = (R: +6)
e) O oposto de +18 = (R: -18)
f) O oposto de -15 = (R: +15)
g) O oposto de +234= (R: -234)
h) O oposto de -1000 = (R: +1000)



COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS ,

Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta.

-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6


Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o mair deles, e o que está à esquerda, o menor deles.

exemplos

a) -1 maior; -4, poque -1 está à direita de -4.
b) +2 maior; -4, poque +2 está a direita de -4
c) -4 menor -2 , poque -4 está à esquerda de -2.
d) -2 menor +1, poque -2 está à esquerda de +1.

exercicios

1) Qual é o número maior ?

a) +1 ou -10 (R:+1)
b) +30 ou 0 (R: +30)
c) -20 ou 0 ( R: 0)
d) +10 ou -10 (R: +10)
e) -20 ou -10 (R: -10)
f) +20 ou -30 (R: +20)
g) -50 ou +50 (R:+50)
h) -30 ou -15 (R:-15)

2) compare os seguites pares de números, dizendo se o primeiro é maior, menor ou igual

a) +2 e + 3 (menor)
b) +5 e -5 (maior)
c) -3 e +4 (nenor)
d) +1 e -1 (maior)
e) -3 e -6 ( maior)
f) -3 e -2 (menor)
g) -8 e -2 (menor)
h) 0 e -5 (maior)
i) -2 e 0 (nenor)
j) -2 e -4 (maior)
l) -4 e -3 (menor)
m) 5 e -5 (maior)
n) 40 e +40 ( igual)
o) -30 e -10 (menor)
p) -85 e 85 (menor)
q) 100 e -200 (maior)
r) -450 e 300 (menor)
s) -500 e 400 (menor)

3) coloque os números em ordem crescente.

a) -9,-3,-7,+1,0 (R: -9,-7,-3,0,1)
b) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2)
c) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20)
d) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25)
e) +60,-21,-34,-105,-90 ( R: -105,-90,-34,-21, +60)
f) -400,+620,-840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)

4) Coloque os números em ordem decrescente

a) +3,-1,-6,+5,0 (R: +5,+3,0,-1,-6)
b) -4,0,+4,+6,-2 ( R: +6,+4,0,-2,-4)
c) -5,1,-3,4,8 ( R: 8,4,1,-3,-5)
d) +10,+6,-3,-4,-9,+1 (R: +10,+6,+1,-3,-4,-9)
e) -18,+83,0,-172, -64 (R: +83,0,-18,-64,-172)
f) -286,-740, +827,0,+904 (R: +904,+827,0,-286,-740)




ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROSADIÇÃO1) Adição de números positivos


A soma de dois números positivos é um número positivo.

EXEMPLO

a) (+2) + (+5) = +7
b) (+1) + (+4) = +5
c) (+6) + (+3) = +9

Simplificando a maneira de escrever

a) +2 +5 = +7
b) +1 + 4 = +5
c) +6 + 3 = +9

Observe que escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parêteses das parcelas.



2) Adição de números negativos


A soma de dois numeros negativos é um número negativo

Exemplo

a) (-2) + (-3) = -5
b) (-1) + (-1) = -2
c) (-7) + (-2) = -9

Simplificando a maneira de escrever

a) -2 - 3 = -5
b) -1 -1 = -2
c) -7 - 2 = -9

Observe que podemos simplificar a maneira de escrever deixando de colocar o sinal de + na operação e eliminando os parênteses das parcelas.

EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) +5 + 3 = (R:+8)
b) +1 + 4 = (R: +5)
c) -4 - 2 = (R: -6)
d) -3 - 1 = (R: -4)
e) +6 + 9 = (R: +15)
f) +10 + 7 = (R: +17)
g) -8 -12 = (R: -20)
h) -4 -15 = (R: -19)
i) -10 - 15 = (R: -25)
j) +5 +18 = (R: +23)
l) -31 - 18 = (R: -49)
m) +20 +40 = (R: + 60)
n) -60 - 30 = (R: -90)
o) +75 +15 = (R: +90)
p) -50 -50 = (R: -100)

2) Calcule:

a) (+3) + (+2) = (R: +5)
b) (+5) + (+1) = (R: +6)
c) (+7) + ( +5) = (R: +12)
d) (+2) + (+8) = (R: +10)
e) (+9) + (+4) = (R: +13)
f) (+6) + (+5) = (R: +11)
g) (-3) + (-2) = (R: -5)
h) (-5) + (-1) = (R: -6)
i) (-7) + (-5) = (R: -12)
j) (-4) + (-7) = (R: -11)
l) (-8) + ( -6) = (R: -14)
m) (-5) + ( -6) = (R: -11)

3) Calcule:

a) ( -22) + ( -19) = (R: -41)
b) (+32) + ( +14) = (R: +46)
c) (-25) + (-25) = (R: -50)
d) (-94) + (-18) = (R: -112)
e) (+105) + (+105) = (R: +210)
f) (-280) + (-509) = (R: -789)
g) (-321) + (-30) = (R: -350)
h) (+200) + (+137) = (R: +337)

3) Adição de números com sinais diferentes

A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos, dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto.

exemplos

a) (+6) + ( -1) = +5
b) (+2) + (-5) = -3
c) (-10) + ( +3) = -7

simplificando a maneira de escrever

a) +6 - 1 = +5
b) +2 - 5 = -3
c) -10 + 3 = -7

Note que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto

Observação:

Quando as parcelas são números opostos, a soma é igual a zero.

Exemplo

a) (+3) + (-3) = 0
b) (-8) + (+8) = 0
c) (+1) + (-1) = 0

simplificando a maneira de escrever

a) +3 - 3 = 0
b) -8 + 8 = 0
c) +1 - 1 = 0

4) Um dos numeros dados é zero

Quando um dos números é zero , a soma é igual ao outro número.

exemplo

a) (+5) +0 = +5
b) 0 + (-3) = -3
c) (-7) + 0 = -7

Simplificando a maneira de escrever

a) +5 + 0 = +5
b) 0 - 3 = -3
c) -7 + 0 = -7

exercícios

1) Calcule:

a) +1 - 6 = -5
b) -9 + 4 = -5
c) -3 + 6 = +3
d) -8 + 3 = -5
e) -9 + 11 = +2
f) +15 - 6 = +9
g) -2 + 14 = +12
h) +13 -1 = +12
i) +23 -17 = +6
j) -14 + 21 = +7
l) +28 -11 = +17
m) -31 + 30 = -1

2) Calcule:

a) (+9) + (-5) = +4
b) (+3) + (-4) = -1
c) (-8) + (+6) = -2
d) (+5) + (-9) = -4
e) (-6) + (+2) = -4
f) (+9) + (-1) = +8
g) (+8) + (-3) = +5
h) (+12) + (-3) = +9
i) (-7) + (+15) = +8
j) (-18) + (+8) = -10
i) (+7) + (-7) = 0
l) (-6) + 0 = -6
m) +3 + (-5) = -2
n) (+2) + (-2) = 0
o) (-4) +10 = +6
p) -7 + (+9) = +2
q) +4 + (-12) = -8
r) +6 + (-4) = +2

3) Calcule

a) (+5 + (+7) = +12
b) (-8) + (-9) = -17
c) (-37) + (+35) = -2
d) (+10) + (-9) = +1
e) (-15 ) + (+15) = 0
f) (+80) + 0 = +80
g) (-127) + (-51) = -178
h) (+37) + (+37) = +74
i) (-42) + (-18) = -60
j) (-18) + (+17) = -1
l) (-18) + (+19) = +1
m) (-1) + (-42) = -43
n) (+325) + (-257) = +68
o) 0 + (-75) = -75
p) (-121) + (+92) = -29
q ) (-578) + (-742) = -1320
r) (+101) + (-101) = 0
s) (-1050) + (+876) = -174

PROPRIEDADE DA ADIÇÃO

1) Fechamento : a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro

exemplo (-4) + (+7) =( +3)

2) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.

exemplo: (+5) + (-3) = (-3) + (+5)

3) Elemento neutro: o número zero é o elemento neutro da adição.

exemplo: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8

4) Associativa: na adição de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.

exemplo: [(+8) + (-3) ] + (+4) = (+8) + [(-3) + (+4)]

5) Elemento oposto: qualquer número inteiro admite um simétrico ou oposto.

exemplo: (+7) + (-7) = 0


ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS


Para obter a soma de três ou mais números adicionamos os dois primeiros e, em seguida, adicionamos esse resultado com o terceiro, e assim por diante.

exemplos

1) -12 + 8 - 9 + 2 - 6 =
= -4 - 9 + 2 - 6 =
= -13 + 2 - 6 =
= -11 - 6 =
= -17

2) +15 -5 -3 +1 - 2 =
= +10 -3 + 1 - 2 =
= +7 +1 -2 =
= +8 -2 =
= +6

Na adição de números inteiros podemos cancelar números opostos, poque a soma deles é zero.


INDICAÇÃO SIMPLIFICADA


a) podemos dispensar o sinal de + da primeira parcela quando esta for positiva.


exemplos


a) (+7) + (-5) = 7 - 5 = +2

b) (+6) + (-9) = 6 - 9 = -3




b) Podemos dispensar o sinal + da soma quando esta for positiva


exemplos


a) (-5) + (+7) = -5 + 7 = 2

b) (+9) + (-4) = 9 - 4 = 5




EXERCÍCIOS


1) Calcule


a) 4 + 10 + 8 = (R: 22)
b) 5 - 9 + 1 = (R: -3)
c) -8 - 2 + 3 = (R: -7)
d) -15 + 8 - 7 = (R: -14)
e) 24 + 6 - 12 = (R:+18)
f) -14 - 3 - 6 - 1 = (R: -24)
g) -4 + 5 + 6 + 3 - 9 = (R: + 1)
h) -1 + 2 - 4 - 6 - 3 - 8 = (R: -20)
i) 6 - 8 - 3 - 7 - 5 - 1 + 0 - 2 = (R: -20)
j) 2 - 10 - 6 + 14 - 1 + 20 = (R: +19)
l) -13 - 1 - 2 - 8 + 4 - 6 - 10 = (R: -36)


2) Efetue, cancelando os números opostos:


a) 6 + 4 - 6 + 9 - 9 = (R: +4)
b) -7 + 5 - 8 + 7 - 5 = (R: -8)
c) -3 + 5 + 3 - 2 + 2 + 1 = (R: +6)
d) -6 + 10 + 1 - 4 + 6= (R: +7)
e) 10 - 6 + 3 - 3 - 10 - 1 = (R: -7)
f) 15 - 8 + 4 - 4 + 8 - 15 = (R: 0)


3) Coloque em forma simplificada ( sem parênteses)


a) (+1) + (+4) +(+2) = (R: 1 +4 + 2)
b) (+1) + (+8) + (-2) = (R: 1 + 8 - 2)
c) (+5) +(-8) + (-1) = (R: +5 - 8 - 1)
d) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -6 - 2 + 1)


4) Calcule:


a) (-2) + (-3) + (+2) = (R: -3)
b) (+3) + (-3) + (-5) = (R: -5)
c) (+1) + (+8) +(-2) = (R: +7 )
d) (+5) + (-8) + (-1) = (R: -4)
e) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -7)
f) (-8) + ( +6) + (-2) = (R: -4)
g) (-7) + 6 + (-7) = (R: -8)
h) 6 + (-6) + (-7) = (R: -7)
i) -6 + (+9) + (-4) = (R: -1)
j) (-4) +2 +4 + (+1) = (R: +3)


5) Determine as seguintes somas


a) (-8) + (+10) + (+7) + (-2) = (R: +7)
b) (+20) + (-19) + (-13) + (-8) = (R: -20)
c) (-5) + (+8) + (+2) + (+9) = (R: +14)
d) (-1) + (+6) + (-3) + (-4) + (-5) = (R: -7)
e) (+10) + (-20) + (-15) + (+12) + (+30) + (-40) = (R: -23)
f) (+3) + (-6) + (+8) = (R: +5)
g) (-5) + (-12) + (+3) = (R: -14)
h) (-70) + (+20) + (+50) = (R: 0)
i) (+12) + (-25) + (+15) = (R: +2)
j) (-32) + (-13) + (+21) = (R: -24)
l) (+7) + (-5) + (-3) + (+10) = (R: +9)
m) (+12) + (-50) + (-8) + (+13) = (R: -33)
n) (-8)+(+4)+ (+8) + (-5) + (+3) = (R: +2)
o) (-36) + (-51) + (+100) + (-52) = (R: -39)
p) (+17) + (+13) + (+20) + (-5) + (-45) = (R:0)

6) Dados os números x= 6, y = 5 e z= -6, calcule


a) x + y = (R: +11)
b) y + z = (R: -4)
c) x + z = (R: -3)


SUBTRAÇÃO


A operação de subtração é uma operação inversa à da adição


Exemplos

a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = = +4
b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -15
c) (+5) - (-2) = ( +5) + (+2) = +7


Conclusão: Para subtraimos dois números relativos, basta que adicionemos ao primeiro o oposto do segundo.

Observação: A subtração no conjunto Z tem apenas a propriedade do fechamento ( a subtração é sempre possivel)



ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES PRECEDIDOS DE SINAL NEGATIVO


Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o segnificado do oposto

veja:

a) -(+8) = -8 (significa o oposto de +8 é -8 )

b) -(-3) = +3 (significa o oposto de -3 é +3)

analogicamente:

a) -(+8) - (-3) = -8 +3 = -5

b) -(+2) - (+4) = -2 - 4 = -6

c) (+10) - (-3) - +3) = 10 + 3 - 3 = 10

conclusão: podemos eliminar parênteses precedidos de sinal negativo trocando-se o sínal do número que está dentro dos parênteses.

EXERCÍCIOS

1) Elimine os parênteses

a) -(+5) = -5
b) -(-2) = +2
c) - (+4) = -4
d) -(-7) = +7
e) -(+12) = -12
f) -(-15) = +15
g) -(-42) = +42
h) -(+56) = -56

2) Calcule:

a) (+7) - (+3) = (R: +4)
b) (+5) - (-2) = (R: +7)
c) (-3) - ( +8) = (R: -11)
d) (-1) -(-4) = (R: +3)
e) (+3) - (+8) = (R: -5)
f) (+9) - (+9) = (R: 0 )
g) (-8) - ( +5) = (R: -13)
h) (+5) - (-6) = (R: +11)
i) (-2) - (-4) = (R: +2)
j) (-7) - (-8) = (R: +1)
l) (+4) -(+4) = (R: 0)
m) (-3) - ( +2) = (R: -5)
n) -7 + 6 = (R: -1)
o) -8 -7 = (R: -15)
p) 10 -2 = (R: 8)
q) 7 -13 = (R: -6)
r) -1 -0 = (R: -1)
s) 16 - 20 = (R: -4)
t) -18 -9 = (R: -27)
u) 5 - 45 = (R:-40)
v) -15 -7 = (R: -22)
x) -8 +12 = (R: 4)
z) -32 -18 = (R:-50)

3) Calcule:

a) 7 - (-2) = (R: 9)
b) 7 - (+2) = (R: 5)
c) 2 - (-9) = (R: 11)
d) -5 - (-1) = (R: -4)
e) -5 -(+1) = (R: -6)
f) -4 - (+3) = (R: -7)
g) 8 - (-5) = (R: 13)
h) 7 - (+4) = (R: 3)
i) 26 - 45 = (R: -19)
j) -72 -72 = (R: -144)
l) -84 + 84 = (R: 0)
m) -10 -100 = (R: -110)
n) -2 -4 -1 = (R: -7)
o) -8 +6 -1 = (R: -3)
p) 12-7 + 3 = (R: 8)
q) 4 + 13 - 21 = (R: -4)
r) -8 +8 + 1 = (R: 1)
s) -7 + 6 + 9 = (R: 8)
t) -5 -3 -4 - 1 = (R: -13)
u) +10 - 43 -17 = (R: -50)
v) -6 -6 + 73 = (R: 61)
x) -30 +30 - 40 = (R: -40)
z) -60 - 18 +50 = (R: -28)



4) Calcule:

a) (-4) -(-2)+(-6) = (R: -8)
b) (-7)-(-5)+(-8) = (R: -10)
c) (+7)-(-6)-(-8) = (R: 21)
d) (-8) + (-6) -(+3) = (R: -17)
e) (-4) + (-3) - (+6) = (R: -13)
f) 20 - (-6) - (-8) = (R: 34)
g) 5 - 6 - (+7) + 1 = (R: -7)
h) -10 - (-3) - (-4) = (R: -3)
i) (+5) + (-8) = (R: -3)
j) (-2) - (-3) = (R: +1)
l) (-3) -(-9) = (R: +6)
m) (-7) - (-8) =(R: +1)
n) (-8) + (-6) - (-7) = (R: -7)
o) (-4) + (-6) + (-3) = (R: -13)
p) 15 -(-3) - (-1) = (R: +19)
q) 32 - (+1) -(-5) = (R: +36)
r) (+8) - (+2) = (R:+6)
s) (+15) - (-3) = (R: +18)
t) (-18) - (-10) = (R: -8)
u) (-25) - (+22) = (R:-47)
v) (-30) - 0 = (R: -30)
x) (+180) - (+182) = (R: -2)
z) (+42) - (-42) = (R: +84)

5) Calcule:

a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (R: -9)
b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9)
c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0)
d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12)
e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13)
f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 )
g) -2 + (-1) -6 = (R: -9)
h) -(+7) -4 -12 = (R: -23)
i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 )
j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50)
l) -50 - (+7) -43 = (R: -100)
m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4)
n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11)
o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10)
p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40)
q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11)
r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20)
s) (-75) - (-25) = (R: -50)
t) (-75) - (+25) = (R: -100)
u) (+18) - 0 = (R: +18)
v) (-52) - (-52) = (R:0)
x) (-16)-(-25) = (R:+9)
z) (-100) - (-200) = (R:+100)





ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES



1) parenteses precedidos pelo sinal +

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) + (-4 + 5) = -4 + 5

b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7

2) Parênteses precedidos pelo sinal -

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de - que os precede, devemos trocar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) -(4 - 5 + 3) = -4 + 5 -3

b) -(-6 + 8 - 1) = +6 -8 +1

EXERCICIOS

1) Elimine os parênteses:

a) +(-3 +8) = (R: -3 + 8)
b) -(-3 + 8) = (R: +3 - 8)
c) +(5 - 6) = (R: 5 -6 )
d) -(-3-1) = (R: +3 +1)
e) -(-6 + 4 - 1) = (R: +6 - 4 + 1)
f) +(-3 -2 -1) = (R: -3 -2 -1 )
g) -(4 -6 +8) = (R: -4 +6 +8)
h) + (2 + 5 - 1) = (R: +2 +5 -1)

2) Elimine os parênteses e calcule:

a) + 5 + ( 7 - 3) = (R: 9)
b) 8 - (-2-1) = (R: 11)
c) -6 - (-3 +2) = (R: -5)
d) 18 - ( -5 -2 -3 ) = (R: 28)
e) 30 - (6 - 1 +7) = (R: 18)
f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4) = (R: 3)
g) 4 + (3 - 5) + ( -2 -6) = (R: -6)
h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) = (R: 13)
i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) = (R: 16)
j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) = (R: 27)

3) Calcule:

a) 10 - ( 15 + 25) = (R: -30)
b) 1 - (25 -18) = (R: -6)
c) 40 -18 - ( 10 +12) = (R: 0)
d) (2 - 7) - (8 -13) = (R: 0 )
e) 7 - ( 3 + 2 + 1) - 6 = (R: -5)
f) -15 - ( 3 + 25) + 4 = (R: -39)
g) -32 -1 - ( -12 + 14) = (R: -35)
h) 7 + (-5-6) - (-9 + 3) = (R: 2)
i) -(+4-6) + (2 - 3) = (R: 1)
j) -6 - (2 -7 + 1 - 5) + 1 = (R: 4)





EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS


Lembre-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem:

1°) PARÊNTESES ( ) ;

2°) COLCHETES [ ] ;

3°) CHAVES { } .

Exemplos:

1°) exemplo

8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5 ) =
8 + 7 - 1 + 3 - 1 + 5 =
23 - 2 = 21

2°) exemplo

10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6 ) ] =
10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =
10 - 3 + 1 + 2 - 6 =
13 - 9 =
= 4

3°) exemplo

-17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]} =
-17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} =
-17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } =
-17 +5 - 2 - 6 + 9 =
-25 + 14 =
= - 11

EXERCICIOS

a) Calcule o valor das seguintes expressões :

1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (R: 17)
2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 )
3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15)
4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17)
5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 )
6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5)
7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4)
8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21)
9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26)
10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2)
11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18)
12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20)
13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29)
14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 )
15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33)
16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1)
17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 )
18) -{ -2 - [ -3 - (-5) + 1 ]} - 18 = (R: -13)
19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15)
20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 )





MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS


MULTIPLICAÇÃO
1) multiplicação de dois números de sinais iguais

observe o exemplo

a) (+5) . (+2) = +10
b) (+3) . (+7) = +21
c) (-5) . (-2) = +10
d) (-3) . (-7) = +21


conclusão: Se os fatores tiverem sinais iguais o produto é positivo

2) Multiplicação de dois produtos de sinais diferentes

observe os exemplos

a) (+3) . (-2) = -6
b) (-5) . (+4) = -20
c) (+6) . (-5) = -30
d) (-1) . (+7) = -7

Conclusão : Se dois produtos tiverem sinais diferentes o poduto é negativo

Regra pratica dos sinais na multiplicação

SINAIS IGUAIS: o resultado é positivo

a) (+) . (+) = (+)

b) (-) . (-) = (+)

SINAIS DIFERENTES: o resultado é negativo -

a) (+) . (-) = (-)

b) (-) . (+) = (-)



EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações

a) (+8) . (+5) = (R: 40)
b) (-8) . ( -5) = (R: 40)
c) (+8) .(-5) = (R: -40)
d) (-8) . (+5) = (R: -40)
e) (-3) . (+9) = (R: -27)
f) (+3) . (-9) = (R: -27)
g) (-3) . (-9) = (R: 27)
h) (+3) . (+9) = (R: 27)
i) (+7) . (-10) = (R: -70)
j) (+7) . (+10) = (R: 70)
l) (-7) . (+10) = (R: -70)
m) (-7) . (-10) = (R: 70)
n) (+4) . (+3) = (R: 12)
o) (-5) . (+7) = (R: -35)
p) (+9) . (-2) = (R: -18)
q) (-8) . (-7) = (R: 56)
r) (-4) . (+6) = (R: -24)
s) (-2) .(-4) = (R: 8 )
t) (+9) . (+5) = (R: 45)
u) (+4) . (-2) = (R: -8)
v) (+8) . (+8) = (R: 64)
x) (-4) . (+7) = (R: -28)
z) (-6) . (-6) = (R: 36)

2) Calcule o produto

a) (+2) . (-7) = (R: -14)
b) 13 . 20 = (R: 260)
c) 13 . (-2) = (R: -26)
d) 6 . (-1) = (R: -6)
e) 8 . (+1) = (R: 8)
f) 7 . (-6) = (R: -42)
g) 5 . (-10) = (R: -50)
h) (-8) . 2 = (R: -16)
i) (-1) . 4 = (R: -4)
j) (-16) . 0 = (R: 0)


MULTIPLICAÇAO COM MAIS DE DOIS NÚMEROS

Multiplicamos o primeiro número pelo segundo, o produto obtido pelo terceiro e assim sucessivamente, até o ultimo fator

exemplos

a) (+3) . (-2) . (+5) = (-6) . (+5) = -30

b) (-3) . (-4) . (-5) . (-6) = (+12) . (-5) . (-6) = (-60) . (-6) = +360


EXERCÍCIOS

1) Determine o produto:

a) (-2) . (+3) . ( +4) = (R: -24)
b) (+5) . (-1) . (+2) = (R: -10)
c) (-6) . (+5) .(-2) = (R: +60)
d) (+8) . (-2) .(-3) = (R: +48)
e) (+1) . (+1) . (+1) .(-1)= (R: -1)
f) (+3) .(-2) . (-1) . (-5) = (R: -30)
g) (-2) . (-4) . (+6) . (+5) = (R: 240)
h) (+25) . (-20) = (R: -500)
i) -36) .(-36 = (R: 1296)
j) (-12) . (+18) = (R: -216)
l) (+24) . (-11) = (R: -264)
m) (+12) . (-30) . (-1) = (R: 360)


2) Calcule os produtos

a) (-3) . (+2) . (-4) . (+1) . (-5) = (R: -120)
b) (-1) . (-2) . (-3) . (-4) .(-5) = (R: -120)
c) (-2) . (-2) . (-2) . (-2) .(-2) . (-2) = (R: 64)
d) (+1) . (+3) . (-6) . (-2) . (-1) .(+2)= (R: -72)
e) (+3) . (-2) . (+4) . (-1) . (-5) . (-6) = (R: 720)
f) 5 . (-3) . (-4) = (R: +60)
g) 1 . (-7) . 2 = (R: -14)
h) 8 . ( -2) . 2 = (R: -32)
i) (-2) . (-4) .5 = (R: 40)
j) 3 . 4 . (-7) = (R: -84)
l) 6 .(-2) . (-4) = (R: +48)
m) 8 . (-6) . (-2) = (R: 96)
n) 3 . (+2) . (-1) = (R: -6)
o) 5 . (-4) . (-4) = (R: 80)
p) (-2) . 5 (-3) = (R: 30)
q) (-2) . (-3) . (-1) = (R:-6)
r) (-4) . (-1) . (-1) = (R: -4)


3) Calcule o valor das expressões:

a) 2 . 3 - 10 = (R: -4)
b) 18 - 7 . 9 = (R: -45)
c) 3. 4 - 20 = (R: -8)
d) -15 + 2 . 3 = (R: -9)
e) 15 + (-8) . (+4) = (R: -17)
f) 10 + (+2) . (-5) = (R: 0 )
g) 31 - (-9) . (-2) = (R: 13)
h) (-4) . (-7) -12 = (R: 16)
i) (-7) . (+5) + 50 = (R: 15)
j) -18 + (-6) . (+7) = (R:-60)
l) 15 + (-7) . (-4) = (R: 43)
m) (+3) . (-5) + 35 = (R: 20)

4) Calcule o valor das expressões

a) 2 (+5) + 13 = (R: 23)
b) 3 . (-3) + 8 = (R: -1)
c) -17 + 5 . (-2) = (R: -27)
d) (-9) . 4 + 14 = (R: -22)
e) (-7) . (-5) - (-2) = (R: 37)
f) (+4) . (-7) + (-5) . (-3) = (R: -13)
g) (-3) . (-6) + (-2) . (-8) = (R: 34)
h) (+3) . (-5) - (+4) . (-6) = (R: 9)

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

1) Fechamento: o produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

exemplo: (+2) . (-5) = (-10)

2) Comultativa: a ordem dos fatores não altera o produto.

exemplo: (-3) . (+5) = (+5) . (-3)

3) Elemento Neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação.

Exemplos: (-6) . (+1) = (+1) . (-6) = -6

4) Associativa: na multiplicação de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.

exemplo: (-2) . [(+3) . (-4) ] = [ (-2) . (+3) ] . (-4)

5) Distributiva

exemplo: (-2) . [(-5) +(+4)] = (-2) . (-5) + (-2) . (+4)




DIVISÃO

Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação

Observe:

a) (+12) : (+4) = (+3) , porque (+3) . (+4) = +12
b) (-12) : (-4) = (+3) , porque (+3) . (-4) = -12
c) (+12) : (-4) = (-3) , porque (-3) . (-4) = +12
d) (-12) : (+4) = (-3), porque (-3) . (+4) = -12



REGRA PRÁTICA DOS SINAIS NA DIVISÃO

As regras de sinais na divisão é igual a da multiplicação:

SINAIS IGUAIS: o resultado é +

(+) : (+) = (+)

(-) : (-) = (-)

SINAIS DIFERENTES : o resultado é -

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)


EXERCÍCIOS

1) Calcule o quocientes:

a) (+15) : (+3) = (R: 5 )
b) (+15) : (-3) = (R: -5)
c) (-15) : (-3) = (R: 5)
d) (-5) : (+1) = (R: -5)
e) (-8) : (-2) = (R: 4)
f) (-6) : (+2) = (R: -3)
g) (+7) : (-1) = (R: -7)
h) (-8) : (-8) = (R: 1)
f) (+7) : (-7) = (R: -1)

2) Calcule os quocientes

a) (+40) : (-5) = (R: -8)
b) (+40) : (+2) = (R: 20)
c) (-42) : (+7) = (R: -6)
d) (-32) : (-8)= (R: 4)
e) (-75) : (-15) = (R: 5)
f) (-15) : (-15) = (R: 1)
g) (-80) : (-10) = (R: 8)
h) (-48 ) : (+12) = (R: -4)
l) (-32) : (-16) = (R: 2)
j) (+60) : (-12) = (R: -5)
l) (-64) : (+16) = (R: -4)
m) (-28) : (-14) = (R: 2)
n) (0) : (+5) = (R: 0)
o) 49 : (-7) = (R: -7)
p) 48 : (-6) = (R: -8)
q) (+265) : (-5) = (R: -53)
r) (+824) : (+4) = (R: 206)
s) (-180) : (-12) = (R: 15)
t) (-480) : (-10) = (R: 48)
u) 720 : (-8) = (R: -90)
v) (-330) : 15 = (R: -22)



3) Calcule o valor das expressões

a) 20 : 2 -7 = (R: 3 )
b) -8 + 12 : 3 = (R: -4)
c) 6 : (-2) +1 = (R: -2)
d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5)
e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12)
f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35)
g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8)
h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10)
i) -14 + 42 : 3 = (R: 0)
j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11)
l) (-12) 3 + 6 = (R: 2)
m) (-54) : (-9) + 2 = (R: 8)
n) 20 + (-10) . (-5) = (R: 70)
o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 )
p) 4 + 6 . (-2) = (R: -8)
q) 3 . (-7) + 40 = (R: 19)
r) (+3) . (-2) -25 = (R: -31)
s) (-4) . (-5) + 8 . (+2) = (R: 36)
t) 5: (-5) + 9 . 2 = (R: 17)
u) 36 : (-6) + 5 . 4 = (R: 14)
fonte:http://jmpmat13.blogspot.com.br

Conjunto

►Conjunto unitário e conjunto vazio

Por exemplo:
A = { x | x é par e 4 < x < 8 } ou A = {6}
B = { x | 2x + 1 = 7 e x é inteiro } ou B = {3}

Os dois conjuntos acima são exemplos de conjuntos unitários. Pois possuem apenas um elemento.
Dado o conjunto C = { y | y é natural e 2 < y < 3 } é um conjunto que não possui nenhum elemento, esse tipo de conjunto é chamado de conjunto vazio.
Indicamos um conjunto vazio por { } ou , nunca por { }.

►Igualdade de conjuntos

Dizemos que um conjunto é igual a outro se todos os elementos de um conjunto forem iguais a todos os elementos do outro conjunto.

Exemplo:
Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3,4,1,0} como todos os elementos são iguais podemos dizer que A = B.

►Relação entre dois conjuntos.

Quando vamos fazer a relação de elemento com conjunto utilizamos os símbolos de pertence e não pertence .
Por exemplo:
Dado o conjunto dos números naturais o elemento 5 N
e
-8 N.

Agora quando relacionamos conjunto com conjunto utilizamos os símbolos de está contido e não está contido .

Por Exemplo:
{1,2,3} {1,2,3,4,5,6}
O conjunto dos N está contido dentro dos inteiros. N Z e o conjunto dos inteiros não está contido dentro do conjunto dos naturais Z N.


♦ Todo conjunto está contido em si mesmo B B.
♦ O conjunto vazio está contido em todo conjunto A.
Danielle de Miranda

Dilatação dos sólidos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.com

Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Dilatação dos sólidos

Domiciano Correa Marques da Silva

Ao aquecermos o arame, ele se dilata.

Às vezes nos deparamos com a Física no nosso cotidiano e nem nos damos conta disso. Por exemplo:

É mais fácil abrirmos um portão de ferro quando está fazendo calor do que quando faz frio. Quando tentamos abrir a tampa metálica dos vidros de conserva (azeitona, por exemplo), a tampa parece estar “colada”, mas quando a aquecemos, ela sai com mais facilidade.

Você sabe por quê?

A matéria no estado sólido tem forma própria e volume definido. Isso porque as moléculas que compõem o sólido:
- estão fortemente ligadas entre si;
- apresentam um movimento tão pequeno que permanecem praticamente estacionárias.

Quando aquecemos um sólido (barra de ferro, esfera metálica, etc.) ele se dilata em todas as direções. Dependendo do caso, a dilatação de um sólido pode ser considerada:

Linear – quando levamos em conta apenas a variação de uma de suas dimensões, como o comprimento;


Superficial – quando levamos em consideração a variação da área de uma secção, por exemplo, comprimento e largura:

Volumétrica – quando levamos em consideração a variação de volume, isto é, do comprimento, da altura e da largura.

Experiências com barra metálica aquecida mostram uma variação Δl (delta L) no comprimento diretamente proporcional tanto ao comprimento original l₀ da barra como à variação do ΔӨ da temperatura. Assim, podemos escrever a seguinte equação da dilatação linear:

Δl = α.l0.ΔӨ

Onde:
α é o coeficiente de dilatação linear do material
l₀ é o comprimento inicial do material

A constante α, é chamada de coeficiente de dilatação linear, e ela depende da natureza de cada material.

Seguindo a mesma analogia da equação de dilatação linear, temos:

Para a dilatação superficial ΔS

ΔS = β.S0.ΔӨ

Onde:
β é o coeficiente de dilatação superficial do material e vale: β = 2α
S₀ é a área inicial da superfície

Para a dilatação volumétrica ΔV

ΔV = γ.V0.ΔӨ

Onde:
γ é o coeficiente de dilatação volumétrica do material e vale: γ = 3α
V₀ é o volume inicial do corpo

Conceito de Cilindro

Cilindro

Conceito:

Consideremos um círculo de centro O e raio r num plano , e um segmento de reta , cuja reta suporte intercepta em Q. Temos segmentos de reta paralelos e congruentes a , cada um deles com uma das extremidades num ponto do círculo e a outra extremidade num mesmo semi-espaço dos determinados por ele. A reunião de todos esses segmentos é um sólido chamado cilindro.



Elementos

Considerando o cilindro representado abaixo, temos:



a) os círculos de centros O e O’ e o raio r situados em planos paralelos são as bases do cilindro;

b) os segmentos paralelos a OO com as extremidades em pontos das circunferências das bases são as geratrizes (g);

c) a reta OO «é o eixo do cilindro;

d) a distância entre os planos das bases é a altura (h) do cilindro.

Classificação

Um cilindro pode ser classificado conforme a inclinação da geratriz em relação aos planos das bases:

a) o cilindro circular é oblíquo quando a geratriz é oblíqua às bases;

b) o cilindro circular é reto quando a geratriz é perpendicular às bases.

As duas figuras anteriores são cilindros oblíquos, enquanto a figura ao lado representa um cilindro reto.
O cilindro circular reto é também chamado cilindro de revolução; ele é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.

Áreas e Volumes

Área da Base: Ab

A área da base de um cilindro é a área de um círculo de raio r.

Ab = r2

Antonio Carlos Carneiro Barroso
extraido de www.colegioweb.com.br

Conjunto

PAR ORDENADO : conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo símbolo (x;y) onde x e y são números reais, denominados respectivamente de abscissa e ordenada.
Ex: Par ordenado (6; -3) : abscissa = 6 e ordenada = -3.>

Propriedade: dois pares ordenados são iguais , quando são respectivamente iguais as abscissas e as ordenadas. Em termos simbólicos:
(x;y) = (w;z) Û x = w e y = z
Ex: (2x - 4; y) = (- x; 7) >Û 2x - 4 = - x e y = 7 <\ x = 4/3 e y = 7. >

PLANO CARTESIANO : também conhecido como sistema de coordenadas retangulares ; Trata-se de um conceito introduzido no século XVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, para representar graficamente o par ordenado (xo;yo). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, num ponto denominado origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a sua ordenada, ou seja, O(0;0).

>Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões , que são denominadas Quadrantes. Temos então o seguinte quadro resumo:

QUADRANTE


ABSCISSA


ORDENADA

1º quadrante


+


+

2º quadrante


-


+

3º quadrante


-


-

4º quadrante


+


-

Obs:
1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0.
2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz do primeiro quadrante.
3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetriz do segundo quadrante.

MÓDULO DE UM NÚMERO REAL : Entende-se por módulo ou valor absoluto do número real a e
escreve-se ½ a½ , o seguinte:
½ a½ = a se a ³ 0
½ a½ = -a se a < 0 Por esta definição, o módulo de um número positivo ou nulo (não negativo) é o próprio número e o módulo de um número negativo é o simétrico desse número. Exs: ½ 7½ = 7 ; ½ -5½ = 5 ; ½ 0½ = 0 ; ½ 7 - 10½ = ½ -3½ = 3 São válidas as seguintes propriedades relativas às igualdades e desigualdades modulares: P1) ½ w½ = 0 Û w = 0 P2) ½ w½ = b , onde b > 0 Û w = b ou w = - b
P3) ½ w½³ b , onde b> 0 Û w ³ b ou w £ - b
P4) ½ w½£ b , onde b> 0 Û -b £ w £ b

PRODUTO CARTESIANO: Dados dois conjuntos A e B , definimos o produto cartesiano de A por B , que indicamos pelo símbolo AxB , ao conjunto de todos os pares ordenados (x;y)
onde xÎ A e y Î B. Em termos simbólicos, podemos escrever:
AxB = { (x;y); x Î A e y Î B}
Ex: {0;2;3} x {5; 7} = { (0;5) , (0; 7) , (2;5) , (2;7) , (3;5}, (3;7) }

Obs: Sendo A e B conjuntos quaisquer, temos:
a) o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo, ou seja AxA é representado por A2 .
Assim , podemos escrever: A x A = A2 .
b) A x B ¹ B x A (o produto cartesiano é uma operação não comutativa)
c) A x f = f
d) n(A x B) = n(A) . n(B) , onde n(A) e n(B) representam os números de elementos de A e de B, respectivamente.

RELAÇÃO BINÁRIA

Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B , a qualquer subconjunto de AxB. Em termos simbólicos, sendo  uma relação de A em B , podemos escrever:
 = { (x;y) ΠAxB ; x  y }
Ex: Â = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}.

NOTAS:
1) ÂÌ AxB
2) o conjunto A é o conjunto de partida e B o conjunto de chegada ou contradomínio.
3) se (x;y) Π, então dizemos que y é imagem de x , pela relação  .
4) a expressão x y eqüivale a dizer que (x;y) Π.
5) dada uma relação  = { (x;y) Î AxB ; x  y } , o conjunto dos valores de x chama- se domínio da relação e o conjunto dos valores de y chama-se conjunto imagem da relação.
6 - o número de relações possíveis de A em B é dado por 2n(A).n(B) .
7 - Dada uma relação  = { (x,y) Î AxB ; x  y } , define-se a relação inversa  -1 como sendo:
 -1 = { (y,x) ΠBxA ; y  x }.
Ex: F = { (0,2) , (3.5) , (4,8) , ( 5,5) }
F-1 = { (2,0) , (5,3) , (8,4) , (5,5) }.

Agora, tente resolver as questões a seguir.

1 - Sendo A = {x Î N; 1 < x < 4} e B = {x Î Z; 5 < x < 10}, o conjunto imagem da relação S = {(x,y) Î AXB; x + y = 9} é: a) {4,5,6} *b) {6,7} c) {5,6,7} d) {7} e) {1} 2 - Sendo n(A) = 2 e n(B) = 3, então o número de elementos de p(A) X p(B) é: a)4 b)8 c)16 *d)32 e)64 3 - UFBA - Sejam: A = { 1 , 5 } ; B = { -1 , 0 , 1 }; R = {(x , y) Î AxB } e F = conjunto dos pontos do plano, simétricos aos pontos de R em relação à primeira bissetriz. Dos conjuntos e relações dados, pode-se afirmar: I) A imagem da relação inversa de R é o conjunto A. II) O domínio de F é o conjunto B. III) R tem 5 elementos. IV) Em F há pontos pertencentes ao eixo Ox. V) Existe um único ponto de R que pertence à primeira bissetriz. São verdadeiras: a) todas b) nenhuma c) III e IV *d) I, II e V e)somente I 4 - UEFS - Sendo A = { 1, 3 } e B = [-2 , 2], o gráfico cartesiano de AxB é representado por: a) 4 pontos b) 4 retas c)um retângulo d)retas paralelas a Ox *e) dois segmentos de reta 5 - Sabendo-se que n(AxB) = 48 , n(BxC) = 72 , n(p(A)) = 256, podemos afirmar que n(AxC) é: a)64 b)72 *c)96 d)128 e)192 6 - UFCE - Dado um conjunto C , denotemos por n(p(C)) o número de elementos do conjunto das partes de C. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, tais que n(p(AxB)) = 128 e n(B) > n(A). Calcule n(p(B)) / n(p(A)).
Resp: 64

Sistema ABO

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia  

www.accbarrosogestar.wordpress.com

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.com

http://accbarrosogestar.blogspot.com.br  

Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Sistema ABO

Mariana Araguaia

Relação entre grupos sanguíneos e antígenos.

O sistema ABO é um dos sistemas de classificação dos grupos sanguíneos. Como envolve três tipos de alelos, I^A, I^B e i, na Genética falamos que se trata de um caso de polialelia (alelos múltiplos).Dependendo da combinação entre os alelos, indivíduos podem ter sangue do tipo A, B, AB ou O. O nome do grupo sanguíneo se refere ao fenótipo; já a combinação entre os alelos, é o genótipo:

- Sangue tipo A: genótipo I^A I^A ou I^A i

- Sangue tipo B: genótipo I^BI^B ou I^Bi

- Sangue tipo AB: genótipo I^AI^B (ou I^B I^A)

- Sangue tipo O: genótipo ii

Os alelos I^A e I^B codificam antígenos, chamados aglutinogênios, presentes nas hemácias. Já no plasma, são encontrados anticorpos específicos, chamados aglutininas. Graças a eles, existe uma relação importante entre doadores e receptores de sangue.

Observe a tabela a seguir:

Fenótipo	Genótipo	Aglutinogênio	Aglutinina	Recebe de	Doa para
A	IA IA ou IA i	A	Anti-B	A e O	A e AB
B	IBIB ou IBi	B	Anti-A	B e O	B e AB
AB	IAIB (ou IB IA)	AB	-	AB, A, B e O	AB
O	ii	-	Anti-A e Anti-B	O	A, B, AB e O

Pela tabela, podemos inferir que as aglutininas anti-B não permitem que aqueles que as possuem recebam sangue que contenha o alelo I^B (que contém o aglutinogênio B). Da mesma forma, aglutininas anti-A não permitem que aqueles que as possuem recebam sangue que contenha o alelo I^A (que contém o aglutinogênio A). Isso porque, caso ocorra a transfusão incorreta, as hemácias do sangue recebido tendem a se aglutinar, formando aglomerados capazes de entupir vasos sanguíneos, atrapalhando a circulação.

Importante:

Além de analisar o sistema ABO, no caso de doações ou recepção de sangue, é necessário também analisar o fator Rh: outro sistema de classificação de grupos sanguíneos.

Animais com 2 e 4 pés

Obs.: O mesmo raciocínio se aplica a veículos com 2 e 4 rodas

Ex.: Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos
Solução pela matemática convencional


Solução através de dicas
Supõe-se todos os animais com 4 pés. Como são 13 cabeças, teríamos um total de 13 . 4 = 52 pés, o que não é real

Subtraindo-se desse valor fictício o valor real tem: 52 – 46 = 6

Dividindo-se esse valor 2 por encontramos imediatamente os animais com 2 pés, ou seja,

6 : 2 = 3 ( que corresponde ao número de galinhas).

Subtraindo-se o valor de 13 encontramos o número de coelhos, ou seja 13 – 3 = 10.

Através desse cálculo encontramos novamente o valor correspondente a 3 galinhas e 10 coelhos, que é a solução do teste
fonte:matematicapratica.com

Progressão Aritmética

Condições de existência de uma equação do 2º grau

Uma equação do 2º grau possui algumas condições de existência envolvendo o valor do discriminante. Os coeficientes de uma equação quadrática determinam os possíveis resultados, por exemplo:

Caso o valor do discriminante seja maior que zero, a equação terá duas raízes reais e diferentes.

O discriminante possuindo valor menor que zero, indica que a equação não possui raízes reais.

Nas situações em que o discriminante assume valor igual a zero, a equação possui apenas uma raiz real.

Vamos desenvolver alguns exemplos relacionados às condições de existência e restrições de uma equação do 2º grau:

Exemplo 1

Determine o valor de k, considerando que a equação 2x² + 4x + 5k = 0 , tenha duas raízes reais e distintas.

Coeficientes:
a = 2, b = 4 e c = 5k

a) duas raízes reais e distintas

S = {k Є R / k < 2/5}



Exemplo 2

Vamos determinar o valor de p na seguinte equação: x² – (p + 5)x + 36 = 0, de forma que a equação possua raízes reais e iguais.

Coeficientes:
a = 1
b = p + 5
c = 36


a) raízes reais e iguais

S = {p Є R / p = 7 e p = –17}
A representação de um módulo ou valor absoluto de um número real é feito por duas barras paralelas.

Veja o resumo da definição de módulo de um número real abaixo:

|x| = x, se x ≥ 0
-x, se x < 0

Veja alguns exemplos de como calcular módulo ou valor absoluto de números reais.

• |+4| = 4

• |-3| = - (-3) = 3

• |10 – 6 | = |+4| = 4

• |-1 – 3| = |-4| = - (-4) = 4

• |-1| + |5| - |6| = -(-1) + 5 – 6 = 1 + 5 - 6 = 6 – 6 = 0

• - | -8| = -[-(-8)] = - 8

Veja alguns exemplos de como encontrar o módulo de valores desconhecidos.

• |x + 2| nesse caso teremos duas opções, pois não sabemos o valor da incógnita x. Assim, seguimos a definição:
x + 2, se x + 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ -2
- (x + 2), se x + 2 < 0, ou seja, x < -2

• |2x – 10|
2x – 10, se 2x – 10 ≥ 0, ou seja, 2x ≥ 10 → x ≥ 5
-(2x – 10), se 2x – 10 < 0, ou seja, 2x < 10 → x < 5

• |x2 – 9|
x 2 – 9, se x2 – 9 ≥ 0
x 2 – 9 ≥ 0
x 2 ≥ 9
x ≥ 3 ou x ≤ -3

- (x 2 – 9) , se x2 – 9 < 0
x2 – 9 < 0
x2 < 9
-3 < x < 3

Concluímos que o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo.
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Crise do Escravismo

A Dinamarca foi o primeiro país Europeu a abolir o tráfico de escravos em 1792. A Grã-Bretanha veio a seguir, abolindo em 1807 e os Estados Unidos em 1808.
O Brasil foi o último país da América Latina a abolir a escravidão.
A Dependência da Inglaterra
Desde que D. João fugiu de Portugal para o Brasil, com a proteção da esquadra inglesa, seu governo ficou dependente da Inglaterra. Os comerciantes ingleses tinham tantas vantagens que se tornaram um grupo influente e poderoso com relação ao governo português.
Como o Brasil passava por problemas econômicos, começou a se preocupar em diminuir às importações e produzir aqui diversos produtos. Ora, isso não interessava à Inglaterra, que estava em plena Revolução Industrial. Além disso, as colônias inglesas produziam açúcar e no Brasil a produção do açúcar era grande e movida pela mão-de-obra escrava , e fazia concorrência ao açúcar inglês . Essa situação não agradava a Inglaterra que mantinha Portugal e conseqüentemente o Brasil sob seu comando, por causa de diversos tratados políticos .
Interesses Ingleses
A decisão da Inglaterra de lutar contra o tráfico de escravos foi mais por causa dos interesses econômicos do que por motivos humanitários.
Para os ingleses, se houvessem poucos escravos no Brasil haveria menor produção de açúcar e se, os trabalhadores recebessem pelo seu trabalho, mais pessoas teriam dinheiro para comprar as mercadorias produzidas pelas fábricas inglesas.
A Luta Contra o Tráfico
No Congresso de Viena em 1814, a Inglaterra influenciou os outros países a adotarem a política de abolir o tráfico de escravos. Assim, foram passadas leis e na Europa, fizeram tratados proibindo o tráfico.
O Tratado de Ashburton em 1842, entre Inglaterra e Estados Unidos, propunha que, cada um desses países mantivessem uma esquadra nas costas da África, para reforçar a proibição do tráfico.
Nos primeiros anos do século 19, a Inglaterra resolveu interferir de vez nos assuntos de Portugal e do Brasil. Em 1810, D. João teve que concordar com um tratado para cooperar com o fim do comércio de escravos, considerando que o tráfico era ilegal. À princípio, apenas acima da Linha do Equador, depois a Inglaterra exigiu que fosse proibida a entrada de escravos no Brasil.
A concordância de D. João, deu à Inglaterra justificativa para sua primeira campanha naval contra os navios negreiros (tumbeiros) portugueses. Esse patrulhamento fez com que o contrabando de escravos aumentasse. Os escravos eram desembarcados no Brasil, em lugares escondidos e vendidos no desembarque.
Com a Independência do Brasil, em 1822, a “proteção” inglesa se transferiu de Portugal para o Brasil. A Inglaterra avisou que só reconheceria a independência do Brasil se o tráfico negreiro fosse extinto. Foi assim que surgiram uma série de leis que deram origem à expressão “prá inglês ver”, porque essas leis eram feitas mas, não eram cumpridas.
A sociedade brasileira não aceitava o término da escravidão, porque a estrutura política e econômica do Brasil dependia dos escravos. O café estava se tornando a grande riqueza do país e a lavoura dependia da mão-de-obra escrava.
A Inglaterra então, depois da lei (bill) Aberdeen (que dizia que o tráfico podia ser proibido pela força) usou esse direito e como era, na época a nação mais poderosa, veio para as costas do Brasil com seus navios. Desrespeitando as águas territoriais brasileiras, os navios ingleses afundaram e capturaram navios negreiros. Mesmo assim, a única maneira que os ingleses encontraram para que os brasileiros tomassem uma séria medida anti-tráfico, foi ameaçando de mandar seus navios de guerra para os portos brasileiros.
Assim, em 1850, Eusébio de Queiróz propôs uma lei (Lei Eusébio de Queiróz) que foi aprovada, extinguindo o tráfico negreiro na Brasil.
Diminuição dos Escravos
Com o fim do tráfico de escravos, o problema da mão-de-obra, à princípio foi resolvido, mandando ou vendendo escravos para as regiões onde houvesse uma lavoura lucrativa. Portanto, a região sudeste, onde o café estava em expansão, era o lugar mais interessante. Desse modo, havia um tráfico interno, transferindo os escravos de uma região para outra.
Mas, a população de escravos foi diminuindo naturalmente. Mesmo sabendo que não poderiam trazer outros escravos, os donos continuavam a maltratar aqueles que tinham e a mortalidade era grande, um escravo vivia em média 7 anos. Havia poucos casamentos e quase nenhuma vida familiar, as péssimas condições de higiene favoreciam as doenças e assim poucas crianças sobreviviam.
Em 1887, às vésperas da abolição, no município do Rio de Janeiro só havia 7.488 escravos.
A Sociedade Negra Após a Libertação
Qual seria a reação dos escravos a esse movimento abolicionista?
Na verdade não sabemos, porque todos os relatos da época falam do ponto de vista oficial. É a voz dos políticos, dos grandes proprietários, da parte da sociedade que tinha influência.
Portanto, usando a imaginação, vamos achar que, a grande maioria dos escravos estavam alheios e mudos com relação à toda essa política em torno de sua libertação. Afinal, com raríssimas exceções, eles não sabiam ler nem escrever, e a filosofia da escravidão faziam com que eles não fossem estimulados a pensar e agir, deviam apenas obedecer.
Os escravos mais espertos, que viviam nas cidades com seus proprietários, estavam mais atentos ao que acontecia, porque faziam mandados na rua. Alguns até trabalhavam para seus donos e podiam ficar com algum dinheiro desse trabalho.
Portanto, quando chegou a liberdade os negros não tiveram condições de se igualarem no mercado de trabalho. Eram considerados pessoas inferiores e sem qualificações.
Na América Latina e Caribe, nos lugares onde a população negra era relativamente pequena, eles puderam se misturar à população local. Isso permitiu uma mistura de raças, fazendo com que não houvesse tantas distinções.
No México, Equador, Peru, Bolívia, Chile, Argentina, Paraguai e Uruguai os negros constituíam menos do que 1% da população.
Na América Central, costas da Colômbia, Venezuela, Brasil e Caribe, a concentração de negros ia de 2% em Honduras até 99% no Haiti. Assim com a mistura das raças, como africanos, europeus e nativos, seus descendentes deixaram de ser considerados “negros”.
Prejuízo para os Negros
As elites da América Latina, eram contra a aceitação social da população negra. Os que acreditavam no positivismo de Auguste Comte (filósofo francês) achavam que os africanos estavam muito longe de alcançar a modernidade e os abandonavam.
Aqueles que aderiam ao Darwinismo social, consideravam os africanos, uma sociedade pluralista, como sinal de fraqueza, uma vez que assumiam a superioridade natural da raça branca.
As elites latino americanas do século 19 se recusavam a aceitar o pluralismo cultural porque temiam dividir o poder com a população negra doméstica.
Muitas nações latino americanas adotaram leis proibindo a imigração negra durante o século 19 e em alguns países, como o Chile, essas leis ainda estão em vigor.
Na maioria dos países, a economia não havia crescido o bastante nem se diversificado para admitir trabalhadores negros. A maior parte da população negra, aliás permanece até hoje no último degrau da pirâmide social.
Quando começou a crise do escravismo os governos compensaram, não os ex-escravos mas, sim, os proprietários dos ex-escravos ! A grande massa negra nada possuía nem tinha os requisitos necessários para competir com a onda de imigrantes que estava chegando a América do Sul.
Conclusão
Entre 1870 e 1963 , o Brasil absorveu por volta de 5 milhões de imigrantes europeus. Uma grande parte deles tinha, por trás, responsáveis que pagavam seu transporte e moradia. De modo que, os negros foram sendo cada vez mais marginalizados , empobrecendo e sendo discriminados.
Autoria: Guilherme Viana de Alencar