Sais

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Conceito de Arrhenius

Sais são compostos que provêm ou dos ácidos, pela substituição total ou parcial dos seus hidrogênios ionizáveis por cátions, ou das bases, pela substituição total ou parcial dos grupos OH- pelos ânions dos ácidos. Exemplos:

HI + NaOH → NaI + H2O

H2SO4 + 2NaOH → Na2SO4

Segundo os exemplos, os sais podem ser considerados como produtos de uma reação de neutralização. Será uma neutralização total quando no sal formado não restarem nem grupos OH- nem hidrogênios ácidos (H+). Caso contrário, será parcial.

Os sais provenientes de neutralização total são chamados de sais neutros (normais); os que apresentam grupos básicos (OH-) são chamados de sais básicos (hidroxissais), e os que apresentam hidrogênios ácidos são chamados de sais ácidos (hidrogenossais).

Dissociação de sais

Apesar de ser teoricamente impossível prever a solubilidade em água de sais, a prática exige esse conhecimento. Portanto, é bom saber que:

a) Todos os sais de metais alcalinos e de amônio (NH4+) são solúveis.

b) Todos os sais que contêm ânions NO3-, ClO3-, ClO4- e H3CCOO- são solúveis. São praticamente solúveis o AgC2H3O2, o KClO4 e o NH4ClO4.

c) Todos os sais que contêm ânions Cl-, Br- e o I- são solúveis, exceto os de Ag+, Pb2+ e Hg22+.

d) Todos os sais de SO42- são solúveis, exceto os de Pb2+, Sr2+ e Ba2+. Os sulfatos de Ca2+ e Ag+ são poucos solúveis.

e) Todos os sais que contêm ânions CO32-, PO43-, S2- e SO32- são insolúveis, exceto os de amônio (NH4+) e os de metais alcalinos.

Nomenclatura dos sais

Nome do ânion de nome do cátion.

Vejamos como isso se aplica aos diferentes tipos de sais.

Nomeando sais normais:

NaCl → cloreto de sódio
CaCl2 → cloreto de cálcio
Na2CO3 → carbonato de sódio
KNO2 → nitrito de potássio

O nome de um sal normal guarda correspondência com o nome do ácido que o origina:

Se o nome do ácido termina em ídrico, o do sal termina em eto.
Se a terminação do ácido é oso, a do sal será Ito.
Se a terminação do ácido é iço, a do sal será ato.

Temos, por exemplo, o sal NaCl, que é originado da reação:

HC + NaOH → NaCl + H2O

HC = ácido clorícrico
NaOH = hidróxido de sódio
NaCl = cloreto de sódio

Nomeando hidrogenossais e hidroxissais

O nome desses sais é formado pelo acréscimo dos prefixos numéricos gregos mono, di, tri, tetra, etc., de acordo com o número de hidrogênios ou de hidroxilas da fórmula.

Exemplo:

NaH2PO4 → diidrogenofosfato de sódio

Na2HPO4 → monoidrogenofosfato de sódio

Al(OH)2F → diidroxifluoreto de alumínio

Ca(OH)Cl → hidroxicloreto de cálcio

MgHCO3 → hidrogenocarbonato de magnésio

Nomeando sais hidratados

Indicamos o número de moléculas de água de hidratação com os prefixos numéricos gregos.

Exemplos:

CaCl2 . 2H2O → cloreto de cálcio diidratado

Na2SO4 . 10H2O → sulfato de sódio decaidratado

Nomeando sais mistos

Indicamos os nomes de todos os cátions e ânions da fórmula.

Exemplos:

NaCa(PO)4 → fosfato de sódio e cálcio

KAl(SO4)2 → sulfato de potássio e alumínio

Mg(NH4)(PO4) → fosfato de magnésio e amônio

Múltiplos e divisores de um número

Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero.

O número 10 é múltiplo de 2; pois 10 dividido por 2 é igual a 5 e resta zero.
O número 12 é múltiplo de 3; pois 12 dividido por 3 é igual a 4 e resta zero.
O número 15 também é múltiplo de 3; pois 15 dividido por 3 é igual a 5 e resta zero.
O número 9 não é múltiplo de 2; pois 9 dividido por 2 é igual a 4 e resta 1.
O número 15 não é múltiplo de 4; pois 15 dividido por 4 é igual a 3 e resta 3.

Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5):

M(2) = {0,2,4,6,8,…}.
M(5) = {0,5,10,15,20,…}
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,…} = {0,3,6,9,12,15,18,…} Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.
No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é divisor de 10.
Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente. Vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é, D(20): D(15) = {1,3,5,15}
D(20) = {1,2,4,5,10,20}
Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número. OBSERVAÇÃO: Quando um número é múltiplo de mais de um número, dizemos que o primeiro é um múltiplo comum dos segundos números.Exemplo:

múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,……

múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,….

múltiplos comuns de 2 e 3: 0, 6, 12, 18,….

Agora é com vocês!!!

EXERCÍCIOS:4 - Calcule os múltiplos de 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
5 - Calcule os múltiplos comuns de 3 e 4, 3 e 5, 4 e 5.
6 - Calcule os divisores de 8, 9, 12, 18 e 24.
7 - Qual é o número que é múltiplo de qualquer número?
8 - Qual é o número que é divisor de qualquer número?
9 - O conjunto dos múltiplos de um número é finito ou infinito?
10 - Como devemos proceder para saber se um número é divisor de outro?

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Divisibilidades

28 de abril de 2009

Divisores de um número

Quando um número é múltiplo de outro, este chama-se divisor do primeiro.

Por exemplo:

· 8 é múltiplo de 4, então 4 é divisor de 8

· 6 é múltiplo de 3, então 3 é divisor de 6

· 12 não é múltiplo de 5, então 5 não é divisor de 12

Indicamos divisores por D

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Exercícios

1 – Escreva os divisores dos seguintes números

a) 4

b) 5

c) 7

d) 9

e) 10

f) 18

2 – Qual é o menor e o maior divisor de um número?

fonte: Cruz Junior Florisvaldo

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Editor Mathml

Editor Matemática

Os planetas do Sistema Solar

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Os planetas do Sistema Solar



São oito os planetas clássicos do Sistema Solar. Na ordem de afastamento do Sol, são eles: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.

A partir dos avanços tecnológicos que possibilitaram a observação do céu com instrumentos ópticos como lunetas, telescópios e outros, os astrônomos vêm obtendo informações cada vez mais precisas sobre os planetas e seus satélites. Vamos conhecer um pouco a respeito de cada um desses oito planetas do Sistema Solar.






Mercúrio



É o planeta mais próximo ao Sol e o menor do Sistema Solar. É rochoso, praticamente sem atmosfera, e a sua temperatura varia muito, chegando a mais de 400ºC positivos, no lado voltado para o Sol, e cerca de 180ºC negativos, no lado oposto. Mercúrio não tem satélite. É o planeta que possui um movimento de translação de maior velocidade (o ano mercuriano tem apenas 88 dias). O aspecto da superfície é parecido com o da nossa Lua, toda coberta de crateras, originadas da colisão com corpos celestes.





Vênus



Vênus é conhecido como Estrela-D'Alva ou Estrela da tarde por causa de seu brilho e também porque é visível ao amanhecer e ao anoitecer, conforme a época do ano (mas lembre-se que ela é um planeta e não uma estrela).

É o segundo planeta mais próximo do Sol e o planeta mais próximo da Terra. As perguntas intrigantes que este planeta "gêmeo" da Terra nos coloca começam com o seu movimento de rotação própria. Uma rotação completa sobre si mesmo demora 243.01 dias, o que é um período invulgarmente longo. Além disso, enquanto que a maior parte dos planetas rodam sobre si próprios no mesmo sentido, Vênus é uma das exceções. Tal como Urano e Plutão, a sua rotação é retrógrada, o que significa que em Vênus o Sol nasce a leste e põe-se a oeste.
Vênus é um planeta muito parecido com a Terra, em tamanho, densidade e força da gravidade à superfície, tendo-se chegado a especular sobre se teria condições favoráveis à vida. Além disso, suas estruturas são muito parecidas: um núcleo de ferro, um manto rochoso e uma crosta. Hoje sabemos que, apesar de ter tido origens muito semelhantes à Terra, a sua maior proximidade ao Sol levou a que o planeta desenvolvesse um clima extremamente hostil à vida. De fato, Vênus é o planeta mais quente do sistema solar, sendo mesmo mais quente do que Mercúrio, que está mais próximo do Sol. A sua temperatura média à superfície é de 460ºC devido ao forte efeito de estufa que acontece em grande escala em todo o planeta e não apresenta água.

Terra
É o terceiro planeta mais próximo do Sol. É rochoso e a sua atmosfera é composta de diferentes tipos de gases, e a sua temperatura média é de aproximadamente 15ºC.

A Terra, até o que se sabe, é o único planeta do Sistema Solar que apresenta condições que possibilitam a existência de seres vivos como os conhecemos. Tem um satélite, a Lua.
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Marlim-branco

O marlim-branco (Tetrapturus albidus) é um peixe marinho, teleósteo, pelágico, pertencente à família Istiophoridae, habitante das águas do Atlântico.
Marlim-branco
Marlim-branco
Classificação científica
Reino: Animalia
Filo: Chordata
Classe: Actinopterygii
Ordem: Perciformes
Família: Istiophoridae
Gênero: Tetrapturus
Espécie: Tetrapturus albidus

Esse peixe pode chegar a medir 2,8 metros de comprimento e a pesar 60 kg, entretanto, comumente, seus exemplares pesam em torno de 30 kg. Possuem corpo fusiforme, que vai afilando gradativamente até o pedúnculo caudal, comprido e apresentam linha lateral bem evidente. Apresentam uma série de poros (correspondem a uma série de escamas) nos flancos que acabam em terminações nervosas, que originam um órgão sensitivo de função ainda não bem elucidado.

A maxila superior prolonga-se no formato de uma lâmina de espada, com bordas constantes. A boca terminal é grande e ampla, apresentando pequenos dentes. O maxilar superior é bem alongado e possui seção cilíndrica, sendo essa uma característica marcante dos marlins e dos sailfish.

O pedúnculo caudal do marlim-branco é estreito apresentando duas quilhas de cada lado, anteriormente à base de inserção de sua poderosa nadadeira caudal. A nadadeira dorsal é longa, com os primeiros dez raios mais altos, e comprimento superior à altura do corpo; os outros raios possuem altura reduzida. Essa é uma das características utilizadas para diferenciá-lo do marlim-azul. As nadadeiras abdominais são diferenciadas, com formato alongado e delgado, encaixando-se em uma depressão presente na região abdominal.

No geral, a cor desse peixe é preto-azulada no dorso e branco-prateada no ventre. As nadadeiras são escuras em tons de azul-marinho, a primeira dorsal apresenta manchas escuras arredondadas.

Esta espécie habita águas afastadas da costa, geralmente a centenas de quilômetros, onde a profundidade da água ultrapassa 200 metros. Costumam nadar em locais de encontro das águas das correntes marítimas com as da plataforma continental. No Brasil, podem ser observados nas águas quentes (26 a 27°C) do Atlântico oeste, mas, ás vezes, aventuram-se em águas mais frias. Possuem hábitos solitários, mas na época de reprodução são observados aos pares.

Embora vivam em águas mais profundas, costumam subir até a superfície para se alimentarem, já que são carnívoros, ingerindo, basicamente, lulas e peixes, como os atuns, bonitos, cavalas, dourados e peixes voadores.

Uma curiosidade apresentada por essa espécie, é que possuem a capacidade de mudar a cor de suas nadadeiras peitorais para azul-néon momentos antes de abocanhar uma presa.

Fontes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Marlim-branco
http://www.pesca.tur.br/peixes/agua-salgada/marlim-branco/
http://revistapescaecompanhia.uol.com.br/peixes-do-brasil/agua-salgada.aspx?c=296
http://www.guialitoralsul.com.br/marlim-branco/
http://peska.com.br/novopeska/index.php?task=view&id=123

Baleia Cachalote

A baleia cachalote (Physeter macrocephalus) na verdade é o maior dos golfinhos. Isto se deve ao fato que este animal pertence a ordem dos cetáceos e segundo sua sistemática de classificação pertence a subordem dos Odontocetos, aqueles animais que possuem dentes e apenas um orifício respiratório. O nome de Baleia antes de Cachalote é usado popularmente devido ao tamanho que este animal pode alcançar quando em fase adulta.
Cachalote
Cachalote
Classificação científica
Reino: Animalia
Filo: Chordata
Classe: Mammalia
Ordem: Cetacea
Subordem: Odontoceti
Família: Physeteridae
Gênero: Physeter
Espécie: Physeter macrocephalus

No idioma inglês este animal é conhecido pelo nome de sperm whale, sendo um mamífero marinho que é muito distinto de seus parentes cetáceos devido ao fato de que sua evolução é muito interessante e contraditória, mas todos os pesquisadores que estudam este animal concordam que ele é um cetáceo.

Estudos moleculares na década de 90 revelaram que a Cachalote, em sua história evolutiva estaria mais relacionada com a subordem dos Misticetos, que engloba as baleias verdadeiras (Baleia Jubarte, Baleia Franca, Baleia Azul) do que com os Odontocetos (Golfinho flipper, Golfinho rotador, Toninha). No entanto, outros estudos realizados posteriormente através de pesquisas moleculares e morfológicas, apresentram argumentos fortes de que a Cachalote realmente seria parte da subordem dos Odontocetos.

Se analisarmos a árvore filogenética dos Misticetos e Odontocetos, as Cachalotes seguiram seu próprio caminho evolutivo. As Cachalotes são pertencentes a família Physeteridae, sendo que os animais desta família sofreram uma diversificação a cerca de 15 milhões de anos atrás, mas apenas 3 espécies vivem atualmente: Baleia Cachalote, Cachalote pigmeu (Kogia breviceps) e cachalote anão (Kogia simus) na qual possuem tamanhos pequenos quando comparados a Cachalote, cerca de 2 a 4 metros.

O comprimento total das Cachalotes é de cerca de 16 a 18 metros para os indivíduos machos, podendo apresentar peso corporal de 45.000 kg a 57.000 kg. As fêmeas desta espécie possuem tamanho inferior aos dos machos podendo alcançar cerca de 11 metros e pesar cerca de 15.000kg.

Uma das características marcantes desta espécie, é que ela apresenta uma cabeça muito evidente, grande, que representa cerca de 30% a 40% do seu comprimento total. É na cabeça que vamos encontrar o espermacete (melão), que na verdade seria uma gordura modificada que ajuda na ecolocalização de presas, uma vez que este animal se alimenta em grandes profundidades onde a visibilidade não é possível devido a falta de luz. Por ter o espermacete muito grande recebeu o nome em inglês de Sperm Whale.

Este animal quando está na superfície pode ser localizado e identificado pelo jato de água que sai de seu orifício respiratório, que é voltado para a parte frontal, podendo ser visto a grandes distâncias e quando realizada a respiração também pode ser escutado a alguns metros.

A Cachalote é amplamente distribuída nos oceanos, podendo ser encontrada em quase todo o globo. São encontradas preferencialmente em regiões oceânicas onde a profundidade é grande, porém em certos locais onde a quebra da plataforma é muito próxima do continente, são avistadas próximas da região costeira.

Foto: Franco Banfi (http://www.mnh.si.edu/exhibits/ocean views/gallery/sperm_whale.html)

Estudos sobre a biologia e ecologia deste animais mostram que os mesmos podem mergulhar a profundidades maiores que 1000 metros, passando mais de 70% de seu tempo em atividades de obtenção de alimento. Se alimentam principalmente de lulas de profundidade, que diferentemente das lulas de ambiente costeiros, possuem tamanhos muito significativos. A alimentação de peixes pode ocorrer ocasionalmente.

O estágio reprodutivo para este animal ocorre entre a idade de e 7 a 13 anos, sendo que o período de gestação é mais longo que o de outros odontocetos, podendo durar cerca de 14 meses a 16 meses e a fêmea alimenta seu filhote por cerca de 1 a 2 anos.

O turismo de observação ocorre ao redor do mundo, sendo que em alguns países o turismo de observação de cachalotes são mais evidentes, como no caso de Kaikoura na Nova Zelândia, onde este turismo é conciliado com pesquisas e turismo de observação e parte do dinheiro é revestido a pesquisa.

Referências:
Boris Culik (2010) Odontocetes. The toothed whales: “Physeter macrocephalus“. UNEP/CMS Secretariat, Bonn, Germany. http://www.cms.int/reports/small_cetaceans/index.htm

Whitehead, H. (2003). Sperm whale, Social Evolution in the Ocean. The University of Chigado Press. pp. 417

http://www.delphismdc.org
http://www.shuntington.k12.ny.us/schools/middle/SW2/Team4/Hill/sciprojects.htm

Sistema Solar

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Outros astros do Sistema Solar



Satélites

Até 1610 o único satélite conhecido era o da Terra - a Lua. Naquela ocasião, Galileu Galilei (1564-1642), com a sua luneta, descobriu satélites na órbita do planeta Júpiter. Hoje se sabe da existência de dezenas de satélites.

Na Astronomia, satélite natural é um corpo celeste que se movimenta ao redor de um planeta graças a força gravitacional. Por exemplo, a força gravitacional da Terra mantém a Lua girando em torno do nosso planeta.

Os satélites artificiais são objetos construídos pelos seres humanos. O primeiro satélite artificial foi lançado no espaço em 1957. Atualmente há vários satélites artificiais ao redor da Terra.

O termo "lua" pode ser usado como sinônimo de satélite natural dos diferentes planetas.





Cometas



Cometa Halley

Um cometa é o corpo menor do sistema solar, semelhante a um asteróide, possui uma parte sólida, o núcleo, composto por rochas, gelo e poeira e têm dimensões variadas (podendo ter alguns quilômetros de diâmetro). Geralmente estão distantes do Sol e, nesse caso, não são visíveis. Eles podem se tornar visíveis à medida que, na sua longa trajetória, se aproximam do Sol sublimando o gelo do núcleo e liberando gás e poeira para formar a cauda e a "cabeleira" em volta do núcleo. O mais conhecido dele é o Halley, que regularmente passa pelo nosso Sistema Solar. De 76 em 76 anos, em média, ele é visível da Terra. Ele passou pela região do Sistema Solar próxima do nosso planeta, em 1986, o que possibilitou a sua visibilidade, portanto, o Halley deverá estar de volta em 2062.

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Pulgas Características, ciclo de vida e ameaças à saúde

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Pulga da família Vermipsyllidae, que é parasita do gato
As pulgas estão entre os insetos que mais causam problemas ao ser humano e a outros animais - inclusive outros insetos, acredite. Elas pertencem à ordem Siphonaptera. O nome vem do grego Siphon - sifão, e apteros - sem asas.

Certo, pulgas não têm asas. Mas são capazes de pular cerca de 300 vezes a sua altura - as campeãs de salto na natureza.

Espécies de pulga no Brasil
Existem três mil espécies de pulgas no mundo - segundo o levantamento realizado pelo programa Biota, da Fapesp. De acordo com o mesmo estudo, 59 espécies são encontradas no Brasil - 36 delas só no estado de São Paulo.

As pulgas são prejudiciais à saúde por dois motivos: são ectoparasitas e vetores biológicos de protozoários e vermes. Ectoparasitas são aqueles que não entram dentro do corpo do hospedeiro.

Ciclo de vida da pulga
As pulgas têm quatro estágios de vida: ovo, larva, pupa e adulto. O tempo de cada fase de vida dos sifonápteros varia de acordo com a espécie.

* Fases 1 e 2: Os ovos eclodem, depois de alguns dias que são postos, e deles saem as larvas vermiformes. No caso das pulgas que atacam cães e gatos, as larvas escondem-se em frestas e nos carpetes e estofados.

* Fase 3: Dentro de uma semana, as larvas tornam-se adultas e passam ao estágio de pupa, o casulo formado pela larva.

* Fase 4: Quando percebe a presença de um hospedeiro, a pulga adulta sai de seu casulo. Nessa fase esses insetos se tornam ectoparasitas hematófagos: sugam o sangue de seus hospedeiros - e geram ovos em profusão.



Uma pulex irritans, a pulga comum ou "pulga do homem", começa a pôr ovos 48 horas depois de sugar sangue. E coloca de 20 a 22 ovos por dia. Nos seus 110 dias de vida, ela pode colocar até dois mil ovos.

Pulgas prefrem mamíferos
Existem 18 famílias de pulgas, e cada uma delas têm preferência por um grupo animal. A família Ceratophyllidae abriga as que parasitam os roedores, e a Hystrichopsyllidae agrupa as pulgas de insetos - isso mesmo: insetos que parasitam outros.

Os morcegos são hospedeiros da família Ischnopsyllidae, enquanto pássaros, marsupiais, cães, gatos e o ser humano são parasitados pelas famílias Leptopsyllidae, Rhopalopsyllidae, Vermipsyllidae, e Pulicidae, respectivamente.

As pulgas adoram o sangue dos mamíferos. O estudo realizado pelo Biota Fapesp, esclarece que 94% dos hospedeiros desses ectoparasitas são da classe Mammalia e desses, 74% são roedores. As aves são as menos apreciadas pelas pulgas: apenas 6% delas são hospedeiras desses insetos.

Ameaça à saúde
Todas as regras têm exceções, principalmente na biologia. A família Pulicidae possui gêneros que parasitam os ratos e o ser humano. O rato abriga a espécie Xenopsylla cheopis que é vetora da bactéria Yersinia pestis, causadora da peste bubônica.

Essa pulga, quando infectada, regurgita enquanto suga o sangue do hospedeiro, pois a Yersinia pestis obstrui seu aparelho digestório. Isso faz essa pulga ficar constantemente faminta, mordendo até mesmo o ser humano - e assim ela dissemina o bacilo da peste.

A Xenopsylla cheopis também é transmissora da bactéria Rickettsia typhi, causadora do tifo endêmico. Em cães e gatos, as pulgas do gênero Ctenocephalides transmitem o verme Dipylidium ssp, responsável pela teníase canina e felina, a verminose conhecida como dipilidíase.

Bicho-do-pé
A tungíase, conhecida como "pulga-da-areia", "bicho-do-pé", "pulga-de-bicho" ou "bicho-do-porco", é provocada pela Tunga penetrans. É a menor espécie de pulga que se tem notícia, com um milímetro de comprimento. Esse ectoparasita ataca humanos e suínos.

Muitas pessoas já tiveram a dolorosa experiência de precisar tirar o "bicho-do-pé", depois de passar as férias no litoral. Apesar de ser um problema passageiro para a maior parte das pessoas, em comunidades pobres, a Tunga penetrans é endêmica e uma grave questão de saúde pública.

Superinfecção
O ciclo de vida da Tunga não dura mais de 15 dias. Por isso, a tungíase é negligenciada. Nos casos em que a pessoa sofre sucessivas infecções causadas por essa pulga, pode chegar a ter até 200 desses insetos sob a epiderme, a camada externa da pele.

Isso causa lesões sérias. As feridas abertas servem como um portal para diversos microorganismos causadores de doenças. À infecção bacteriana dos ferimentos pode seguir-se de tétano e gangrena.

Reações alérgicas
Tanto seres humanos como cães e gatos podem apresentar reações alérgicas ao serem picados por pulgas. Esse é um grande desconforto, pois a região mordida apresenta forte prurido. O ato de coçar-se aumenta a ferida, que pode infeccionar. Há casos de cães e gatos em que a pelagem dá lugar a lesões sérias.

Prevenção
Em ambiente doméstico, em especial quando se possui animais de estimação, deve-se manter a higiene. Além desse cuidado, recomenda-se a dedetização periódica do ambiente, sempre com orientação profissional.

É importante lembrar que todos os produtos antipulgas podem intoxicar animais de estimação e crianças se não forem utilizados segundo as recomendações do fabricante.

Também é recomendável procurar orientação veterinária, para que o combate às pulgas seja eficaz e não prejudique outros seres que vivam no mesmo ambiente.
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Expressão Numérica de números naturais

Números Diretamente Proporcionais

Os números de uma sequência numérica serão diretamente proporcionais aos números de outra sequência se a razão entre eles de forma respectiva possuir o mesmo resultado. Por exemplo, vamos verificar se os números da sequência (2, 3, 5) são diretamente proporcionais aos números da sequência (10, 15, 25). Veja:

Observe que as razões possuem o mesmo valor. Dessa forma, dizemos que os números das sequências são diretamente proporcionais.

Em algumas situações, os cálculos são realizados no intuito de determinar valores desconhecidos das sequências numéricas, a fim de tornar os números diretamente proporcionais. Observe os exemplos:

Exemplo 1

Vamos calcular o valor de a e b nas sequências (a, 8, 10) e (24, 32, b), considerando que os números sejam diretamente proporcionais.

Exemplo 2

Determine o valor de x e y nas sequências (15, x, 42) e (90, 180, y) de modo que eles sejam diretamente proporcionais.

Os cálculos apresentados são de grande utilidade na divisão diretamente proporcional. Veja:

João quer dividir 60 balas de doce entre três crianças, de forma que a distribuição seja realizada de forma diretamente proporcional às suas idades que são 2, 3 e 5 anos.

De acordo com as idades 2, 3 e 5 elas receberão 12, 18 e 30 balas, respectivamente.
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Daltonismo

Daltonismo é um distúrbio que atinge a percepção visual do indivíduo, provocando a incapacidade de distinguir cores, principalmente entre o verde e o vermelho. O daltonismo geralmente é de origem genética, contudo também pode ser resultado de lesões nos órgãos responsáveis pela visão.

O distúrbio foi estudado pela primeira vez pelo químico John Dalton, próprio portador da anomalia, no século XVIII. O problema ocorre em função de anomalias no cromossomo X, resultado da ausência de alguns tipos de cones e pigmentos nos fotoreceptores e na perda da capacidade de diferenciação da informação luminosa da cor.

Uma pessoa daltônica pode comprovar seu problema através do teste de cores de Ishihara. Esse método consiste na exibição de vários cartões pontilhados em uma cor. Coloca-se uma figura ou algarismo no centro do diagrama com tonalidades de cores ligeiramente diferentes da maioria do diagrama. Assim, os daltônicos não conseguem fazer a diferenciação entre a cor do algarismo e a do restante do diagrama.

O daltonismo é mais comum em homens (5%) do que mulheres (0,25%), pois os homens precisam de apenas um alelo para serem daltônicos, já as mulheres necessitam de dois.
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Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p
Simples
Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Com repetição
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Condicional
Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.
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Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Simples
São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Com repetição
Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2). C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Circulares
Ocorre quando obtemos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m) = (m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
o que significa existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Extraido do colaweb

Critério de Divisibilidade

Critérios de divisibilidade

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.


Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.


Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).


Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.


Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.


Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.


Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.


Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).


Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).


Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Antonio Carlos Carneiro Barroso
Extraido do somatematica