Equação de 2º grau

As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0 se enquadram na condição de equações do 2º grau, sendo possível a sua resolução através do Teorema de Bháskara. A utilização desse teorema requer conhecimento dos valores dos coeficientes a, b e c, por exemplo, na equação 2x² + 4x – 12 = 0 os coeficientes são: a = 2, b = 4 e c = –12.

Uma equação do 2º grau pode ter no máximo duas raízes (soluções) reais, a condição de existência das raízes dependerá do valor do discriminante (∆). De acordo com o seu valor podemos ter as seguintes situações:

∆ < 0, não possui raízes reais. ∆ = 0, possui uma única raiz real. ∆ > 0, possui duas raízes reais e distintas.

As equações do 2º grau poderão ser resolvidas utilizando a seguinte fórmula:



Resolução de uma equação do 2º grau

Exemplo 1

Dada a equação x² + 3x – 10 = 0, determine suas raízes, se existirem.

a = 1, b = 3 e c = –10

∆ = b² – 4ac
∆ = 3² – 4 * 1 * (–10)
∆= 9 + 40
∆ = 49

As raízes da equação são x’ = 2 e x” = – 5


Exemplo 2

Determine as soluções reais da seguinte equação: 2x² + 12x + 18 = 0

a = 2, b = 12 e c = –18

∆ = b² – 4ac
∆ = 12² – 4 * 2 * 18
∆= 144 – 144
∆ = 0


extraido de www.mundoeducacao.com.br
A equação possui apenas uma raiz real, x’ = x” = 3.


Exemplo 3

Resolva a seguinte equação: 4y² + 6y + 50 = 0

a = 4, b = 6 e c = 50

∆ = b² – 4ac
∆ = 6² – 4 * 4 * 50
∆= 36 – 800
∆ = – 764

Não possui raízes reais ou soluções reais, pois o valor do discriminante é menor que zero.

Divisão de Números Racionais aula 3

Geométria Plana área das figuras aula 4

Relaçoes Métricas e trigonométricas no triângulo qualquer aula 2

Combinação Simples

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Os agrupamentos de elementos que possuem a característica de diferenciação somente pela espécie são denominados combinações. Na situação envolvendo os números 1, 2, 3, 4 e 5 temos alguns agrupamentos que se caracterizam pela seguinte situação:

2 * 3 * 4 = 4 * 2 * 3

Observe que os números formados são diferentes, mas o produto entre eles possui o mesmo valor. Dessa forma, partindo da ideia da multiplicação dos numerais formadores do algarismo, temos um caso de combinação, pois se diferenciam somente pela espécie e não pela ordem dos elementos. As combinações de n elementos tomados p a p são determinadas pela expressão matemática:

Onde ! (fatorial) indica fatorial de um número, dado pela multiplicação entre os antecessores do número em questão com ausência do zero. Veja:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362.880

Exemplo 1

Quantas equipes de 6 jogadores podemos formar com o total de 12 atletas?

Poderão ser formadas 924 equipes diferentes.


Exemplo 2

Em uma modalidade de truco, todas as 52 cartas são utilizadas. Considerando que cada jogador recebe 3 cartas, determine o número de possibilidades de cartas que um jogador pode receber.

Observe que temos uma combinação, pois as cartas são diferentes entre si pela espécie e não pela ordem.

Cada jogador poderá receber suas cartas de 22.100 maneiras distintas.


Exemplo 3

Em uma avaliação composta de 8 questões, um estudante pode optar em responder apenas 5. Quantas são as possibilidades de escolha do estudante?

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Reino dos Animais: Os invertebrados

Reino dos Animais: Os invertebrados

Os animais compõem um reino com mais de um milhão de espécies. No entanto, fósseis encontrados revelam que uma quantidade muito maior de espécies animais já viveu na Terra, mas hoje estão extintas.

Nós, os seres vivos, somos muitos e temos as mais variadas formas e tamanhos - desde corpos microscópicos, como o ácaro, até corpos gigantescos como o da baleia-azul. Alguns com forma, organização e funcionamento do corpo simples, como uma esponja-do-mar; outros, com a estrutura complexa de um mamífero.
Apesar da grande diversidade, quase todos os animais apresentam uma característica em comum: são formados por milhares de células de diversos tipos. Outro aspecto comum aos seres do reino Animal é que obtêm o seu alimento a partir de outros seres vivos.

Os animais habitam quase todos os ambientes conhecidos do nosso planeta, podendo ser encontrados tanto em grandes altitudes nas montanhas quanto em profundas fossas marinhas.

A maioria das espécies é capaz de se locomover, isto é, mover o corpo de um lugar para o outro. No entanto, há espécies que vivem fixas, ou seja, sésseis, no ambiente, como as esponjas-do-mar.



O que é vertebrado e invertebrado?

Os animais são estudados pela zoologia - campo da ciência cujo nome origina-se da língua grega: zoo significa "animal", e logia, "estudo".

Para facilitar o estudo, é importante classificar os animais. Uma das formas de fazer essa classificação é dividi-los em dois grandes grupos: vertebrados e invertebrados.

No grupo dos vertebrados estão os animais que, como os seres humanos, possuem coluna vertebral. Já o grupo dos invertebrados é formado por aqueles que não possuem coluna vertebral.

A coluna vertebral é um tipo de eixo esquelético formado por peças articuladas entre si - as vértebras-, que podem ser ósseas ou cartilaginosas. As articulações permitem a flexibilidade do esqueleto interno, facilitando a movimentação.


Poríferos

Os poríferos, também conhecidos como espongiários ou simplesmente esponjas, surgiram provavelmente há cerca de 1 bilhão de anos. Supõe-se que eles sejam originados de seres unicelulares e heterótrofos que se agrupam em colônias.

Veja o texto:

Talvez ao tomar banho, você goste de se ensaboar usando uma esponja sintética, feita de plástico ou de borracha, ou uma bucha vegetal.



Bucha vegetal



Mas você já pensou em tomar banho ensaboando-se com o esqueleto de algum animal?

Antes da invenção das esponjas sintéticas, as esponjas naturais eram muito usadas pelas pessoas para tomar banho e na limpeza doméstica, para esfregar panelas e copos, por exemplo. A esponja natural é o esqueleto macio de certas espécies de animais do grupo dos poríferos; esses esqueletos são feitos de um emaranhado de delicadas fibras de uma proteína chamada espongina.

Esses animais não possuem tecidos bem definidos e não apresentam órgãos e nem sistemas. São exclusivamente aquáticos, predominantemente marinhos, mas existem algumas espécies que vivem em água doce.

Os poríferos vivem fixos a rochas ou a estruturas submersas, como conchas, onde podem formar colônias de coloração variadas. Podem ses encontrados desde as regiões mais rasas das praias até profundidades de aproximadamente 6 mil metros. Alimentam-se de restos orgânicos ou de microorganismos que capturam filtrando a água que penetra em seu corpo, como veremos adiante. Por sua vez, servem de alimento para algumas espécies de animais, como certos moluscos, ouriços-do-mar, estrelas-do-mar, peixes e tartarugas.



Organização do corpo dos poríferos

O corpo de um porífero possui células que apresentam uma certa divisão de trabalho. Algumas dessas células são organizadas de tal maneira que formam pequenos orifícios, denominados poros, em todo o corpo do animal. É por isso que esses seres recebem o nome de poríferos (do latim porus: 'poro'; ferre: 'portador').

Observe no esquema abaixo que a água penetra no corpo do animal através dos vários poros existentes em seu corpo. Ela alcança então uma cavidade central denominada átrio. Observe também que a parede do corpo é revestida externamente por células achatadas que formam a epiderme. Já internamente, a parede do corpo é revestida por células denominadas coanócitos.



Cada coanócito possui um longo flagelo. O batimento dos flagelos promove um contínuo fluxo de água do ambiente para o átrio do animal. A essa água estão misturados restos orgânicos e microorganismos, que são capturados e digeridos pelos coanócitos. O material digerido é então distribuído para as demais células do animal. Como a digestão ocorre no interior de células, diz-se que os poríferos apresentam digestão intracelular.

Os poríferos são animais filtradores, já que filtram a água que penetra em seu corpo, retirando dela alimento e gás oxigênio. Depois disso, a água com resíduos do metabolismo desses animais é eliminada para o ambiente por meio de uma abertura denominada ósculo.

O esqueleto das esponjas é formado por diversos tipos de substâncias. Entre elas destacam-se as espícolas de calcário ou de sílica, com formas variadas, e uma rede de proteína chamada espongina.



Em certas esponjas, o esqueleto não possui espículas, mas tem a rede de espongina bastante desenvolvida. As esponjas desse tipo é que foram muito utilizadas no passado para banho e limpeza doméstica como no texto acima.


Espículas que sustentam o corpo dos poríferos.


Espícula em detalhe - Microscopia eletrônica
Muitas espécies de poríferos, que ficam totalmente expostos aos predadores, apresentam mecanismos de defesa contra a predação excessiva. O principal mecanismo é de natureza química, e ocorre deste modo: algumas esponjas produzem uma substância tóxica e outras produzem substâncias com atividade anti-microbiana.


No fundo do mar, corais, cnidários e poríferos entre outros competem pelos espaços em substratos sólidos, como as rochas.



Além de atuar como defesa contra predadores e infecções microbianas, essas substâncias tóxicas expelidas pelas esponjas, são vantajosas na competição por espaço que os poríferos travam com outros invertebrados, como os corais, e até mesmo com outras esponjas. Isso permite a algumas esponjas cresçam rapidamente.

Também são muito comuns relações de comensalismo. A estrutura do corpo das esponjas e as suas defesas contra predadores tornam esses animais excelentes refúgios para invertebrados menores e até mesmo para alguns peixes. Várias espécies dependem dessa proteção na sua fase jovem, do contrário suas populações não ficariam estáveis.



Outras associações comuns são aquelas envolvendo esponjas, bactérias e cianobactérias. Provavelmente, o organismo das esponjas constitui um meio rico para o crescimento das bactérias e, ao mesmo tempo, se beneficia de um estoque de bactérias usadas na sua nutrição.



A reprodução dos poríferos



A reprodução dos poríferos pode ser assexuada ou sexuada.

Assexuada - Ocorre, por exemplo, por brotamento. Neste caso, formam-se brotos, que podem se separar do corpo do animal e dar origem a novas esponjas. Observe o esquema abaixo.

As esponjas apresentam ainda grande capacidade de regeneração. Se uma esponja for partida em pedaços, cada pedaço poderá dar origem a uma nova esponja.



Sexuada. Neste caso, quando os espermatozóides (gametas masculinos) estão maduros, eles saem pelo ósculo, junto com a corrente de água, e penetram em outra esponja, onde um deles fecunda um óvulo (gameta feminino). Após a fecundação, que é interna, forma-se uma célula ovo ou zigoto, que se desenvolve e forma uma larva. A larva sai do corpo da esponja, nada com a ajuda de cílios e se fixa, por exemplo, numa rocha, onde se desenvolve até originar uma nova esponja.

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Harpia Ave de rapina sul-americana está ameaçada de extinção

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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A Harpia harpyja é uma imponente ave de rapina da América do Sul
Na mitologia grega, as harpias, criaturas com o corpo de ave e cabeça de mulher, eram as mensageiras dos deuses. Elas desciam à Terra para castigar os mortais que tivessem cometido crimes graves.

Na natureza, a Harpia harpyja é a imponente ave de rapina da América do Sul. É uma das mais raras espécies de aves da fauna latino-americana.

Para os povos indígenas da região amazônica, a harpia é a "mãe de todos os pássaros", reverenciada como o espírito mais intrépido das florestas.

Bico e garras da harpia
Todas as aves da família Accipitridae, à qual as harpias pertencem, têm o bico robusto e desenhado para rasgar a carne de suas presas. O das harpias é o mais forte de todos. Suas garras podem medir até 7 cm - e são maiores que as de um urso pardo norte-americano.

Com essas garras, aliadas à sua força, essa ave é capaz de arrancar um bicho-preguiça, o Bradypus tridactylus de uma árvore, sem interromper seu vôo - segundo o ornitólogo e agrônomo Paulo Boute.

O que a harpia come?
Ela se alimenta de serpentes e de mamíferos de médio e pequeno porte, como filhotes de veado, tatus, cotias e macacos, como o bugio - Alouatta guariba.

Ao redor do pescoço, as harpias têm um colar de penas negras e suas cabeças são adornadas com um cocar cinza, do qual surgem dois conjuntos de penas maiores, que lembram chifres. O cinza das rêmiges e rectrizes, penas das asas e da cauda, respectivamente, contrasta com as penas brancas que recobrem o peito desse animal.

Um casal para toda a vida
Os casais de harpias ficam juntos durante toda a vida e seu período de reprodução vai de setembro a novembro. Geralmente, quando a fêmea sai para caçar, o macho vigia o ninho.

A fêmea de Harpia harpyja pode medir até 90 cm de altura, 2 m de envergadura de asa, e pesar mais de 9 kg, se a ave for fêmea.

Os machos são um pouco menores, com 60 cm de altura e 7,5 kg. As fêmeas são maiores para que possam levar o alimento até seu filhote, bem como para defendê-lo.

Um filhote a cada dois anos
As harpias produzem até dois ovos, a cada dois anos. Porém, apenas um filhote sobrevive. O período de incubação dura 56 dias. As fêmeas constroem seus ninhos com pequenos galhos e forram-no com as penas de seu corpo, para que o filhote se mantenha aquecido e não gaste energia. Elas usam sempre o mesmo ninho para dar cria e, quando necessário, elas o reformam.

Nove meses após o nascimento, o filhote treina seus primeiros vôos. Mas só depois de quatro anos adquire sua plumagem definitiva para, aos cinco anos, ficar independente. Durante os primeiros anos de vida, a mãe encarrega-se de alimentar sua cria. Depois, o filhote aprende as técnicas de caça ao observar a mãe em ação.

Harpias ameaçadas de extinção
O habitatda harpia estendia-se do sul do Brasil até o Estado de Chiapras, no México. Atualmente, há registros de apenas alguns exemplares de na Amazônia. Harpias estão ameaçadas de extinção e seu único predador é o ser humano.

Contribuem para isso a devastação das florestas, além da lenda sobre harpias roubarem e matarem bebês. Essa crença infundada serve para justificar sua caça indiscriminada. Outro problema é que por ser uma espécie em extinção, sua presença atrai observadores de todo o mundo, o que estressa e prejudica esses animais.

Além disso, quanto mais rara uma espécie se torna, mais alto é o seu valor comercial, e aumenta a caça ilegal - o que colabora para o extermínio de espécies como a da Harpia harpyja.
*Mariana Aprile é estudante de biologia na Universidade Presbiteriana Mackenzie e aluna de Iniciação Científica do Mackpesquisa (PIVICK)

Multiplicação de Números Inteiros aula 3

Introdução à Geometria Analítica

Para começar o estudo da geometria analítica, é necessário conhecer o Plano Cartesiano:

O Eixo Y (linha vertical) é chamado de eixo das ordenadas, enquanto que o Eixo X (linha horizontal), é chamado de eixo das abscissas.
O ponto P (ponto vermelho da figura) possui duas coordenadas: X e Y , que indicam em que lugar dos eixos das ordenadas e abscissas ele se encontra. Representa-se isso por (Xp, Yp).

Os números romanos nos cantos mostram os quadrantes do plano cartesiano. Os pontos do eixo X que estão nos quadrantes II e III são negativos, enquanto que em I e IV são positivos. Os valores de Y nos quadrantes I e II são positivos, e nos restantes (III e IV), esses valores são negativos.

Bissetrizes
As bissetrizes são retas que cortam exatamente o centro do plano cartesiano ( ponto (0, 0) ), e formam um ângulo de 45º com os eixos X e Y. As coordenadas dos pontos que estão sobre a bissetriz que se encontra nos quadrantes pares são sempre opostos (se X for positivo, Y será negativo, e vice-versa).

Já os pontos sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares, terão os valores de X e Y iguais. Veja no desenho abaixo:

Distância entre dois pontos

Se soubermos as coordenadas de dois pontos no plano cartesiano (ponto A e B), é possível determinar a sua distância, utilizando o teorema de Pitágoras (a² = b² + c²)

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Teorema das bissetrizes interna e externa dos triângulos aula 1

Adição e subtração de números racionais aula 1

Sistema Muscular

Os músculos são órgãos constituídos principalmente por tecido muscular, especializado em contrair e realizar movimentos, geralmente em resposta a um estímulo nervoso.

Os músculos podem ser formados por três tipos básicos de tecido muscular:

Tecido Muscular Estriado Esquelético

Apresenta, sob observação microscópica, faixas alternadas transversais, claras e escuras. Essa estriação resulta do arranjo regular de microfilamentos formados pelas proteínas actina e miosina, responsáveis pela contração muscular. A célula muscular estriada chamada fibra muscular, possui inúmeros núcleos e pode atingir comprimentos que vão de 1mm a 60 cm.

Tecido Muscular Liso

Está presente em diversos órgãos internos (tubo digestivo, bexiga, útero etc) e também na parede dos vasos sanguíneos. As células musculares lisas são uninucleadas e os filamentos de actina e miosina se dispõem em hélice em seu interior, sem formar padrão estriado como o tecido muscular esquelético.

A contração dos músculos lisos é geralmente involuntária, ao contrário da contração dos músculos esqueléticos.

Tecido Muscular Estriado Cardíaco

Está presente no coração. Ao microscópio, apresenta estriação transversal. Suas células são uninucleadas e têm contração involuntária.

Sarcômeros

As fibras musculares esqueléticas tem o citoplasma repleto de filamentos longitudinais muito finos, (as miofibrilas) constituídas por microfilamentos das proteínas actina e miosina. A disposição regular dessas proteínas ao longo da fibra produz o padrão de faixas claras e escuras alternadas, típicas do músculo estriado.

As unidades de actina e miosina que se repetem ao longo da miofibrila são chamadas sarcômeros. As faixas mais extremas do sarcômero, claras, são denominadas banda I e contém filamentos de actina. A faixa central mais escura é a banda A, as extremidades desta são formadas por filamentos de actina e miosina sobrepostos, enquanto sua região mediana mais clara, (a banda H), contém miosina.

Teoria do deslizamento dos filamentos

Quando o músculo se contrai, as bandas I e H diminuem de largura. A contração muscular se dá pelo deslizamento dos filamentos de actina sobre os de miosina. Essa idéia é conhecida como teoria do deslizamento dos filamentos.

Nas pontas dos filamentos de miosina existem pequenas projeções, capazes de formar ligações com certos sítios dos filamentos de actina quando o músculo é estimulado. As projeções da miosina puxam os filamentos de actina como dentes de uma engrenagem, forçando-os a deslizar sobre os filamentos de miosina, o que leva ao encurtamento das miofibrilas e à conseqüente contração da fibra muscular.

Contração Muscular

O estímulo para a contração é geralmente um impulso nervoso que se propaga pela membrana das fibras musculares, atingindo o retículo sarcoplasmático (um conjunto de bolsas membranosas citoplasmáticas onde há cálcio armazenado), que libera íons de cálcio no citoplasma. Ao entrar em contato com as miofibrilas, o cálcio desbloqueia os sítios de ligação de actina, permitindo que se ligue a miosina, iniciando a contração muscular.

Assim que cessa o estímulo, o cálcio é rebombeado para o interior do retículo sarcoplasmático e cessa a contração muscular.

A energia para contração muscular é suprida por moléculas de ATP (produzidas durante a respiração celular). O ATP atua na ligação de miosina à actina, o que resulta na contração muscular. Mas a principal reserva de energia nas células musculares é a fosfocreatina, onde grupos de fosfatos, ricos em energia, são transferidos da fosfocreatina para o ADP, que se transforma em ATP. Quando o trabalho muscular é intenso, as células musculares repõem seus estoques de ATP e de fosfocreatina, intensificando a respiração celular, utilizando o glicogênio como combustível.

Tetania e Fadiga Muscular

A estimulação contínua faz com que o músculo atinja um grau máximo de contração, o músculo permanece contraído, condição conhecida como tetania. Uma tetania muito prolongada ocasiona a fadiga muscular. Um músculo fadigado, após se relaxar, perde por um certo tempo, a capacidade de se contrair. Pode ocorrer por deficiência de ATP, incapacidade de propagação do estímulo nervoso através da membrana celular ou acúmulo de ácido lático.

Antagonismo muscular

A movimentação de uma parte do corpo depende da ação de músculos que atuam antagonicamente. Por exemplo, a contração do músculo bíceps e o relaxamento do tríceps, provocam a flexão do membro superior.

Fibras musculares lentas e rápidas

As fibras musculares esqueléticas diferem quanto ao tempo que levam para se contrair, podendo levar um tempo de até 5 vezes maior do que as rápidas para se contrair.

As fibras musculares lentas estão adaptadas à realização de trabalho contínuo, possuem maior quantidade de mitocôndrias, maior irrigação sanguínea e grande quantidade de mioglobina, capaz de estocar gás oxigênio. As fibras rápidas, pobres em mioglobina, estão presentes em músculos adaptados à contrações rápidas e fortes.

Esses dois tipos de fibras podem ser diferenciados apenas ao microscópio por meio de corantes especiais.

Tônus muscular

Os músculos mantêm-se normalmente em um estado de contração parcial, o tônus muscular, que é causado pela estimulação nervosa, e é um processo inconsciente que mantém os músculos preparados para entrar em ação. Quando o nervo que estimula um músculo é cortado, este perde tônus e se torna flácido. Estados de tensão emocional podem aumentar o tônus muscular, causando a sensação física de tensão muscular. Nesta condição, gasta mais energia que o normal e isso causa a fadiga.

Amapá

Bandeira do Amapá

Significado da bandeira: o azul simboliza a justiça e o céu amapaense; o verde representa as matas, além da esperança, o futuro, o amor e a liberdade; o amarelo, as riquezas do subsolo; o branco, a paz; o preto é uma homenagem aos que morreram lutando pelo estado.

O Amapá é um estado brasileiro que integra a Região Norte. Seu território, localizado no extremo norte do Brasil e banhado pelo oceano Atlântico, limita-se ao sul com o Pará, a noroeste com o Suriname e, por meio do rio Oiapoque, faz fronteira com a Guiana Francesa.

Com extensão territorial de 142.814,585 quilômetros quadrados, o Amapá é o menor estado nortista. Sua área abriga 16 municípios, cuja capital é a cidade de Macapá. Conforme dados divulgados em 2010 pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a população estadual é composta por 668.689 habitantes, sendo a densidade demográfica de 4,6 habitantes por quilômetro quadrado. A taxa de crescimento demográfico é uma das maiores do país: 5,7% ao ano.

Localização do Amapá no mapa do Brasil

A floresta Amazônica cobre aproximadamente 90% do território amapaense, que também abriga mangues litorâneos e campos. O clima predominante é o equatorial. O relevo, por sua vez, é marcado por planície, depressão e algumas regiões de planaltos residuais. A rede hidrográfica é representada pelos rios Amazonas, Araguari, Jari, Maracá e Oiapoque.

O Amapá apresenta desenvolvimento econômico muito recente e enfrenta problemas em infraestrutura, sobretudo de transporte, comunicação e energia. O estado destaca-se por ser grande produtor de manganês, além de abrigar jazidas de ouro e caulim. Na agropecuária, os destaques são os cultivos de frutas, milho, arroz e feijão e a criação de búfalos. A pesca e o extrativismo vegetal são outras importantes atividades para a captação de recursos financeiros.

A qualidade de vida da população amapaense é a melhor da Região Norte, visto que o estado detém o maior Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) desse complexo regional. A taxa de mortalidade infantil é de 23,2 para cada mil nascidos vivos, estando um pouco abaixo da média nacional, que é de 23,3. O analfabetismo atinge apenas 4% dos habitantes (a média brasileira é de 10%). Porém, existe um grande déficit nos serviços de saneamento ambiental – apenas 37% das residências possuem acesso à rede de esgoto.

Confira nossos artigos sobre o Amapá e conheça mais sobre os aspectos físicos, populacionais e econômicos dessa unidade federativa do Brasil.

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Lobo-guará Maior canídeo sul-americano está em risco de extinção

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Lobo-guará: mais uma espécie que pode se extinguir
Muita gente já ouviu falar neste animal maravilhoso. Mas a maior parte do que se pensa sobre ele não condiz com a realidade. O lobo-guará (Chrysocyon brachyurus) é o maior e mais belo canídeo selvagem brasileiro e o mais alto do mundo. Última espécie de seu gênero, o lobo-guará possui pelagem vermelho-ouro, focinho preto, pernas longas e pretas e grandes orelhas apontadas para cima. A extremidade da cauda é mais clara que o resto do corpo.

Um lobo-guará adulto pode ter até 80 cm de altura (das patas às pontas das orelhas), 2 m da ponta da cauda até o focinho e pesar até 25 kg - sim, trata-se de um canídeo esbelto!

Lobo-guará não é lobo
Apesar de seu nome, o guará não é lobo e há muitas diferenças entre essas duas espécies. Seu grau de parentesco com os canídeos lupinos se estende até a família Canidae. A partir daí, o gênero muda (o lobo é do gênero Canis e o guará é pertence ao Chrysocyon).

Esses animais são tão diferentes em termos genéticos que um cruzamento entre guará e lobo não produziria filhotes. Para se fazer uma idéia do quanto esse fato determina um parentesco, se um cachorro (Canis familiaris) acasalar com um lobo (Canis lupus), nascerão filhotes - tanto o cão como o lobo pertencem ao mesmo gênero.

Enquanto os lobos vivem em matilhas e mantêm relações sociais complexas entre si, os guará vivem sozinhos. A exceção é a época de acasalamento, quando são encontrados aos pares. Mais: o Canis lupus é apenas carnívoro. Já o Chrysocyon brachyurus é onívoro (alimenta-se de frutos, insetos e pequenos mamíferos).

O lobo-guará é agressivo?
Muita gente pensa que os lobos-guará são implacáveis comedores de galinhas. Há até mesmo quem acredite que esses animais atacam as pessoas. Entra-se nesse momento em um assunto delicado.

Os lobos-guará não atacam seres humanos. De temperamento tímido e arredio, apenas rosnam quando acuados e ameaçam avançar para proteger seus filhotes. Esses canídeos podem desenvolver um relacionamento amistoso com seres humanos, como acontece em uma estação da Companhia Elétrica de Minas Gerais (Cemig). Nesse lugar, todas as noites, os funcionários recebem visitas de uma fêmea de lobo-guará e a presenteiam com petiscos.

Alimentação do lobo-guará
Um estudo publicado na revista científica Fapesp, realizado pelo pesquisador e professor do Instituto de Biociências da Universidade de São Paulo, José Carlos Motta Júnior, mostrou que a dieta dos lobos-guará divide-se em 50% de animais e 50% de frutos.

Dos animais predados por eles, apenas 1,9% correspondem aos galináceos. E tem mais: para cada galinha, esse canídeo mata de 50 a 70 ratos. Isso comprova sua importância no controle populacional desses animais (e como conseqüência, para a saúde humana).

Além disso, o Chrysocyon brachyurus é um importante dispersor das sementes dos frutos típicos do Cerrado - principalmente a lobeira e a gabiroba (Campomanesia spp).

Raiva (hidrofobia)
Todos temem a raiva, ou hidrofobia. E o lobo-guará pode, sim, contrair raiva. Essa doença o atinge por causa da atitude irresponsável dos seres humanos que abandonam cachorros em reservas e parques de preservação. Não fosse por isso, o lobos-guará não seriam contagiados.

Como todo animal quando está raivoso, o maior canídeo sul-americano apresenta comportamento anormal. A boa notícia é que há programas de vacinação para os lobos-guará - especialmente nas áreas em que o contato com as pessoas é maior. Mesmo assim, é bom evitar interagir com eles. Deixar animais selvagens em paz é uma forma de evitar acidentes.

Ameaça de extinção
O lobo-guará habitava o leste da Bolívia, o norte da Argentina, o Paraguai e a região Centro-Oeste do Brasil. Devido à caça predatória e a destruição progressiva de seu habitat natural, o canídeo mais alto do mundo está extinto nas três primeiras regiões citadas.

Ele ainda existe no Brasil e luta para sobreviver. A degradação ambiental continua a ameaçá-lo, bem como a caça ilegal. As previsões são de que nosso "lobo" deixe de existir em menos de 100 anos.

Lobo-guará em cativeiro
Há quem acredite que os zoológicos são uma esperança de preservação. Mas um lobo-guará confinado em uma jaula é uma triste visão. Esses animais são exímios andarilhos noturnos e sua "jaula" na natureza tem, de 30 a 110 km2. Essa é a área que um casal de lobos-guará ocupa e precisa para viver.

Proibido de andar, correr e caçar, os músculos das longas pernas se atrofiam. O animal pode perder a visão ou, ainda, morrer vítima de depressão. As melhores maneiras de salvar o lobo-guará, segundo ecólogos e biólogos, são a conscientização das pessoas, e a educação ambiental para as crianças.

Para saber mais, entre em contato com a ong Pró-Carnívoros , especializada no manejo e conservação desses animais.
*Mariana Aprile é estudante de biologia na Universidade presbiteriana Mackenzie e bolsista de iniciação científica do Mackpesquisa (PIBICK).

MDC e MMC com exercícios

Máximo Divisor Comum - M.D.C.


Definimos Máximo Divisor Comum - M.D.C entre dois ou mais números como sendo o maior divisor comum entre eles.

Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 18 e 30. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus divisores :

D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 } e D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 }

O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 18 e 30 e dentre eles o maior, ou máximo,
será o 6 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18 e 30 ) = 6

Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 24, 60 e 84. Determinemos, inicialmente, seus divisores :

D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 },
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 } e
D(84) = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84 }

O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 24, 60 e 84 e dentre eles o maior, ou
máximo, será o 12 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18, 60 e 84 ) = 12

2.0 - Métodos para o Cálculo do M.D.C.


2.1 - 1º Método: Algoritmo de Euclides, Método das Divisões Sucessivas ou " Jogo da Velha "


Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 48 e 72 .

Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.

Passo 1 - Dividimos o maior 72 pelo menor 48, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 48 e o resto da divisão 24
colocaremos abaixo do dividendo 72.

Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 24 para o espaço a direita do divisor e Dividimos este 48 por ele 24, o quociente 2 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do novo dividendo 48. Esse processo será repetido até
que chequemos ao resto zero.

Passo 3 - Quando o resto se tornar igual a zero concluímos que o último divisor será o M.D.C. procurado . Assim: M.D.C. ( 48 e 72 ) = 24



Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 324 e 252 .

Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.

Passo 1 - Dividimos o maior 324 pelo menor 252, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 252 e o resto da divisão 72
colocaremos abaixo do dividendo 324.

Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 72 para o espaço a direita do divisor e dividimos este 252 por ele 72, o quociente 3 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor 72 e o resto 36 colocaremos abaixo do novo dividendo 252.

Passo 3 - Deslocamos o resto obtido 36 para o espaço a direita do novo divisor 72 e dividimos este 72 por ele 36, o quociente 2 dessa
divisão colocaremos acima do divisor 36 e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do último dividendo 72.

Passo 4 - Como o resto se tornou igual a zero concluímos que o último divisor é o M.D.C. procurado . Assim M.D.C. ( 324 e 252 ) = 36



2.2 - 2º Método: Decomposição em Fatores Primos


Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :

O M.D.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre os fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 96 e 360.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :

96 = 25 X 3 e 360 = 23 X 32 X 5. E aplicando a regra, teremos :

fatores comuns => 2 e 3 e elevados aos menores expoentes : 23 e 31. Com isso : M.D.C. ( 96 e 360 ) = 23 X 3 = 8 X 3 = 24

Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 100, 180 e 840.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :

100 = 22 X 52 180 = 22 X 32 X 5 e 840 = 23 X 3 X 5 X 7

E aplicando a regra, teremos :

fatores comuns => 2 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22 e 51. Com isso : M.D.C. (100, 180 e 840) = 22 X 5 = 4 X 5 = 20

Exemplo 3 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre A, B e C, sendo :

A = 22 X 35 X 54
B = 26 X 33 X 53 X 113 e
C = 24 X 34 X 52 X 75

Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :

Fatores comuns => 2, 3 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22, 33 e 52.

Com isso e deixando o resultado indicado como originalmente no exemplo : M.D.C. (A, B e C) = 22 X 33 X 52

3.0 - Características Marcantes do M.D.C.


5.04a - O M.D.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual a unidade.

5.04b - O M.D.C. entre dois números consecutivos será sempre igual a unidade.

5.04c - O M.D.C. entre dois ou mais números pares será sempre igual a 2.

5.04d - Se A é múltiplo de B, o M.D.C. entre A e B será igual a B.

5.04e - Se B é divisor de A, o M.D.C. entre A e B será igual a B.

5.04f - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará multiplicado
por esse número.

5.04g - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido por
esse número.

5.04h - Quando o M.D.C. entre dois números, não necessariamente primos, é 1, eles são chamados primos entre si.

4.0 - Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.


Definimos Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C entre dois ou mais números como sendo o menor múltiplo comum não nulo entre eles.

Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 12 e 18. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus múltiplos :

M(12) = { 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, … } e M(18) = { 0, 18, 36, 54, 72, 90, … }

O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 12 e 18 e dentre eles o menor e
não nulo, ou mínimo, será o 36 ; Com isso, diremos que : M.M.C ( 12 e 18 ) = 36

Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 6, 9 e 15. Determinemos, inicialmente, seus múltiplos :

M( 6 ) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, … } ,
M( 9 ) = { 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, … } e
M( 15 ) = { 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … }

O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 6, 9 e 15 e dentre eles o
menor e não nulo, ou mínimo, será o 90 ;

Com isso diremos que : M.M.C ( 6, 9 e 15 ) = 90

5.0 - Métodos para o Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.


5.1 - 1º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição em Fatores Primos


Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :

O M.M.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre todos os fatores primos, comuns e não comuns, elevados aos maiores
expoentes

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 24 e 50.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos : 24 = 23 X 31 e 50 = 21 X 52. E aplicando a regra, teremos :

todos os fatores => 2, 3 e 5 e elevados aos maiores expoentes : 23, 31 e 52. Com isso :

M.M.C. ( 24 e 50 ) = 23 X 31X 52 = 8 X 3 X 25 = 600

Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre A, B e C, sendo :

A = 22 X 35 X 5
B = 23 X 33 X 53 X 73
C = 24 X 34 X 52 X 74

Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :

Todos os fatores => 2, 3, 5 e 7 e elevados aos maiores expoentes : 24, 35, 53 e 74. Com isso e deixando o resultado indicado como
originalmente no exemplo, teremos :

M.M.C. (A, B e C) = 24 X 35 X 53 X 74.

5.2 - 2º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição Simultânea.


Nesse método iremos decompor os números simultaneamente em fatores primos :

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 12 e 20.

Passo 1 - Coloquemos lado a lado os números e a direita deles tracemos uma linha vertical

Passo 2 - A partir daí dividiremos cada número pela sucessão dos números primos, enquanto pelo menos um deles for divisível a
operação deve ser continuada, e nesse caso repetiremos o número não divisível até que não seja mais possível também para o outro,
ou nenhum dos outros, a divisão.

Passo 3 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita nos dará o M.M.C. .



Com Isso o M.M.C. entre 12 e 20 será 22 X 3 X 5 = 60

Exemplo 2 : Calculemos, agora, o M.M.C entre 8, 14 e 20.



Com Isso o M.M.C. entre 8, 14 e 20 será 23 X 3 X 5 = 120

5.3 - 3º Método para o Cálculo do M.D.C. : Decomposição Simultânea.


Como já conhecemos como funciona o cálculo do M.M.C. pelo método da decomposição simultânea, podemos aplicá-lo também para
o cálculo do M.D.C.:

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 12 e 60 e 72.

Passo 1 - Faremos exatamente com se fossemos calcular o M.M.C. entre eles

Passo 2 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita do traço que
dividiram simultameamente todos os 3 números nos dará o M.D.C. entre eles.

12 , 60 , 72 2 <<<
6 , 30 , 36 2 <<<
3 , 15 , 18 2
3 , 15 , 9 3 <<<
1 , 5 , 3 3
1 , 5 , 1 5
1 , 1 , 1

Assinalamos com as 3 setinhas os fatores que dividiram ao mesmo tempo os 3 números. O produto desses números assinalados nos dará
o M.D.C. entre eles.

Com Isso o M.D.C entre 12 e 60 e 72 será 22 X 3 = 12

6.0 - Características Marcantes do M.M.C.


5.09a - O M.M.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual ao produto entre eles.

5.09b - O M.M.C. entre dois números consecutivos será sempre igual ao produto entre eles.

5.09c - Se A é múltiplo de B, o M.M.C. entre A e B será igual a A.

5.09d - Se B é divisor de A, o M.M.C. entre A e B será igual a A.

5.09e - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.M.C. entre eles também ficará
multiplicado por esse número.

5.09f - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido
por esse número.

7.0 - Propriedade Importante entre M.D.C. e M.M.C.


Dados dois números A e B, o produto entre seu M.D.C. e o seu M.M.C. , será igual ao produto A X B entre eles. Ou seja :

M.M.C. ( A e B ) x M.M.C.( A e B ) = A X B


Tente provar essa importante propriedade. É mais fácil que você imagina.

Importante: Essa propriedade somente é válida para o M.D.C. e o M.M.C. entre dois números

8.0 - Exercícios Propostos


I - Determine o M.D.C. entre :

01) dois números pares e consecutivos 02) dois números consecutivos
03) dois números ímpares e consecutivos 04) dois números primos
05) dois múltiplos pares e naturais de 9 06) 3 números terminados em 5
07) dois múltiplos inteiros de 7, positivos e consecutivos 08) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor


II - Determine pelo Algoritmo de Euclides ( Jogo da Velha ) o M.D.C. entre :

09) 24 e 60 10) 96 e 180 11) 132 e 198
12) 247 e 299 13) 624 e 720


14) Um aluno ao determinar o M.D.C. entre dois números pelo método das divisões sucessivas encontrou para M.D.C. 36 e
respectivamente os quocientes 1, 3 e 2. Cálculos esses dois números.

15) Um aluno ao determinar o M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides encontrou 21 para M.D.C. e respectivamente
os quocientes 4, 2 e 2. Cálculos o maior desses números.

16) O M.D.C. de dois números determinado pelo Algoritmo de Euclides é 27. Se os 4 quocientes encontrados são distintos e os
menores possíveis, determi-ne o menor desses dois números.

17) Explique por que no cálculo do M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides o último quociente encontrado é sempre
maior que a unidade.

III - Determine o M.D.C. entre :

18) 320 e 448 19) 462 e 1.386 20) 975 e 455
21) 28, 77 e 84 22) 108, 120 e 144 22) 60, 72, 96 e 156


IV - Qual é o maior número que divide exatamente :
23) 39, 65 e 143 24) 702 e 918 25) 519, 1.038 e 1.557


26) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 270 e 240 para obtermos, respectivamente, os restos 10 e 9 :

27) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 160, 220 e 472 para obtermos, respectivamente, os restos 7, 16 e 13

28) Ao dividirmos 167, 237, 379 e 593 pelo maior número possível, obtemos respectivamente os restos 23, 21,19 e 17.
Calcule esse número.

V - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

29) Soma = 384 e M.D.C. = 24 30) Soma = 740 e M.D.C. = 37 31) Soma = 840 e M.D.C. = 56


VI - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma D e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

32) Diferença = 75 e M.D.C. = 15 33) Diferença = 108 e M.D.C. = 18 34) Diferença = 378 e M.D.C. = 42


VII - Encontrar dois números conhecendo-se seu produto P e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

35) Produto = 1 536 e M.D.C. = 12 36) Produto = 1 792 e M.D.C. = 8 37) Produto = 4 320 e M.D.C. = 6


38) Encontrar três números distintos de 2 algarismos cujo M.D.C. é 13 e cuja soma é igual a 91.

VIII - Determine o M.MC. entre :

39) dois números pares e consecutivos 40) dois números consecutivos
41) dois números ímpares e consecutivos 42) dois números primos
43) dois múltiplos pares e naturais de 3 44) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor


IX - Determine o M.M.C. entre :

45) 32 e 48 46) 72 e 120 47) 26 e 65
48) 6, 7 e 210 49) 8, 12 e 14 50) 21, 28 e 36


X - Qual é o menor número simultaneamente divisível por :

51) 3, 4, 5, 6, 7 e 8 52) 2, 3 , 5, 8, 9 12 e 15 53) 11, 22, 33, 44 e 55
54) pelos 5 primeiros múltiplos positivos de 3 55) pelos números naturais menores que 11


XI - Determine o menor dos números que dividido por :

56) 12, 15 e 18 deixa o resto 8 57) 15, 24 e 30 deixa o resto 11
58) 24, 30, 36 e 60 deixa o resto 16 59) 32, 38 e 42 deixa o resto 17


XII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.M.C..

60) Soma = 30 e M.M.C. = 36 61) Soma = 140 e M.M.C. = 240 62) Soma = 168 e M.M.C. = 288


XIII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma P e seu M.M.C..

60) Produto = 360 e M.M.C. = 120 61) Produto = 2 160 e M.M.C. = 360 62) Produto = 1176 e M.M.C. = 108


63) Se o M.M.C. entre 70A e 56B é igual a 3 080. Determine os pares de valores possíveis para A e B.

XIV - Calcular o M.D.C. e o M.M.C. entre :

64) A = 23 x 34 x 5 e B = 22 x 32 x 52 65) P = 22 x 33 x 7 e Q = 2 x 34 x 5
66) M = 22 x 53 x 11 e N = 23 x 72 x 132 67) E = 23 x 3 x 5 x 72 , F = 22 x 33 x 52 x 112 e G = 2 X 32 X 73 X 112 X 17
68) A = 23 x 34 x 5 x 72 , B = 22 x 32 x 52 x 112 e C = 24 x 33 x 52 x 19 69) J = 23 x 34 x 5 x 72 , K = 22 x 32 x 52 x 112 e L = 24 x 33 x 52 x 19
70) M = 4 x 64 x 5 e P = 8 x 272 x 152


XV - Calcular o valor de n para as condições dadas :

71) A = 2n x 33 x 72 ; B= 24 x 32 x 7 x 112 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 7
72) Q = 22n x 32 x 52 ; B = 23 x 3n x 5 x 73 para M.M.C. ( A e B ) = 60
73) P = 24n x 9 ; B = 27 x 35 para M.D.C. ( A e B ) = 22 x 64
74) M = 30n X 7 ; B = 22 X 9 X 352 para M.M.C. ( A e B ) = 100 X 9 X 49


XVI - Calcular o valor de n + p para as condições dadas :

75) A = 2n X 33 X 132 ; B = 24 X 3p X 11 X 13 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 13
76) A = 2n X 32 X 11 ; B = 24 X 3p X 7 X 112 para M.M.C. ( A e B ) = 25 X 33 X 7 X 112


77) Calcular o valor da soma m + n + p tal que o M.D.C. entre A = 2m X 33 X 5p e B = 22 X 3n X 53 seja igual a 63 X 75

78) Dois números distintos A e B são os menores possíveis e podem ser representados, exclusivamente, pelos 3 menores fatores
primos. Se os expoentes do menor deles são números consecutivos. Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre eles.

79) O produto de dois números A e B é igual a 360. Se o M.D.C. entre eles é 24, Calcule o seu M.M.C..

80) Uma doceria tem em estoque 150 balas de coco, 180 balas de chocolate e 240 balas de leite. Quantas balas de cada sabor se deve
colocar em caixas decoradas, sabendo que essas quantidades devem ser as maiores possíveis.

81) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. O mais rápido deles dá uma volta em 10 minutos, um outro leva
15 minutos e o terceiro e mais lento demora 18 minutos para dar uma volta completa. No fim de quanto tempo os 3 automóveis
voltarão a se encontrar no inicio da pista se eles partiram exatamente no mesmo instante.

82) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. Um deles dá uma volta em 18 minutos, um outro leva 20 minutos e o
terceiro demora 25 minutos para dar uma volta completa. Se eles partiram exatamente às 15 horas, Que horas serão quando os 3
automóveis voltarão a se encontrar no inicio da pista após 3 horas de corrida ?

83) Três netas visitam sua avó, respectivamente, em intervalos de 5 dias, de 7 dias e de 9 dias. Se a última vez em que as três se
encontraram na casa de sua avó foi no mês de Maio, em que mês do segundo semestre eles tornarão a se encontrar ?

84) Determine o menor número que ao ser dividido por por 11, 12 e 16 deixa, respectivamente, os restos 5, 6 e 10.

85) Determine o menor número de 4 algarismos que dividido por por 12, 15, 18 e 24 deixa, respectivamente, os restos 7, 10, 13 e 19.

9.0 - Questões de Concurso


86) ( CEFETQ - 1997 ) Determinar o maior número pelo qual se deve dividir os números 165 e 215 para que os restos sejam 9 e 11,
respectivamente.

87)( UFMG - 1996 ) O número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9 e 11 é :

(A) 330 (B) 660 (C) 676 (D) 900 (E) 996


88) ( UNIFACS - 1997 ) O número de alunos de uma sala de aula é menor que 50. Formando-se equipes de 7 alunos, sobram 6.
Formando-se equipes de 9 alunos, sobram 6. Formando-se equipes de 9 alunos , sobram 5. Nessas condições, se forem formadas
equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobram é :

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5


89) ( PUC/CAMPINAS - 1995 ) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na máquina B,
a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a próxima vez em que a manutenção ocorreu
no mesmo dia foi em :

(A) 5 de Dezembro (B) 6 de Dezembro (C) 8 de Dezembro (D) 14 de Dezembro (E) 26 de Dezembro


90) ( PUC/CAMPINAS - 1998 ) Uma editora tem em seu estoque 750 exemplares de um livro A, 1200 de um livro B e 2 500 de um livro C.
Deseja-se remetê-los a algumas escolas em pacotes, de modo que cada pacote os três tipos de livros em quantidades iguais e com o
maior número possível de exemplares de cada tipo. Nessas condições, remetidos todos os pacotes possíveis, o número de exemplares
que restarão no estoque é :

(A) 1.500 (B) 1.750 (C) 2.200 (D) 1.600 (E) 2.000

91) ( UNIARARAS - 1997 ) As cidade de Araras, Leme e Conchal realizam grandes festas periódicas, sendo as de Araras de 9 em
9 meses, as de Leme de 12 em 12 meses e as de Conchal de 20 em 20 meses. Se em Março de 1985 as festas coincidiram, então a
próxima coincidência foi em :

(A) Março de 1995 (B) Março de 2000 (C) Março de 1996 (D) Dezembro de 1999 (E) Nunca mais
www.matematicamuitofacil.com

Fatorial de um número

Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso
http://ensinodematemtica.blogspot.com.br
extraido de www.colegioweb.com.br
Fatorial de um número:







Arranjo simples:

Interjeição

Classe invariável que expressa emoções, sensações...

Algumas expressões das interjeições: alívio (Ufa!); dor (Ai!); espanto (Quê!); medo (Credo!); satisfação (Viva!)...

Locução interjeitiva é o conjunto de duas ou mais palavras com valor de interjeição. Ex.: Que horror!; Queira Deus!

Uma palavra pertencente a outra classe pode transformar-se em interjeição, tudo depende do contexto e da expressividade com que é falada.
Ex.: Cuidado!; Coragem!
www.coladaweb.com

Congruências entre ângulos determinados por retas transversais

Reconhecer e compreender as relações e, principalmente, as congruências entre ângulos determinados por retas transversais em retas paralelas é importante para a resolução de problemas relacionados a triângulos, quadriláteros e outros polígonos - bem como os próprios problemas com ângulos.

Vejamos alguns conceitos fundamentais que vão ser úteis:

Ângulos opostos pelo vértice:

Na figura, os ângulos marcados com a mesma cor são opostos pelo vértice e possuem a mesma medida, ou seja, são congruentes.

<="" td="">

Ângulos suplementares:

São dois ângulos cuja soma vale 180º.

Na figura acima, sobre a mesma reta, temos um ângulo azul e um ângulo vermelho, cuja soma vale 180º, pois formam um ângulo raso.

Lembrados esses conceitos, vamos estudar as relações entre ângulos determinados por uma transversal em retas paralelas.

Observe a figura abaixo.

As retas r e s são paralelas "cortadas" pela transversal t.

Os ângulos 1, 2, 3 e 4 são os ângulos determinados pela transversal t em r - e os ângulos 5, 6, 7 e 8 são determinados por t em s.

Se "recortássemos" a figura conforme o pontilhado, poderíamos tranquilamente encaixar o pedaço recortado sobre a parte de baixo da figura, ou seja, os ângulos 1, 2, 3 e 4 "encaixariam" perfeitamente sobre os ângulos 5, 6, 7 e 8, nessa ordem:

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Assim, dizemos que esses ângulos são correspondentes e, como podemos perceber, ângulos correspondentes têm a mesma medida.

Como os pares 1 - 4 e 5 - 8 são opostos pelo vértice e 1 - 5 e 4 - 8 são correspondentes, todos eles têm a mesma medida.

Pelo mesmo motivo, 2, 3, 6 e 7 também têm a mesma medida.

Formando ângulo raso, temos 1 - 2, 3 - 4, 5 - 6, 7 - 8. Cada um desses pares forma um ângulo raso. Sabendo que 2, 3, 6 e 7 têm a mesma medida (ângulos obtusos) e que 1, 4, 5 e 8 têm a mesma medida (ângulos agudos), podemos observar na figura um ângulo agudo qualquer e um obtuso qualquer sendo sempre suplementares.

Nomeando as propriedades

Agora vamos nomear essas propriedades observadas. Para isso, é preciso entender um pouco a nomenclatura utilizada em geometria.

Dadas duas retas paralelas e uma transversal, os ângulos determinados pela transversal na região entre as paralelas são chamados de internos. Logo, os que não estão entre as paralelas são chamados de externos.

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Já os ângulos que estão do mesmo lado em relação à transversal, ou seja, do lado direito ou do lado esquerdo, são chamados colaterais. Os que estão em lados opostos são chamados alternos.

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Voltando, então, à figura inicial, temos, em resumo:

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Alternos	Internos: 3 e 6, 4 e 5	São congruentes (mesma medida).
	Externos: 1 e 8, 2 e 7
Colaterais	Internos: 3 e 5, 4 e 6	Formam ângulo raso (medem juntos 180º).
	Externos: 1 e 7, 2 e 8
Correspondentes	1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8	São congruentes.
Opostos pelo vértice	1 e 4, 5 e 8, 2 e 3, 6 e 7	São congruentes.

*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

Crase – Preposição “a” + artigo feminino “a”

valor de substantivo. Por esta razão, a crase não virá diante de verbos, nem tão pouco de pronomes pessoais (sujeito).
Contudo, tanto a preposição “a” quanto o artigo feminino “a” virão diante de substantivos femininos, já que os substantivos masculinos não admitem artigo feminino.
Observe:

Não irei à farmácia. Irei ao supermercado.

O verbo “ir” exige preposição, veja: Não irei. Onde? A algum lugar. Qual? A farmácia. Quem vai, vai a algum lugar. Na resposta “a qual lugar?” temos o artigo “a”. Logo, a preposição “a” mais o artigo feminino “a”, que acompanha o substantivo na resposta (a farmácia), formam a crase.

Agora, observe:

Não quero ler a capa deste livro.

O verbo “ler” ou a locução verbal “quero ler” não exigem preposição, portanto, o termo “a” que está na oração acima é um artigo feminino.

Declarei a ele que sou inocente.

Na oração acima, o pronome pessoal “ele” não admite artigo e, por isso, o termo “a” é uma preposição. Declarei algo a alguém. Quem? Ele (e não “a ele”).

• Preposição “a” e os pronomes demonstrativos

Os pronomes demonstrativos em que a crase pode ocorrer são: aquele, aquela, aqueles, aquelas, aquilo, a(s). Para isso, o termo regente deve exigir preposição. Por exemplo:

Assisti àquele programa horrível de TV.
Àquilo chamam de programa educativo?
Refiro-me àquela aluna estudiosa.

Sabrina Vilarinho
Graduada em Letras