A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.
Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz:
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
x1 = D1
D
x2 = D2
D
x3 = D3 ... xn = Dn
D D
Veja no exemplo abaixo de como aplicar essa regra de Cramer:
Dado o sistema linear , para resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações.
Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.
. Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.
D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
D = 15.
Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.
. Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx.
Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6
Dx = 15
Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.
. Agora calcularmos o seu determinante Dy.
Dy = -3 + 24 +4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30
Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.
. Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.
Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer.
A incógnita x = Dx = 15 = 1
D 15
A incógnita y = Dy = 30 = 2
D 15
A incógnita z = Dz = 45 = 3
D 15
Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}.
Seja (a1, a2, a3, ... , ak, ... , a50) uma progressão aritmética. Se a2 = 14, a5 – a3 = 18 e
ak = 239, então k é igual a:
Resolução:
Retirando os dados do problema temos:
a2 = 14
a5 – a3 = 18
ak = 239
k = ?
Para o calculo de k deveremos utilizar a equação ak = a1 + (k – 1) . r , mas para darmos continuidade devemos achar o valor de a1 e de r, então observe os cálculos abaixo:
Utilizando o termo geral da P.A, an = a1 + (n-1) . r podemos dizer que:
a2 = a1 + r
14 = a1 + r
Utilizando novamente o termo geral da P.A, podemos dizer que:
a5 = a1+ 4r e a3 = a1 + 2r
Substituindo no dado do problema a5 – a3 = 18, temos:
a1 + 4r - a1 - 2r = 18 → unindo os termos semelhantes.
a1 - a1 + 4r - 2r = 18 → operando os termos semelhantes.
2r = 18
r = 18 : 2
r = 9
Agora devemos descobrir o valor de a1, para isso substituiremos o valor de r = 9 na equação 14 = a1 + r:
a1 + 9 = 14
a1 = 14 – 9
a1 = 5
Agora que sabemos que a1 = 5 e r = 9 podemos calcular qual é o termo de k:
ak = a1 + (k – 1) .r → Substituído os dados na equação.
239 = 5 + (k – 1) . 9
239 = 5 + 9k – 9 → unindo os termos semelhantes.
239 -5 + 9 = 9k
243 = 9k
k = 243 : 9
k = 27
Assim descobrimos que ak é o vigésimo sétimo termo da P.A.
Uma P.G de razão 3 foi formada introduzindo–se três termos entre o 2º termo e 486. Qual o 1º termo da P.G?
Resolução:
q = 3
Como foram introduzidos três termos entre o 2º termo e 486 podemos então concluir que 486 é o sexto termo da minha P.G.
a1 , a2, a3, a4, a5, 486
a3 , a4 e a5 são os três termos introduzidos.
Então podemos dizer que a6 = 486, utilizando o termo geral de uma P.G
an = a1 . qn - 1, temos:
a6 = a1 . qn – 1 → Substituindo os dados.
486 = a1 . 36 – 1
486 = a1 . 35
486 = a1 . 243
a1 = 486 : 243
a1 = 2
Observe a seqüência abaixo:
( 2, 5, 8, 11, ...)
Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3:
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3
Assim:
Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é sempre a mesma (constante).
Essa constante é chamada de razão da P.A representada por r.
Exemplos:
• (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.
• (23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.
• (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.
A razão tem algumas particularidades como:
• r > 0, dizemos que a P.A é crescente
• r < 0, dizemos que a P.A é decrescente
• r = 0, todos os termos da P.A são iguais, ou seja, a P.A é constante.
TERMO GERAL DA P.A.
Considerando a P.A (a1, a2, a3, a4, ...., an) de razão r. Temos:
• a2 - a1 = r → a2 = a1 + r
• a3 - a2 = r → a3 = a2 + r → a3 = a1 + 2r
• a4 – a3 = r → a4 = a3 + r → a4 = a1 + 3r
. . .
. . .
. . .
Assim:
an = a1 + ( n – 1) . r
Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do termos geral de uma P.A.
Exmplo:
Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...):
Para efetuarmos os calulos é necessário que retiremos os dados necessários.
Como: a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5
Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o 20º termo da P.A.
a20 = 26 + ( 20 – 1) . 5
a20 = 26 + 19 . 5
a20 = 26 + 95
a20 = 121
Conclimos que o 20º termo dessa P.A é 121.
NOTAÇÕES ESPECIAIS
Para determinar uma P.A apartir de seus elementos utilizamos de algumas notações que facilitam a resolução de alguns exercícios.
• Para três termos em P.A, podemos escrever:
( x – r , x , x + r )
• Para cinco termos em P.A, podemos escrever:
(x – 2r , x – r , x , x + r , x – 2r )
Exemplo:
Determine três números em P.A, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.
Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos os dados:
Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4
(x – r) . x . (x + r) = 28.
Então:
(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28
r = +3 e r = -3
Assim iremos obter duas P.A
Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7)
Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1)
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A
A fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A qualquer é preciso:
Considere a P.A (a1, a2, a3, ..., an - 2, an – 1 , ... , an, … ) Indiquemos a soma dos n primeiros termos por Sn. Temos então:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an - 1 + an ou
Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... +a3 + a2 + a1
Somando essas igualdades membro a membro, obtemos:
sn=a1+an.n/2
Progressão Geométrica
Observe a seqüência:
( 3, 6, 12, 24, 48, ... )
Notemos que, dividindo um termo qualquer dessa seqüência pelo termo antecedente, o resultado é sempre igual a 2:
a2 : a1 = 6 : 3 = 2
a4 : a3 = 24 : 12 = 2
a5 : a4 = 48 : 24 = 2
Progressão Geométrica (P.G) é a seqüência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante).
Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q.
Exemplos:
• (2, 6, 18, 54,...) é uma P.G de razão q = 3
• (-5, 15, -45, 135,...) é uma P.G de razão q = -3
TERMO GERAL DE UMA P.G
Vamos agora encontrar uma expressão para obtermos o termo geral de uma P.G conhecendo apenas o primeiro termo (a1) e a razão (q).
Isso é possível graças à lei de formação específica da P.G.:
Seja ( a1, a2, a3, ... , an) uma P.G de razão q. Temos:
a2 : a1 = q → a2 = a1 . q
a3 : a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q²
a4 : a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a3 . q³
. . .
. . .
. . .
Seguindo chegaremos ao termo an, que ocupa a n-ésimo posição da P.G. Dada pela expressão:
an = a1 . qn – 1
Essa expressão é conhecida como a fórmula do termo geral de uma P.G..
Exemplo:
Vamos determinar o 10º termo da P.G ( , 1, 3, 9, ... ):
Sabendo que a1 = 1 e que q = 3.
Assim, pela expressão do termo geral da P.G, podemos escrever:
a10 = a1 . q9 → a10 = 1 . 39 → a10 = 19683
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G
Para somarmos os elementos de uma P.G, considere a seqüência como uma P.G (a1, a2, a3, ..., an) de razão q ≠ 1.
Somando todos os termos dessa P.G:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I)
Multiplicando os dois membros da igualdade acima por q, e lembrando a formação dos elementos de uma P.G., vem:
q . Sn = q (a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an - 1 + an) = a1 . q + a2 . q + a3 . q + … + an-1 . q + an .
q . Sn = a2 + a3 + a4 + … + an + an .q (II)
Fazendo (II) – (I), temos:
q . Sn – Sn = ( a2 + a3 + … + an-1 + an + an . q) - (a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an)
Sn . (q – 1) = an . q – a1
Como an = a1 . qn – 1 , vem:
Sn . (q – 1 ) = a1 qn – 1 . q - a1, isto é,
Seqüência é sucessão, encadeamento de fatos que se sucedem.
É comum percebermos em nosso dia-a-dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, obedecendo a uma seqüência.
Por exemplo:
Todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os anos, em ordem cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas formam um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem.
O estudo de seqüência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem. Assim chamado de seqüência numérica.
Exemplo:
• O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a seqüência de números pares.
• O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a seqüência de números impares ≥ 7 e ≤ 15.
• O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma seqüência de números que começa com a letra D.
Matematicamente quando temos uma seqüência numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por a1 assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo an.
Exemplo:
• (2, 4, 6, 8, 10) temos: a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; a4 = 8; a5 = 10
A seqüência acima é uma seqüência finita sua representação geral é (a1, a2, a3,..., an ), para as seqüências que são infinitas a representação geral é (a1, a2, a3, an, ... ).
Para determinarmos uma seqüência numérica precisamos de uma lei de formação.
Exemplo:
A seqüência definida pela lei de formação an = 2n² - 1, n N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... e an é o termo que ocupa a n-ésima posição na seqüência. Por esse motivo, an é chamado de termo geral da sequência.
Utilizando a lei de formação an = 2n² - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da seqüência.
• n = 1 → a1 = 2 . 1² - 1 → a1 = 1
• n = 2 → a2 = 2 . 2² - 1 → a2 = 7
• n = 3 → a3 = 2 . 3² - 1 → a3 = 17
• n = 4 → a4 = 2 . 4² - 1 → a4 = 31
.
.
.
Assim a seqüência formada é (1, 7, 17, 31, ...)
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