segunda-feira, 2 de dezembro de 2019
Teoria dos Conjuntos
Teoria de Conjuntos
1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.
Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
1.1 - Relação de pertinência:
Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A , onde o símbolo Î significa "pertence a".
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y Ï A.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f .
Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.
Assim é que, pode-se escrever como exemplos:
Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.
1.2 - Subconjunto:
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que
A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.
Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado
conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
2 - Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Obs: é evidente que N Ì Z.
Conjunto dos números racionais
Q = {x; x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.
Notas:
a) é evidente que N Ì Z Ì Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9
Conjunto dos números irracionais
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais:
p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).
Conjunto dos números reais
R = { x; x é racional ou x é irracional}.
Notas:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R
b) I Ì R
c) I È Q = R
d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!
3 - Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do
intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo.
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
TIPOS
REPRESENTAÇÃO
OBSERVAÇÃO
INTERVALO FECHADO
[p;q] = {x Î R; p £ x £ q}
inclui os limites p e q
INTERVALO ABERTO
(p;q) = { x Î R; p < x < q}
exclui os limites p e q
INTERVALO FECHADO A ESQUERDA
[p;q) = { x Î R; p £ x < q}
inclui p e exclui q
INTERVALO FECHADO À DIREITA
(p;q] = {x Î R; p < x £ q}
exclui p e inclui q
INTERVALO SEMI-FECHADO
[p;¥ ) = {x Î R; x ³ p}
valores maiores ou iguais a p.
INTERVALO SEMI-FECHADO
(- ¥ ; q] = { x Î R; x £ q}
valores menores ou iguais a q.
INTERVALO SEMI-ABERTO
(-¥ ; q) = { x Î R; x < q}
valores menores do que q.
INTERVALO SEMI-ABERTO
(p; ¥ ) = { x > p }
valores maiores do que p.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ).
4 - Operações com conjuntos
4.1 - União ( È )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}.
Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A È A = A
b) A È f = A
c) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.
4.2 - Interseção ( Ç )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}.
Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A Ç A = A
b) A Ç Æ = Æ
c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)
P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)
P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)
P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
4.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - f = A
b) f - A = f
c) A - A = Æ
d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
4.3.1 - Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:
a) B Ç B' = f
b) B È B' = U
c) f' = U
d) U' = f
5 - Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2} Ç {3, 5} = Ø
c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} Ç {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N .
6 - Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B) Conjuntos numéricos
Números Naturais: {1,2,3,4,5,......,11,12,.....}
Números Inteiros: {....,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Seqüências: {0,1,2,....,10,11,12,13,...}
Números Racionais: {p/q | p e q são números inteiros , q = 0}; os conjuntos de números naturais , números inteiros e seqüenciais , assim como os números que podem ser grafados em frações, são subconjuntos dos números racionais.
Números Irracionais: {x| , x é um número real, mas não um número racional }; os conjuntos de números racionais e irracionais não tem elementos em comum e por isso são conjuntos desarticulados.
Números Reais: {x|x é a coordenada de um ponto em uma linha numérica}; a união do conjunto de números racionais com um conjunto de números irracionais equivale ao conjunto de números reais.
Números Imaginários: {ai| a é um número real e i é o número cuja segunda potência é -1}; i² = -1; os conjuntos de números reais e imaginários não tem elementos comuns e são conjuntos desarticulados.
Números Complexos: {a + bi| a e b são números reais e i é o número cuja segunda potência é -1}; o conjunto de números reais e o de imaginários são subconjuntos dos números complexos.
fonte:vestibular1.com.br
A Gripe
A gripe, causada pelo vírus influenza, provoca sintomas semelhantes ao do resfriado comum, porém com maior intensidade. Complicações podem desencadear em pneumonia, e até óbito, principalmente em pessoas com imunidade mais baixa.
Diante desses fatos, anualmente é executada a Campanha Nacional do Idoso Contra a Gripe, a fim de reduzir o índice de internações e mortalidade da população idosa, acima de 60 anos - e também de indígenas com idade igual ou superior a seis meses, profissionais da saúde e população carcerária - por esta doença.
A vacina, feita a partir de vírus inativados, previne contra os principais e mais recentes tipos destes. Tal afirmação significa que nem todo tipo de gripe é combatido por meio deste método. Mesmo assim, é essencial que estas pessoas sejam vacinadas anualmente, considerando o alto poder de mutação do influenza, o potencial desta em reduzir a gravidade de outros tipos deste vírus, e seus 98% de eficácia.
É raro acontecer reações adversas à vacina. Quando ocorrem, geralmente são caracterizadas por dor, vermelhidão local, febre ou reações alérgicas. Quanto a este último sintoma, considerando que a vacina é produzida em ovos de galinha, é essencial que pessoas alérgicas a esse alimento consultem previamente o agente de saúde, para verificar se é viável ou não tomá-la.
www.mundoeducacao.com.br
Diante desses fatos, anualmente é executada a Campanha Nacional do Idoso Contra a Gripe, a fim de reduzir o índice de internações e mortalidade da população idosa, acima de 60 anos - e também de indígenas com idade igual ou superior a seis meses, profissionais da saúde e população carcerária - por esta doença.
A vacina, feita a partir de vírus inativados, previne contra os principais e mais recentes tipos destes. Tal afirmação significa que nem todo tipo de gripe é combatido por meio deste método. Mesmo assim, é essencial que estas pessoas sejam vacinadas anualmente, considerando o alto poder de mutação do influenza, o potencial desta em reduzir a gravidade de outros tipos deste vírus, e seus 98% de eficácia.
É raro acontecer reações adversas à vacina. Quando ocorrem, geralmente são caracterizadas por dor, vermelhidão local, febre ou reações alérgicas. Quanto a este último sintoma, considerando que a vacina é produzida em ovos de galinha, é essencial que pessoas alérgicas a esse alimento consultem previamente o agente de saúde, para verificar se é viável ou não tomá-la.
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Vacinas
A vacina é uma substância tóxica sintetizada a partir de agentes patogênicos como vírus e bactérias que atuam como antígenos no organismo. Ao entrar no organismo, a vacina estimula a produção de anticorpos específicos para que este imunize o mesmo contra o corpo estranho.
Quando o organismo recebe uma determinada vacina pela primeira vez a resposta do sistema imunitário é mais demorada e com pouca quantidade de anticorpos, já na segunda vez a reação do sistema imunitário já é mais rápida e com produção em maior quantidade.
Pelo fato da vacina apresentar agentes patogênicos enfraquecidos ou mortos, o organismo não utiliza toda a quantidade de anticorpos produzidos fazendo com que estes permaneçam no organismo para que já esteja protegido em casos de contração destes agentes. Este tipo de vacinação é denominada ativa e é relativamente duradoura, pois o antígeno permanece registrado no sistema imune que se mantém preparado para uma possível invasão. Seus efeitos colaterais são variáveis de acordo com a substância inserida no organismo.
Há também a imunização passiva que é a introdução de anticorpos prontos no organismo para combater de forma rápida os antígenos existentes. É utilizada quando não se pode esperar pela produção natural de anticorpos do organismo. É denominada soro.
É uma forma de imunização rápida e passageira, pois pelo fato do organismo não ter trabalhado para produzir seus anticorpos, não armazena sua passagem pelo organismo.
As vacinas protegem não só um determinado organismo em que foi introduzida, mas toda uma sociedade que é impedida de contrair epidemias a partir de um só doente. Além de doenças infecciosas as vacinas também protegem o organismo de inúmeras outras doenças. Dentre as vacinas que existem destacamos:
Bcg: contra formas graves da tuberculose;
Hepatite B;
Sabin: contra poliomielite ou paralisia infantil;
Tríplice bacteriana: contra difteria, tétano e coqueluche;
Hib: contra meningite e outras provocadas por Haemophilus influenzae tipo b;
Sarampo;
Febre amarela;
Tríplice viral: contra sarampo, rubéola, rubéola congênita e caxumba;
Gripe;
Hepatite A;
Catapora e outras.
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Distância de um ponto a uma reta
Distância de um ponto a uma reta
Considere a reta ax + by + c = 0 e o ponto P(x0; y0), que não pertence à reta.
A distância do ponto P à reta r será:
extraido de www.colegioweb.com.br
Considere a reta ax + by + c = 0 e o ponto P(x0; y0), que não pertence à reta.
A distância do ponto P à reta r será:
extraido de www.colegioweb.com.br
Conjuntos União
União de conjuntos
Definição
É quando dois ou mais conjuntos se unem, estabelecendo uma relação entre seus elementos.
A união é representada pelo símbolo abaixo:
Por exemplo:
A união do conjunto D e E é o conjunto formado pelos elementos pertencentes à D e E.
Exemplos:
A= {a, b, c} ∪ B= {c, d, j} = { a, b, c, d, j}
A= {4, 5, 6} ∪ B= {4, 5, 6, 7, 8} = B
A= {8, 9} ∪ B= ∅ = {8, 9}
Definição
É quando dois ou mais conjuntos se unem, estabelecendo uma relação entre seus elementos.
A união é representada pelo símbolo abaixo:
Por exemplo:
A união do conjunto D e E é o conjunto formado pelos elementos pertencentes à D e E.
Exemplos:
A= {a, b, c} ∪ B= {c, d, j} = { a, b, c, d, j}
A= {4, 5, 6} ∪ B= {4, 5, 6, 7, 8} = B
A= {8, 9} ∪ B= ∅ = {8, 9}
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