Teoria dos Conjuntos

Teoria de Conjuntos 1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }. 1.1 - Relação de pertinência: Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A , onde o símbolo Î significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y Ï A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos: Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}. 1.2 - Subconjunto: Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B. Notas: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A. 2 - Conjuntos numéricos fundamentais Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: Conjunto dos números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } Conjunto dos números inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Obs: é evidente que N Ì Z. Conjunto dos números racionais Q = {x; x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero!. São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: a) é evidente que N Ì Z Ì Q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9 Conjunto dos números irracionais I = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais: p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica) Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata). Conjunto dos números reais R = { x; x é racional ou x é irracional}. Notas: a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R b) I Ì R c) I È Q = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese! 3 - Intervalos numéricos Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos. TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO INTERVALO FECHADO [p;q] = {x Î R; p £ x £ q} inclui os limites p e q INTERVALO ABERTO (p;q) = { x Î R; p < x < q} exclui os limites p e q INTERVALO FECHADO A ESQUERDA [p;q) = { x Î R; p £ x < q} inclui p e exclui q INTERVALO FECHADO À DIREITA (p;q] = {x Î R; p < x £ q} exclui p e inclui q INTERVALO SEMI-FECHADO [p;¥ ) = {x Î R; x ³ p} valores maiores ou iguais a p. INTERVALO SEMI-FECHADO (- ¥ ; q] = { x Î R; x £ q} valores menores ou iguais a q. INTERVALO SEMI-ABERTO (-¥ ; q) = { x Î R; x < q} valores menores do que q. INTERVALO SEMI-ABERTO (p; ¥ ) = { x > p } valores maiores do que p. Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ). 4 - Operações com conjuntos 4.1 - União ( È ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}. Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas: a) A È A = A b) A È f = A c) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) d) A È U = U , onde U é o conjunto universo. 4.2 - Interseção ( Ç ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}. Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B. Propriedades imediatas: a) A Ç A = A b) A Ç Æ = Æ c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa) d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo. São importantes também as seguintes propriedades : P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva) P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva) P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção) P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção) Obs: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos. 4.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}. Propriedades imediatas: a) A - f = A b) f - A = f c) A - A = Æ d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa). 4.3.1 - Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A . Simbologia: CAB = A - B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que: a) B Ç B' = f b) B È B' = U c) f' = U d) U' = f 5 - Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X é Ø . b) {2} Ç {3, 5} = Ø c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A. Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} Ç {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N . 6 - Número de elementos da união de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula: n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B) Conjuntos numéricos Números Naturais: {1,2,3,4,5,......,11,12,.....} Números Inteiros: {....,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Seqüências: {0,1,2,....,10,11,12,13,...} Números Racionais: {p/q | p e q são números inteiros , q = 0}; os conjuntos de números naturais , números inteiros e seqüenciais , assim como os números que podem ser grafados em frações, são subconjuntos dos números racionais. Números Irracionais: {x| , x é um número real, mas não um número racional }; os conjuntos de números racionais e irracionais não tem elementos em comum e por isso são conjuntos desarticulados. Números Reais: {x|x é a coordenada de um ponto em uma linha numérica}; a união do conjunto de números racionais com um conjunto de números irracionais equivale ao conjunto de números reais. Números Imaginários: {ai| a é um número real e i é o número cuja segunda potência é -1}; i² = -1; os conjuntos de números reais e imaginários não tem elementos comuns e são conjuntos desarticulados. Números Complexos: {a + bi| a e b são números reais e i é o número cuja segunda potência é -1}; o conjunto de números reais e o de imaginários são subconjuntos dos números complexos. fonte:vestibular1.com.br