Segmentos Lineares e poligonais abertas
Na que segue, apresentamos um segmento, dois segmentos consecutivos e três segmentos consecutivos. Segmentos consecutivos são aqueles em que a extremidade final do primeiro segmento é a extremidade inicial do segundo e a extremidade final do segundo é a extremidadade inicial do terceiro e assim por diante.Polígono (Poligonal fechada) e Região poligonal
Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos(ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não colineares que se fecham.A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono.
Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra polígono identificada com a região localizada dentro da linha poligonal fechada ms é bom deixar claro que polígono representa apenas a linha. Quando não há perigo na informação sobre o que se pretende obter, pode-se usar a palavra num ou no outro sentido.Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são os lados do polígono e da região poligonal.
Os pontos A, B, C, D, E são os vértices da região poligonal e do polígono.
Os ângulos da linha poligonal, da região poligonal fechada e do polígono são: A, B, C, D e E.
Regiões poligonais quanto à convexidade
Região poligonal convexa: É uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente contido na região poligonal.Nomes dos polígonos
Dependendo do número de lados, um polígono recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela:No. de lados | Polígono | No. de lados | Polígono |
---|---|---|---|
1 | não existe | 11 | undecágono |
2 | não existe | 12 | dodecágono |
3 | triângulo | 13 | tridecágono |
4 | quadrilátero | 14 | tetradecágono |
5 | pentágono | 15 | pentadecágono |
6 | hexágono | 16 | hexadecágono |
7 | heptágono | 17 | heptadecágono |
8 | octógono | 18 | octadecágono |
9 | eneágono | 19 | eneadecágono |
10 | decágono | 20 | icoságono |
TriÂngulos e a sua classificaÇÃo
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.
Lados: AB,BC e AC.
Ângulos internos: a, b e c.
Altura: É um segmento de reta traçado a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.
Medidas dos ângulos de um triângulo
Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos.a + b + c = 180º
Exemplo: Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º+60º+x=180º e dessa forma, obtemos x=180º-70º-60º=50º.
Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.
A = b+c, B = a+c, C = a+b
Exemplo: No triângulo desenhado ao lado: x=50º+80º=130º.
Congruência de Triângulos
A idéia de congruência: Duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho.ABC ~ DEF
Para os triângulos das figuras abaixo:
existe a congruência entre os lados, tal que:
AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ TR
e entre os ângulos:
A ~ R , B ~ S , C ~ T
Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos:
ABC ~ RST
Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.
Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos iguais.
Casos de Congruência de Triângulos
LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos.Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.
Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os ângulos formados por eles também são congruentes.
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
Razão entre segmentos de Reta
Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão limitados por dois pontos que são as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas letras como por exemplo, AB, sendo A o início e B o final do segmento.Exemplo: AB é um segmento de reta que denotamos por AB.
A _____________ B
Não é possível dividir um segmento de reta por outro, mas é possível realizar a divisão entre as medidas dos dois segmentos.
Consideremos os segmentos AB e CD, indicados:
A ________ Bm(AB) =2cm
C ______________ Dm(CD)=5 cm
A razão entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/CD, é definida como a razão entre as medidas desse segmentos , isto é:
AB/CD=2/5
Segmentos Proporcionais
Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível eatabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos.Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta:
m(AB) =2cm | A______B | P__________Q | m(PQ) =4cm |
---|---|---|---|
m(CD) =3cm | C__________D | R___________________S | m(RS) =6cm |
AB/CD = 2/3; PQ/RS = 4/6
e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à definição de segmentos proporcionais.
Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se:
AB/BC = CD/DE
Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios.
A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos:
m(AB) m(BC) | = | m(CD) m(DE) |
---|
m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD)
Feixe de retas paralelas
Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.AB/BC = DE/EF
BC/AB = EF/DE
AB/DE = BC/EF
DE/AB = EF/BC
Exemplo: Consideremos a figura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em centímetros.
BC/AB = EF/DE
AB/DE = BC/EF
DE/AB = EF/BC
Observamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão pode ser determinada com o uso de razões proporcionais.
Semelhança de Triângulos
A idéia de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.Exemplo: As ampliações e as reduções fotográficas são figuras semelhantes. Para os triângulos:
os três ângulos são respectivamente congruentes, isto é:
A~R, B~S, C~T
Observação: Dados dois triângulos semelhantes, tais triângulos possuem lados proporcionais e ângulos congruentes. Se um lado do primeiro triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo, então estes dois lados são ditos homólogos. Nos triângulos acima, todos os lados proporcionais são homólogos.
Realmente:
AB~RS pois m(AB)/m(RS)=2
BC~ST pois m(BC)/m(ST)=2
AC~RT pois m(AC)/m(RT)=2
Como as razões acima são todas iguais a 2, este valor comum é chamado razão de semelhança entre os triângulos. Podemos concluir que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo RST.
Dois triângulos são semelhantes se, têm os 3 ângulos e os 3 lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar.
Casos de Semelhança de Triângulos
Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.ABC~DEF
Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2
então
ABC ~ EFG
Exemplo: Na figura abaixo, observamos que um triângulo pode ser "rodado" sobre o outro para gerar dois triângulos semelhantes e o valor de x será igual a 8.
3 6 | = | 4 x |
---|
Quadriláteros e a sua classificação
Quadrilátero é um polígono com quatro lados e os principais quadriláteros são: quadrado, retângulo, losango, trapézio e trapezóide.Os vértices são os pontos: A, B, C e D.
Os ângulos internos são A, B, C e D.
Os lados são os segmentos AB, BC, CD e DA.
Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos e como a soma das medidas dos ângulos internos de um t riângulo é 180 graus, concluímos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus.
Classificação dos Quadriláteros
Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:Losango: 4 lados congruentes
Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
BC é não é paralelo a AD
AB é a base maior
DC é a base menor
Os trapézios recebem nomes de acordo com os triângulos que têm características semelhantes. Um trapézio pode ser:
Retângulo: dois ângulos retos
Isósceles: lados não paralelos congruentes
Escaleno: lados não paralelos diferentes
Fonte: pessoal.sercomtel.com.br
Nenhum comentário:
Postar um comentário