sexta-feira, 30 de agosto de 2019

3º caso de fatoração: Trinômio do quadrado perfeito

A terceira maneira de fatorar expressões algébricas é utilizando a regra do trinômio do quadrado perfeito. Para que possa fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito.

Então, para compreender melhor esse tipo de fatoração vamos recapitular o que é um trinômio e quando um trinômio pode ser um quadrado perfeito.

Trinômio

Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio, ela deverá conter exatamente 3 monômios, veja alguns exemplos de trinômios:

x3 + 2x2 + 2x

- 2x5 + 5y – 5

ac + c – b

É importante ressaltar que nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É preciso verificar se um trinômio pode ser escrito na forma de um quadrado perfeito.

Quadrado perfeito

Veja a demonstração do que é um quadrado perfeito:

Um número é um exemplo de quadrado perfeito, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um quadrado perfeito, pois
62 = 36.
Agora, para aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado (todos os lados iguais) a abaixo com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.



Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:

1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado2 , então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A1 = (x + y) . (x + y) que é o mesmo que A1 = (x + y)2, então podemos dizer que:

O resultado dessa área A1 = (x + y)2 é um quadrado perfeito.

2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A2 = x2 + xy + xy + y2, como xy e xy são semelhantes podemos somá-los

A2 = x2 +2xy + y2

O resultado da área A2 = x2 +2xy + y2 é um trinômio.


As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:

A1 = A2
(x + y)2 = x2 +2xy + y2

Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.

Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito, a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x2 +2xy + y2 fatorado fica (x + y)2.

Como já foi dito, nem todos os trinômios são quadrados perfeitos, por isso é preciso que saibamos identificar se um trinômio é quadrado perfeito ou não. Veja como é feita essa identificação:

Quando um trinômio é quadrado perfeito

O quadrado perfeito (x + y)2 é composto por dois fatores (x e y) , a resolução dele é um trinômio x2 +2xy + y2, o primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo e o segundo monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo.

Esse trinômio do quadrado perfeito é considerado uma forma geral seguida para qualquer quadrado perfeito.

Portanto, para que um trinômio seja quadrado perfeito ele tem que seguir esse modelo. Fazendo um resumo podemos dizer que:

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja alguns exemplos:

Veja se o trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras que foram citadas.



Dois membros do trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio 9a2 – 12ab + 4b2 é (3a – 2b)2, pois é a soma das raízes ao quadrado.

Exemplo:

Dado o trinômio 4x2 – 8xy + y2, devemos tirar as raízes dos termos 4x2 e y2 , as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.
Danielle de Miranda

2º caso de fatoração: Agrupamento

conhecimento do primeiro caso, pois para fatorar uma expressão algébrica utilizando o agrupamento é preciso agrupar os termos semelhantes e colocá-los em evidência.

Quando aplicamos o caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por termos comuns. Veja:

Se observarmos a expressão ab + 3b + 7a + 21 veremos que não são todos os monômios que têm termos semelhantes, mas podemos unir os que possuem termos semelhantes.

Assim, temos: ab + 3b + 7a + 21, agora aplicamos o 1º caso de fatoração (termo comum), colocando em evidência cada elemento comum de cada agrupamento.

ab + 3b + 7a + 21
↓ ↓
b termo 7 é o termo comum
comum


Então: b (a + 3) + 7 (a + 3)

Mesmo fazendo essa fatoração observamos que ainda podemos fazer mais uma fatoração, pois os dois termos b (a + 3) e 7 (a + 3) possuem um termo em comum
(a + 3). Então, aplicamos o processo do fator comum, ficando assim a fatoração:

b (a + 3) + 7 (a + 3)
(a + 3) (b + 7)

Portanto, a expressão algébrica ab + 3b + 7a + 21 fatorada fica assim: (a + 3) (b + 7).
Danielle de Miranda

Reações Químicas

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com




Alguns exemplos cotidianos de reação química
Existem muitos exemplos de reações químicas no cotidiano. Entre eles estão a formação da ferrugem num pedaço de palha de aço, o apodrecimento dos alimentos, a produção de húmus no solo, a queima de gás num fogão e de gasolina, álcool ou óleo diesel no motor de um veículo.
A ocorrência de uma reação química nem sempre é fácil de perceber. Algumas só podem ser percebidas em laboratórios suficientemente equipados para separar componentes das misturas obtidas e determinar as suas propriedades. Há, contudo, algumas evidências que, estão, de modo geral, associadas à ocorrência de reações químicas e que são, portanto, pistas que podem indicar sua ocorrência. Entre essas evidências estão:
  • liberação de calor – por exemplo, nas combustões;
  • mudança de cor – por exemplo, quando um alvejante é derrubado, por descuido, num roupa colorida;
  • mudança de odor – por exemplo, quando frutas, carnes e outros alimentos se estragam;
  • liberação de gás – por exemplo, ao jogar um comprimido efervescente em água.
Reagente e produtos
As substâncias inicialmente presentes num sistema e que se transformam em outras devido à ocorrência de uma reação química são denominadas reagentes. E as novas substâncias produzidas são chamadas de produtos.
Assim, por exemplo:
Em equação:
Em palavras: Os reagentes etanol e gás oxigênio reagem para formar os produtos gás carbônico e água.
Em equação:
Em palavras: Os reagentes enxofre e ferro reagem para formar o produto sulfeto ferroso.
Lei da conservação da Massa, de Lavoisier
Esta lei foi elaborada, em 1774, pelo químico francês Antoine Laurent Lavoisier. Os estudos experimentais realizados por Lavoisier levaram-no a concluir que numa reação química, que se processa num sistema fechado, a soma das massas dos reagentes é igual à soma das massas dos produtos:
m (reagentes) = m (produtos)
Assim, por exemplo, quando 2 gramas de hidrogênio reagem com 16 gramas de oxigênio verifica-se a formação de 18 gramas de água; quando 12 gramas de carbono reagem com 32 gramas de oxigênio ocorre a formação de 44 gramas de gás carbônico.
Essa lei, inclusive, incorporou-se aos "saberes populares", sendo frequentemente enunciada como:
"Na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma."
Lei das proporções constantes (lei de Proust)
Esta lei foi elaborada, em 1797, pelo químico Joseph Louis Proust. Ele verificou que as massas dos reagentes e as massas dos produtos que participam de uma reação química obedecem sempre a uma proporção constante. Esta proporção é característica de cada reação e independente da quantidade das substâncias que são colocadas para reagir. Assim, para a reação entre hidrogênio e oxigênio formando água, os seguintes valores experimentais podem ser obtidos:
Experimento
hidrogênio (g)
oxigênio (g)
água (g)
I
10
80
90
II
2
16
18
III
1
8
9
IV
0,4
3,2
3,6
Observe que:
  • para cada reação, a massa do produto é igual à massa dos reagentes, o que concorda com a lei de Lavoisier;
  • as massas dos reagentes e do produto que participam das reações são diferentes, mas as relações massa de oxigênio/massa de hidrogênio, massa de água/massa de hidrogênio e massa de água/massa de oxigênio são sempre constantes.
Experimento
m oxigênio/m hidrogênio
m água/m hidrogênio
m água/oxigênio
I
8/10 = 8
90/10 = 9
90/80 = 1,125
II
16/2 = 8
18/2 = 8
18/16 = 1,125
III
8/1 = 8
9/1 = 9
9/8 = 1,125
IV
3,2/0,4 = 8
3,6/0,4 = 9
3,6/3,2 = 1,125
No caso das reações de síntese, isto é, aquelas que originam uma substância, a partir de seus elementos constituintes, o enunciado da lei de Proust pode ser o seguinte:
Resumindo:
A proporção, em massa, dos elementos que participam da composição de uma substância é sempre constante e independe do processo químico pelo qual a substância é obtida.
Equações químicas
Os químicos utilizam expressões, chamadas equações químicas, para representar as reações químicas.
Para se escrever uma equação química é necessário:
  • saber quais substâncias são consumidas (reagentes) e quais são formadas (produtos);
  • conhecer as fórmulas dos reagentes e dos produtos;
  • escrever a equação sempre da seguinte forma: reagentes => produtos
  • quando mais de um reagente, ou mais de um produto, participarem da reação, as fórmulas das substâncias serão separadas pelo sinal "+ ";
  • se for preciso, colocar números, chamados coeficientes estequiométricos, antes das fórmulas das substâncias de forma que a equação indique a conservação dos átomos. Esse procedimento é chamado balanceamento ou acerto de coeficientes de uma equação.
Utilizando as regras acima para representar a formação da água temos:
  • reagentes: hidrogênio e oxigênio;
  • produto: água.
  • fórmulas das substâncias: hidrogênio: H2; oxigênio: 02; água: H20.
  • equação: H2 + 02 H2O.
Acerto dos coeficientes: a expressão acima indica que uma molécula de hidrogênio (formada por dois átomos) reage com uma molécula de oxigênio (formada por dois átomos) para formar uma molécula de água (formada por dois átomos de hidrogênio e um de oxigênio). Vemos, portanto, que a expressão contraria a lei da conservação dos átomos (lei da conservação das massas), pois antes da reação existiam dois átomos de oxigênio e, terminada a reação, existe apenas um. No entanto, se ocorresse o desaparecimento de algum tipo de átomo a massa dos reagentes deveria ser diferente da massa dos produtos, o que não é verificado experimentalmente.
Como dois átomos de oxigênio (na forma de molécula 02) interagem, é lógico supor que duas moléculas de água sejam formadas. Mas como duas moléculas de água são formadas por quatro átomos de hidrogênio, serão necessárias duas moléculas de hidrogênio para fornecer essa quantidade de átomos. Assim sendo, o menor número de moléculas de cada substância que deve participar da reação é: hidrogênio, duas moléculas; oxigênio, uma molécula; água, duas moléculas.
A equação química que representa a reação é: 2H2 + 102 => 2 H20
Que é lida da seguinte maneira: duas moléculas de hidrogênio reagem com uma molécula de oxigênio para formar duas moléculas de água.
Classificação das reações químicas
As reações químicas podem ser classificadas de várias maneiras. A mais comum é aquela que utiliza como parâmetro os tipos de substâncias reagentes e resultantes.
Síntese ou adição
Nesta reação, dois ou mais reagentes (A e B) se combinam, formando apenas um produto (AB).
Alguns exemplos:
Análise ou decomposição
É a reação em que apenas um reagente (AB) produz dois ou mais produtos (A e B).
Alguns exemplos:
Simples troca ou deslocamento
É a reação em que uma substância simples se combina com uma substância composta, formando outra substância simples e outra composta.
ou
Alguns exemplos:
Dupla troca ou permutação
Neste tipo de reação ocorre uma troca entre duas substâncias compostas que se combinam, formando duas outras substâncias compostas.
Alguns exemplos:
Condição para que uma reação química ocorra
Para que duas ou mais substâncias reajam quimicamente, são necessárias as seguintes condições:
  • suas moléculas devem estar dispostas de modo a conseguir o maior contato possível. Geralmente substâncias no estado gasoso reagem mais fácil e rapidamente do que substâncias no estado sólido;
  • os reagentes devem ter afinidade química, isto é, uma certa “tendência a reagir” reciprocamente.
A energia das reações químicas
Nenhum átomo “surge do nada” ou “desaparece” durante uma reação química.
Se reações químicas são apenas um rearranjo de átomos, então, de onde vem a energia envolvida, por exemplo, numa queima?
Quando uma folha de papel queima, podemos observar que sua matéria se transforma, pois ocorre uma reação química. Percebemos, também, que nessa reação há liberação de luz e calor, que são formas de energia.
  • De onde veio essa energia que foi liberada?
  • Por que ela foi liberada?
  • Pode haver uma reação que, ao invés de liberar, absorva calor?
A energia química
As substância possuem certa quantidade de energia armazenada, denominada energia química. Essa energia é proveniente de suas ligações químicas e das forças de atração e de repulsão entre os átomos que a compõem.
Como cada substância possui armazenada uma quantidade de energia química específica, há uma diferença entre os conteúdos energéticos de seus reagentes e de seus produtos.
Em função da energia química de reagentes e produtos, a reação pode ocorrer segundo duas formas distintas:
A energia dos reagentes é menor que a dos produtos.
Neste caso os reagentes terão que ganhar energia para se transformar em produtos.
A energia dos reagentes é maior que a dos produtos.
Neste caso os reagentes terão de liberar energia para se transformar em produtos.
A absorção e a liberação de energia normalmente ocorrem acompanhadas de absorção ou liberação de calor.
Os reagentes ganham energia para se transformar em produtos com maior energia ou podem perder energia para se transformar em produtos com menor energia.
Reações químicas que absorvem energia são chamadas endotérmicas e as que liberam energia são chamadas exotérmicas.
Quando os produtos possuem mais energia que os reagentes, sabemos que essas reações absorveram energia, isto é, elas normalmente ganham calor para ocorrerem. Um exemplo é a queima do açúcar para fazer a calda do pudim. Ao receber calor o açúcar se transforma em calda, e sua aparência e seu sabor mudam. Para que essa reação ocorra é necessário ceder energia ao sistema.
Já nas reações exotérmicas, a energia dos reagentes é maior que a dos produtos. Normalmente, os reagentes perdem calor para que a reação ocorra, o que acontece, por exemplo, na queima do papel. É fácil verificar que o sistema está liberando energia na forma de calor e luz.
É importante ressaltar que nem sempre a energia liberada e absorvida ocorre na forma de calor, um exemplo é a fotossíntese, em que a absorção de energia ocorre pela presença de luz (energia luminosa).
A velocidade das reações químicas
Como você já deve ter observado, algumas reações ocorrem mais rapidamente e outras mais lentamente. Portanto, as reações podem ser rápidas ou lentas e sua velocidade pode ser medida pela formação de produtos ou consumo de reagentes por unidade de tempo.
Suponha que na reação do sejam formados 365 g de HCl, em 10 minutos.
A velocidade dessa reação pode ser calculada dividindo-se a massa da substância pelo tempo:
Essa velocidade pode ser calculada, ainda, em função dos reagentes; por exemplo, se foram consumidos 20 g de H2 nos mesmos 10 minutos, temos:
As unidades utilizadas nos exemplos podem ser outras. Gramas e minuto podem ser substituídos por litro e segundo. O importante é que sejam definidas e representadas de forma compreensível.
Fatores que interferem na velocidade da reação química
A velocidade de uma reação química depende de vários fatores: da superfície de contato entre os reagentes, da temperatura, da concentração das substâncias reagentes e da presença do catalisador.
É importante conhecer os fatores que influenciam na velocidade das reações químicas, para que possam ser controladas. Um exemplo bastante elucidativo é a forma como são conservados os alimentos, pois sua deterioração ocorre através de reações químicas.
Superfície de contato
Quanto maior a superfície de contato entre os reagentes, maior a velocidade de reação. Exemplo: os antiácidos efervescentes quando triturados se dissolvem mais rápido em água do que em forma de comprimido inteiro, isto porque a superfície de contato fica maior para reagir com a água

Concentração de reagentes
Quanto maior a concentração dos reagentes, mais rápida será a reação química. Essa propriedade está relacionada com o número de colisões entre as partículas. Exemplo: uma amostra de palha de aço reage mais rápido com ácido clorídrico concentrado do que com ácido clorídrico diluído.
Temperatura
De um modo geral, quanto maior a temperatura, mais rapidamente se processa a reação. Podemos acelerar uma reação lenta, submetendo os reagentes a uma temperatura mais elevada. Exemplo: se cozinharmos um alimento em panela de pressão ele cozinhará bem mais rápido, devido à elevação de temperatura em relação às panelas comuns.
Adição de catalisador
Catalisadores são substâncias com capacidade de acelerar determinadas reações químicas. Os catalisadores interagem com os reagentes, fazendo com que a reação entre estes seja mais fácil de ocorrer, ocasionando um aumento na formação de produtos por unidade de tempo.
Devido a essas características, os catalisadores são muito utilizados em indústrias químicas, pois quanto maior a velocidade de reação, mais eficiente é o processo e menor o tempo gasto para a obtenção de determinada substância.
Se deixarmos o peróxido de hidrogênio (H2O2) em um recipiente aberto, aos poucos vai ocorrer uma reação de decomposição em água e oxigênio:
Porém, se introduzirmos no recipiente uma placa de platina, a reação ocorre muito mais rapidamente.
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quinta-feira, 29 de agosto de 2019

Produtos notáveis

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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O quadrado da soma e o quadrado da diferença são expressões algébricas que se enquadram nas condições de produtos notáveis, pois podem ser resolvidas através de generalizações lógicas.

Quadrado da soma (a + b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”

(x + 5)² = (x)² + 2*x*5 + (5)² = x² + 10x + 25

(2x + 4)² = (2x)² + 2*2x*4 + (4)² = 4x² + 16x + 16

(5x + 9)² = (5x)² + 2*5x*9 + (9)² = 25x² + 90x + 81

(6x + 2/3)² = (5x)² + 2*6x*2/3 + (2/3)² = 25x² + 8x + 4/9

(10x² + 12) = (10x²)² + 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 + 240x + 144

(x³ + 2x)² = (x³)² + 2*x³*2x + (2x)² = x6 + 4x4 + 4x²

(13x + 20)² = (13x)² + 2*13x*20 + (20)² = 169x² + 520x + 400


Quadrado da diferença (a – b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”


(x – 6)² = (x)² – 2*x*6 + (6)² = x² – 12x +36

(5x – 8)² = (5x)² – 2*5x*8 + (8)² = 25x² – 80x + 64

(9x – 7)² = (9x)² – 2*9x*7 + (7)² = 81x² – 126x + 49

(6x² – 4/6)² = (6x²)² – 2*6x²*4/6 + (4/6)² = 36x4 – 8x² + 16/36 = 36x4 – 8x² + 4/9

(10x² – 12) = (10x²)² – 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 – 240x + 144

(x4 – 2x²)² = (x4)² – 2*x4*2x² + (2x²)² = x8 – 4x6 + 4x4

(11x – 6z)² = (11x)² – 2*11x*6z + (6z)² = 121x² – 132xz + 36z²

Cubo da Soma (a + b)³

(2x + 3)³

1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 3 = 36x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (3)² = 54x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (3)³ = 27
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ + 36x² + 54x + 27

Exemplos

(4x + 3)³

1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 3 = 144x²
3º passo: 3 * 4x * (3)² = 108x
4º passo: (3)³ = 27
5º passo: 64x³ + 144x² + 108x + 27

(2x + 3z)³

1º passo: (2x)³ = 8x³
2º passo: 3 * (2x)² * 3z = 36x²z
3º passo: 3 * 2x * (2z)² = 24xz²
4º passo: (3z)³ = 27z³
5º passo: 8x³ + 36x²z + 24xz² + 27z³

(5x + 7z)³

1º passo: (5x)³ = 125x³
2º passo: 3 * (5x)² * 7z = 525x²z
3º passo: 3 * 5x * (7z)² = 735xz²
4º passo: (7z)³ = 343z³
5º passo: 125x³ + 525x²z + 735xz² + 343z³


Cubo da Diferença (a – b)³

(2x – 4)³

1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 4 = 48x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (4)² = 96x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (4)³ = 64
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ – 48x² + 96x – 64

Exemplos

(4x – 2)³

1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 2 = 96x²
3º passo: 3 * 4x * (2)² = 48x
4º passo: (2)³ = 8
5º passo: 64x³ – 96x² + 48x – 8

(3x – 2z)³

1º passo: (3x)³ = 27x³
2º passo: 3 * (3x)² * 2z = 54x²z
3º passo: 3 * 3x * (2z)² = 36xz²
4º passo: (2z)³ = 8z³
5º passo: 27x³ – 54x²z + 36xz² – 8z³

(7x – 5z)³

1º passo: (7x)³ = 343x³
2º passo: 3 * (7x)² * 5z = 735x²z
3º passo: 3 * 7x * (5z)² = 525xz²
4º passo: (5z)³ = 125z³
5º passo: 343x³ – 735x²z + 525xz² – 125z³

Diferença entre dois quadrados de números consecutivos

Uma situação interessante surge ao tentarmos resolver a subtração de potências de números consecutivos, observe a resolução pelo modo convencional:

101² – 100² = 10201 – 10000 = 201

Agora veja a resolução de um modo muito curioso.

Para resolver tal situação, basta fazer a simples operação:
101 + 100 = 201

Tal situação acontece pelo seguinte fato:
Considere dois números consecutivos x e y, tal que x < y, então y – x = 1. Dessa forma y² – x² = (y – x)(y + x) = 1 * (y + x) = y + x , portanto:

y² – x² = y + x


Exemplos

a) 30² – 29² = 900 – 841 = 59 ou 30 + 29 = 59

b) 1000² – 999² = 1 000 000 – 998 001 = 1999 ou 1000 + 999 = 1999

c) 521² – 520² = 271 441 – 270 400 = 1041 ou 521 + 520 = 1041

d) 5201² – 5200² = 27 050 401 – 27 040 000 = 10 401 ou 5201 + 5200 = 10 401


Soma entre dois quadrados de números consecutivos

Para a soma entre dois quadrados de números consecutivos também temos uma regra bem interessante, observe:

101² + 100² = 10 201 + 10 000 = 20 201

Podemos optar pela seguinte situação:

101 * 100 = 10 100
10 100 * 2 = 20 200
20 200 + 1 = 20 201

Dessa forma temos que:
y² + x² = y * x * 2 + 1

Exemplos

a) 15² + 14² = 225 + 196 = 421 ou 15*14*2 + 1 = 421

b) 200² + 199² = 40 000 + 39 601 = 79 601 ou 200*199*2 + 1 = 79601

c) 1500² + 1499² = 2 250 000 + 2 247 001 = 4 497 001 ou 1500*1499*2 + 1 = 4 497 001

d) 70² + 69² = 4900 + 4761 = 9661 ou 70*69*2 + 1 = 9661
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Progressão aritmetica

Uma P.A pode ser representada de forma genérica para facilitar a resolução de algumas situações problemas. Dessas representações é preciso destacar as seguintes:

Com P. A de três termos

Uma P.A de três elementos poderá ser representada da seguinte forma:

Considerando uma P.A de três elementos onde o 1º elemento é x, a razão é r, teremos a seguinte seqüência de elementos: (x, x + r, x + 2r).

Considerando uma P.A de três elementos onde o termo do meio é x e r a razão, formaremos outra seqüência de elementos: (x – r , x , x + 2r).

Com P.A de quatro termos

Uma P.A de quatro elementos poderá ser representada da seguinte forma:

Considerando uma P.A de quatro elementos onde o 1º elemento é x e razão r, teremos a seguinte seqüência de elementos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r).

Considerando uma P.A de quatro elementos de razão 2r, formaremos outra seqüência de elementos: (x – 3r, x - r, x + r, x + 3r).

Numeração


01 – O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente :

02 – Se n é par, o consecutivo par de n será ........... Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será ...........

03 – O consecutivo e o antecedente de um número par será, necessariamente, um número :

04 – Se n é um número natural significativo, diga se são números pares ou ímpares, as expressões abaixo : 2n +1 ; 8n – 6 ; 6n – 1 ; 5n + 3

05 – Quantas classes e quantas ordens possui um número de 8 algarismos ?

06 – Determine o número formado por : 5 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar, 7 unidades de 3ª ordem e 48 unidades simples.

07 – No número formado por 5 unidades de 4ª ordem, 3 unidades de 3ª ordem e 7 unidades simples, o Valor relativo do algarismo 3 acrescido do valor absoluto do algarismo 5 é :

08 – A soma dos valores relativos dos algarismos de um número é sempre igual ao ..................... .

09 – Em que ordem a diferença entre os valores relativo e absoluto de um algarismos é nula ?

10 – A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 396. Que algarismos é esse ? e que ordem ele ocupa nesse número ?

11 – Quantas dezenas possui o número cujo triplo da soma dos valores relativos de seus algarismos é 873 ?

12 – Qual é o maior e o menor número natural de dois algarismos ?

13 – Qual é o maior e o menor número de dois algarismos diferentes ?

14 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos diferentes?

15 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos pares e diferentes ?

16 – Qual é o maior e o menor número de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

17 – Qual é o maior e o menor número par de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

18 – Qual é o maior e o menor número ímpar de quatro algarismos diferentes ?

19 – Qual é o maior e o menor número de cinco algarismos ímpares e diferentes ?

20 – Determine a diferença entre o menor número par de quatro algarismos diferentes e o maior número de 3 algarismos ímpares e diferentes.

21 – Quantos algarismos utilizo para escrever os 150 primeiros números naturais ?

22 – Para escrevermos de 27 até 498, inclusive, utilizamos ............. números e .............. algarismos .

23 – Quantos algarismos serão necessários para escrevermos de 33 até 1.498 ?

24 – Quantos algarismos são necessários para se escrever os números pares situados entre 63 e 709 ?

25 – Quantos algarismos serão necessários para se escrever os números ímpares situados entre 45 e 585?

26 – Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números pares de três algarismos?

27 – Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ?

28 – Quantos algarismos serão utilizados para escre-vermos todos os múltiplos pares de 7 compreendidos no intervalo numérico 42, 43, 44, ....444 ?

29 – Quantos algarismos são necessários para escre-vermos os números de n algarismos ?

30 – Quantos tipos de um algarismos são necessários para numerar as páginas de um livro de 314 páginas numeradas ?

31 – Foram gastos para paginar um livro 792 tipos de um algarismo. Quantas páginas tem esse livro ?

32 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a 1.467º posição ?

33 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a posição de número 454 ?

34 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 1.236, quantas vezes o algarismo 5 aparece na ordem das unidades simples ?

35 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 2.235, quantas vezes o algarismo 2 aparece na ordem das centenas simples ?

36 – Na sucessão dos naturais : 0, 1, 2, ........4.639, quantas vezes aparece o algarismo 6

37 – Qual é o número que aumenta de 513 unidades quando acrescentamos a sua direita o algarismo “0” ?

38 – Qual é o número que aumenta de 346 quando acrescentamos um 4 à sua direita ?

39 – Qual é o número que aumenta de 2 793 quando acrescentamos à sua direita o número 21 ?

40 – Qual é o maior número ímpar de dois algarismos que aumenta de 180 unidades quando colocamos um zero entre seus dois algarismos ?

41 – Um aluno digitou em seu PC a sucessão dos números naturais até 465. Por um problema em seu teclado, cada vez que era digitado o algarismo 7,aparecia em seu lugar o algarismo 3. Dessa forma, quantas vezes apareceu o dígito 3 nessa sucessão ?

42 – Um jovem escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos naturais menores que 1.279. Quantas vezes nessa sucessão aparecerá o grupo “12” ?

43 – ( Colégio Naval ) – Determinar o números de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive.

44 – ( Colégio Naval ) – Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2.850. Quantas vezes ele escreveu o algarismo 7 ?

45 – ( Colégio Naval ) – Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se esse algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a seqüência dois demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é :

A) 100.006 B) múltiplo de 11 C) múltiplo de 4

D) maior que 180 000 E) divisível por 5



46 – ( XXII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – Os ­ números inteiros positivos de 1 a 1.000 são escritos lado a lado, em ordem crescente, formando a seqüência: 123456789101112131415...9991000. Nessa seqüência, quantas vezes aparece o grupo "89"?

a) 98

b) 32

c) 22

d) 89

e) 21



47 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:

a) 6882

b) 5994

c) 4668

d) 7224

e) 3448



48 – ( EFEI – 2000 ) Qual é o número natural de dois algarismos que fica aumentado de 178 unidades quando acrescentamos, à sua direita, o algarismo 7?

49 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escolhidos dois números inteiros entre 1 e 100 inclusive, tais que a diferença é 7 e o produto é múltiplo de 5. De quantas maneiras pode ser feita a escolha ?

50 – ( Olimpíada Brasileira de Matemática ) – O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos: 10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos ?

A) 4

B) 1

C) 2

D) 3

E) nenhuma



51 – ( EsPeCEx ) Empregaram-se 1.507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o menor é 23. O maior deles será :

52 – ( Questão Desafio 1 ) – Quantos algarismos utilizo para escrever todos os múltiplos naturais de 3 inferiores a 330 e que não sejam múltiplos de 5.

53 – ( Questão Desafio 2 ) – Quantos algarismos “3” utilizo para escrever todos os números naturais começando no 33 e terminando no número 333 ?



RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

01) n + 1 e n – 1


02) n + 2 e n – 2

03) ímpar


04) 2n +1 e 6n – 1 è impar

8n – 6 è par

5n + 3 è depende de n

05) 8 ordens e 3 classes


06) 52.748

07) 305


08) próprio número

09) unidades simples


10) 4 e 3ª ordem

11) 9 dezenas


12) 99 e 10

13) 98 e 10


14) 987 e 102

15) 204 e 864


16) 9.876 e 1.234

17) 9.876 e 1.234


18) 9.875 e 1235

19) 13.579 e 97.531


20) 49

21) 340


22) 472 e 1.343

23) 4.830


24) 951

25) 783


26) 1.350

27) 265


28) 82

29) x para n>1


30) 1.887

31) 300 páginas


32) 5

33) 1


34) 124

35) 236


36) 1.364

37) 57


38) 38

39) 28


40) 29

41) 273


42) 93

43) 207


44) 865

45) letra b


46) 23

47) letra a


48) 19

49) 37 maneiras


50) 1 è 2 + 23

51) 400


52) 234

53) 636

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