Ensino de Matemática

Equação do 2º Grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .

Exemplos:

Classificação

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta

x²-9=0 » x²=9 » x=

» x=

2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta) b²-4ac:

(2ax+b)²=

2ax+b=

2ax=-b

Logo:

Fórmula de Bháskara

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2

= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4

= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:

» x=2

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
a=5 b=-6 c=5

= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo:

» vazio

Propriedades

Relações entre coeficientes e raízes

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:

A soma das raízes será:

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:

Substituindo por

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² - Sx + P = 0
Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8

c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:

Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br

Soma e Produto

Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.

Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).

Para provarmos a soma e o produto de duas raízes reais de uma equação do 2º grau devemos partir da sua forma geral:

ax² + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara.

SOMA
Somando as duas raízes:
x’ + x”

- b - √∆ - b + √∆ → +√∆ e -√∆ cancelam, pois sua soma será zero.
2a

-2b :2
2a :2

-b
a

Portanto, somar as duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ + x” = -b
a

PRODUTO
Multiplicando as duas raízes:
x’ . x”

Portanto, o produto das duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ . x” = c
a

Além de utilizarmos a fórmula de Bháskara para encontrarmos o valor de x’ e x”, podemos utilizar o produto e a soma das raízes, veja como:

Dada a equação x² – 7x + 10 = 0. Para encontrar a soma e o produto de suas raízes não é necessário que saibamos qual é o valor delas, mas devemos retirar da equação os seus coeficientes.
a = 1
b = - 7
c = 10

Chegamos a duas conclusões: a soma dessas raízes será 7 e o produto delas será 10. Por tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10.
5 . 2 = 10

(-5) . (-2) = 10

1 . 10 = 10

(-1) . (-10) = 10

Desses produtos deve-se escolher aquele que se somarmos os seus fatores encontraremos como resultado 7.
5 + 2 = 7

Portanto, x’ = 5 e x” = 2.