segunda-feira, 6 de abril de 2020
Caule
Os caules são os órgãos vegetais que possibilitam a condução e o transporte de nutrientes das raízes para as folhas, além de colocá-las em condições de melhor iluminação, contribuindo de maneira decisiva para a realização do processo da fotossíntese. Também é o caule que sustenta as partes aéreas do vegetal e armazena água e substâncias nutritivas.
Esses órgãos geralmente possuem um formato cilíndrico e podem ser aéreos, como no caso do maracujá e da uva, que crescem enrolando-se em um suporte; subterrâneos, que podem acumular reservas nutritivas e aquáticas, que se desenvolvem em um meio líquido, como no caso das vitórias-régias.
O crescimento apical do caule é provocado pela gema termina, onde os diversos primórdios foliares produzem as folhas. Nas axilas das folhas estão localizadas as gemas laterais. A região das gemas caracteriza o nó do caule e o espaço entre dois nós é denominado entrenó.
Em alguns casos, os caules sofrem modificações, que de acordo com a necessidade da planta, criam ramificações especiais. A parreira, por exemplo, desenvolve ramos (gavinhas) enrolados em espiral, possibilitando a fixação da planta em um suporte. Outro exemplo de modificações de caule são os espinhos, que são prolongamentos do caule, funcionando como mecanismos de defesa da planta.
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Logaritmo
Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Iremos através de exemplos demonstrar a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.
Exemplo 1 – Matemática Financeira
Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?
Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:
M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?
M = C * (1 + i)t
3500 = 500 * (1 + 0,035)t
3500/500 = 1,035t
1,035t = 7
Aplicando logaritmo
log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7
O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.
Exemplo 2 – Geografia
Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?
População do ano-base = P0
População após um ano = P0 * (1,03) = P1
População após dois anos = P0 * (1,03)2= P2
População após x anos = P0 * (1,03)x = Px
Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:
Px = 2*P0
P0 * (1,03)x = 2 * P0
1,03x = 2
Aplicando logaritmo
log 1,03x = log 2
x * log 1,03 = log2
x * 0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5
A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.
Exemplo 3 – Química
Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:
Q = Q0 * e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
Q = Q0 * e–rt
200 = 1000 * e–0,02t
200/1000 = e–0,02t
1/5 = e–0,02t (aplicando definição)
–0,02t = loge1/5
–0,02t = loge5–1
–0,02t = –loge5
–0,02t = –ln5 x(–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47
A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.
Exemplo 1 – Matemática Financeira
Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?
Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:
M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?
M = C * (1 + i)t
3500 = 500 * (1 + 0,035)t
3500/500 = 1,035t
1,035t = 7
Aplicando logaritmo
log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7
O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.
Exemplo 2 – Geografia
Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?
População do ano-base = P0
População após um ano = P0 * (1,03) = P1
População após dois anos = P0 * (1,03)2= P2
População após x anos = P0 * (1,03)x = Px
Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:
Px = 2*P0
P0 * (1,03)x = 2 * P0
1,03x = 2
Aplicando logaritmo
log 1,03x = log 2
x * log 1,03 = log2
x * 0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5
A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.
Exemplo 3 – Química
Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:
Q = Q0 * e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
Q = Q0 * e–rt
200 = 1000 * e–0,02t
200/1000 = e–0,02t
1/5 = e–0,02t (aplicando definição)
–0,02t = loge1/5
–0,02t = loge5–1
–0,02t = –loge5
–0,02t = –ln5 x(–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47
A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.
Pronomes Possessivos
Pronome possessivo é o tipo de pronome que indica a que pessoa do discurso pertence o elemento ao qual se refere.
Meu carro está estragado.
Quadro dos pronomes possessivos
Os pronomes possessivos concordam em gênero e número com a coisa possuída, e em pessoa com o possuidor.
(eu) Vendi minha moto.
(tu) Releste tua prova?
(nós) Compramos nosso carro.
Quando o pronome possessivo determina mais de um substantivo, ele deverá concordar em gênero e número com o substantivo mais próximo.
Vou lavar minhas sandálias e tênis.
Emprego dos pronomes possessivos
- seu: a utilização do pronome seu (e flexões) pode gerar frases ambíguas, podemos ter dúvidas quanto ao possuidor.
A menina disse ao colega que não concordava com sua reprovação.
(reprovação de quem? Da menina ou do colega?)
Para evitar esse tipo de ambigüidade, usa-se dele (dela, deles, delas)
A menina disse ao colega que não concordava com a reprovação dela.
• A reprovação dela (da aluna)
A menina disse ao colega que não concordava com a reprovação dele.
• A reprovação dele (do colega)
- existem casos em que o pronome possessivo não exprime propriamente idéia de posse. Ele pode ser utilizado para indicar aproximação, afeto ou respeito.Aquele museu deve ter seus cem anos. (aproximação)
Meu caro amigo, cuide melhor de sua saúde. (afeto)Sente-se aqui minha senhora. (respeito)
- seu: anteposto a nomes próprios não é possessivo, mas uma alteração fonética de Senhor.
Seu José, o senhor poderia emprestar-me seu celular?
Por Marina Cabral
Especialista em Língua Portuguesa e Literatura
Equipe Brasil Escola
Meu carro está estragado.
Quadro dos pronomes possessivos
| Número | Pessoa | Pronomes possessivos |
| singular | primeira | meu, minha, meus, minhas |
| segunda | teu, tua, teus, tuas | |
| terceira | seu, sua, seus, suas | |
| plural | primeira | nosso, nossa, nossos, nossas |
| segunda | vosso, vossa, vossos, vossas | |
| terceira | seu, sua, seus, suas |
(eu) Vendi minha moto.
(tu) Releste tua prova?
(nós) Compramos nosso carro.
Quando o pronome possessivo determina mais de um substantivo, ele deverá concordar em gênero e número com o substantivo mais próximo.
Vou lavar minhas sandálias e tênis.
Emprego dos pronomes possessivos
- seu: a utilização do pronome seu (e flexões) pode gerar frases ambíguas, podemos ter dúvidas quanto ao possuidor.
A menina disse ao colega que não concordava com sua reprovação.
(reprovação de quem? Da menina ou do colega?)
Para evitar esse tipo de ambigüidade, usa-se dele (dela, deles, delas)
A menina disse ao colega que não concordava com a reprovação dela.
• A reprovação dela (da aluna)
A menina disse ao colega que não concordava com a reprovação dele.
• A reprovação dele (do colega)
- existem casos em que o pronome possessivo não exprime propriamente idéia de posse. Ele pode ser utilizado para indicar aproximação, afeto ou respeito.Aquele museu deve ter seus cem anos. (aproximação)
Meu caro amigo, cuide melhor de sua saúde. (afeto)Sente-se aqui minha senhora. (respeito)
- seu: anteposto a nomes próprios não é possessivo, mas uma alteração fonética de Senhor.
Seu José, o senhor poderia emprestar-me seu celular?
Por Marina Cabral
Especialista em Língua Portuguesa e Literatura
Equipe Brasil Escola
Sistema Linear Homogêneo
Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o terno (0, 0, 0), chamamos de solução nula ou trivial.
Podemos dizer que um sistema linear homogêneo é SPD ou SPI.
Será:
SPD: se admitir somente uma solução trivial.
SPI: se admitir uma solução trivial e outras soluções.
Generalizando, podemos representar um sistema linear homogêneo da seguinte forma:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3+ ... +a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + am3x3+...+amnxn= 0
Consideremos o sistema:
2x + 2y + 2z = 0
4x – 2y – 2z = 0
2x + 2y – 4z = 0
Ao aplicarmos Sarrus:
2 2 2
4 -2 - 2
2 2 -4
Verificamos que D = 72, portanto D ≠ 0 e m = n (m: número de linhas e n: número de colunas).
Podemos concluir que o sistema é normal.
Obs.: Se temos um sistema com D = 0 e m = n dizemos que ele é possível e indeterminado ou impossível.
Podemos dizer que um sistema linear homogêneo é SPD ou SPI.
Será:
SPD: se admitir somente uma solução trivial.
SPI: se admitir uma solução trivial e outras soluções.
Generalizando, podemos representar um sistema linear homogêneo da seguinte forma:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3+ ... +a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + am3x3+...+amnxn= 0
Consideremos o sistema:
2x + 2y + 2z = 0
4x – 2y – 2z = 0
2x + 2y – 4z = 0
Ao aplicarmos Sarrus:
2 2 2
4 -2 - 2
2 2 -4
Verificamos que D = 72, portanto D ≠ 0 e m = n (m: número de linhas e n: número de colunas).
Podemos concluir que o sistema é normal.
Obs.: Se temos um sistema com D = 0 e m = n dizemos que ele é possível e indeterminado ou impossível.
domingo, 5 de abril de 2020
Equação Reduzida da Reta
Podemos representar uma reta no plano cartesiano por meio da condição geométrica ou por uma equação matemática. Em relação à equação matemática, a reta pode ser escrita nas seguintes formas: reduzida, segmentária, geral ou paramétrica. Vamos abordar a representação de uma equação reduzida de reta, demonstrando três possíveis situações.
Vamos considerar a equação da reta que passa por um ponto Q(x1, y1), com coeficiente angular a, observe:
y – y1 = a * (x – x1)
Escolhendo ao acaso, o ponto (0, b) e determinando que a reta o intersecte, temos que:
y – b = a * (x – 0)
y – b = a * x – a * 0
y – b = ax
y = ax + b
Portanto, a equação reduzida da reta possui a seguinte lei de formação:
Vamos considerar a equação da reta que passa por um ponto Q(x1, y1), com coeficiente angular a, observe:
y – y1 = a * (x – x1)
Escolhendo ao acaso, o ponto (0, b) e determinando que a reta o intersecte, temos que:
y – b = a * (x – 0)
y – b = a * x – a * 0
y – b = ax
y = ax + b
Portanto, a equação reduzida da reta possui a seguinte lei de formação:
y = ax +b
1ª situaçãoUtilizando o ponto P1(2, 7), no qual x = 2 e y = 7, temos:
y – y1 = a * (x – x1)
y – 7 = 4 * (x – 2)
y – 7 = 4x – 8
y = 4x – 8 + 7
y = 4x – 1
2ª situação
A forma geral da equação reduzida da reta é dada pela expressão: y = ax + b. Utilizando o ponto P1(2, 7), temos:
y = ax + b
7 = a * 2 + b
2a + b = 7
Utilizando o ponto P2(–1, –5), temos:
–5 = a * (–1) + b
–5 = –a + b
–a + b = –5
Resolvendo o sistema,
, determinamos o coeficiente angular e o linear. 
Substituindo os valores de a e b na expressão matemática, temos:
y = ax + b
y = 4x – 1
3ª situação
Podemos construir uma matriz quadrada com os pontos fornecidos e um ponto genérico (x, y). O determinante dessa matriz será a equação da reta. Observe:
P1(2, 7) e P2(–1, –5)
y = ax + b
y = 4x – 1
3ª situação
Podemos construir uma matriz quadrada com os pontos fornecidos e um ponto genérico (x, y). O determinante dessa matriz será a equação da reta. Observe:
P1(2, 7) e P2(–1, –5)
Aplicando Sarrus: produto dos termos da diagonal principal subtraído do produto dos termos da diagonal secundária.
[(x * 7 * 1) + (–1 * 1 * y) + (–5 * 2 * 1)] – [(–1 * 7 * 1) + (y * 2 * 1) + (–5 * x * 1)] = 0
[7x – y –10] – [–7 + 2y – 5x] = 0
7x – y – 10 + 7 – 2y + 5x = 0
12x – 3y – 3 = 0
–3y = –12x + 3 (dividir todos por – 3)
y = 4x – 1
a = coeficiente angular da reta[7x – y –10] – [–7 + 2y – 5x] = 0
7x – y – 10 + 7 – 2y + 5x = 0
12x – 3y – 3 = 0
–3y = –12x + 3 (dividir todos por – 3)
y = 4x – 1
b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção da reta com o eixo y)
Note que a equação reduzida da reta se apresenta fornecendo a coordenada y em função de x.
Construindo a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P1(2, 7) e P2(–1, –5).
Vamos determinar o coeficiente angular da reta, caso seja necessário sua utilização:
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