Vitaminas Propriedades e funções dos micronutrientes

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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O organismo humano é uma máquina biológica complexa, com inúmeros órgãos e sistemas trabalhando em sincronia. E, semelhante a um carro - que, se não estiver abastecido, não funciona e de nada adianta toda a tecnologia utilizada na sua fabricação -, necessita de combustível para manter-se em pleno funcionamento.

No caso do corpo humano, o combustível é denominado nutriente e pode ser encontrado nos alimentos.

Os nutrientes são classificados em macronutrientes e micronutrientes. Os carboidratos, proteínas, gorduras e fibras alimentares são considerados macronutrientes, pois são necessários em grandes quantidades na dieta diária de um indivíduo.

Micronutrientes
Quanto aos micronutrientes, são substâncias que devem ser diariamente ingeridas, em pequenas quantidades, suficientes para exercerem suas funções. São os sais minerais, a água e as vitaminas.

As vitaminas são adquiridas exclusivamente pela dieta diária do ser humano, já que nosso metabolismo é incapaz de produzi-las. Esses compostos possuem múltiplas funções, porém, em sua grande maioria, atuam como cofatores em reações químicas mediadas por enzimas.

Portanto, se a dieta de uma pessoa não for rica em vitaminas, algumas enzimas deixam de atuar adequadamente, gerando um quadro clínico denominado avitaminose.

As vitaminas A, D, E e K são classificadas como lipossolúveis, pois só podem ser absorvidas pelas paredes internas do intestino se houver a presença de lipídeos, ou seja, óleos e gorduras.

Já as vitaminas C e do complexo B são classificadas como hidrossolúveis, pois sua absorção ocorre quando há presença de água.

Vitaminas hidrossolúveis
O complexo B é um conjunto de oito vitaminas simbolizadas pela letra "B". Essas vitaminas possuem múltiplas funções, sendo que suas ações estão diretamente ligadas à regulação do metabolismo celular.

A tiamina (vitamina B1) é um composto encontrado em cereais, feijão, fígado, carne de porco, ovos e vegetais em folha (verduras). Essa vitamina auxilia na quebra de carboidratos para obtenção de energia, atua no bom funcionamento do sistema nervoso, além de estimular o apetite e manter o tônus muscular. A falta de vitamina B1 resulta em um quadro de falta de apetite e nervosismo, além de possibilitar o surgimento de beribéri, doença que provoca fadiga muscular e dificuldades respiratórias.

A vitamina B2, denominada riboflavina, atua na coordenação motora, sendo essencial no processo de respiração celular. Ela mantém a tonalidade saudável da pele. Pode ser ingerida quando nos alimentamos de couve, repolho, espinafre, carnes magras, ovos, fígado e leite. Quando ingerimos quantidade insuficiente desse composto, há o surgimento de aftas (úlceras) nas mucosas dos lábios, língua e bochechas.

Se o indivíduo está desanimado, com falta de energia para as atividades cotidianas, fica nervoso ao extremo com facilidade e tem distúrbios digestivos, pode ser que esteja ingerindo quantidade insuficiente de ácido nicotínico, também conhecido como vitamina B3. Esta vitamina pode ser encontrada no levedo de cerveja, nas carnes magras e também em ovos, fígado e leite. Ela mantém o tônus muscular e nervoso e atua no bom funcionamento do sistema digestório.

O ácido pantolênico (vitamina B5) é encontrado em carnes de forma geral, leite e derivados, verduras e cereais integrais. A vitamina B5 atua em processos energéticos das células - e sua falta provoca anemia, fadiga muscular e dormência nos membros.

Quando ingerimos leite, cereais integrais, carnes magras ou fígado estamos realizando uma dieta rica em vitamina B6 (piridoxina). A ingestão dessa vitamina em quantidades corretas traz benefícios para a pele e o sistema nervoso central.

A vitamina B8, ou seja, a Biotina, também está relacionada à manutenção da pele e ao bom funcionamento neuromuscular. Esta vitamina pode ser encontrada em alimentos - como carnes, legumes, verduras - e nas bactérias da flora intestinal.

Quando nos ferimos, a vitamina B9 entra em ação. O ácido fólico é importante na síntese das bases nitrogenadas e, portanto, na síntese de DNA e na multiplicação celular para o reparo do ferimento. As principais fontes vitamínicas do ácido fólico são os vegetais verdes, frutas e bactérias da flora intestinal. Alguns casos de anemia e esterilidade masculina ocorrem pela falta dessa vitamina.

A anemia perniciosa é causada pela avitaminose de cianocobalamina, ou seja, falta de vitamina B12. Carne, ovos, leite e seus derivados são as principais fontes alimentares dessa vitamina. A falta de cianocobalamina também pode causar distúrbios nervosos.

O ácido ascórbico ou vitamina C é a mais popular das vitaminas. Previne infecções de forma geral e o escorbuto. Pode ser encontrada em frutas cítricas (como limão, laranja e acerola) e também no tomate, na couve, no repolho e no pimentão. Quando o indivíduo não a ingere em quantidade suficiente pode desenvolver insônia, inércia e fadiga (falta de energia), dores nas articulações e sangramento das gengivas.

Vitaminas lipossolúveis
O retinol ou vitamina A está relacionada com o crescimento normal do indivíduo, prevenindo contra várias infecções e evitando a cegueira noturna (xeroftalmia). A vitamina A é encontrada em vegetais amarelos (cenoura, milho e abóbora), pêssego, nectarina, gema do ovo de galinha, manteiga e fígado.

A vitamina D (calciferol) não é encontrada pronta na maioria dos alimentos. Vegetais verdes, tomate e castanhas possuem uma substância precursora de vitamina D que, quando entra em contato com a radiação solar, é convertida em calciferol. Atua no metabolismo do cálcio e fósforo, mantendo a estrutura de ossos e dentes saudável. A deficiência de vitamina D promove o estabelecimento do raquitismo. Pode ser encontrada em fígado, olho de fígado de bacalhau e gema de ovo.

Além da vitamina D, podemos encontrar outra vitamina em vegetais verdes, tomate e castanha: a filoquinona. É comumente denominada vitamina K e previne hemorragias, atuando na coagulação sanguínea.

Finalmente, a vitamina E. O óleo de germe de trigo, as carnes magras, a alface e o óleo de amendoim são fontes ricas em vitamina E. O tocoferol promove a fertilidade, atuando no sistema nervoso involuntário, no sistema muscular e nos músculos que realizam contrações involuntárias. A falta dessa vitamina provoca a esterilidade e o aborto.

Portanto, as vitaminas são, de fato, micronutrientes, já que são detectadas em pequenas quantidades no organismo humano. Porém, sua participação no funcionamento e na regulação do nosso metabolismo é imprescindível, tornando-as substâncias de alta significância fisiológica.
*Rodrigo Luís Rahal é bacharel e licenciado em biologia, mestre em Biologia Celular e Estrutural pela UNICAMP e professor do curso de Ciências Biológicas do Centro Universitário São Camilo em São Paulo.

Estudo da reta

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ESTUDO DA RETA

COEFICIENTE ANGULAR OU DECLIVIDADE DE UMA RETA

Coeficiente angular (m) de uma reta r não perpendicular ao eixo das abscissas é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação , ou seja:

m = tg


EQUAÇÃO DA RETA

Equação geral da reta

Toda reta do plano possui uma equação da forma:

ax + by + c = 0

na qual a, b, c são constantes e a e b não simultaneamente nulos.

Exemplos:

a) – 5x + 3y - 1 = 0

b) 9x – 4y – 13 = 0

Equação reduzida da reta

É toda equação de reta onde a variável y fica isolada. Na equação da reta na forma reduzida podemos identificar o coeficiente angular do lado da variável x e o coeficiente linear (termo independente da equação).

Exemplos:

a) y = 8x – 10

Coeficiente angular = 8

Coeficiente linear = - 10

b) y = – 4x + 12

Coeficiente angular = – 4

Coeficiente linear = 12

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR E DA EQUAÇÃO DA RETA

Para calcular o coeficiente angular (não possuindo o valor da inclinação ) e achar a equação da reta, utiliza-se uma única fórmula:

Importante: A partir da fórmula acima, podemos determinar o coeficiente angular e a equação da reta da seguinte forma:


Coeficiente angular Equação da reta

2 valores para o y. O valor do m.

2 valores para o n. 1 valor para o n.

1 valor para o x.

Aplicação

Determine a equação da reta que passa pelos A (4, 12) e B (0, 4)

Solução:


1.º passo (cálculo do m – 2 valores para o y e 2 para o x):



2.º passo (equação da reta – o valor do m, 1 valor de y e um valor de x):,

Estudo das Matrizes tipo de matriz e elementos da matriz aula 1

Ciclo trigonométrico transformação soma de arcos em produto aula 14

Números Decimais

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Números Decimais


Os números decimas são largamente utilizados em nosso dia-a-dia. Vejamos uma situação:

Se formos ao supermercado comprar 1 Kg de batatas por R$ 1,32 e pagarmos a compra com uma nota de R$ 2,00, receberemos
R$ 0,68 de troco. Neste exemplo, podemos observar a utilização dos números decimais. Tanto o preço da batata - R$ 1,32, como o
troco recebido são números decimais. Muitas outras situações utilizam os números decimais. Vamos estudá-los.

Fração Decimal


Definimos Fração Decimal como sendo qualquer fração cujo denominador é uma potência de 10. São exemplos de frações decimais :

3/10 que se lê três décimos;
13/100 que se lê treze centésimos ;
29/1 000 que se lê vinte e nove milésimos;
143/10 000 que se lê cento e quarenta e três décimos milésimos

Número Decimal


Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte
decimal, separados por meio de uma vírgula.

A fração: 3/10 pode ser escrita como: 0,3, que se lê 3 décimos, ou de uma forma mais simples como zero vírgula três
( 0 é a parte inteira e 3 é a parte decimal )

A fração: 74/100 pode ser escrita como: 0,74, que se lê 74 centésimos, ou de uma forma mais simples como zero vírgula setenta e
quatro ( 0 é a parte inteira e 74 é a parte decimal )

A fração: 9/1 000 pode ser escrita como: 0,009 que se lê 9 milésimos, ou de uma forma mais simples como zero vírgula zero zero
nove ( 0 é a parte inteira e 009 é a parte decimal )

A fração: 532/100 pode ser escrita como 5,32 : que se lê quinhentos e trinta de dois centésimos, ou de uma forma mais simples
como cinco vírgula trinta e dois e nesse caso temos o algarismo 5 como a parte inteira e 32 como a parte decimal.
Esta notação nos leva a compreender que a fração 532/100 pode ser decomposta da seguinte forma:



Toda fração decimal de numerador unitário é chamada de uma unidade decimal .


Leitura de um número decimal


1ª Forma - Lemos a parte inteira acrescida da palavra inteiros e lemos a parte fracionária acrescida da palavra décimos se ele contiver
uma casa decimal, centésimos se ele contiver duas casa decimais, milésimos se tiver três casas e assim por diante. Se a sua parte
inteira for zero lemos apenas a parte decimal.

Por Exemplo :

O número decimal 0,6 seria lido: 6 décimos
O número decimal 23,4 seria lido: vinte e quatro inteiros e 4 décimos
O número decimal 8,73 seria lido: oito inteiros e setenta e três centésimos.
O número decimal 5,289 seria lido: cinco inteiros e 289 milésimos

2ª Forma - Lemos o número como se ele não tivesse vírgula acrescido da palavra décimos se ele contiver uma casa decimal,
centésimos se ele contiver duas casa decimais, milésimos se tiver três casas e assim por diante. Se a sua parte inteira for zero lemos
apenas a parte decimal.

Por Exemplo :

O número decimal 0,6 seria lido: 6 décimos
O número decimal 23,4 seria lido: duzentos e trinta e quatro décimos
O número decimal 8,73 seria lido: oitocentos e setenta e três centésimos.
O número decimal 5,289 seria lido: cinco mil duzentos e oitenta e nove milésimos

3ª Forma - Lemos a parte inteira acrescentamos a palavra vírgula e lemos por fim a parte decimal. Apesar de não ser considerada uma
forma de leitura de um número decimal, por sua forma mais simples, acaba sendo a forma mais usual de leitura.

Por Exemplo :

O número decimal 0,6 seria lido: zero vírgula seis.
O número decimal 23,4 seria lido: vinte e três vírgula quatro.
O número decimal 8,73 seria lido: oito vírgula setenta e três.
O número decimal 5,289 seria lido: cinco vírgula duzentos e oitenta e nove.

As ordens decimais - Recordemos a denominação das ordens decimais ou casas decimais.



Transformação de uma fração decimal em um número decimal


Vejamos a regra:

Para transformarmos uma fração decimal em um número decimal, toma-se o numerador da fração e coloca-se a vírgula
de tal modo que o número de ordens decimais seja igual ao número de zeros presentes no denominador .


Exemplos :

47/10 = 4,7 A vírgula foi colocada entre o 4 e o 7 já que o denominador tem apenas 1 zero
9/100 = 0,09 O número terá duas casas decimais, o denominador tem apenas 2 zeros
2153/1 000 = 2,153 O número terá três casas decimais, o denominador tem 3 zeros

Transformação de um número decimal em uma fração decimal


Vejamos a regra:

Para transformarmos um número decimal em uma fração decimal, toma-se para numerador o número decimal, sem a vírgula e
para denominador da fração o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as ordens decimais do número.


Exemplos :

3,8 = 38/10 o numerador é 38 e o denominador é o algarismo 1 seguido de 1 zero, já que o número decimal possui uma casa
decimal.

0,21 = 21/100 o numerador é 21 e o denominador é o algarismo 1 seguido de 2 zeros, já que o número decimal possui duas
casas decimais.

65,083 = 65083/1 000 o numerador é 65083 e o denominador é o algarismo 1 seguido de 3 zeros, já que o número decimal
possui três casas decimais.

Observação Importante 1 : Se necessário complemente o número decimal à esquerda, com zeros, deixando um deles à esquerda da
vírgula.

Observação Importante 2 : Para transformarmos uma fração ordinária (fração não decimal) em um número decimal basta dividirmos o
numerador pelo denominador da fração. Esse ítem veremos detalhadamente no decorrer desse capítulo.

Propriedades dos números decimais


Primeira Propriedade : Um número decimal não se altera se acrescentarmos ou suprimirmos zeros colocados à sua direita.
Exemplo : 2,9 = 29/10 = 2,90 = 290/100 = 2,900 = 2 900/1 000 29/10 = 290/100 = 2 900/1 000 frações equivalentes e iguais a,
portanto 2,9 = 2,90 = 2,900

Segunda Propriedade : Para se multiplicar um número decimal por 10 , 100 , 1000 e assim por diante, basta deslocarmos a vírgula
para a direita uma, duas, três casas decimais, ou seja, tantas casas decimais quantos forem os zeros do multiplicador.

Exemplos : 0,35 x 10 = 3,5 ; 1,47 x 10 = 14,7 ; 0,079 x 100 = 7,9 ; 0,9421 x 1.000 = 942,1

Lembremos que :

0,35 x 10 = 35/10 x 10 = 3,50 = 3,5

Terceira Propriedade : Para se dividir um número decimal por 10 , 100 , 1000 e assim por diante, basta deslocarmos a vírgula para
a esquerda uma, duas, três casas decimais, ou seja, tantas casas decimais quantos forem os zeros do divisor.

Comparação de Números Decimais


Vamos aprender agora de que maneira podemos comparar dois ou mais números decimais

1 º Caso : Entre dois números decimais, o maior é o que tiver a maior parte inteira.

Exemplo 1 : 3,94 > 2,60 A parte inteira ( 3 ) do primeiro é maior que a parte inteira ( 2 ) do segundo número.

Exemplo 2 : 0,998 < 1,001 A parte inteira ( 1 ) do primeiro é menor que a parte inteira ( 0 ) do segundo número.

2 º Caso : Entre dois números decimais de mesma parte inteira, o maior é o que tiver a maior parte decimal. Nesse caso precisamos
sempre igualar o número de ordens decimais.

Exemplo 3 : 1,48 > 1,47 A parte decimal ( 48 ) do primeiro é maior que a parte decimal ( 47 ) do segundo número.

Exemplo 4 : 0,09 < 0,121 A parte decimal ( 090 ) do primeiro é menor que a parte decimal ( 121 ) do segundo número. Perceba que
para compararmos números decimais, precisamos igualar o número de casas decimais dos números.

Exercícios Propostos


I - Escreva os números decimais :

01) trinta de dois décimos. 02) novecentos e trinta e sete décimos.
03) um mil e 7 centésimos. 04) setecentos e quatro centésimos.
05) um mil e novecentos e trinta e sete centésimos. 06) quatrocentos e cinqüenta mil e cinqüenta e oito décimos milésimos.
07) seiscentos e quarenta e cinco milésimos. 08) cento e vinte inteiros e trinta e dois milésimos.
09) quatrocentos e noventa e quatro décimos milésimos. 10) quarenta e cinco inteiros e trinta e dois centésimos milésimos.


II - Leia cada um dos números decimais :

11) 23,07 _____________________________________ 12) 105,34 _____________________________________
13) 0,0780 ____________________________________ 14) 1,0045 _____________________________________
15) 51,79 _____________________________________ 16) 283,76 _____________________________________
17) 0,0082 ____________________________________ 18) 3,204 5 _____________________________________


III - Transforme em números decimais cada uma das frações decimais :

19) 7/10 20) 643/10 21) 3/100 22) 216/100
23) 2/1 000 24) 439/1 000 25) 61/10 000 26) 1 467/100 000


IV - Transforme em frações decimais cada um dos números decimais:

27) 0,54 28) 12,68 29) 3,869 30) 78,3
31) 326,10 32) 1,004 33) 1,0031 34) 18,034


V - Transforme em frações decimais cada um das frações ordinárias, multiplicando cada termo da fração por um mesmo número :

35) 3/4 36) 7/20 37) 59/125 38) 237/250 39) 17/80


VI - Efetue :

40) 0,8 X 10 = 41) 0,003 x 100 = 42) 12,96 : 100 = 43) 649 : 1000 =
44) 0,003 x 100 = 45) 3,06 X 1000 = 46) 649 : 1000 = 47) 0,76 : 100 =


VII - Complete as lacunas :

48) 0,23 x _____ = 2,3 49) 0,017 x _____ = 170 50) 325,78 x _____ = 325.780 51) 1,853 x _____ = 185,3
52) 348 : _____ = 34,8 53) 12,59 : _____ = 0,1259 54) 837 : _____ = 0,837 55) 56,8 : _____ = 0,0568


VIII - Escrever, em ordem crescente, os seguintes números decimais :

56) 0,03 ; 0,30 ; 1,40 ; 0,07 ; 2,34 ; 0,89 57) 1,25 ; 2,23 ; 0,97 ; 0,971 ; 2.09 ; 1,253 58) 0,01 ; 0,10 ; 1,01 ; 0,11 ; 0,91 ; 0,019


IX - Escrever, em ordem decrescente, os seguintes números decimais :

59) 0,31 ; 3,01 ; 1,31 ; 0,13 ; 1,13 60) 2,072 ; 3,007 ; 3,070 ; 2,0722 ; 4,001 61) 23,01 ; 22,998 ; 20,763 ; 22,098 ; 22,1


X - Complete as lacunas com os sinais > , < ou = :

62) 28,75 ____ 28,749 63) 0,10 ____ 0,01 64) 0,333 ____ 0,332 65) 1,098 ____ 1,1


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Ciclo trigonométrico soma e subtração de arcos Aula 11

Caule

Os caules são os órgãos vegetais que possibilitam a condução e o transporte de nutrientes das raízes para as folhas, além de colocá-las em condições de melhor iluminação, contribuindo de maneira decisiva para a realização do processo da fotossíntese. Também é o caule que sustenta as partes aéreas do vegetal e armazena água e substâncias nutritivas.

Esses órgãos geralmente possuem um formato cilíndrico e podem ser aéreos, como no caso do maracujá e da uva, que crescem enrolando-se em um suporte; subterrâneos, que podem acumular reservas nutritivas e aquáticas, que se desenvolvem em um meio líquido, como no caso das vitórias-régias.

O crescimento apical do caule é provocado pela gema termina, onde os diversos primórdios foliares produzem as folhas. Nas axilas das folhas estão localizadas as gemas laterais. A região das gemas caracteriza o nó do caule e o espaço entre dois nós é denominado entrenó.

Em alguns casos, os caules sofrem modificações, que de acordo com a necessidade da planta, criam ramificações especiais. A parreira, por exemplo, desenvolve ramos (gavinhas) enrolados em espiral, possibilitando a fixação da planta em um suporte. Outro exemplo de modificações de caule são os espinhos, que são prolongamentos do caule, funcionando como mecanismos de defesa da planta.
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Logaritmo

Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Iremos através de exemplos demonstrar a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

Exemplo 1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?

M = C * (1 + i)t
3500 = 500 * (1 + 0,035)t
3500/500 = 1,035t
1,035t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.


Exemplo 2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0
População após um ano = P0 * (1,03) = P1
População após dois anos = P0 * (1,03)2= P2

População após x anos = P0 * (1,03)x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2*P0
P0 * (1,03)x = 2 * P0
1,03x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03x = log 2
x * log 1,03 = log2
x * 0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.


Exemplo 3 – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:
Q = Q0 * e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q0 * e–rt
200 = 1000 * e–0,02t
200/1000 = e–0,02t
1/5 = e–0,02t (aplicando definição)
–0,02t = loge1/5
–0,02t = loge5–1
–0,02t = –loge5
–0,02t = –ln5 x(–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Pronomes Possessivos

Pronome possessivo é o tipo de pronome que indica a que pessoa do discurso pertence o elemento ao qual se refere.

Meu carro está estragado.

Quadro dos pronomes possessivos

Número	Pessoa	Pronomes possessivos
singular	primeira	meu, minha, meus, minhas
	segunda	teu, tua, teus, tuas
	terceira	seu, sua, seus, suas
plural	primeira	nosso, nossa, nossos, nossas
	segunda	vosso, vossa, vossos, vossas
	terceira	seu, sua, seus, suas

Os pronomes possessivos concordam em gênero e número com a coisa possuída, e em pessoa com o possuidor.

(eu) Vendi minha moto.
(tu) Releste tua prova?
(nós) Compramos nosso carro.

Quando o pronome possessivo determina mais de um substantivo, ele deverá concordar em gênero e número com o substantivo mais próximo.

Vou lavar minhas sandálias e tênis.


Emprego dos pronomes possessivos

- seu: a utilização do pronome seu (e flexões) pode gerar frases ambíguas, podemos ter dúvidas quanto ao possuidor.

A menina disse ao colega que não concordava com sua reprovação.
(reprovação de quem? Da menina ou do colega?)

Para evitar esse tipo de ambigüidade, usa-se dele (dela, deles, delas)

A menina disse ao colega que não concordava com a reprovação dela.
• A reprovação dela (da aluna)

A menina disse ao colega que não concordava com a reprovação dele.
• A reprovação dele (do colega)

- existem casos em que o pronome possessivo não exprime propriamente idéia de posse. Ele pode ser utilizado para indicar aproximação, afeto ou respeito.Aquele museu deve ter seus cem anos. (aproximação)

Meu caro amigo, cuide melhor de sua saúde. (afeto)Sente-se aqui minha senhora. (respeito)

- seu: anteposto a nomes próprios não é possessivo, mas uma alteração fonética de Senhor.

Seu José, o senhor poderia emprestar-me seu celular?
Por Marina Cabral
Especialista em Língua Portuguesa e Literatura
Equipe Brasil Escola

Polígonos Regulares Lados e Apótema de polígonos Inscritos Aula 2

Sistema Linear Homogêneo

Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o terno (0, 0, 0), chamamos de solução nula ou trivial.
Podemos dizer que um sistema linear homogêneo é SPD ou SPI.
Será:
SPD: se admitir somente uma solução trivial.
SPI: se admitir uma solução trivial e outras soluções.
Generalizando, podemos representar um sistema linear homogêneo da seguinte forma:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ...+a_1nx_n = 0
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃+ ... +a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃+...+a_mnx_n= 0


Consideremos o sistema:
2x + 2y + 2z = 0
4x – 2y – 2z = 0
2x + 2y – 4z = 0

Ao aplicarmos Sarrus:
2 2 2
4 -2 - 2
2 2 -4

Verificamos que D = 72, portanto D ≠ 0 e m = n (m: número de linhas e n: número de colunas).
Podemos concluir que o sistema é normal.


Obs.: Se temos um sistema com D = 0 e m = n dizemos que ele é possível e indeterminado ou impossível.

Equação Reduzida da Reta

Podemos representar uma reta no plano cartesiano por meio da condição geométrica ou por uma equação matemática. Em relação à equação matemática, a reta pode ser escrita nas seguintes formas: reduzida, segmentária, geral ou paramétrica. Vamos abordar a representação de uma equação reduzida de reta, demonstrando três possíveis situações.

Vamos considerar a equação da reta que passa por um ponto Q(x1, y1), com coeficiente angular a, observe:

y – y1 = a * (x – x1)

Escolhendo ao acaso, o ponto (0, b) e determinando que a reta o intersecte, temos que:

y – b = a * (x – 0)
y – b = a * x – a * 0
y – b = ax
y = ax + b

Portanto, a equação reduzida da reta possui a seguinte lei de formação:

y = ax +b

1ª situação

Utilizando o ponto P₁(2, 7), no qual x = 2 e y = 7, temos:

y – y₁ = a * (x – x₁)
y – 7 = 4 * (x – 2)
y – 7 = 4x – 8
y = 4x – 8 + 7
y = 4x – 1


2ª situação

A forma geral da equação reduzida da reta é dada pela expressão: y = ax + b. Utilizando o ponto P1(2, 7), temos:

y = ax + b
7 = a * 2 + b
2a + b = 7

Utilizando o ponto P2(–1, –5), temos:

–5 = a * (–1) + b
–5 = –a + b
–a + b = –5


Resolvendo o sistema, , determinamos o coeficiente angular e o linear.

Substituindo os valores de a e b na expressão matemática, temos:

y = ax + b
y = 4x – 1

3ª situação

Podemos construir uma matriz quadrada com os pontos fornecidos e um ponto genérico (x, y). O determinante dessa matriz será a equação da reta. Observe:

P1(2, 7) e P2(–1, –5)

Aplicando Sarrus: produto dos termos da diagonal principal subtraído do produto dos termos da diagonal secundária.

[(x * 7 * 1) + (–1 * 1 * y) + (–5 * 2 * 1)] – [(–1 * 7 * 1) + (y * 2 * 1) + (–5 * x * 1)] = 0
[7x – y –10] – [–7 + 2y – 5x] = 0
7x – y – 10 + 7 – 2y + 5x = 0
12x – 3y – 3 = 0
–3y = –12x + 3 (dividir todos por – 3)
y = 4x – 1

a = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção da reta com o eixo y)
Note que a equação reduzida da reta se apresenta fornecendo a coordenada y em função de x.

Construindo a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P₁(2, 7) e P2(–1, –5).

Vamos determinar o coeficiente angular da reta, caso seja necessário sua utilização:

Média Ponderada

Alguns cálculos envolvendo média podem ser efetuados utilizando os critérios de média simples ou média ponderada. Na utilização da média simples, a ocorrência dos valores possui a mesma importância e no caso da média ponderada são atribuídos aos valores importâncias diferentes.

Na média simples os valores são somados e dividos pela quantidade de termos adicionados. A média ponderada é calculada através do somatório das multiplicações entre valores e pesos divididos pelo somatório dos pesos. Vamos, através de exemplos, demonstrar os cálculos envolvendo a média ponderada.

Exemplo 1

Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado ao bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a:

1º Bimestre: 7,0
2º Bimestre: 6,0
3º Bimestre: 8,0
4º Bimestre: 7,5

A média anual de Gabriel é correspondente a 7,3.

Exemplo 2

Buscando melhorar o atendimento ao usuário do sistema de saúde de um município, a prefeitura realizou uma pesquisa de rendimento satisfatório com 500 pessoas. As notas disponibilizadas aos entrevistados no intuito de avaliar o nível de satisfação compreendem a notas inteiras de 1 a 10. Veja os resultados na tabela a seguir:

A média de satisfação dos usuários do sistema de saúde do município em questão foi igual a 5,0.

Por Marcos Noé