Transformações Lineares

1. Se T : V → W é uma transformação linear, mostre que:
(a) Ker(T) é um subespaço de V . (b) Im(T) é um subespaço de W.
Solução:

Agora, somando-se membro a membro estas duas equações vetoriais, vem

fazendo v = λu ∈ V . Isto é, existe v ∈ V tal que λw = T(v), basta tomarmos v = λu ∈ V e, portanto, λw ∈ Im(T). Daí, concluímos que Im(T) é um subespaço vetorial de W.
(a) Determine uma base do núcleo de T. (b) Dê a dimensão da imagem de T. (c) T é sobrejetora? Justifique. (d) Faça um esboço de Ker(T) e Im(T).
Solução:

(c) Não. A imagem não é igual ao contradomínio já que DimIm(T) = 2 e o contradomínio tem dimensão 3.
3. No plano, uma rotação anti-horária de 45◦ é seguida por uma dilatação de √ 2. Ache a aplicação
A que representa esta trasnformação do plano.
Solução:
sinθ cosθ
Que pode ser escrito como uma transformação:

Uma dilatação D de √
2(x,y). Como queremos dilatar a transformação R, teremos

Solução: Escreva
Aplicando T e sabendo que ela é linear, temos:

α1 = α2 =

= αm = 0.

Solução: (a) Podemos escrever essa transformação na forma:

(b) Para a imagem, teremos

6. Mostrar que a matriz do operador linear indentidade
I : Rn → Rn,I(v) = v em uma base qualquer, é a matriz identidade n × n.
Solução:

T(v1) = 1 · v1 + 0 · v2 +	0 · vn
T(v2) = 0 · v1 + 1 · v2 +	+ 0 · vn

T(vn) = 0 · v1 + 0 · v2 +

+ 1 · vn

Daí, a matriz de transformação será

Solução: Escreva a combinação

a1 · Tu1 + a2 · Tu2 +

+ ak · Tuk = 0(= T(0))

T(a1 · u1 + a2 · u2 +

+ ak · uk) = T(0).

Como T é linear,

a1 · u1 + a2 · u2 +	+ ak · uk = 0.
Como u1,u2,...,uk são vetores LI, teremos a1 = a2 =	= ak = 0, e portanto {T(u1),...,T(uk)}

Sendo T injetiva, é L.I.
(d) Ache a transformação linear P : R2 → R2 tal que P = S ◦ T
Solução:

ou seja,
(c)

ou seja,
(d)
Solução:

10. Seja T : V → W uma transformação. Mostre que se T é linear, então T(0) = 0.

fonte http://www.ebah.com.br

Pronomes Pessoais

Pronomes pessoais são aqueles que designam uma das três pessoas do discurso.

Exemplo: Eu fui ao cinema de táxi. (eu = 1ª pessoa do discurso)

Os pronomes pessoais são subdivididos em:
- do caso reto: função de sujeito na oração.
Nós saímos do shopping. (nós = sujeito)

- do caso oblíquo: função de complemento na frase.
Desculpem-me. (me = objeto)

Os pronomes oblíquos subdividem-se em:

- oblíquos átonos: nunca precedidos de preposição, são eles: me, te, se, o, a, lhe, nos, vos, se, os, as, lhes.

Basta-me o teu amor.

- oblíquos tônicos: sempre precedidos de preposição:
Preposição: a, de, em, por etc.
Pronome: mim, ti, si, ele, ela, nós, vós, si, eles, elas.

Basta a mim o teu amor.

Pronomes Pessoais:

Número	Pessoa	Pronomes retos	Pronomes oblíquos
Singular	primeira	Eu	Me, mim, comigo
	segunda	Tu	Te, ti, contigo
	terceira	Ele/ela	Se, si, consigo, o, a, lhe
Plural	primeira	nós	Nos, conosco
	segunda	vós	Vos, convosco
	terceira	eles/elas	Se, si, consigo, os, as, lhes

Pronomes de Tratamento

Nos pronomes pessoais incluem-se os pronomes de tratamento.

Pronome de tratamento é aquele com que nos referimos às pessoas a quem se fala (de maneira cerimoniosa), portanto segunda pessoa, mas a concordância gramatical deve ser feita com a terceira pessoa.

Alguns pronomes de tratamento:

pronome de tratamento	abreviatura	referência
Vossa Alteza	V.A.	príncipes, duques
Vossa Eminência	V.Emª.	cardeais
Vossa Excelência	V.Exª.	altas autoridades em geral
Vossa Magnificência	V.Magª.	reitores de universidades
Vossa Reverendíssima	V.Revma	sacerdotes em geral
Vossa Santidade	V.S.	papas
Vossa Senhoria	V.Sª.	funcionários graduados
Vossa Majestade	V.M.	reis, imperadores

Emprego dos pronomes pessoais:

- conosco e convosco: são utilizados na forma sintética, exceto se vierem seguidos de outros, todos, mesmos.

Queriam falar conosco.Queriam falar com nós mesmos.

- o, a, os, as, quando precedidos de verbos que terminam em –r, -s, -z, assumem a forma lo, la, los, las, e os verbos perdem aquelas terminações.

Vou pô-lo a par do assunto. (pôr + o)

- o, a, os, as, quando precedidos de verbos que terminam em –m, -ão, -õe, assumem a forma no, na, nos, nas.

Fizeram-no calar.

- nós e vós podem ser empregados em lugar de eu e tu em situações de cerimônia ou, no caso de nós, por modéstia.

Nós, disse o papa, seguiremos os mesmos passos de nossos antecessores.

Vós sois sábio.

- vossa e sua: vossa cabe à pessoa com quem se fala; sua cabe à pessoa de quem se fala.

Vossa Excelência queira tomar a palavra. (falando com ou para uma autoridade)
Sua Excelência não compareceu. (falando de uma autoridade)

- você e os demais pronomes de tratamento comportam-se gramaticalmente como pronomes da terceira pessoa.

Você chegou atrasado para o jantar!
Por Marina Cabral
Especialista em Língua Portuguesa e Literatura

Determinantes

Determinantes

P₁₀) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:

P₁₁) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:

Exemplo:

P₁₂)

Exemplo:

P₆) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

P₇) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

P₈) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:

P₉) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:

Propriedades dos determinantes

Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P₁ ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P₂) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₃) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₄) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Exemplos:

P₅ ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

6ª propriedade

O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (R ^t).

det R = ps + qr

det Rt = ps – rq


7ª propriedade
Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.



8ª propriedade

O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

9ª propriedade
Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.


10ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.

Mata Atlântica

Wagner de Cerqueria e Francisco

Aspecto da Mata Atlântica

A Mata Atlântica é o terceiro maior bioma brasileiro em extensão territorial. Há 500 anos, ela cobria aproximadamente 15% do que atualmente é o território nacional, com 1,3 milhões de quilômetros quadrados na zona litorânea do Brasil. Em consequência do intenso desmatamento, restaram apenas 7% da mata original. Atualmente, a mesma é considerada um dos biomas mais ameaçados do planeta.

Sua composição não é homogênea, uma vez que se forma por um mosaico de diferentes ecossistemas, com estruturas e interações ecológicas distintas em cada região. A Mata Atlântica faz transições ou contato com todos os grandes biomas do Brasil Atlântico: caatinga, cerrados, mangues, campestres e planaltos de araucárias.


Quanto ao relevo, este é caracterizado por planaltos e serras. O clima predominante é o tropical quente e úmido, apresentando temperaturas médias elevadas e altos índices pluviométricos. Em virtude da densidade da vegetação, a luz no interior da mata é extremamente reduzida.


A Mata Atlântica apresenta a maior biodiversidade por hectare do planeta. No entanto, se considerarmos a biodiversidade vista de um modo geral, a da Floresta Amazônica apresenta-se superior, pois ela é menos desmatada e possui também uma extensão territorial mais ampla.
Quanto à hidrografia, o bioma em questão abrange as bacias hidrográficas do Paraná, Uruguai, Paraíba do Sul, Doce, Jequitinhonha e São Francisco.

A vegetação é marcada por espécies como, a peroba, ipê, quaresmeira, cedro, canela, imbaúba, jequitibá-rosa e as figueiras. O jacarandá e o pau-brasil foram praticamente dizimados, em virtude da intensa exploração madeireira. Poucas áreas da Mata Atlântica possuem vegetação original, como é o caso da Serra do Mar, que, em decorrência do difícil acesso humano, ainda continua preservada.

A fauna é bem diversificada, composta pelo tamanduá, tatu-canastra, onça-pintada, lontra, mico-leão, macaco muriqui, anta, veado, quati, cutia, bicho-preguiça, gambá, diversas espécies de aves, entre tantos outros. Em consequência da grande devastação do bioma, 200 espécies estão ameaçadas de extinção e outras, já foram totalmente extintas.
Entre elas destacam-se: o mico-leão, macaco muriqui, lontra, tatu-canastra e a onça-pintada.

Fatoração

O Dia Nacional da Matemática

NO DIA DA MATEMÁTICA, A MATEMÁTICA DO DIA A DIA.Reflexões e sugestões do Professor Mário Tourinho.
Aproxima-se 06 de maio, data dedicada à comemoração do Dia da Matemática. Não vejo hipótese de uma data como esta ser reverenciada fora da sala de aula. Não vejo sentido em se pensar qualquer atividade celebrativa para este dia, sem que estejam envolvidos diretamente os nossos alunos. Assim como a própria Matemática, é uma questão de lógica.

Defendo minhas afirmações apoiando-me nas seguintes perguntas: Sabemos das dificuldades de nossos alunos (e da população em geral) no que diz respeito à disciplina? Sabemos as causas dessas dificuldades? Esta data pode ser uma oportunidade para modificar o olhar de muitas pessoas em relação à Matemática?

Se você respondeu sim aos três questionamentos, então você concorda, logicamente, que a melhor maneira de desmistificar a Matemática é fazendo com que as pessoas compreendam a natureza prática e útil da disciplina e percebam a presença cotidiana dos conhecimentos matemáticos em suas vidas.

Todos aqueles que têm “ódio”, “medo”, “pavor”, “indiferença” ou até “pânico” da Matemática, certamente tem uma história ruim para contar sobre a matéria. Em geral estas histórias relatam falta de oportunidade, falta de respeito, falta de paciência, carência na formação (do aluno e do professor), falta de material escolar, falta de infraestrutura educacional, enfim, uma série de razões que findam por desestimular o aluno na compreensão e no estudo de um conteúdo tão específico e tão importante para o seu desenvolvimento e para a prática da cidadania. A baixa autoestima dos alunos e dos cidadãos, por conseguinte, é flagrante: “não sei Matemática”, “não gosto de Matemática”, “sou burro em Matemática”, e outras declarações semelhantes, são comuns na sociedade em geral e no ambiente escolar.

Malba Tahan foi o precursor da Educação Matemática. Foi quem primeiro trabalhou com a História da Matemática. Defendeu a valorização do raciocínio na resolução de problemas matemáticos, sem o uso mecânico de fórmulas, além de utilizar atividades lúdicas para facilitar o estudo. Muito antes de se falar em interdisciplinaridade ele já se preocupava com a unificação das ciências. Malba Tahan, para quem não se lembra, é o pseudônimo Júlio César de Mello e Souza, um genial professor, educador, pedagogo, escritor e conferencista brasileiro, nascido no Rio de Janeiro em 6 de maio de 1895. Em homenagem a ele, 06 de maio é o Dia da Matemática.