Derivadas

Derivadas I

Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0

Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função
y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + D x0 :

Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando D x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.

Observe que quando D x0 ® 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo b .
Ora, quando D x0 ® 0 , já vimos que o quociente D y0 / D x0 representa a derivada da função y = f(x)
no ponto x0. Mas, o quociente D y0 / D x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo
SPQ = a , onde P é o vértice do ângulo. Quando D x0 ® 0 , o ângulo SPQ = a , tende ao ângulo b .

Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.

Podemos escrever então:
f '(x0) = tgb

Guarde então a seguinte conclusão importante:

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto
x = x0.

Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma!

Vamos lá!

Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima.

Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10.

Temos neste caso:
y = f(x) = x2
f(x + D x) = (x + D x)2 = x2 + 2x.D x + (D x)2
f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2
D y = f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2

Portanto,

Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.
Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x .
Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.

Qual a interpretação geométrica do resultado acima?

Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.

Ora, sendo b o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , b será um ângulo tal que tg b = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que
b » 87º 8' 15" .

Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a b » 87º 8' 15" .

Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abcissa
x = 1000 .
Resposta: 5.



Derivadas II

1 - Vimos na apostila (derivadas I) anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x0 pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:

Onde:

A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. É entretanto, de bom alvitre, conhecer de memória as derivadas das principais funções. Não estamos aqui, a fazer a apologia do "decoreba" , termo vulgarmente utilizado para a necessidade de memorização de uma fórmula. Achamos entretanto, que, por aspectos de praticidade, o conhecimento das fórmulas de derivação de funções, seja de extrema importância, sem, entretanto, eliminar a necessidade de saber
deduzi-las, quando necessário.

Assim, lembrando que a derivada de uma função y = f(x) pode ser indicada pelos símbolos
y ' , f ' (x) ou dy/dx , apresentaremos a seguir, uma tabela contendo as derivadas de algumas das principais funções elementares, restringindo nesta primeira abordagem, a oito funções elementares básicas, além das derivadas da soma, produto e quociente de duas funções.

FUNÇÃO


DERIVADA

y = k , k = constante


y ' = 0

y = k.x


y ' = k

y = x


y' = 1

y = xn


y ' = n.x n - 1

y = a x , 1 ¹ a > 0


y ' = a x . ln a

y = e x


y ' = e x

y = sen(x)


y ' = cos(x)

y = cos(x)


y ' = - sen(x)

y = tg(x)


y ' = sec2 (x)

y = u + v


y ' = u' + v'

y = u.v


y' = u'.v + u.v'

y = u / v , v ¹ 0


y' = (u'.v - u.v') / v2

Onde u = u(x) e v = v(x) são funções deriváveis no ponto x.

Tenham calma, que esta tabela será devidamente ampliada, no devido tempo. Estou partindo da premissa, que a introdução a um assunto novo, tem necessariamente que ser de forma lenta e gradual. Sem pressa!

a) y = 1000 Þ y ' = 0
b) y = 200x Þ y ' = 200
c) y = x5 Þ y ' = 5x4
d) y = x + sen(x) Þ y ' = x ' + (senx) ' = 1 + cos(x)
e) y = x3 + x2 Þ y ' = 3x2 + 2x
f) y = sen(x) + cos(x) Þ y ' = cos(x) - sen(x)
g) y = 1 / x Þ y ' = (1'.x - 1. x') / x2 = - 1 / x2
h) y = x.sen(x) Þ y ' = x'. sen(x) + x . (senx)' = sen(x) + x.cos(x)
i) y = x + tg(x) Þ y ' = 1 + sec2 (x)

Agora determine a derivada da função y = x2.tg(x).
Resposta: y ' = 2.x.tg(x) + [x.sec(x)]2

2 - Equação da reta tangente à curva representativa da função y = f(x) no ponto x = x0

Considere a figura abaixo:

Seja determinar a equação da reta r tangente à curva y = f(x), no ponto x = x0.
Já sabemos da aula anterior , que tg b = f '(x0) , onde b é o ângulo formado pela reta r com o eixo dos x e
f '(x0) é o valor da derivada da função y = f(x) no ponto de abcissa x = x0.
Também já sabemos da Geometria Analítica que o valor da tg b é igual ao coeficiente angular m da reta r , ou seja: m = tg b . Como já sabemos da Analítica que a equação da reta r, é y - y0 = m(x - x0) , vem imediatamente que a equação da reta tangente procurada será então dada por:
y - y0 = f '(x0) (x - x0)




Exemplo:



Qual a equação da reta tangente à curva representativa da função
y = f(x) = 4x3 + 3x2 + x + 5, no ponto de abcissa x = 0 ?

Ora, f '(x) = 12x2 + 6x + 1.
Portanto, a derivada no ponto de abcissa x = 0, será: f '(0) = 12.02 + 6.0 + 1 = 1
Logo, f ' (0) = 1.
Portanto, para achar a equação da reta tangente no ponto de abcissa x = 0, basta agora, determinar o valor correspondente de y da função, para x = 0.

Teremos: x = 0 Þ y = f(0) = 4.03 + 3.02 + 6.0 + 5 = 5
Então, o ponto de tangência é o ponto P(0, 5). Daí, vem finalmente que:
y - 5 = 1 . (x - 0) \ y - 5 = x \ y = x + 5 .

Resposta: a equação da reta tangente à curva y = 4x3 + 3x2 + 6x + 5 , no ponto P(0,5) , é y = x + 5.

Agora resolva este:

Determinar a equação da reta tangente à curva representativa da função y = x3 ,
no ponto P de abcissa x = 2.

Resposta: y = 12x - 16.
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