Equação geral da reta

Marcelo Rigonatto

Equação geral

Vamos considerar uma reta s que passe pelos pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa mesma reta s. Como os pontos A, B e P pertencem a uma mesma reta, podemos afirmar que eles estão alinhados. Dessa forma, o determinante das coordenadas desses pontos deve ser igual a zero. Ou seja,

Desenvolvendo o determinante obtemos:

x₁y₂ + xy₁ + x₂y – xy₂ – x₂y₁ – x₁y = 0

ou

xy₁ – xy₂ + x₂y – x₁y + x₁y₂ – x₂y₁ = 0

Colocando x e y em evidência, ficamos com:

x(y₁ – y₂) + y(x₂ – x₁) + (x₁y₂ – x₂y₁) = 0

Lembrando que x₁, x₂, y₁ e y₂ são coordenadas de pontos conhecidos da reta, podemos fazer:

y₁ – y₂ = a
x₂ – x₁ = b
x₁y₂ – x₂y₁ = c

Dessa forma, teremos:

ax + by + c =0 → que é a equação geral da reta.

Exemplo: Determine a equação geral da reta t que passa pelos pontos A(2, 2) e B(3, 5).
Solução: Vamos considerar P(x, y) como sendo um ponto qualquer da reta t. Assim,

Desenvolvendo o determinante, obtemos:

2x + 3y + 10 – 2y – 5x – 6 = 0

Ou

– 3x + y + 4 = 0

Podemos multiplicar a equação por -1, obtendo:

3x – y – 4 = 0 → que é a equação geral da reta t.

Exemplo 2. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A( -1, 0) e B(0, 5).
Solução: Vamos considerar P(x, y) um ponto qualquer da reta procurada. Assim, teremos:


Desenvolvendo o determinante, obtemos:

0x + 0y + (– 5) – ( – y + 5x + 0) = 0

Ou

– 5x + y – 5 = 0

Multiplicando a equação por – 1, obtemos:

5x – y + 5 = 0 → que é a equação geral da reta.
Exemplo 3. Verifique se o ponto A(5 , 10) pertence à reta s de equação 2x – y =0.
Solução: Para verificar se o ponto A pertence à reta s, devemos substituir as coordenadas do ponto na equação da reta e verificar se satisfaz a igualdade, ou seja, se resultará zero. Vejamos:

A(5, 10) → x = 5 e y = 10. Substituindo na equação da reta teremos:
2x – y = 0
2*5 – 10 = 10 – 10 = 0

Portanto, o ponto A(5, 10) pertence à reta s.

Exemplo 4. Determine o valor de c para que o ponto B(– 4, c) pertença à reta r de equação
x – 3y + 16 = 0.
Solução: Se o ponto B(4, c) pertence à reta r, então, ao substituir as coordenadas de B na equação da reta, a igualdade deverá ser satisfeita. Assim, teremos:

– 4 – 3c + 16 = 0
– 3c + 12 = 0
– 3c = – 12
c = 4