MMC e MDC

(M.D.C) E (M.M.C).

MÁXIMO DIVISOR COMUM



O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c)

exemplos

consideremos os conjuntos dos divisores de 12 e 18

D12 = { 1,2,3,4,6,12}
D18 = { 1,2,3,6,9,18}

Os mesmos divisores ou números que aparecem em D12 e D18 são { 1,2,3,6} , os números ou divisores {4,9,12,18} aparecem mas não é comum nos dois divisores.

E o maior desses divisores comuns neste caso é 6 e indicamos m.d.c (12,18) = 6


exercícios

1) escreva o conjunto dos divisores de 8,9,10,12,15 e 20

a) D8={
b) D9={
c) D10= {
d) D12={
e) D15={
f) D20 ={

Processos práticos para determinação do mdc

a) Por decomposição em fatores primos (fatoração completa)

exemplo

determinar o mdc de 18 e 60

18 I 2
09I 3
03I 3
01


60 I 2
30 I 2
15 I 3
05 I 5
01 I


18 = 2 x 3 x 3
60 = 2 x 2 x3 x 5

comum nas duas fatorações é um número 2 e um número 3
sendo assim 3 x 2 = 6 o m.d,c,(18,60)= 6

exercício

1) determine o m.d.c.

a) m.d.c (9,12)
b) m.d.c.(8,20)
c) m.d.c.(10,15)
d) m.d.c.(9,12)
e) m.d.c.(10,20)
f) m.d.c.( 15,20)
g) m.d.c.(48,18)
h) m.d.c.(30,18)
i) m.d.c.(60,36)
j) m.d.c.(30,15)
l) m.d.c.(80,48)
m) m.d.c.(3,15,12)
n) m.d.c.(20,6,14)


NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Quando o m.d.c. de dois números é igual, a 1 dizemos que eles são primos entre si

exemplos:

a) 4 e 9 são primos entre si, pois m.d.c.(4,9)= 1

b) 8 e 15 são primos entre si pois o m.d.c.(8,15) = 1





MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM




O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números chama-se mínimo múltiplo comum (m. m. c.)

exemplo:

consideramos os conjuntos dos múltiplos de 2 e 3

M2 = { 0,2,4,6,8,10,12..........}

M3 = { 0,3,6,9,15..........}

obtemos o múltilplo comum fazendo a intersecção dos conjuntos

M2 e M3 = { 0, 6 , 12 ...}

excluindo o zero, o menor múltiplo comum é 6. e indicamos o mínimo múltiplo comum de 2 e 3 assim: m.m.c.(2,3) = 6

PROCESSO PRÁTICO PARA DETERMINAR O m.m.c.

Por decomposição em fatores primos (fatoração completa)

1) determinar o m.m.c. de 120 e 80

120,80 I 2060,40 I 2
030,20 I 2
015,10 I 2
015,05 I 3
005,05 I 5001,01

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240

logo m.m.c. (120,80) = 240

2) determinar o m.m.c. de 14, 45 e 6

14, 45, 06 I 207, 45, 03 I 3
07, 15, 01 I 307, 05, 01 I 5
07, 01, 01 I 7
01, 01, 01 I

2 x 3 x 3 x5 x7 = 630

logo m.m.c ( 14, 45, 06) = 630


EXERCÍCIOS

1) Determine o m.m.c. pelo processo da decomposição

a) m.m.c.(15,18)
b) m.m.c.(10,12)
c) m.m.c.(10,6,15)
d) m.m.c( 12,20,3)
e) m.m.c(15,3)
f) m.m.c.( 10,15)
g) m. m. c. ( 18, 30)
h) m.m.c. ( 21, 12 )
i) m.m.c. ( 35,10)
j) m.m.c. ( 25, 80)
l) m.m.c.( 140,10)
m) m.m.c ( 8,10,25)
n) m.m.c.( 3,12,32)
o) m.m.c.(2,3,5,10)
p) m.m.c. ( 18, 24, 36)

2) Determine o m.m.c

a) m.m.c. ( 50,75)
b) m.m.c. ( 60,24)
c) m.m.c. ( 21,30)
d) m.m.c. ( 28,48)
e) m.m.c ( 2,4)
f) m.m.c. ( 7,5)
g) m.m.c. ( 9,1)
h) m.m.c.( 21,7)
i) m.m.c. ( 8,9)
j) m.m.c. ( 13,26)
l) m.m.c ( 2,4,6)
m) m.m.c. ( 3,6,9)
n) m.m.c. ( 10,12,45)
o) m.m.c ( 6,8,12,15)
p) m.m.c ( 12,18,36,40)




3) calcule o m.m.c.

a) m.m.c (4,6,9,15)
b) m.m.c. ( 2,10,15,45)
c) m.m.c.(8,36,28,72)
d) m.m.c( 45,96,10,180)
e) m.m.c( 20,30,48,120)
f) m.m.c( 7,2)
g) m.m.c( 8,10)
h) m.m.c ( 14,21)
i) m.m.c ( 50 ,25)
j) m.m.c ( 40 , 60 )
l) m.m.c.( 80,56)
m) m.m.c ( 2,3,4)
n) m.m.c. ( 4,6,8)
o) m.m.c. ( 6,8,12)
p) m.m.c.(4,8,16)
q) m.m.c ( 12, 18, 36)
r) m. m.c ( 12, 10, 8)
s) m.m.c ( 6,8,10,12)

4) Usando a decomposição em fatores primos, determine:

a) m.m.c (10,12) (R:60)
b) m.m.c. ( 6,10,15) (R: 30)
c) m.m.c. ( 14,21,30) (R: 210)
d) m.m.c. ( 100, 150, 200) (R: 600)
e) m.m.c. (70,110) (R: 770)
f) m.m.c. (30, 75) (R:150)
g) m.m.c. (18,60) (R: 180)
h) m.m.c. (21, 35,84) (R: 420)
i) m.m.c. ( 66, 102) (R: 1122)
j) m.m.c. ( (90, 36, 54) (R: 540)
l) m.m.c. ( 48, 20, 40, 36) (R: 720)