Conjuntos

Conjunto tem como conceito uma coleção de objetos (elementos) e é descrito por esses elementos, isto é, para caracterizá-lo melhor é necessário conhecer os componentes de tal coleção, e escreve-se:
A = {x; x tem propriedade P}  (x tal que x apresenta uma propriedade P qualquer) ou
A = {x  B; x admite uma condição}   (x pertence a um conjunto B tal que x admite uma condição qualquer de B).

Observações:

1. Na notação de conjunto, isto é, dentro das chaves, lê-se tal que quando se usa dois pontos, uma barra ou ponto e virgula ( : | ou ; ).
2. Um conjunto que não tem elementos é chamado de conjunto vazio e é representado apenas Por   ou {   }.
3. Não se repete elementos em um conjunto e a ordem em que os elementos são descritos não importa.

Exemplos de alguns conjuntos:

M₂() = {; a, b, c, d   }   (conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com todos os seus elementos reais)
 x  = {(a, b); a, b   }   (conjunto de pares ordenados de números inteiros)
 x {0} = {(a, 0); a   }   (conjunto de pares ordenados onde a abscissa é um número inteiro qualquer e a ordenada é zero)
² = {(a, b); a, b   }   (conjunto de duplas de números reais)
³ = {(a, b, c); a, b, c   }   (conjunto de ternas de números reais)
₅ = {, , , , }   (conjunto formado pelos restos da divisão de um número inteiro por 5)
P₃ = {a x³ + b x² + c x + d ; a, b, c, d   }   (conjunto dos polinômios de grau no máximo 3)

Relação de Pertinência

Se um conjunto A apresenta um determinado elemento representado, por exemplo, por x, então se escreve, x A  (x pertence ao conjunto A) para dizer que ele é um elemento do conjunto A, caso ele não seja um elemento do conjunto A se escreve x  A   (x não pertence ao conjunto A).
(–1, 4)   x                           (3, –2)  ³    (uma dupla não pertence a um conjunto exclusivamente de ternas).

Relação de Inclusão

Se todos os elementos que pertencem a um conjunto A também pertencerem a um conjunto B, então,
o conjunto A está contido no conjunto B, e se escreve, A  B.
Escreve-se A  B (A está propriamente contido em B), para dizer que todo elemento de A é elemento de B, mas A  B.
Neste último caso, logicamente o conjunto A tem menos elementos que o conjunto B.

Se A  B (A está contido em B) então B  A (B contém A) ou A  B (A está propriamente contido em B) então B  A (B contém propriamente A).

Dizer que A  B (A não está contido em B) é o mesmo que dizer que existe pelo menos um elemento que pertence ao conjunto A, mas não pertence ao conjunto B.

^2  3, pois nenhum elemento do ² é elemento do ³.

O conjunto vazio está contido em qualquer que seja o conjunto A, pois para não estar contido teria que existir pelo menos um elemento que pertencesse ao conjunto vazio que não pertencesse ao conjunto A e o conjunto vazio não tem elementos.

Dado um conjunto A, sempre se tem que: A  A e, se x  A, então {x}  A.

O conjunto vazio não pertence a um conjunto qualquer, a menos que o conjunto o apresente, por exemplo, {, 1, 2}. Apenas neste tipo de caso ele é um elemento do conjunto.

Igualdade

Dois conjuntos A e B são iguais apenas quando têm os mesmos elementos, assim, um conjunto só é igual a ele próprio, caso contrário os conjuntos são ditos distintos ou diferentes.

A = B  (A  B e B  A)    (A é igual a B se, e somente se, A está contido em B e B está contido em A).

Subconjuntos

Se A  B diz-se que A é subconjunto do conjunto B ou simplesmente que A é subconjunto de B.
Se A  B diz-se que A é subconjunto próprio de B.

2  = {0; ±2; ±4; ±6; . . . } é subconjunto de .
P₃ é subconjunto de P₄.
 x {0} é subconjunto de  x .
 não é subconjunto de *    (pois 0  , mas não pertence a *).
M₂() não é subconjunto de M₃()   (nenhum elemento do primeiro conjunto é elemento do segundo conjunto).

Conjunto das Partes

A operação unária, que aplicada a um conjunto A, resulta num conjunto constituído de todos os subconjuntos de A é denominada conjunto das partes de A e é denotada por:
(A) = {X; X  A}

Exemplos:  ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}                  () = {}

Considerando A = {1, 2, 3} as partes de A seria (A) = { ; {1}; {2}; {3}; {1, 2}; {1,3}; {2, 3}; {1, 2, 3} }
1  (A),          {1}  (A),          {1}  (A),          {{1}}  (A)

Considerando que o número de elementos de um conjunto A é n, então o números de elementos de  (A) é 2ⁿ

Operações com Conjuntos

União ()

A  B = {x; x  A ou  x  B}.

A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou pertencem ao conjunto B.
Logo, se x  A  B então x  A ou  x  B.
 x {0}  {0} x  =  x 

Propriedades da União

Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C se verificam:
A  A = A
A   = A
A  (A  B)
B  (A  B)
Se A  B então A  B = B
A  B = B  A
(A  B)  C = A  (B  C)  

Intersecção ()

A  B = {x; x  A e  x  B}.

A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e também pertencem ao conjunto B.
Logo, se x  A  B então x  A e  x  B.
 x {0}  {0} x  = {(0,0)}

Se A  B =  então os conjuntos A e B são ditos disjuntos.

Propriedades da Intersecção

Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C se verificam:
A  A = A
A   = 
A  B  A
A  B  B
Se A  B então A  B = A
A  B = B  A
(A  B)  C = A  (B  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Diferença ( –  ou  \ )

A \ B = {x; x  A  e   x  B}.

A diferença entre dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo conjunto.
Logo, se x  A \ B então x  A  e  x  B.

A diferença entre os conjuntos A e B, tanto pode ser representada por A – B como por A \ B.

 x {0} – {0} x  = * x {0}

Propriedades da Diferença

Quaisquer que sejam os conjuntos A e B se verificam:
A – A = 
A –  = A
A – B = A – (A  B)

Diferença Simétrica

A  B = {x; x  A  B   e   x  A  B}.

Chama-se diferença simétrica entre dois conjuntos ao conjunto formado pelos elementos que pertencem à união e não pertencem a intersecção desses dois conjuntos.
A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)

( x {0}  {0} x ) – ( x {0}  {0} x ) = * x *

Propriedades da diferença simétrica

Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C se verificam:
A  A = 
A   = A
A  B = B  A
(A  B)  C = A  (B  C) 

Complementar em relação a outro conjunto

Se A  B então o complementar de um conjunto A em relação ao conjunto B é dado por:
C_B A = B \ A = {x; x  B   e   x  A}

O complementar do conjunto A em relação ao conjunto B é formado pelos elementos que pertencem a B, mas não pertencem a A.
Logo, se x  C_B A então x  B e x  A.

Complementar em relação ao conjunto Universo (  )

 = {x; x    e   x  A} = {x  ; x  A}

Sendo o conjunto universo   (conjunto pelo qual se estuda alguns subconjuntos dele), e seja A um de seus subconjuntos.
O complementar do conjunto A em relação ao conjunto universo ou  simplesmente o complementar de A ou  ainda, A complementar.
O complementar é representado por ,  A’ ou  A^C, e é formado pelos elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto A.
Logo, se x  A^C  então x  A.

Propriedades do complementar

 =   (conjunto universo)

Leis De Morgan
 =   

 =   

Cardinalidade de um conjunto

Chama-se cardinalidade de um conjunto A ao número de elementos que possui esse conjunto A e é representado por #A ou n(A).

Números de elementos da União de Conjuntos

Seja n(A  B) o número de elementos de intersecção de A e B n(A  B), o número de elementos da união de A com B.
O número de elementos da união de A com B é dado por:

n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

Para três conjuntos A, B e C tem-se que o número da união é dado por:
n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C).

Sempre se tem que: n() = 0            e          n( ()) = 1.

Diagrama de Venn

O diagrama de Venn é uma representação gráfica das relações entre conjuntos, e é uma ideia para simplificar tais relações.
Contudo, é bom lembrar que está contido não quer dizer estar dentro, visto que conjunto não é algo físico, mas sim uma ideia.

Um conjunto formado pelos elementos de uma caixa de fósforos (que não esteja vazia) não está contido em um conjunto formado pelos elementos de uma caixa de sapatos, pois há pelo menos um elemento do primeiro que não é elemento do segundo conjunto.

Ao se pensar em dois conjuntos quaisquer tem-se três situações:

1. Não há nenhum elemento comum entre eles.

 

2. Alguns elementos de um também são elementos do outro.

 

3. Todos os elementos de um deles são elementos do outro.

 

As operações com conjuntos num diagrama de Venn

Supondo que se tenha dois conjuntos A e B que tenham alguns elementos em comum.

 

O conjunto universo é formado pelas regiões em que se encontram as letras a, b, c, d.
O conjunto A é formado pelas regiões em que se encontram as letras a, b.
O conjunto B é formado pelas regiões em que se encontram as letras a, c. 

A intersecção entre os conjuntos A e B é formada pela região em que se encontra a letra a.
A união entre os conjuntos A e B é formada pelas regiões em que se encontram as letras a, b,c.
A diferença entre os conjuntos A e B é formada pela região em que se encontra a letra b.
O complementar do conjunto A é formado pelas regiões em que se encontram as letras c, d.
O complementar da interseção de A e B, é formado pelas regiões em que se encontram as letras b, c, d.

Supondo que se tenha três conjuntos A, B e C que tenham, dois a dois, alguns elementos em comum.

O conjunto universo é formado pelas regiões em que se encontram as letras a, b, c, d, e, f, g eh.
O conjunto A é formado pelas regiões em que se encontram as letras a, b, c, e.
O conjunto B é formado pelas regiões em que se encontram as letras a, b, d, f.
O conjunto C é formado pelas regiões em que se encontram as letras a, c, d, g. 

A intersecção entre os conjuntos A, B e C é formada pela região em que se encontra a letraa.
A intersecção entre os conjuntos A e B é formada pelas regiões em que se encontram as letras a, b.
A intersecção entre os conjuntos A e C é formada pelas regiões em que se encontram as letras a, c.
A intersecção entre os conjuntos B e C é formada pelas regiões em que se encontram as letras a, d.
A união entre os conjuntos A, B e C é formada pelas regiões em que se encontram as letras a,a, b, c, d, e, f, g.
A união entre os conjuntos A e B é formada pelas regiões em que se encontram as letras a, b,c, d, e, f.
A união entre os conjuntos A e C é formada pelas regiões em que se encontram as letras a, b,c, d, e, g.
A união entre os conjuntos B e C é formada pelas regiões em que se encontram as letras a, b,c, d, f, g.
A diferença entre os conjuntos A e B é formada pelas regiões em que se encontram a letrasc, e.
O complementar do conjunto A é formado pelas regiões em que se encontram as letras c, d.
O complementar da intersecção de A e C, é formado pelas regiões em que se encontram as letras f, h.

Conjuntos Numéricos

O conjunto dos números naturais, representado por , é definido por:
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.

Um subconjunto importante de  é o conjunto * = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, onde o zero é excluído do conjunto .

O conjunto dos números inteiros, representado por  (do alemão Zahl), é definido por:
 = {. . . , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .}

 = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
 = conjunto dos inteiros não positivos = {0, –1, –2, –3, –4, –5, . . .}
 = conjunto dos inteiros negativos = {–1, –2, –3, –4, –5, . . .}

O conjunto dos números racionais, representado por  (do inglês quotient), é definido por:
 = {p / q ; p e q   e q  0}.
Os números racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de fração com o numerador e denominador inteiros.
 = 0,5                        = 0,857142. . .                    –  = – 1,25

O conjunto dos números irracionais é formado por decimais infinitas não periódicas.
São números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros).

Uma representação para os irracionais pode ser vista como  – .

Como exemplo de números irracionais, tem-se a raiz quadrada de 2, a raiz quadrada de 3, o número  (pi), etc.
  1,4142135. . .
  1,7320508. . .
  3,1415926535. . .

O conjunto dos números reais, representado por , é a união entre os conjuntos dos números racionais (  ) e os irracionais.

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais.
= conjunto dos números reais não negativos;
 = conjunto dos números reais positivos.

Intervalo Real

Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo, entre os números 1 e 2 existem números reais tais como:
1,001; 1,07; 1,081; 1,1; 1,2333. . .; ; 1,51; ; 1,9888. . .; 1,9997; etc.

Escrever todos os números entre, por exemplo, 1 e 2, representa um intervalo de tais números onde, se incluir os extremos, considera-se fechado e se não incluir, considera-se aberto.
Para escrever o intervalo aberto coloca-se um colchete contrário ao número e para escrever fechado, o colchete fica voltado para o número.
[ 1, 2 [, significa o intervalo de 1 (fechado) até o 2 (aberto) e ] 1, 2 ], o intervalo entre 1 e 2 incluindo o 2.

É preciso lembrar que {1; 3}  [ 1; 3 ]
No primeiro só existem dois elementos, o 1 e o 3, já no segundo existem infinitos reais, do 1 até o 3, incluindo eles.

Uma representação gráfica para [ 1; 3 ] seria:



E para [ 1; 3 [ seria:


Os intervalos podem ser escrito na forma de subconjuntos de reais:
[ –1; 4 [ = {x  ; –1  x < 4} (x pertence aos reais tal que x é maior ou igual a –1 e x é menor do que 4).
] – ; –3 [ = {x  ; x < –3} (x pertence aos reais tal que x é menor que –3).

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se produto cartesiano de A por B, a todos os pares ordenados (a, b) onde a pertence ao conjunto A e b pertence ao conjunto B.

Escreve-se: A x B  (lê-se: A cartesiano B ou  A por B).
A x B = {(a, b); a  A e b  B}

Se (a, b) = (c, d), então a = c e b = d.

De maneira geral (a, b)  (b, a). O par ordenado (a, b) só será igual ao par ordenado (b, a) se, e somente se, a = b.

Caso pelo menos um dos conjuntos seja um intervalo real não é possível escrever o produto cartesiano na notação de conjunto, sendo preciso ser representado no plano cartesiano.

Exemplos:
1 — Sendo A = {2, 3} e B = {–1, 0, 2}, encontre A x B.

Na notação de conjuntos:
A x B = {(2, –1); (2, 0); (2, 2); (3, –1); (3, 0); (3, 2)}

No plano cartesiano, os seis pares são representados por seis pontos:

2 — Sendo A = ] –1, 2 ] e B = {–2; 1}, encontre A x B.

Neste caso, só é possível representar no plano cartesiano.
Como A é um intervalo de –1 a 2, incluindo o 2 e B só tem dois elementos, a representação é dada por duas retas horizontais.
Os pontos (–1, –2) e (–1, 1) não são pintados, pois –1 não pertence a A.

3 — Sendo A = ] –1; 2 ] e B = [ –2; 4 ], encontre A x B.

Neste caso, também só é possível representar no plano cartesiano.
Como A é um intervalo de –1 a 2, incluindo o 2 e B é um intervalo de –2 a 4, incluindo os extremos, toda a região entre esses intervalos é pintada.
Nenhum ponto que use o –1 de A é pintado, pois –1 não pertence a A.

Exercícios Resolvidos

R01 — Seja A um subconjunto de B, e seja B um subconjunto de C (A  B e B  C). Suponha que a  A, b  B, c  C, d  A, e  B, f  C.
Quais das proposições são verdadeiras: a  C, b  A, c  A, d  B, e  A, f  A?

Como a  A e A  B então a  B e como B  C então, a  C é verdadeira.
Como se sabe o elemento b  B e não necessariamente é elemento de A então, b  A pode não ser verdadeira.
Sabe-se que c  C e A  C então, c pode ser ou não um elemento de A logo, c  A pode não ser verdadeira.
Sabe-se também que d  A e A  B, então d pode ou não pertencer a B, isto é, pode não ser verdadeira.
O que se tem é que e  B e que A  B e que f  C e A  C então, e  A e f  A são sempre verdadeiras pelo mesmo motivo, Pois se não pertence a um conjunto jamais poderia pertencer a um subconjunto dele.

R02 — Considerando U = {x ; x é um quadrilátero}, R = {x ; x é um retângulo}, L = {x ; x é um losango}, Q = {x ; x é um quadrado} e T = {x ; x é um trapézio}, que relações os conjuntos apresentam?

O quadrado tem quatro lados congruentes (comprimentos iguais) e quatro ângulos retos.
O retângulo tem os quatro ângulos retos.
O losango é um paralelogramo que tem os quatro lados congruentes (comprimentos iguais).
O trapézio tem pelo menos dois lados paralelos.
Os conjuntos R, L, Q e T são subconjuntos próprios de U.
Q é subconjunto próprio de R, de L e de T.
R e L são subconjuntos próprios de T.

R03 — Seja A = {2, {4}, {4, 5}}. Quais das proposições abaixo são erradas?
a) {4,5}  A             b) 4  A                   c) {2}  A                d) {4}  A                 e) 2  A

O conjunto A é composto por três elementos 2, {4} e {4,5}.
a) para que o conjunto {4,5} estivesse contido em A seria necessário que o conjunto A tivesse os elementos 4 e 5 o que não ocorre.
Logo, a afirmação {4,5}  A é errada;
b) o elemento 4 não pertence a A, mas sim, o elemento {4} e portanto a afirmação: 4  A está errada;
c) o conjunto {2} tem apenas um elemento e este elemento pertence a A, portanto, {2}  A está certa.
d) {4} é um dos elementos de A, então {4}  A está certa;
e) o número 2 como se pode observar é um elemento de A e, portanto 2  A está certa.

R04 — Sejam o conjunto universo dado por  = {a, b, c, d, e} e os subconjuntos A = {a, b, d} e B = {b, d, e}, determinar:
a) A – B                    b) (B  A)’              c) B – A’                   d) A’  B                  e) A  B’                   f) B’ – A’

a) A – B é formado pelos elementos que estão em A, mas não em B e, portanto A – B = {a}, pois os elementos b e d também estão em B.
b) primeiro se calcula B  A = {b, d} e depois se calcula (B  A)’ = {a, c, e} que são exatamente os elementos que faltam para completar B  A.
c) primeiro se encontra A’ = {c, e} os elementos do universo que não estão em A e depois por B – A’ = {b, d}.
d) A’  B é a intersecção entre A’ = {c, e} e o conjunto B = {b, d, e}, logo A’  B = {e}.
e) B’ = {a, c} pode-se, portanto, calcular A  B’ = {a, b, c, d}.
f) B’ = {a, c} e A’ = {c, e} conclui-se que B’ – A’ = {a}.

R05 — Dados os conjuntos A = {0, 4, 5}, B = {0, 2, 4} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, o conjunto C_C (A B) é igual a:
a) {0, 1}                b) {1, 3, 5}                 c) {0, 2, 4}                 d) {1, 2, 3, 5}                e) {1, 2, 3, 4, 5}

O conjunto C_C (A  B) é o mesmo que C – (A  B), isto é, está em C, mas não está na intersecção de A e B e como (A  B) = {0, 4}, então o complementar de A inter B em relação a C é {1,2,3,5}.
Alternativa “d”.

R06 — Sejam A e B contidos no conjunto universo, se x  (A  B)^C então:
a) x  A  B                  b) x  A  B                  c) x  A^C  B^C                       d) x  A  B^C                       e) x  A^C  B                      

Como x é um elemento do complementar de A  B, então x nem está em A nem está em B, logo x não Pertence A  B, nem pertence a A  B^C nem a A^C  B, e como para pertencer a união ele teria que está em Pelo menos um dos dois, então também x não pertence A  B. Como x  A^C e  B^C, então x  A^C  B^C.
Alternativa "e".

R07 — Dado o diagrama de Venn abaixo, hachure   (A – ).

Primeiro deve-se encontrar a diferença entre A e o complementar de C, pois estão dentro do parênteses e que dá a região que está a intersecção entre A e C, depois se faz a intersecção com o complementar de B que é o que B não tem.
Logo, deve-se hachurar (pintar com linhas) a região descrita abaixo:

R08 — Considere as afirmações abaixo, onde  (X) é o conjunto das partes de um conjunto não vazio X.
  I — Existe A   (X) tal que B  A = B qualquer que seja B   (X)
  II — Qualquer que seja A   (X), existe B   (X) tal que A  B = 
III — Quaisquer que sejam A e B em  (X), tem-se A  B = 
IV — Existe A em  (X) tal que B  A = B, qualquer que seja B   (X)
Assinale, então, a alternativa correta:
a) apenas I é verdadeira
b) apenas IV é verdadeira
c) I, II e III são verdadeiras
d) II e IV são falsas
e) apenas III é falsa

X   (X) e B  X = B qualquer que seja B, logo “I” é verdadeira.
   (X) e A   =  qualquer que seja A, logo “II” é verdadeira.
 (X) é formado pelos subconjuntos de X, e como X não é vazio, sempre haverá subconjuntos de X cuja intersecção não seja vazio, logo “III“ é falsa.
Como B   = B para todo B, então “IV“ é verdadeira.
Alternativa "e".

R09 — Obter a relação entre os conjuntos A e B:
a) A = {x; x   e x < 5} e B = {x; x   e (x + 1)² < 28}
b) A = {x; x é um quadrado de área menor que 9 m²} e B = {x; x é um quadrado de perímetro maior que 12 m}

a) O conjunto A é formado pelos inteiros menores do que 5 e portanto A = {4, 3, 2, 1, 0, –1, –2, . . .} e o conjunto B é formado pelos números inteiros cujo quadrado desse número mais 1 seja menor que 28 e daí, tem-se que B = {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Sendo assim todos os elementos de B estão em A e, portanto B  A.

b) O conjunto A é formado por todos os números tais que x² < 9, isto é, todos os quadrados de lado menor do que 3 (evidentemente maior do que zero), enquanto que B é formado por todos os quadrados de lado x, tais que 4x > 12, ou seja, x > 3. Sendo assim, tem-se que A  B =  e, portanto A e B são disjuntos.

R10 — Determinar o M.D.C e o M.M.C. dos números 9 e 12.

Seja D(9) e D(12) os conjuntos formado pelos divisores de 9 e 12, respectivamente, então D(9) = {1, 3, 9} e D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e portanto, o conjunto dos divisores comuns a D(9) e D(12) é D(9)  D(12) = {1, 3}.
Assim sendo o máximo divisor comum é 3, isto é, M.D.C. (9, 12) = 3.

E sendo M(9) e M(12) os conjuntos dos múltiplos de 9 e 12, respectivamente, M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, . . .} e M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, . . .} e portanto, o conjuntos dos múltiplos comuns entre M(9) e M(12) é M(9)  M(12) = {36,72,108, . . .}.
Assim sendo, o mínimo múltiplo comum diferente de zero é 36, ou seja, M.M.C. (9,12) = 36.

R11 — Numa pesquisa realizada com 200 pessoas, 78 informaram que gostam de música sertaneja, 91 música romântica, 56 de música clássica, 32 de músicas sertaneja e romântica, 23 de músicas sertaneja e clássica, 19 de músicas romântica e clássica, 37 não gostam de nenhum dos das três tipos de música. Obter o número de pessoas que gostam apenas de música clássica.

Considerando S, R e C o conjunto das pessoas que gostam de músicas sertaneja, romântica e clássica, respectivamente, tem-se:
n(S) = 78, n(R) = 91, n(C) = 56, n(S  R) = 32, n(S  C) = 23, n(R  C) = 19.

O número total menos 37 (que não gostam de nenhuma das três) é igual a união, então dos três conjuntos.
n(S  R  C) = 200 – 37 = 163.

O número da união é dado por n(S  R  C) = n(S) + n(R) + n(C) – n(S  R) – n(S  C) – n(R  C) + n(S  R  C) então:
163 = 78 + 91 + 56 – 32 – 23 – 19 + n(S  R  C).
163 = 225 – 74 + n(S  R  C).
n(S  R  C) = 163 – 225 + 74 = 237 – 255 = 12.

Preenchendo os dados em um diagrama:



Começa pela intersecção dos três que é 12, depois com as intersecções 2 a 2, como já tem 12 para completar a intersecção, por exemplo, entre S e R faltam 20, e assim por diante.

Logo, o número de pessoas que gostam apenas de música clássica é 26.

R12 — Se a = 0,666. . ., b = 1,333. . . e c = 0,141414. . ., então a . b^–1 + c é igual a:
a) –74/99                  b) 127/198                  c) 80/99                  d) 187/30                  e) 67/30

Como a = 0,666. . ., multiplicando por 10 tem-se:
10 . a = 6,666. . . e subtraindo de 1 . a = 0,666. . ., para que a parte que se repete seja nula tem-se:
10 . a – 1 . a = 6,666. . . – 0,666 . . .
9 . a = 6 e daí a = 6/9 = 2/3.

Como b = 1,333. . ., multiplicando por 10 tem-se:
10 . b = 13,333. . ., e subtraindo de 1 . b = 1,333. . ., para que a parte que se repete seja nula tem-se:
10 . b – 1 . b = 13,333. . . – 1,333. . .
9 . b = 12 e daí b = 12/9 = 4/3.

Como c = 0,141414. . ., multiplicando por 100 tem-se:
100 . c = 14,1414. . . e subtraindo de 1 . c = 0,1414. . ., para que a parte que se repete seja nula tem-se:
100 . c – 1 . c = 14,1414. . . – 1,41414. . .
99 . c = 14 e daí c = 14/99.

Como b^–1 é igual ao inverso de b tem-se b^–1 = 3/4.
Portanto, a . b^–1 = (2/3).(3/4) = 1/2.
Dai a . b^–1 + c = 1/2 + 13/99 = 127/198.
Alternativa “b”.

Exercícios Propostos

P01 — Considere os conjuntos A = {–1, 0, 1, 2}; B = {–1, 1} e C = {0, 1, 2}. Qual das afirmações abaixo é verdadeira:
a) –1  B  C                   b) B  C                   c) 0  A  B  C                   d) B  A                   e) B = C

P02 — Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo sido indicado dois livros sobre esse assunto.
O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B por 28 alunos. Pergunta-se:
a) Quantos alunos consultaram os dois livros?
b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A?

P03 — Dados os conjuntos A = {0}, B = {0, 2, 4} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, o conjunto C _C (A  B) é igual a:
a) {0,1}           b) {1, 3, 5}           c){0, 2, 4}           d) {1, 2, 3, 4, 5}           e) {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P04 — Num almoço foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabe-se que das 94 pessoas presentes, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois. O número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é:
a) 10                  b) 12                  c) 15                  d) 17                  e) 18

P05 — Os conjuntos A, B e C são tais que: A  B = A  C = B  C = {2}; A  B = {1; 2; 3} e A C = {1; 2; 4}.  Então:
a) 1  C                   b) 1  B                   c) 3  B                   d) 4  C                   e) n.d.a.

P06 — Se M = {1; 2; 3; 4} e N são conjuntos, tais que M  N = {1; 2; 3; 4; 5} e M  N = {1; 2; 3}, então o conjunto N é:
a) vazio                  b) {4; 5}                  c) {1; 2; 3}                  d) {1; 2; 3; 4; 5}                  e) {1, 2, 3, 5}

P07 — Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto não vazio X.
0   0    Se A  B = A  C, então B = C
1   1    Se A  B =  então A =  e B = 
2   2    Se A  B e B  C então A  C = B
3   3    Se A  C = A  B, então B = C
4   4    (A \ B)  A

P08 — Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que:
A  B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
A – B = {1; 3; 6; 7}
B – A = {4; 8}
então A  B é o conjunto:
a) vazio                  b) {1; 4}                  c) {2; 5}                  d) {6; 7; 8}                  e) {1; 3; 4; 6; 7; 8}

P09 — Sejam A, B  . Se x  (A  B)’, então:
a) x  A  B           b) x  A  B           c) x  A’  B’           d) x  A  B           e) x  A’  B

P10 — Dados os conjuntos A, B e C, não vazios, sabe-se que A  B; então sempre se tem:
a) A  C =            b) A  B =            c) B  C =            d) (A  B)  C           e) (A  C)  B

P11 — Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, assinale a alternativa verdadeira:
a) (A – B)  B           b) (A – B)  (A  B)           c) A  B  A  B           d) Se A  B = B  A =

P12 — O número de elementos do conjunto  (A)   (B) (conjunto das partes), com A e B disjuntos e com dois elementos cada um, é:
a) 2                  b) 4                  c) 5                  d) 7                  e) 8

P13 — Numa Universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos da mesma leem o jornal X e 60% o jornal Y.
Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos.
a) 80%                  b) 14%                  c) 40%                  d) 60%                  e) 48%

P14 — Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a, b} } são:
a) 2 ou 5                  b) 3 ou 6                  c) 1 ou 5                  d) 2 ou 6                  e) 4 ou 5

P15 — Escreva V ou F a cada uma das proposições abaixo:
(    )  se A  C e B  C então (A  B)  C.
(    )  se C  A e C  B então C  (A  B).
(    )  A  B implica  (A)   (B) (conjunto das partes).
(    )   (A  B)  ( (A)   (B)).

P16 — Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A  B é 30, de A  C é 20 e de A  B  C é 15.
Então o número de elementos de A  (B  C) é igual a:
a) 35                  b) 15                  c) 50                  d) 45                  e) 20

P17 — Considere o seguinte diagrama de Venn que representa graficamente os conjuntos A, B e C, onde U representa o universo.
Assinale dentre as alternativas abaixo o conjunto que é representado pela área tracejada no diagrama, onde a barra (–) representa o complementar do conjunto em relação ao universo.



a) A  B  C                   b) A  B  C                   c) A  B                     d) A    C                   e)  B  C

P18 — Uma pesquisa foi realizada com pessoas que leem revistas semanais. Entrevistando 200 pessoas, descobriu-se o seguinte: 85 pessoas compram a revisa A, 75 pessoas compram a revista B, 65 pessoas compram a revista C, 30 pessoas compram as revistas A e B, 25 pessoas compram as revistas A e C, 20 pessoas compram as revistas B e C, 10 pessoas compram as três revistas.
Com base nestes dados, responda ao seguinte:
a) Quantas pessoas compram pelo menos uma das revistas?
b) Quantas pessoas não compram nenhuma das três revistas?
c) Quantas pessoas compram exatamente uma das revistas?
d) Quantas pessoas compram exatamente duas das revistas?

P19 — Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que: A  B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; A – B = {1; 3; 6; 7} e B – A = {4; 8}.
Obtenha então n(A) + n(B).

P20 — Assinale V ou F se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas.
  
   = 
   = 
(  )  
a) FVFV                  b) VVVV                  c) FVVF                  d) FVVV                  e) VVVF

P21 — Sejam a e b reais, diferentes de zero, com a = b. Tem-se que:
a) multiplicando por a, tem-se: a² = ab
b) subtraindo b², tem-se: a² – b² = ab – b²
c) fatorando: (a + b) (a – b) = b (a – b)
d) dividindo por (a – b): a + b = b
e) substituindo a por b: b + b = b e dai, 2b = b ou 2 = 1
Assinale a alternativa correspondente a operação que aplicada indevidamente acarretou o absurdo.

P22 — Sejam a e b números reais tais que a < b. Qual das seguintes afirmações é sempre verdadeira?
a) a² < b²
b) se c é um outro número real então ac < bc
c) ab < 0
d) se c é um número real positivo então ac < bc
e) a + b > 0

P23 — Dados os conjuntos A = [ 1, 3 [ e B = ] 2, 9 ], os conjuntos A  B, A  B e A – B são, respectivamente:
a) [ 1, 9 ], ] 2, 3 [, [ 1, 2 ]
b) ] 1, 9 ], ] 2, 3 [, ] 1, 2 ]
c) ] 1, 9 [, ] 2, 3 [, ] 1, 2 ]
d) [ 1, 9 ], ] 2, 3 ], [ 1, 2 ]
e) [ 1, 9 ], [ 2, 3 ], [ 1, 2 ]

P24 — Se designarmos por [ 3; 4 ] o intervalo fechado, em , de extremidades 3 e 4, é correto escrever:
a) {3, 4} = [ 3; 4 ]
b) {3, 4}  [ 3; 4 ]
c) {3, 4}  [ 3; 4 ]
d) {3, 4}  [ 3; 4 ]
e) nenhuma das alternativas anteriores é correta.

P25 — Sejam R o conjunto dos números reais, a e b elementos de R tais que a < b e considere os seguintes intervalos:
] a, b [ = conjunto dos números reais x tais que a < x < b
[ a, b [ = conjunto dos números reais x tais que a  x < b
] a, b ] = conjunto dos números reais x tais que a < x  b
[ a, b ] = conjunto dos números reais x tais que a  x  b.
Qual dentre as seguintes alternativas é a verdadeira?
a) se x  ] a, b [ então x²  ] a, b [
b) ] a, b [ é um conjunto ilimitado, pois tem uma infinidade de elementos
c) ] a, b [ tem um número finito de elementos, pois é um conjunto limitado
d) ] a, b [ = [ a, b [  ] a, b ] e [ a, b ] = [ a, b [  ] a, b ]
e) ] a, b [ = [ a, b [  ] a, b ] e [ a, b ] = ] a, b ]  [ a, b [

P26 — Sejam  o conjunto dos números reais, e dados os conjuntos: A = {x  ; –1 < x  2}, B= {x  ; –2  x  4}, C = {x  ; –5 < x < 0}.
Assinale dentre as afirmações abaixo a correta:
a) (A  B)  C = {x  ; –2  x  2}
b) C – B = {x  ; –5 < x < –2}
c) A – (B  C) = {x  ; –1  x  0}
d) A  B  C = {x  ; –5 < x  2}
e) nenhuma das respostas anteriores

P27 — Sendo A = {x  ; –1 < x  3} e B = {x  ; 2 < x  5}, então:
a) A  B = {x  ; 2  x  3}
b) A  B = {x  ; –1 < x  5}
c) A – B = {x  ; –1 < x < 2}
d) B – A = {x  ; 3  x  5}
e) nenhuma das respostas anteriores.

P28 — Se A = {x  ; –1 < x < 2} e B = {x  ; 0  x < 3}, o conjunto A  B é o intervalo:
a) [ 0; 2 [                   b) ] 0; 2 [                   c) [ –1; 3 ]                   d) ] –1; 3 [                   e) ] –1; 3 ]

P29 — Se –4 < x < –1 e 1 < y < 2, então x . y e   estão no intervalo:
a) ] – 8, – 1 [                   b) ] – 2, –  [                   c) ] – 2, – 1 [                   d) ] – 8, –  [                   e) ]– 1, –  [

P30 — Sejam os intervalos reais A = {x  ; 3  x  7}, B = {x  ; –1 < x < 5} e C = {x  ; 0  x  7}.
É correto afirmar que:
a) (A  C) – B = A  B
b) (A  C) – B = C – B
c) (A  B)  C = B
d) (A  B)  C = A
e) A  B  C = A  C

P31 — A diferença A – B, sendo A = {x  ; –4  x  3} e B = {x  ; –2  x < 5} é igual a:
a) {x  ; –4  x < –2}
b) {x  ; –4  x  –2}
c) {x  ; 3 < x < 5}
d) {x  ; 3  x  5}
e) {x  ; –2  x < 5}

P32 — Para o intervalo A = [ –2, 5 ], o conjunto A  * é igual a:
a) {–2, –1, 1, 2, 3, 4, 5}           b) {1, 2, 3, 4, 5}           c) {1, 5}           d) {0, 1, 2, 3, 4, 5}           e) ] 1, 5 ]

P33 — Sejam a, b e c números reais, com a < b < c. O conjunto ] a, c [ – ] b, c [ é igual ao conjunto:
a) {x  ; a < x < b}
b) {x  ; a < x  b}
c) {x  ; a < x  c}
d) {x  ; b  x < c}
e) {x  ; b < x  c}

P34 — Sendo a e b números reais quaisquer e m um real diferente de zero, então:
a) se a > b e am > bm, então m = 1
b) se a  b e am  bm, então m < 0
c) se a  b e am  bm, então m  1
d) se a < b e am < bm, então m < 0

P35 — Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes:
a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos os outros.
b) O número real  pode ser representado sob a forma p/q, onde p e q são inteiros, q  0.
c) O número real representado por 0,37222. . ., é um número racional.
d) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
e) O quadrado de qualquer número real é um número racional.

P36 — O número real r que não pode ser escrito sob a forma r =  com x real é:
a) –1                  b) 0                  c) 1                  d) 2                  e) 3

P37 — Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, se pode dizer que:
a) x . y é irracional
b) y . y é irracional
c) x + y é racional
d) x – y +  é irracional
e) x + 2y é irracional

P38 — Sejam a e b números irracionais quaisquer. Das afirmações:
   (I) :  a . b é um número irracional
  (II) :  a + b é um número irracional
(III) :  a – b pode ser um número racional.
Pode-se concluir que:
a) as três são falsas
b) as três são verdadeiras
c) somente (II) é falsa
d) somente (I) é verdadeira
e) somente (III) é verdadeira

P39 — O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos –1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se então concluir que:
a) x  –1 ou x > 3
b) x  2 ou x < 0
c) x  –1 ou x  2
d) x > 3
e) nenhuma das respostas anteriores está correta.

P40 — A = {x  ; 0 < x < 2} e B = {x  ; –3  x  1}, então o conjunto (A  B) – (A  B) é:
a) [ –3, 0 ]  ] 1, 2 [           b) [ –3, 0 [  [ 1, 2 [           c) ] –, –3 [  [ 2, + [           d) ] 0, 1 ]          e) [ –3, 2 [          

P41 — Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número x.y?


a) à esquerda de 0           b) entre 0 e x           c) entre x e y           d) entre y e 1           e) à direita de 1

P42 — Sejam P = (a, b) e Q = (c, –2) dois pontos no plano cartesiano tais que a . c < 0, b < 0 e c > 0. Pode-se afirmar que:
a) P é um ponto do 1º quadrante
b) P é um ponto do 2º quadrante
c) P é um ponto do 3º quadrante
d) P é um ponto do 4º quadrante
e) P pode estar no 1º ou 4º quadrante

P43 — Se F = {x  ; 0  x + 1  5} e G = {x  ; 3 < 2x – 1 < 13}, então:
a) n(F  G) = 1
b) n(F – G) = 2
c) n(G – F) = 3
d) n[(F  G) x (G – F)] = 4
e) n[(F – G)  (G – F)] = 8

P44 — Considere os conjuntos A e B tais que A x B = {(–1, 0), (2, 0), (–1, 2), (2, 2), (–1, 3), (2, 3)}.
O número de elementos do conjunto A  B é:
a) 0                     b) 1                     c) 2                     d) 3                     e) 4

P45 — Em relação a um sistema cartesiano ortogonal, o ponto A(3x + 1, 2x – 5) pertence ao 4º quadrante se, e somente se:
a) –  < x < 
b) –   x  
c)  x > 
d) x < – 
e) 1 < x < 2

P46 — Somando-se uma fração ordinária com a sua inversa obtém-se sempre uma:
a) fração própria
b) fração irredutível
c) fração decimal
d) dízima periódica
e) fração imprópria

P47 — O gráfico do produto cartesiano  x  é formado por:
a) uma faixa
b) uma reta
c) infinitas retas paralelas ao eixo Ox
d) infinitas retas paralelas ao eixo Oy
e) infinitos segmentos de reta paralelos ao eixo Ox

P48 — O gráfico do produto cartesiano  x  = ² é:
a) uma reta
b) todo o plano cartesiano
c) três retas
d) o conjunto formado pelos dois eixos Ox e Oy
e) o conjunto formado pelos dois eixos Ox e Oy, exceto a origem

P49 — Dados os conjuntos A = {0, –1, 1}, B = {1, 3, 4} e C = {0, 1}, temos (A – B) x (C – B) igual a:
a) {(0, 0); (0, –1)}           b) {(–1, 0); (0, 0)}           c) {(0, 0); (0, 1)}           d) {(0, 1); (0, –1)}           e)  (vazio)

P50 — Analise as afirmações abaixo:
0   0  Existe número natural que é irracional.
1   1  Todo número inteiro é número racional
2   2  Se um número real é natural obrigatoriamente será inteiro
3   3  Um número inteiro jamais será irracional
4   4  Se um número complexo for irracional jamais será imaginário

P51 — Verifique a veracidade das afirmações:
0   0  A diferença entre dois números naturais nem sempre é um número inteiro
1   1  O produto entre um número inteiro e um número racional é sempre um número inteiro
2   2  O quociente entre um número racional e um número irracional é sempre um número irracional
3   3  A soma entre um número inteiro e um número irracional é sempre um número complexo
4   4  O produto entre dois números irracionais nunca será um número natural

P52 — Analise as proposições sobre conjuntos numéricos e marque coluna I quando verdadeiras e coluna II quando falsas.
0   0  Nenhum número irracional pode ser natural
1   1  Todo número inteiro é complexo
2   2  A soma entre um número racional e um número irracional é sempre irracional
3   3  O produto entre um número inteiro e um natural é sempre um natural
4   4  Existe número racional que é natural

P53 — Analise as afirmações abaixo:
0   0  Todo quadrado cartesiano é simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares
1   1  Todo quadrado cartesiano é comutativo
2   2  Em um produto cartesiano a ordem dos fatores não altera o produto
3   3  Existe quadrado cartesiano simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes pares
4   4  O cardinal do produto cartesiano não depende da ordem dos fatores

P54 — Se as diagonais de um retângulo se interceptam na origem do plano cartesiano e seus lados são paralelos aos eixos coordenados e um de seus vértices é o ponto (3, 2) então:
0  0  O vértice simétrico em relação ao eixo das abscissas é (3, –2)
1  1  O vértice simétrico em relação ao eixo das ordenadas é (–3, 2)
2  2  O vértice simétrico em relação à origem do plano cartesiano é (–3, –2)
3  3  A área do retângulo é 30
4  4  Este retângulo é quadrado

P55 — Se A x A = {(2x – y; 1); (4; 1); (2x – y; y + 3x); (4; y + 3x)}, então x + y vale:
a) –2                     b) –1                     c) 0                     d) 1                     e) 2

P56 — O gráfico do produto cartesiano A x B é formado por quinze pontos distintos. Pode-se afirmar que:
a) A não é um conjunto unitário
b) A possui três elementos e B, cinco elementos
c) A é um conjunto de números inteiros
d) A  B
e) A possui quinze elementos

P57 — Em um sistema cartesiano ortogonal, os pontos A(a, b) e B(c, d) são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Assim sendo, tem-se que:
a) a = –c e b = –d
b) a = –c e b = d
c) a = c e b = –d
d) a = c e b = d
e) a = d e b = c

P58 — Sejam F = {1, 2, 3, 4} e G = {3, 4, 7}. Então:
a) F x G tem 12 elementos
b) G x F tem 9 elementos
c) F  G tem 7 elementos
d) F  G tem 3 elementos
e) (F  G)  F = 

P59 — Em  x , sejam (2m + n; m – 4) e (m + 1; 2n) dois pares ordenados iguais. Então mⁿé igual a:
a) –2                  b) 0                   c)                   d) 1                       e) 

P60 — Os pares ordenados de números reais (2a – 5, b + 3) e (1 – 4a, 2b – 1) são iguais se, e somente se:
a) a = 1 e b = 3           b) a = –1 e b = 3           c) a = –1 e b = 4           d) a = 0 e b = 2           e) a = 1 e b = 4

P61 — Sabendo-se que n(A x B) = 48 , n(B x C) = 72 , n((A)) = 256, podemos afirmar que n(A x C) é:
a) 64           b) 72           c) 96           d) 128           e) 192

fonte:hpdemat.apphb.com