Ensino de Matemática

sexta-feira, 31 de janeiro de 2020

O Algebrismo na Matemática

O Professor Algebrista da Matemática

Muitos especialistas em Educação Matemática e que pesquisam o comportamento dos professores no ensino da matemática, julgam que o medo crescente por parte de uma grande parcela do alunado por essa disciplina é assustador, e cuja disciplina é julgada como o “bicho papão” da educação aqui em nosso país, e se deve em grande parte a alguns professores de Matemática que vêm sendo denominados pejorativamente de nada mais do que apenas algebristas.

Malba Tahan, um dos maiores especialistas em Matemática, brasileiro do Rio de Janeiro, nos diz que o que cria esse tenebroso sentimento em relação ao gosto pela Matemática por parte da nossa clientela, ou seja, o medo que se criou da nobre ciência é obra de um inimigo roaz e pernicioso, um inimigo que é para a Matemática, equivalente ao que a broca é para o café, a lagarta para o algodão, e o gafanhoto para a plantação. Esse inimigo perigoso e implacável chama-se professor algebrista. Essa denominação é utilizada para designar todo àquele professor que vive possuído da preocupação mórbida de complicar, enegrecer e lacerar o ensino da Matemática.

Segundo ele, o algebrista, sem pudor e escrupulos, para resolver questões facílimas, cria muitos artifícios complicados, usando proveito próprio e criando tropeços sem o menor interesse para o aprendizado. Eles inventam inúmeros exercícios, desafios e enigmas que, em geral, são irreais, absurdos e fora da realidade, tudo para vangloriar o seu próprio ego e, em detrimento do aprendizado eficaz de seus alunos, promovendo um verdadeiro pânico em todos seus aprendizes.

Ressaltamos que um professor de Matemática, que é conhecido como algebrista, normalmente, ele se mantém afastado da realidade e visa constantemente torturar os seus alunos com problemas absurdos, trabalhosos, ou com equações dificílimas, repleta de denominadores e com muitos radicais e equações que afinal não oferecem utilidade alguma. É fácil verificar que, é grande o mal que os algebristas que normalmente são truculentos fazem ao ensino da Matemática, inventando fantasmas que não existem. Ilustramos abaixo o que vem ocorrendo com o mestre algebrista e seus pupilos, onde certos conteúdos são empurrados goela abaixo, para total desespero do seu alunado.

Porque os Alunos Detestam a Matemática

Temos que reconhecer que a Matemática tem sido considerada, em demasia, como uma matéria detestada pela maioria dos alunos, ou como uma área que só pode ser bem compreendida por uma minoria dos mesmos. Desde que um aluno passe a temer a Matemática, começa esse ciclo crescente e vicioso, de ansiedade pela Matemática e consequentemente de deficiência no seu aprendizado. Já presenciarmos professores que parecem sentir prazer em impor à Matemática uma impressão equivocada de algo muito difícil de ser entendido e assimilado.

Definição do Algebrismo na Matemática

O Algebrismo na Matemática é definido como um conjunto de teorias emaranhadas; de problemas muito complicados, sem a menor aplicação em nosso cotidiano; um conjunto de cálculos numéricos trabalhosos, dos quais o estudante quase nada aproveita; muitas questões fora da vida real; de inúmeras demonstrações longas, complexas, cheias de sutilezas, enfim, é tudo o que o professor apresenta em Matemática, fora dos objetivos reais dessa ciência, com finalidade única de complicar, dificultar e tornar obscuro o ensino da Matemática, apenas para mostrar que tal conhecimento é imensamente complexo e acessível a poucos “ilustres” estudantes, o que é uma grande mentira e só vem gerando grande descontentamento de todos.

Sabe-se que esse mal já é muito antigo. Alertamos que o Prof. José Ferraz de Camposno ano de 1928, teceu o seguinte comentário com relação aos professores algebristas: “... é comum desperdiçarem o seu tempo a propor e a antolhar os alunos de dificuldades abstratas, desinteressantes e fastidiosas, em vez de irem buscar no inesgotável manancial dos fatos e das circunstâncias da vida ordinária, os dados necessários à organização de problemas úteis”.

Os Principais Inimigos da Matemática

Acreditamos que o professor algebrista vem sendo apoiado por um sistema que valoriza demasiadamente os conteúdos absurdos de matemática, que são exigidos muita vezes em programas curriculares, programa de provas em concursos públicos ou vestibulares e livros didáticos equivocados e que não ensinam o aluno para uma educação voltada para a vida, com problemas práticos e aplicados sempre em nosso dia a dia e colaboram sistematicamente para aumentar o repúdio ao ensino da disciplina.

Muitos professores praticam o algebrismo por exigência do seu curso. Citemos um exemplo: A divisão do binômio x^16 – a^16 por x^2 – a^2 apresentado como problema no Ensino Médio. Não existe problema algum, em ciência alguma, que conduza o aluno a um binômio do 16º grau dividido por outro do 2º grau. Para que isso serve? Então, para que forçar o aluno a resolver essa inutilidade?

Ao longo das séries do ensino fundamental, há uma verdadeira cadeia de algebrismo atormentando os estudantes. Um professor X ensina, na 5ª série, um disparate qualquer com receio de que o professor Y, mais tarde na 6ª série, possa exigir esse falso conhecimento. E assim por diante...

É muito fácil apontarmos centenas de professores, dedicados e eficientes, que orientam os seus trabalhos de suas classes, na ilusão de que devem ensinar o difícil que não tem aplicação, a fim de que os estudantes aprendam bem o simples, o fácil que tem aplicação. Encarar o ensino da Matemática desta maneira é antididática e errônea. Ensinar bem o fácil que é básico e fundamental deveria ser nosso foco; isto é, insistindo nas noções conceituais importantes; e obrigar o estudante a ser correto em sua linguagem; seguro e preciso em seus cálculos; e impecável em seus raciocínios.

É um crime, porém, atormentar o aluno com teorias inúteis, difíceis ou trabalhosas. As teorias complicadas e obscuras fazem nascer, no espírito do aluno, verdadeira aversão e intolerância pela Matemática. Julgamos que é um crime esconder a beleza da Matemática implantando, nessa ciência, as deformações do algebrismo. O cálculo trabalhoso e inútil deve ser abolido, nos ensinos fundamental e médio.

Didaticamente, é fácil observar que o algebrismo é o inimigo n.º 1 da Matemática. Então, vamos caracterizar, de maneira bem clara, em que consiste o algebrismo, para que não sejamos mal interpretados, encarando-o do ponto de vista do ensino da Matemática, com toda as suas extravagâncias, através da exemplificação de alguns problemas apresentados em muitos livros didáticos destinados aos ensinos fundamental ou médio ou em provas dos mais variados concursos:

1) É dada a fração ordinária irredutível 1/117 que, convertida em número decimal, dá origem a uma dízima periódica simples. Achar o período, dessa dízima, efetuando uma única multiplicação. Além desta multiplicação nenhuma outra operação será admitida;

2) Mostrar, graficamente, que a equação x + x - 5 = 7 admite duas raízes reais e desiguais, e determinar essas raízes com auxílio de uma equação do 2º grau.

Essas questões e outras muito mais difíceis, apresentadas a estudantes dos ensinos fundamental ou médio, degeneram em puro, em autêntico algebrismo. Outrossim poderiam ser ensinadas, talvez com muito interesse em um Curso Superior de Matemática (Bacharelado e Licenciatura); tais problemas caberiam, perfeitamente, como assunto de prova prática, num concurso para professores de Matemática; e seriam admissíveis, ainda, num Curso de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática.

Muitos professores cultivam o algebrismo por vaidade e esforçam-se a fim de que os alunos não compreendam suas aulas, firmados no preceito contista, de que aquilo que não se entende, é venerado. Concordando com isso, inconscientemente alguns estudantes estão convencidos de que só os grandes matemáticos podem ensinar coisas que os ouvintes não compreendem.

Acreditamos que um professor, sempre que for desenvolver a sua prova ou cobrar os seus exercícios em aula, deveria ter em mente algumas perguntas, tais como:

a) Qual é a finalidade desse problema ou dessa transformação?

b) A que curso ou a que concurso esse problema será destinado?

Muitos estudantes talentosos são afastados de suas vocações em função da não aptidão para os estudos abstratos e pesquisas teóricas exigidas pelo algebrismo, que ainda vigora em nossos currículos de matemática. Muitos são os professores que desenvolvem, dentro dos ensinos fundamental e médio, um programa imenso, nebuloso, cheio de teorias ocas, inúteis, com a finalidade principal de preparar matemáticos teóricos, pesquisadores ou cientistas para alguma academia imaginária de Análises transcendentais. Sabemos que, apesar dos reparos e censuras de vários estudiosos, o algebrismo ainda está presente diante da realidade estudantil, permanecendo com o peso de sua inutilidade no ensino da Matemática.

Para o bem geral e do ensino da Matemática, precisamos abolir, ou pelo menos reduzir a um mínimo razoável, a obsessão algebrista de certos professores de matemática que encontramos facilmente em nossas escolas.

Sabemos que há professores que detestam o algebrismo e reconhecem o mal que, para o ensino, decorre dessa prática, mas não se sentem capazes de trilhar outro caminho, dentro da Didática da Matemática, que conduza os seus alunos a compreenderem melhor sua utilidade, e continuam preparando as suas aulas da mesma forma que os seus professores mestres algebristas, contribuindo dessa maneira para a manutenção do medo da Matemática e não para sua eliminação de nossos bancos escolares.

O Algebrismo Existe Mesmo em Nossas Escolas?

A maior prova de que o algebrismo existe é dado pelo sintoma de rotina que podemos observar facilmente, analisando com atenção alguns dos inúmeros livros didáticos; os exercícios algebrísticos não variam; estão enraizados nos vários capítulos da Matemática e são os mesmos que eram enunciados há cinquenta ou mais anos.

Para verificarmos tais absurdos, observemos dois problemas apresentados em provas e em livros didáticos para o Ensino Fundamental da Matemática

a) Um quitandeiro distribuiu 1.855 maçãs em quatro caixas cujos volumes são inversamente proporcionais aos números 6, 8, 12 e 15. Quantas maçãs ele colocou em cada uma?

Lendo o enunciado desse problema, não encontramos a menor indicação sobre o tamanho de uma das quatro caixas. Vemos ainda, que o quitandeiro não é obrigado a encher literalmente as quatro caixas com as 1.855 maçãs. Deverá, apenas, distribuir as maçãs pelas quatro caixas. A única condição do confuso problema é que essas caixas tenham os respectivos volumes inversamente proporcionais aos quatro números dados. E que volumes serão esses? As quatro caixas podem ser enormes, cabendo, na menor, por exemplo, as 1.860 maçãs. O quitandeiro, nesse caso, poderá distribuir as 1.855 maças pelas quatro caixas à vontade. Cada caixa poderá receber do total dado, o número de maçãs que ele quiser. O número de soluções do problema (dentro da hipótese que formulamos) que não é infinito, mas é muito grande. O certo seria dispensar o quitandeiro, distribuir as maçãs pelas crianças do bairro, suprimir as quatro caixas, e propor, apenas, sem rodeios e sem fantasias, uma nova apresentação do problema, ou seja:

Dividir o número 1.855 em partes inversamente proporcionais aos números 6, 8, 12 e 15.

O autor do problema, anteriormente apresentado, embora quisesse transformar ele em uma aplicação real, não foi feliz em seu propósito e consequentemente atentou contra o ensino da Matemática;

b) Um dono de estábulo vendia diariamente 255 litros de leite. Destes litros uns eram misturados com água. Vendeu 21 litros de leite de 1ª qualidade (leite puro) e 44 litros de 2ª qualidade (leite com água) e assim ficou com partes iguais das duas quantidades. Que porção de leite tinha de cada espécie?

Esse é um exemplo do algebrismo que é rico em impropriedade didática. A questão aritmética aqui proposta parece aceitar como coisa certa, legal e perfeitamente admissível, que um leiteiro procure aumentar os seus proventos, vendendo o chamado leite de 2ª qualidade (leite com água). A ação é criminosa, e quem a pratica está atentando contra a saúde pública, estando sujeito, portanto, às penalidades da Lei. Que importa tudo isso? O ato torpe em que foi inspirado o problema do leiteiro delinquente é apresentado a inúmeros jovens e que nunca poderia ser aceito numa aula de ensino para uma vida civilizada. No caso em questão, o algebrismo é amoral e não educativo.

c) Vamos imaginar que eu escrevo todos os números inteiros desde 204 até 15.611. Quantas vezes o 9 aparece entre dois setes?

d) Vamos admitir que eu possa escrever todos os números desde 411 até 183.944, inclusive. Quantos algarismos eu empreguei? Qual é o algarismo que aparece em 3.418º lugar?

e) Achar todos os divisores de 18.252 que são quadrados perfeitos.

Todas estas questões acima(c, d, e), tratam-se de problemas trabalhosos, sem originalidade alguma, sem interesse e sem a menor aplicação, dentro ou fora da Matemática. Ressaltamos que isso é apenas algebrismo, isto é, são verdadeiras monstruosidades aritméticas.

Esse tópico possui, para muitos de seus defensores a única aplicação de um simples exercício de cálculo. Porém, verdadeiramente, as expressões numéricas acima só conseguem implantar no espírito do estudante, a irremediável ojeriza pelo estudo da Matemática. Ressaltamos que os problemas ora apresentados indicam a barbárie imposta aos estudantes e evidenciam diretamente o algebrismo existente no ensino da Matemática.

Como Formular de Modo Correto os Problemas Matemáticos

O ensino da Matemática está repleto de questões irreais, mentirosas, implementados pela imaginação mórbida dos algebristas. Com relação a isso, particularmente, na apresentação de diversos problemas, sugerimos as seguintes atitudes, entre outras afim de evitarmos tais arbitrariedades:

1º) Os dados de um problema devem ser familiares, próprios da experiência do aluno, isto é, devem constituir uma situação em que o estudante possa facilmente imaginar encontrar-se nela;

2º) O caráter principal de um problema deve consistir em haver uma razão para resolvê-lo, isto é, se o aluno estiver na situação descrita no problema, sentirá uma necessidade real de encontrar a solução que o problema reclama;

3º) O vocabulário e a estrutura da redação do problema devem encontrar- se dentro da capacidade de leitura dos nossos alunos.

4º) Propor questões que sejam revestidos de ética e comportamento exemplar dentro da mais perfeita civilidade e harmonia e que possam transmitir positividade e bons exemplos ao corpo de alunos, pois nunca devemos esquecer que você além de matemático também é um educador e é exemplo copiado por todos.

Sabemos que a Matemática, como qualquer outra ciência, deva ter suas dificuldades e desafios, mas é preciso escoimá-la dos germes comprometedores ao seu aprendizado.

É tão comum ouvirmos de diversos estudantes a confissão de incapacidade para compreender a Matemática, o que nos motiva a tornar o seu estudo atraente, tanto quanto possível, aperfeiçoando os programas curriculares; encorajando os estudantes e assinalando os seus progressos, as suas falhas, sempre com bondade e persuasão.

Devemos Cobrar as Demonstrações dos Nossos Alunos?

No que tange as demonstrações de inúmeros teoremas no decorrer dos ensino fundamental e médio, cumpre ao professor consciencioso, bem orientado sobre os objetivos da Matemática, não torturar os seus alunos com demonstrações trabalhosas, ou longos raciocínios cheios de sutilezas, ou seja, no ensino da Matemática devem ser suprimidas as demonstrações complicadíssimas que têm sido a tortura dos estudantes não aptos para o estudo dessa ciência. Os algebristas ferrenhos, algemados pela rotina, não se capacitam dessa verdade. O ensino algebrista da Matemática é um mal mundial. Entre inúmeros professores de diferentes nacionalidades e de alto prestígio, perfilam-se aqueles que colocam, acima de tudo, a parte abstrata da ciência e menosprezam as aplicações práticas.

O Combate ao Algebrismo

Já vimos que, para o ensino da Matemática, são danosas as consequências do algebrismo.

Como combatê-lo? Como expurgar a Matemática desse entulho pesado e inútil?

Estando o algebrismo fortemente ligado a rotina diária dos estudos em matemática, será impossível suprimi-lo integralmente. Escudado pela rotina ele resistirá. Os argumentos, os fatos apontados, não chegarão a mudar a atitude errônea do algebrista e derrubá-lo do pedestal em que se acha, a mais de um século acocorado.

Sabemos que o algebrismo, para muitos professores, é fonte de renda. Torturado por essa vil prática de ensino, o estudante vê-se forçado a tomar aulas particulares, a contratar um explicador. No dia em que o algebrismo desaparecer, os seus exploradores serão obrigados a procurar outro meio de vida.

Desta forma, para atenuarmos seus efeitos maléficos, apontamos algumas medidas:

a) A revisão cuidadosa dos programas curriculares, com o objetivo de simplificá-los, e torná-los mais vivos e mais interessantes. Os atuais programas devem encerrar muitas noções parasitas, teorias inúteis e transformações algébricas sem a menor aplicação em ciência alguma, ou situação da vida real. Todo esse entulho algébrico deve ser suprimido. No ensino da Matemática, precisamos suprimir matérias e aliviar os deplorativos programas de Matemática, atufados de inutilidades;

b) A apresentação analítica dos programas, pois um programa sintético combate diretamente a tendência algebrista de certos professores mal orientados;

c) A supressão dos problemas em falso e a limitação do cálculo algébrico, ou seja, não propor aos nossos alunos problemas com dados numéricos fora da vida real. Afirmamos que os problemas apresentados aos educandos nunca devem falsear a verdade.

A finalidade dos problemas de Matemática não é a de preparar só para a Escola, mas sim a de habilitar para as ocupações normais da vida. Por essa razão, devem provir de situações reais da vida dos alunos ou de situações que os mesmos possam compreender como capazes de ocorrer com frequência. Para que forçar os nossos estudantes a efetuarem cálculos e transformações totalmente inúteis.

Como Devemos Escolher o Livro Didático e Implementar Nossos Planos de Aulas

Muitos dos livros didáticos destinados ao ensino da Matemática, nos ensinos fundamental e médio, são elaborados de acordo com os programas curriculares. Nos referidos livros, o autor apresenta os diversos pontos com o necessário desenvolvimento de modo que os alunos encontrem, em suas páginas, os assuntos exigidos nas provas, nos concursos, etc.

O professor ao adotar um livro deve examiná-lo com bastante atenção para ver se o mesmo não é repleto de problemas difíceis, sem a menor finalidade teórica ou prática, pois senão, esse professor, mesmo sem querer, será levado a praticar o algebrismo em sua classe. Como consequência, o livro didático considerado, por muitos professores e estudantes, como bom e eficiente, na maioria dos casos é do princípio ao fim, um amontoado de algebrismos sem utilidade prática. Sempre devemos fazer uma análise completa do livro didático, antes de adotá-lo e, caso não concordemos com alguma coisa devemos acionar aos seus autores as nossas opiniões, para que esses, diante de nossas opiniões, concluam que devem melhorar e até alterar a sua obra.

Chega de mostrarmos aos nossos estudantes ideias ultrapassadas e bitoladas, preparemos planos de aula com o verdadeiro propósito do ensino, pois os atuais alunos serão os homens do futuro, profissionais que herdarão as lideranças educacionais, políticas e econômicas do Brasil.

Com o algebrista não devemos ter a menor complacência. Evitemos, a todo custo, os golpes que ele está sempre disposto a desferir contra a beleza e a simplicidade da Matemática. Qualquer brecha abre, para o algebrista, caminho para os excessos mais desastrosos! Acreditamos que, aparando as arestas curriculares do algebrismo, será possível dar mais importância ao aspecto cultural, intercalar a história da evolução dos conceitos e a parte prática indispensável na vida corrente. Só assim, caminharemos para o aniquilamento do mal do algebrismo.

Segundo o grande sábio Rui Barbosa, em seu famoso parecer sobre a Reforma do Ensino Primário, publicado em 1883, chamava a atenção dos educadores e parlamentares para a irrealidade do ensino. Esse grande homem dizia que o segredo da importância do ensino atual e do seu peso acabrunhador está na irrealidade. Longe de preparar as crianças para a batalha da vida, a escola parece amoldada ao cálculo de transportá-la a outro mundo, mais turvo, mais penoso; não absolutamente a paragens encantadoras, mas a uma região ocupada por impérvias abstrações e vagas sombras.

A partir do exposto, observamos que o combate ao algebrismo é uma tarefa árdua e dificílima, pois o mesmo conta, realmente, com uma aliada muito forte e obstinada: a rotina imposta pelo programa curricular, por alguns livros didáticos, entre outros, os quais vêm reforçando equivocadamente ao mal do algebrismo. Cabe a nós todos, a pertinaz tarefa de consolidar e manter a qualquer custo uma educação de qualidade, sempre voltada para o crescimento intelectual de todos e em permanente atuação em todos os níveis e modalidades de ensino e combatendo enfaticamente todos os desvios e equivocos mencionados nesta matéria.

Conclusão

Depois dessa leitura, constatamos que o ensino da Matemática hoje está agonizando, contando com alguns livros inadequados, programas curriculares de ensino igualmente equivocados, muitos professores algebristas, e tudo conspirando para acentuar ainda mais o medo dos alunos pela disciplina. Algo precisa ser mudado, mas como mudar se os concursos, as provas e toda a rotina gira em torno dessa matemática algebrista e inútil em nosso cotidiano, que infelizmente é cobrada erroneamente pela sociedade organizada em concursos públicos, provas e testes enfadonhos.

Ensinar Matemática não é uma tarefa fácil, contudo nesse artigo, apontamos alguns focos dos quais acreditamos irradiar as maiores dificuldades relativas ao ensino dessa disciplina e de onde, provavelmente, surge o medo e as deficiências no ensino da Matemática e apresentamos algumas soluções. Precisamos, com certeza encontrarmos um novo jeito de ensinar, algo mais útil, utilizando-se quem sabe das muitas mídias amplamente aceitas pelo nosso contingente estudantil, como os computadores e outras tecnologias que possam motivar o aprendizado de todo nosso corpo discente e servir a nossa socidade positivamente, gerando no futuro profissionais de todos os níveis bem mais preparados para servir nosso país em todos os sentidos.

fonte:recordandomatematica.blogspot.com.br

Demonstração da Fórmula de Bhaskara

Muitas vezes lidamos com uma fórmula matemática sem ter a ideia de como se chegou a tal modelo matemático. Vamos ver agora uma demonstração da fórmula de Bhaskara, ou seja, como se chega à fórmula para resolver equações do 2º grau.
Considere uma equação do 2º grau do tipo:

Por Marcelo Rigonatto

Funções Trigonométricas

Função Seno

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função seno à função que associa a cada x ∈ R o número (senx) ∈ R. Indicamos essa função por:

f(x) = sen(x)

O gráfico da função seno, no plano cartesiano, será uma curva denominada senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades:
- Domínio: R
- Imagem: [-1;1]
- Período: 2πrad
Função Co-seno

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função co-seno à função que associa a cada x ∈ R o número (cosx) ∈ R. Indicamos essa função por:

f(x) = cos(x)

O gráfico da funcão co-seno, no cartesiano, será uma curva denominada co- senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades:
- Domínio: R
- Imagem: [-1;1]
- Período: 2πrad
Função Tangente

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função tangente à função que associa a cada x ∈ R/x ≠ π/2+kπ o número (tgx) ∈ R. Indicamos essa função por:

f(x) = tg(x)

O gráfico da função tangente, no cartesiano, será uma curva denominada tangentóite. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades:
- Domínio:

- Imagem: R
- Período: πrad
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Funções trigonométricas Gráficos de seno, cosseno e tangente

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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Funções trigonométricas
Gráficos de seno, cosseno e tangente

Função seno

Note o eixo dos senos (vertical) e compare com a tabela de sinais do seno abaixo:

Função cosseno
Para o co-seno, é a mesma coisa, com a tabela abaixo e o respectivo gráfico:

Note que o domínio das duas funções é (o domínio das funções seno e co-seno é o conjunto dos números reais).

Já o conjunto imagem (as funções seno e co-seno possuem valores entre os valores -1 e 1).

Função tangente
O círculo trigonométrico para a tangente é:

Carlos Alberto Campagner é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

Sistema métrico decimal

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Ensino no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e http://accbarrosogestar.blogspot.com.br Baseado no

Livro de José Ruy Giovanni Jr e Benedito Castrucci A Conquista da Matemática Assunto Sistema métrico decimal

1 - Medida de comprimento

No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir comprimentos é o metro, cuja abreviação é m. Existem os múltiplos e os submúltiplos do metro, veja na tabela:

Múltiplos				u.f.	Submúltiplos
quilôm	hectôm	decâm	metro		Decím	centím	Milím
km	hm	dam	m		Dm	cm	mm
1 000 m	100 m	10 m	1 m		0,1 m	0,01 m	0,001 m

Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos as relações entre algumas dessas unidades e as do sistema métrico decimal:

1.1 Transformação de unidades

Observando o quadro das unidades de comprimento, podemos dizer que cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10. Concluí-se então que para transformar uma unidade para um submúltiplo, basta multiplicar por 10ⁿ onde n é o número de colunas à direita do número na tabela. Já para passar para um múltiplo, basta dividir por 10ⁿ onde n é o número de colunas à esquerda do número na tabela.
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado, cuja representação é m² . O metro quadrado é a medida da superfície de um quadrado de um metro de lado. Como na medida de comprimento, na área também temos os múltiplos e os submúltiplos:

Múltiplos				u.f.	Submúltiplos
km²	hm²	dam²	m²		dm²	cm²	mm²
1 000 000 m²	10 000 m²	100 m²	1 m²		0,01 m²	0,0001 m²	0,000001 m²

2 - Transformação de unidades

Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de área, porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 10² e não 10. Veja os exemplos:

c) 20 000 m² = 20 000 x 10^-6 km² = 0,02 km²

Em alguns estados do Brasil, utiliza-se também uma unidade não legal chamada alqueire.

- 1 alqueire mineiro é equivalente a 48 400 m².

- 1 alqueire paulista é equivalente a 24 200 m².

3 - Áreas das figuras geométricas planas

Constantemente no estudo de gráficos, precisamos determinar a área compreendida entre a curva e o eixo-x. Daremos aqui as fórmulas, para o cálculo da área, das figuras mais utilizadas na Física.

No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir volume é o metro cúbico, cuja abreviatura é m³ . O metro cúbico (m³) é o volume ocupado por um cubo de 1 m de aresta. Como nas medidas de comprimento e de área, no volume também temos os múltiplos e os submúltiplos:

Múltiplos				u.f.	Submúltiplos
km³	hm³	dam³	m³		dm³	cm³	mm³
1 000 000 000 m³	1000 000 m³	1000 m³	1 m³		0,001 m³	0,00001 m³	0,000000001 m³

As mais utilizadas, além do metro cúbico, são o decímetro cúbico e o centímetro cúbico.

Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de área, porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 10³ e não 10. Veja os exemplos:

De acordo com o Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é, aproximadamente, o volume equivalente a um decímetro cúbico, ou seja:

1 litro = 1,000027 dm³

Porém, para todas as aplicações práticas, simples, podemos definir:

Veja os exemplos:

1) Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36 m³. Quantos litros de água foram consumidos?
2) Uma industria farmacêutica fabrica 1 400 litros de uma vacina que devem ser colocados em ampolas de 35 cm³ cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com essa quantidade de vacina?
(1 400 000 cm³ ) : (35 cm³) = 40 000 ampolas.

5.1 - Outras unidades para medir a capacidade

São também utilizadas outras unidades para medir capacidade, que são múltiplos e submúltiplos do litro:

Múltiplos			u.f.	Submúltiplos
hectolitro	decalitro	litro		decilitro	centilitro	mililitro
hl	dal	l		dl	cl	ml
100 l	10 l	1 l		0,1 l	0,01 l	0,001 l

Obs. 1) Não é usado nem consta da lei o quilolitro.

Observando o quadro das unidades de capacidade, podemos verificar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10.

Veja os exemplos:

Solução: 15 l = (15 x 10³) ml = 15 000 ml

Solução: 250 ml = 0,25 l = 0,25 dm³ = 250 cm³

2) Expressar 250 ml em cm³.

1) Expressar 15 l em ml.

5.1.1 - Transformação de unidades

2) Além do litro, a unidade mais usado é o mililitro (ml) , principalmente para medir pequenos volumes, como a quantidade de líquido de uma garrafa, de uma lata ou de uma ampola de injeção.

Solução: 1 400 litros = 1 400 dm³ = 1 400 000 cm³
Solução: 36 m³ = 36 000 dm³ = 36 000 l 1 litro = 1 dm³
A unidade fundamental para medir capacidade de um sólido é o litro, cuja abreviação é l .

5 Unidades de medida de capacidade
b) 500 000 cm³ = 500 000 x 10^-6 m³ = 0,5 m³
a) 8,2 m³ = 8,2 x 10³ dm³ = 8 200 dm³

4.1 Transformação de unidades
4 - Medidas de volume
A = b x h A = A = A = p.r²
1 hectare (há) = 1 hm² = 10 000 m²
O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.
obs. Quando queremos medir grandes porções de terra (como sítios, fazendas etc.) usamos uma unidade agrária chamada hectare (ha).
b) 3 km² = 3 x 10⁶ m² = 3 000 000 m²
a) 5 m² = 5 x 10² dm² = 500 dm²

2- Medida de superfície
500 m = 500 x 10^-3km = 0,5 km
Por exemplo: 7 m = 7 x 10² cm = 700 cm
1 pé = 30 centímetros (aproximadamente)
1 légua = 5 555 metros (aproximadamente)
1 milha = 1 609 metros (aproximadamente)
1 polegada = 25 milímetros (aproximadamente)

Inequação de 2º Grau

As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: data-blogger-escaped-br="" data-blogger-escaped-menor="" data-blogger-escaped-que="">≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente

As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.