Polinômios

Definição

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Onde:

an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes.

n Î IN

x Î C (nos complexos) é a variável.



GRAU DE UM POLINÔMIO:

Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an¹0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos:

a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.

b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.

c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.



Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.





· Valor numérico

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:

Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:

P(x)= x3+2x2+x-4

P(2)= 23+2.22+2-4

P(2)= 14

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).

Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.



Alguns exercícios resolvidos:

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.

Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.

P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0

3a = -10 => a=-10/3

Resposta: a=-10/3



2º) Calcular m Î IR para que o polinômio

P(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja:

a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau



Resposta:

a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então:

m2-1¹0 => m2¹1 => m¹1

m+1¹0 => m¹-1

Portanto, o polinômio é do 3º grau se m¹1 e m¹-1.



b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então:

m2-1=0 => m2=1 => m=±1

m+1¹0 => m¹-1

Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.



c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser iguais a zero. Então:

m2-1=0 => m2=1 => m=±1

m+1=0 => m=-1

Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.



3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).

Resolução:

Temos o polinômio: P(x)=x3+ax2+bx+c.

Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).

Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1

P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8

P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3



Temos um sistema de três variáveis:

Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:

a=9, b=-34, c=24

Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24.

O problema pede P(-1):

P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24

P(-1)= 66

Resposta: P(-1)= 66



· Polinômios iguais

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)ºB(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Exemplo:

Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 º a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).

Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:

x2-2x+1 º ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c

1x2-2x+1 º (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)



Agora igualamos os coeficientes correspondentes:

Substituindo a 1ª equação na 2ª:

1+c = -2 => c=-3.

Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:

a-3=1 => a=4.

Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:

4+b=1 => b=-3.

Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.

Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.



· Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.

Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:




1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)

2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0

Nessa divisão:

P(x) é o dividendo.

D(x) é o divisor.

Q(x) é o quociente.

R(x) é o resto da divisão.

Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Se D(x) é divisor de P(x) Û R(x)=0

Exemplo:

Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2.

Resolução: Aplicando o método da chave, temos:



Verificamos que:






· Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1.


Utilizando o método da chave temos:


Logo: R(x)=3

A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2.

Agora calculamos P(x) para x=1/2.

P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3

P(1/2) = 3

Observe que R(x) = 3 = P(1/2)

Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.



· Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a
P(-b/a).

Note que –b/a é a raiz do divisor.

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1.

Resolução: Achamos a raiz do divisor:

x+1=0 => x=-1

Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):

P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)

Resposta: R(x) = -5.



· Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x3+5x2-px+2 seja divisível por x-2.

Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.

P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19

Resposta: p=19.
Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2.

Temos:

a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1 (eq. 1)

b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2)

E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=cx+d

Da eq.3 vem:

P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d

Fazendo:

x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4)

x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5)



Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Resolvendo o sistema obtemos:



Observações:

1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:

P(a)= r1 =0

P(b)= r2 =0



Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:



2ª) Generalizando, temos:

Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) então P(x) é divisível pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an).

Exemplo:

Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?

Resolução:

0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1)

1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2)

E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x) (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=ax+b

Da eq.3 vem:

P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b

Fazendo:

x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4)

x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5)



Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

b=6 e a=2.

Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6

Resposta: R(x) = 2x+6.



· O dispositivo de Briot-Ruffini

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2).


Resolução:

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.

Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:

1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.

2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.

3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.

5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.



· Decomposição de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos:

1º caso: O polinômio é do 2º grau.

De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:

ax2+bx+c=a(x-r1)(x-r2)


Exemplos:

1) Fatorar o polinômio P(x)=x2-4.

Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.

Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).

2) Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10.

Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2.

Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.

Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x.

Resolução:

2x3-x2-x = x.(2x2-x-1) à colocando x em evidência

Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0.

Uma das raízes já encontramos (x=0).

As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2.

Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é:

2.x.(x-1).(x+(1/2)).

Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:

anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)

Observações:

1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.

2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.
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Inequações do 2º grau

As inequações são expressões matemáticas que utilizam na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente

As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 <>.

S = {x Є R / –7/3 < x < –1}

Exemplo 2

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.

S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2}



Exemplo 3

Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.

S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}

Exemplo 4

Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.

S = {x Є R / x <> 3}

Uma inequação será identificada como modular se dentro do módulo tiver uma expressão com uma ou mais incógnitas, veja alguns exemplos de inequações modulares:

|x| > 5

|x| < 5

|x – 3| ≥ 2

Ao resolvermos uma inequação modular buscamos encontrar os possíveis valores que a incógnita deverá assumir, obedecendo às regras resolutivas de uma inequação e as condições de existência de um módulo.

Condição de existência de um módulo, considerando k um número real positivo:

Se |x| < k então, – k < x < k

Se |x| > k então, x < – k ou x > k

Para compreender melhor a resolução de inequações modulares veja os exemplos abaixo:

Exemplo 1

|x| ≤ 6

Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que:

– 6 ≤ x ≤ 6

S = {x Є R / – 6 ≤ x ≤ 6}


Exemplo 2

|x – 7| <>

Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que:

– 2 < x – 7 < 2
– 2 + 7 < x < 2 + 7
5 <>

S = {x Є R / 5 <>



Exemplo 3
|x² – 5x | > 6
Precisamos verificar as duas condições:

|x| > k então, x < – k ou x > k

|x| < k então, – k < x < k

Fazendo |x| > k então, x < – k ou x > k
x² – 5x > 6
x² – 5x – 6 > 0
Aplicando Bháskara temos:
x’ = 6
x” = –1
Pela propriedade:
x > 6
x < –1

Fazendo |x| < k então, – k < x < k
x² – 5x < – 6
x² – 5x + 6 < 0
Aplicando Bháskara temos:
x’ = 3
x” = 2
Pela propriedade:
x > 2
x < 3
S = {x Є R / x < –1 ou 2 <> 6}.

Filo Cordados

Pré-sal

Wagner de Cerqueria e Francisco

Localização da camada pré-sal

A descoberta de reservas de hidrocarboneto (petróleo) em rochas calcárias nas porções marinhas do litoral brasileiro é denominada pré–sal. Esse termo é utilizado pelo fato dessas rochas estarem localizadas abaixo de camadas de sal, podendo atingir entre 5 a 7 mil metros de profundidade abaixo do nível do mar.

Desde a década de 1970, geólogos da Petrobras acreditavam na possibilidade da existência de uma reserva petrolífera na camada pré-sal, no entanto, os mesmos eram desprovidos de tecnologia capaz para a realização de pesquisas mais aprofundadas.

Até o momento, a descoberta da camada pré–sal possui aproximadamente 800 quilômetros de extensão e 200 quilômetros de largura, localizada do litoral de Santa Catarina ao do Espírito Santo.

O petróleo encontrado nesta área engloba três bacias sedimentares (Santos, Campos e Espírito Santo), a capacidade estimulada da reserva pode proporcionar ao Brasil a condição de exportador de petróleo. Vários poços de petróleo e gás natural já foram descobertos na camada pré-sal, entre eles estão o Tupi, Guará, Bem te vi, Carioca, Júpiter e Iara.

Tupi, na bacia sedimentar de Santos, é o principal campo de petróleo descoberto, tem uma reserva estimada pela Petrobras de 5 a 8 bilhões de barris de petróleo, sendo considerado uma das maiores descobertas do mundo dos últimos sete anos. Já o poço de Guará, também na Bacia de Santos, tem volumes de 1,1 a 2 bilhões de barris de petróleo leve e gás natural.

Para extrair o óleo e o gás da camada pré-sal será necessário ultrapassar uma lâmina d’água de mais de 2.000m, uma camada de 1.000m de sedimentos e outra de aproximadamente 2.000m de sal. É um processo complexo e que não se sabe ainda as reais consequências ambientais.

Conforme Haroldo Borges Rodrigues Lima, diretor geral da ANP (Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis), as descobertas do pré-sal irão triplicar as reservas de petróleo e gás natural do Brasil, a estimativa é que a produção alcance a marca de 50 bilhões de barris.

Em maio de 2009, a Petrobras iniciou o teste de longa duração da área de Tupi, com capacidade para processar até 30 mil barris diários de petróleo. Um mês depois a Refinaria de Capuava, em São Paulo, refinou o primeiro volume de petróleo extraído da camada pré-sal da Bacia de Santos.

Sistema sensorial Órgãos captam estímulos e informações

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com        

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

    

Microscopia eletrônica mostrando papilas gustativas da língua
O sistema sensorial é um conjunto de órgãos dotados de células especiais chamadas de receptores. Através dos receptores, o indivíduo capta estímulos e informações do ambiente que o cerca e do seu próprio corpo. Os estímulos são transmitidos na forma de impulsos elétricos até o sistema nervoso central. Por sua vez, o sistema nervoso central processa as informações, traduzindo-as em sensações e gerando respostas.

É assim que enxergamos o que está ao nosso redor, sentimos quando alguém nos belisca, percebemos se a água do banho está fria, sentimos o gosto das comidas, entre muitas outras sensações.

Em humanos, os principais órgãos do sistema sensorial são: pele, língua, nariz, ouvidos e olhos. Estes órgãos captam estímulos físicos ou químicos e os transformam em impulsos elétricos, que são transmitidos ao sistema nervoso central.

Pele
A pele é o maior órgão do corpo humano e, além de outras funções, é responsável pelo tato. É através dela que percebemos sensações como calor e dor. A pele possui milhares de células receptoras em sua superfície.

Dentre essas células, encontramos os corpúsculos de Pacini. O corpúsculo é um mecanorreceptor que capta estímulos mecânicos, como movimentos ou alterações na pressão, e os transmite, na forma de impulsos elétricos, para o sistema nervoso central.

Língua
A língua possui receptores chamados de papilas gustativas, responsáveis pelo paladar. As papilas são quimiorreceptoras, isso quer dizer que elas são especializadas em detectar a presença de substâncias químicas.

Existem papilas gustativas especializadas na percepção dos quatro sabores básicos: doce, amargo, azedo e salgado. Cada tipo de papila se localiza numa região específica da língua. A combinação de estímulos nesses quatro tipos de receptores transmite ao sistema nervoso informações acerca, por exemplo, do sabor dos alimentos que ingerimos.

Porém, o olfato também possui um papel importante na percepção dos sabores. É por isso que quando estamos com o nariz entupido não conseguimos sentir direito o gosto dos alimentos.

Nariz
O nariz é o órgão que contém os receptores responsáveis pelo olfato. No interior da cavidade nasal existe um tecido especializado, o epitélio olfativo, que contém milhares de receptores, chamados de células olfativas.

As células olfativas possuem pelos sensoriais que captam moléculas voláteis ou de outras substâncias dispersas no ar inspirado. Em resposta à presença dessas moléculas, as células olfativas produzem estímulos nervosos. Estes são conduzidos até o sistema nervoso central onde são traduzidos em sensações.

O olfato atua em conjunto com o paladar na percepção dos sabores. O olfato também pode nos alertar sobre alimentos estragados, venenosos ou outras substâncias que, se ingeridas, podem causar danos ao nosso organismo.

Ouvidos
Os ouvidos sãos os órgãos responsáveis pela audição e pelo equilíbrio. No interior do ouvido existem células mecanorreceptoras. Estas células captam estímulos mecânicos, traduzindo-os em impulsos nervosos.

Inicialmente, vamos ver como funciona a audição. O som é uma vibração, originada por alterações na pressão, que se propaga através de meios elásticos. As ondas sonoras são captadas pelo ouvido externo, composto pela orelha e o canal auditivo externo.

Ao final do conduto auditivo existe uma membrana que vibra de acordo com a intensidade e a frequência do som, o tímpano. As vibrações do tímpano são transmitidas para um conjunto de pequenos ossículos articulados (martelo, bigorna e estribo) situados no ouvido médio. O movimento desses ossículos promove a passagem do som do ouvido externo para o interno.

A vibração dos ossículos age sobre uma câmara chamada de janela oval. No interior dessa cavidade existe um líquido, denominado perilinfa, no qual estão imersas células receptoras. Estas células são dotadas de pelos sensoriais que captam as vibrações no meio líquido, transformando-as em impulsos nervosos que são transmitidos para o sistema nervoso central.

O ouvido também é responsável pelo equilíbrio e pela percepção dos movimentos. Três regiões do ouvido interno participam dessas funções: o sáculo, o utrículo e os canais semicirculares. O sáculo e o utrículo são pequenas bolsas cheias de líquido e dotadas de células receptoras ciliadas em sua parede. Entre os cílios das células receptoras existem pequenos cristais de carbonato de cálcio denominados otólitos. Conforme a cabeça e o corpo se movimentam, os otólitos também se movem e estimulam os cílios das células sensoriais. Estas transformam o estímulo mecânico em impulso nervoso, que é encaminhado ao sistema nervoso central.

Os canais semicirculares também são preenchidos por líquido e possuem um conjunto de células receptoras ciliadas. Conforme a cabeça e o corpo se movimentam, o líquido no interior dos canais se move e pressiona os cílios das células sensoriais. Estas captam o estímulo e transmitem impulsos nervosos ao sistema nervoso central.

Visão
Os olhos possuem células fotorreceptoras, isto é, capazes de captar estímulos luminosos, produzindo estímulos nervosos transmitidos ao sistema nervoso central. Estas células se situam na retina, uma camada de revestimento interno do olho, e são de dois tipos: bastonetes e cones. Os bastonetes são muito sensíveis a variações na intensidade luminosa, mas não distinguem cores, o que é realizado pelos cones.

Os raios luminosos penetram nos olhos e passam pela pupila. A pupila é uma estrutura capaz de controlar a quantidade de luz que penetra no olho. Em ambientes muito claros ela se fecha; em locais escuros ela se abre.

Após passar pela pupila, os raios atingem o cristalino. O cristalino atua como uma lente que projeta os raios luminosos no fundo dos olhos, onde se encontram os bastonetes e cones. Porém, o cristalino projeta a imagem de ponta-cabeça. A correção da posição é realizada pelo sistema nervoso central.
*Alice Dantas Brites é professora de biologia.

Equações do 1º grau com uma variável

Equações do 1º grau com uma variável

Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos.

Exemplo:X + 3 = 12 – 4

Forma geral: ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais, com a 0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da equação do 1º grau)

Exemplos:

x - 4 = 2 + 7, (variável x)
2m + 6 = 12 – 3 ,(variável m)
-2r + 3 = 31, (variável r)
5t + 3 = 2t – 1 , (variável t)
3(b – 2) = 3 + b,(variável b)
4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do 1º grau)
3x – 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação do 1º grau)

Obs:

Devemos observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual.

Veja:

Conjunto Universo:Conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir. Representamos pela letra U.

Conjunto Solução:Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sentença verdadeira. Representamos pela letra S.

Exemplo:

Dentre os elementos do conjunto F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentença matemática
2x – 4 = 2, verdadeira.

2(0) – 4 = 2 Errado

2(2) – 4 = 2 Errado

2(3) – 4 = 2 Verdadeiro

2(6) – 4 = 2 Errado

2(8) – 4 = 2 Errado

2(9) – 4 = 2 Errado

Devemos observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3}

Sistemas de Equações do 1º Grau

SISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis, x e y, por exemplo, significa determinar o único par ordenado (x,y) que é a solução do sistema. Podemos encontrar a solução de um sistema usando os métodos da adição, substituição e comparação.

Exercícios Resolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta: Esse número é 100.

2) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

Solução:
x - x/5 = 36
(5 x - x)/5 = 36
4x /5 = 36
4x = 36.5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
Resposta: Esse número é 45.

3) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

Solução:
3 m = m/2 + 20
6m/2 = (m+40)/2
6m = m + 40
6m - m =
5m = 40
m = 40/5
m = 8
Resposta: Esse número é 8.

4) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
Resposta: Esse número é 83.

5) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?

6) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

7) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

8) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

9) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

10) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras?

12) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Matrizes e determinantes

Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de transformações lineares. Não é o propósito desta página a teoria dessas transformações, mas apenas alguns fundamentos e operações básicas com matrizes que as representam.

Uma matriz A_m,n pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.

Portanto, na matriz abaixo, de 2 linhas e 3 colunas, temos:

Adição e subtração

Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas.

Multiplicação por um escalar

Algumas propriedades das operações anteriores

Sejam A e B matrizes m,n e c e d escalares. Então:
c (A + B) = cA + cB e d (cA) = dc (A).
E, também, se cA = cB então A = B.

Matrizes nulas e unitárias

Multiplicação de matrizes

Sejam as matrizes A_m,p e B_p,n (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda). O produto AB é dado pela matriz C_m,n cujos elementos são calculados por:

c11 = 4.1 + 0.2 + 5.1 = 9 | c12 = 4.2 + 0.5 + 5.0 = 8 |
c21 = 1.1 + 1.2 + 3.1 = 6 | c22 = 1.2 + 1.5 + 3.0 = 7 |

Temos então a fórmula genérica:

Ordem dos fatores

Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.

Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente.
Em geral AB ? BA. Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas.

Algumas propriedades do produto de matrizes

Sejam as matrizes A, B e C.
1) Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.
2) Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.
3) Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.
4) Se I_p é a matriz unitária pp conforme já mencionado, então: I_p A_p,n = A_p,n e B_m,p I_p = B_m,p.

Matriz inversa

Sejam as matrizes quadradas A_n,n e B_n,n. Se BA = I_n , onde I_n é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A.

Para achar a matriz inversa:

Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B.


O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.
Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).

1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.

2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.

3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.

3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.

2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.

E a matriz inversa é a parte da direita.

Determinantes de 2ª ordem

O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com os elementos de uma matriz, que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas.

Veja ao lado para uma matriz A_2,2 (determinante de 2ª ordem).
O prefixo det é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para o mesmo efeito.

Determinantes de ordens superiores

Para determinantes de 3ª ordem ou superior, o cálculo pode ser feito pela decomposição: considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz e somam-se as parcelas de cada elemento desta linha multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento.

Se o índice da coluna for par, o sinal da parcela será negativo e positivo do contrário. Para cada determinante restante, o processo é repetido até chegar a determinantes de 2ª ordem, que são calculados pela fórmula anterior.
A figura acima demonstra o método para um determinante de terceira ordem.

Algumas propriedades dos determinantes

1) Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas.

2) Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.

3) Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou nulos, o determinante é nulo (k é um número qualquer).

4) Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.

5) Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.

Exemplo de aplicação de determinantes

Seja o sistema de equações lineares ao lado e o determinante B calculado pelos coeficientes das variáveis.

E os determinantes conforme figura a lado.
Então a solução é dada por: x = B1/B, y = B2/B e z = B3/B.

Fonte: www.mspc.eng.br

Circunferências

Circunferência

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Distribuição Eletrônica Linus Pauling e as camadas eletrônicas do átomo

Um problema para os químicos era construir uma teoria consistente que explicasse como os elétrons se distribuíam ao redor dos átomos, dando-lhes as características de reação observadas em nível macroscópico.

Foi o cientista americano Linus C. Pauling quem apresentou a teoria até o momento mais aceita para a distribuição eletrônica.

Sobre Pauling, é sempre interessante citar que ele foi duas vezes laureado com o Prêmio Nobel. O de química em 1954, por suas descobertas sobre as ligações atômicas, e o da Paz em 1962, por sua militância contra as armas nucleares.

Para entender a proposta de Pauling, é preciso primeiro dar uma olhadinha no conceito de camadas eletrônicas, o princípio que rege a distribuição dos elétrons em torno do átomo em sete camadas, identificadas pelas letras K, L, M, N, O, P e Q.


Uma característica destas camadas é que cada uma delas possui um número máximo de elétrons que podem comportar, conforme tabela que segue:

Camada

Número máximo de elétrons
K

2
L

8
M

18
N

32
O

32
P

18
Q

8

Pauling apresentou esta distribuição dividida em níveis e subníveis de energia, em que os níveis são as camadas e os subníveis divisões destes (representados pelas letras s, p, d, f), possuindo cada um destes subníveis também um número máximo de elétrons.
Subnível

Número máximo de elétrons

Nomenclatura
s

2

s2
p

6

p6
d

10

d10
f

14

f14

Quando combinados níveis e subníveis, a tabela de distribuição eletrônica assume a seguinte configuração:

Camada

Nível

Subnível

Total de elétrons
s2

p6

d10

f14
K

1

1s







2
L

2

2s

2p





8
M

3

3s

3p

3d



18
N

4

4s

4p

4d

4f

32
O

5

5s

5p

5d

5f

32
P

6

6s

6p

6d



18
Q

7

7s

7p





8

A distribuição eletrônica, conforme Pauling, não era apenas uma ocupação pelos elétrons dos espaços vazios nas camadas da eletrosfera.

Os elétrons se distribuem segundo o nível de energia de cada subnível, numa seqüência crescente em que ocupam primeiro os subníveis de menor energia e, por último, os de maior.

É esta a tradução do diagrama de energia de Pauling, que define esta ordem energética crescente que é também a seqüência de distribuição dos elétrons

Diagrama de Linus Pauling

Na figura, as setas indicam a ordem crescente dos níveis de energia: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6 6s2 4f14 5d10 6p6 7s2 5f14 6d10

Note que como a energia de 4s2 é menor, esta posição vem antes de 3p6 e 3d10.

Assim, seguindo o diagrama de Pauling, podemos montar a distribuição eletrônica de qualquer elemento químico, como por exemplo:

Elemento químico Número atômico Distribuição eletrônica
He Hélio 2 1s2
K = 2
Cl Cloro 17 1s2 2s2 2p6 3s2 3p5
K = 2, L = 8, M = 7
Zr Zircônio 40 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d2
K = 2, L = 8, M = 18, n = 10, O =2
Pt Platina 78 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6 6s1 4f14 5d9
K = 2, L = 8, M = 18, N = 32, O = 16, P = 2

Lembre-se que a soma da distribuição dos elétrons, tanto nos subníveis quanto nas camadas deve bater com o número atômico, como no exemplo da Platina:

Camada

Nível

Distribuição eletrônica da platina

Total de elétrons
s2

p6

d10

f14
K

1

1s2







2
L

2

2s2

2p6




8
M

3

3s2

3p6

3d10



18
N

4

4s2

4p6

4d10

4f14

32
O

5

5s2

5p6

5d8



16
P

6

6s2



-



2
Q

7

-







-
Total



78

Algumas edições da Tabela Periódica informam também a distribuição eletrônica dos elementos químicos, o que facilita muito o trabalho de quem precisa operar estes dados.

Mas, independentemente disto, é muito importante conhecer os mecanismos que regem esta distribuição, e particularmente o conceito de níveis e subníveis de energia, ponto de partida para estudos mais avançados como os princípios da mecânica quântica.

*Carlos Roberto de Lana é engenheiro químico e professor.

Média Geométrica

Para calcularmos a média geométrica entre números devemos realizar a multiplicação entre eles e, logo em seguida, extrair a raiz com índice igual ao número de fatores utilizados na multiplicação. Por exemplo, ao calcular a média geométrica dos números 2, 4 e 6, efetuamos o seguinte cálculo:

A média geométrica é muito utilizada nas situações envolvendo aumentos sucessivos. Por exemplo, vamos considerar um aumento de salário sucessivo de 15% no primeiro mês, 12% no segundo mês e 21% no terceiro mês.

Vamos determinar a média geométrica dos aumentos, mas para isso as taxas percentuais devem ser transformadas em taxa unitárias, observe:

15% = 1,15
12% = 1,12
21% = 1,21




O valor 1,1594 corresponde a taxa média de 15,94% de todos os aumentos sucessivos. Isso indica que se aplicarmos três vezes consecutivas a taxa de 15,94% corresponderá ao aumento sucessivo dos percentuais de 15%, 12% e 21%.

Suponhamos que o salário reajustado seja de R$ 600,00. Acompanhe os aumentos utilizando as duas opções de reajustes:

1ª opção

600,00 + 15% = 690,00
690,00 + 12% = 772,80
772,80 + 21% = 935,09

2ª opção

600,00 + 15,94% = 695,64
695,64 + 15,94% = 806,53
806,53 + 15,94% = 935,09

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática