Logaritmo Decimal aula 1

Função e Relação produto cartesiano aula 1

Raíz Quadrada por fatoração aula 1

Conjunto

Podemos efectuar algums Relações entre conjunto com conjunto, entre conjunto e elemento de UM conjunto. Essa Relações possuem características específicas e REPRESENTACOES próprias. Vamos caracterizar cada umha delas.

• Igualdade de conjuntos

Podemos Dizer que Dois ou mais conjuntos São iguais se os elementos de UM forem idênticos aos dos demais, matematicamente representamos umha igualdade cabelo sinal =.

Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} eo conjunto B = {4, 3, 2, 1, 0}, observando os elementos de cada conjunto percebe que São idênticos, entao podemos
Dizer que A = B (A igual a B).

Quand comparamos A e B e eles Não São iguais dizemos que São diferentes representados assim A ≠ B.

• relaçao de inclusão

Ao compararmos Dois conjuntos percebe que eles Nem sempre iguais, mas em alguns casos alguns elementos sim. Por exemplo:
Dado o conjunto A = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} eles Não São diferentes, mas observando o conjunto B veremos que todos os seus elementos está dentro do conjunto A.
Essa relaçao é chamada de inclusão, ou sejas, o conjunto B é até mesmo, conteúdo, no conjunto A. Representada matematicamente por BA (B está contido em A).

Dado o conjunto C = {0, 1, 2, 3} e D = {4, 5, 6, 7}, Ness Dois conjuntos Não é possivel aplicar a relaçao de inclusão, entao dizemos que CD (C Não está contido em D ), assim como DC (D Não está contido em C).

• relaçao de proximidade

Essa relaçao é utilizada Quand comparamos conjunto com elementos. Quand queremos Dizer que UM elemento qualque está dentro de UM conjunto ou que ele Não está no conjunto, dizemos que ele pertence ou Não pertence a êsse determinado conjunto, Veja o exemplo:

Dado o conjunto A = {-8, -4, -2, 0, 1, 2, 3}, podemos Dizer que - 4 A (- 4 pertence a A) e 5 A (5 Não pertence a A)
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Probabilidades

Nos espaços amostrais equiprováveis temos que os eventos possuem probabilidades iguais de ocorrência. No lançamento de um dado temos que a ocorrência de cada face é a mesma, isto é 1/6. Nesses casos, calculamos a probabilidade de um evento ocorrer relacionando o número de casos favoráveis com o número de casos possíveis.

Exemplo 1

Ao lançarmos por duas vezes sucessivas um dado, qual a probabilidade de:

a) ocorrer 2 no primeiro lançamento e um número impar no segundo?

Precisamos que aconteça o seguinte evento: (2,1), (2,3), (2,5). Assim, temos que a probabilidade é de 3 chances em 36.

P(E) = 3/36 = 1/12.

b) a multiplicação entre os números for maior que 10?
(2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5).

P(E) = 16/36 = 4/9

Exemplo 2

Sorteando ao acaso um número de 1 a 50, qual a probabilidade de sair um múltiplo de 4?

Temos que os múltiplos de 4 compreendidos entre 1 e 50, são: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48}, então:

P(E) =12/50 = 6/25


Exemplo 3

Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Uma delas é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de o número sorteado ser:

a) 18?
P(E) = 1/100

b) maior que 63?
P(E) = 34/100 = 17/50

c) formado por dois algarismos
P(E) = 90/100 = 9/10



Exemplo 4

Um baralho possui 52 cartas. Uma delas é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de ser sorteada:

a) a carta com o rei de copas?
P(E) = 1/52

b) uma carta de espadas.
O baralho é formado por quatro naipes: copas, ouro, espadas, paus. Dessa forma temos 13 cartas de copas, 13 cartas de ouro, 13 cartas de espadas e 13 cartas de paus. A probabilidade de retirar uma carta de espadas é dada por:
P(E) = 13/52 = 1/4

c) uma carta que não seja o 6?
Cada número está associado a um naipe, portanto, temos quatro cartas com numeração 6. Então 52 – 4 = 48
P(E) = 48/52 = 12/13

Abelhas (2) Na sociedade da colméia há rainha, operárias e zangões 29/10/2010

Divulgação/Apiário Melissa

Nas colméias, as abelhas se dividem em castas: rainha, operárias e zangões
As abelhas são insetos sociais. Os indivíduos que vivem nas colméias se dividem em três castas: rainha, operárias e zangões.

Quando pensamos em rainhas, pensamos em alguém com muito poder, que diz a todo mundo o tempo todo o que fazer, certo? Bem, isso não acontece com as abelhas. Na sociedade das abelhas não há um posto central de comando. O poder é disseminado através da colméia e as decisões diárias são tomadas consensualmente através de estímulos químicos, visuais, auditivos e táteis.

A incrível cooperação observada entre as abelhas de uma colméia é explicada pelo compartilhamento de 75% de seus genes. Para você ter uma idéia, na espécie humana, irmãos de uma mesma família compartilham 50% de seus genes.

A maioria das abelhas de uma colméia é formada por fêmeas: 1 rainha e cerca de 5.000 a 100.000 operárias. Os machos - os zangões - são encontrados em um numero máximo de 400 indivíduos.

A rainha
As funções exercidas pela rainha são a postura de ovos e a manutenção da ordem social na colméia. Segundo o especialista da Universidade de Illinois em Urbana-Champaign, Gene E. Robinson, "apesar de a rainha não dizer a todos o que fazer, ela faz as coisas funcionarem, apenas por estar presente".

Na verdade, a rainha atinge seu objetivo de manter a ordem social através da liberação de substâncias químicas chamadas feromônios. Essas substâncias informam os outros membros da colméia de que existe uma rainha presente e em atividade, além de inibirem a produção de outras rainhas.

A rainha é quase duas vezes maior do que as operárias e é a única fêmea fértil da colméia, com um sistema reprodutivo bastante desenvolvido. Ela coloca cerca de 2.500 ovos por dia! Os ovos fertilizados produzem operárias e rainhas. O que determina se o ovo formará uma rainha ou uma operária é o alimento oferecido à larva originada do próprio ovo.

As larvas que se alimentam exclusivamente de geléia real se desenvolvem em rainhas. As que se alimentam de geléia de operária, contendo menos açúcar do que a geléia real, mais mel e pólen, transformam-se em operárias. Além da alimentação, o local onde é criada influencia o desenvolvimento da larva. Um alvéolo maior, chamado de realeira, é usado para o desenvolvimento da rainha. Ovos não fertilizados se desenvolvem em zangões.

Operárias e zangões
As operárias realizam todo o trabalho para a manutenção da colméia, desde a faxina até a defesa da colméia. Elas limpam os alvéolos da colméia e as abelhas recém-nascidas, coletam néctar e pólen das flores, cuidam da alimentação das larvas, produzem cera para produção dos favos, elaboram o mel através da desidratação do néctar, produzem a geléia real, defendem a colméia dos inimigos.

Os machos da colméia têm como única função fecundar a rainha durante o vôo nupcial. Eles são maiores e mais fortes do que as operárias e não possuem ferrão. Seus olhos, mais desenvolvidos do que os olhos das operárias, e suas antenas, com maior capacidade olfativa, os tornam mais eficientes na localização das rainhas durante o vôo nupcial.

Se você está pensando que vida boa têm esses zangões, pois não precisam trabalhar mesmo sendo mais fortes e maiores, não fazem nada na colméia a não ser fecundar a rainha, espere até ler isso: durante o acasalamento, o órgão genital do zangão fica preso no corpo da rainha e ele acaba morrendo!!

Comunicação entre as abelhas
As abelhas se comunicam através de toques, movimentos, sons e cheiros. Por exemplo, quando uma abelha quer informar às suas companheiras de colméia sobre uma fonte rica em néctar ou pólen encontrada nas proximidades da colméia, ela inicia uma dança circular.

Esse tipo de dança indica que a fonte de alimento encontra-se próxima, a menos de 100 metros da colméia, mas não indica qual direção a tomar. No entanto, o cheiro específico do pólen grudado no corpo da abelha que dançou para suas companheiras as informa sobre a planta visitada. Assim, elas podem procurar pela planta perto da colméia.

Já quando a fonte de alimento encontra-se a mais de 100 metros de distância da colméia, as abelhas utilizam-se de outro tipo de dança, a "dança do requebrado". Isso mesmo, a abelha requebra para informar a direção e a distância entre a colméia e a fonte de alimento. A distância é ensinada pela abelha dançarina através do número de vibrações (requebrados) realizadas e pela intensidade do som emitido durante a dança. Quanto menor a distância entre a colméia e a fonte, maior o numero de vibrações. A direção é informada pela relação da posição da dançarina com a posição do sol.
Cynthia Santos

Catarina, a Grande

Rainer Sousa

Catarina, a Grande, uma ambiciosa czarina influenciada pelos valores iluministas.

Catarina, a Grande ou Catarina II foi uma das mais importantes figuras de todo o regime czarista russo. Em seu governo foram tomadas diversas medidas que transformaram a administração política, as leis e a educação em seu país. Simpática às ideias de filósofos iluministas franceses como Voltaire e Diderot, essa monarca ficou conhecida como representante do “despotismo esclarecido” russo.

Quando jovem, Frederica Sofia, o verdadeiro nome de Catarina, era uma descendente de nobres prussianos sem grandes aspirações. Em 1745, aos dezesseis anos de idade, foi convidada pela czarina Isabel a conhecer o seu sobrinho Pedro III, futuro herdeiro do império russo. Após converter-se à religião ortodoxa e mudar seu nome para Catarina Alexievna, a jovem prussiana casou-se com o herdeiro russo.

De fato, o casamento de Catarina logo se transformou em uma terrível tragédia. Atingido pelos efeitos de uma terrível varíola, Pedro ficou praticamente careca e com várias cicatrizes no rosto. Além da figura nada agradável, corria o boato pela corte de que o rei era impotente. Mediante o fracasso do matrimônio, Catarina passou a colecionar uma extensa lista de amantes.

Com o passar do tempo, o desprezo pela figura de Pedro III poderia acabar ameaçando a posição ocupada por Catarina. Por isso, aproveitando dos vários insucessos políticos do marido, ela arquitetou um golpe de Estado apoiado por membros do clero e da nobreza russa. A deposição foi logo acompanhada pela morte de Pedro, que fora assassinado por Alexei Orloff – irmão de Gregory Orloff, amante da rainha.

O escândalo que corria a corte e os demais reinados da Europa impeliu Catarina II a arranjar um novo amante e, consequentemente, afastar-se dos irmãos Orloff. Apesar desse impasse, o governo de Catarina fora marcado por expressivas conquistas territoriais e culturais. A mesma monarca que fora responsável pela anexação de vários territórios, também fundou a Universidade de Moscou.

As várias conquistas empreendidas durante o seu governo acabaram justificando o pretensioso título de Catarina, a Grande. Após a sua morte, em 1796, Paulo I, suposto filho de Pedro III, assumiu o governo russo promovendo várias ações de repúdio aos feitos da mãe. Após chegar ao trono, ordenou a soltura do escritor Alexandre Radishchev (crítico de Catarina) e prestou diversas homenagens ao seu falecido pai.

FATORAÇÃO

Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que
a) seja equivalente à expressão dada;
b) esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável.
Há diversas técnicas de fatoração que estudaremos em seguida, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis.

A. Fator Comum

Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida colocamos em evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma algébrica.

Observe os exemplos abaixo.

B. Agrupamento

Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência.

Observe:

C. Diferença de Quadrados

Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios cujas literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais expressões é obtida com os seguintes passos:
1º) Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio;
2º) Dividimos por dois os expoentes das literais;
3º) Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos.
Por exemplo, a expressão a² – b² seria fatorada da seguinte forma

D. Trinômio Quadrado Perfeito

Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios.

Por exemplo, o trinômio x⁴ + 4 x² + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x² + 2)² .

São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as expressões da forma a² ± 2ab + b², fatoráveis nas formas seguintes:

E. Trinômio Quadrado da Forma ax² + bx + c

Supondo sejam x₁ e x₂ as raízes reais do trinômio, , dizemos que:

Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas através da fórmula de Bhaskara:

F. Soma de diferença de cubos

Se efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a² – ab + b², obtemos o seguinte desenvolvimento:

O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir que, para fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado.

Assim, dizemos que:

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Sangue

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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As plaquetas são células do sangue, responsáveis pela coagulação do mesmo.

Elas são produzidas pela através da medula óssea, protegendo o ser humano de sangramento e hemorragias.

Uma pessoa com problemas na medula óssea, ou com alguma doença, como leucemia, câncer, anemia aplástica,
que prejudica a produção de plaquetas, ou que fazem ipedloucura1de quimioterapia ou radioterapia, corre perigo de ter hemorragias incontroláveis, que se não for feita uma transfusão, pode ocasionar a morte.

Essas pessoas que apresentam complicações na produção de plaquetas precisam receber transfusões frequentemente, até que o organismo volte a funcionar normalmente, fabricando suas plaquetas.
A determinação do grupo sanguíneo
A determinação ocorre da seguinte maneira:

1. As hemácias humanas podem apresentar substâncias químicas denominadas aglutinógenos ou aglutinogênios, que podem ser de dois tipos A e B.

2. Hemácias que apresentarem o aglutinógeno A em suas membranas serão classificadas como sendo do “tipo A”; hemácias com aglutinógeno B serão classificadas como “tipo B”; quando possuírem os dois aglutinógenos ao mesmo tempo, serão classificadas como “tipo AB” e se não possuírem nenhum dos dois, serão chamadas de “tipo O”.

As tranfusões de sangue

No plasma sanguíneo (parte líquida), existem substâncias dissolvidas denominadas aglutininas (que agem como “anticorpos”) especializadas na destruição por aglutinação de hemácias que, por acaso, apresentem aglutinogênios estranhos a este organismo.

As aglutininas podem ser: Anti-A (especializada em “destruir” hemácias tipo A) e Anti-B (especializada em destruir hemácias tipo B).

Assim, para que uma transfusão ocorra sem problemas devemos ter: As hemácias (aglutinogênios) do doador devem ser aceitas pelo plasma (aglutininas) do receptor.




Através deste esquema podemos concluir que, como o indivíduo AB não possui aglutinas, ele só pode doar apenas para um indivíduo do mesmo tipo dele, porém, ele pode receber sangue de todos os tipos, por isso é chamado de receptor universal.

O indivíduo do tipo O, que não possuem aglutinogênios, só podem receber sangue do tipo O, porém, pode doar para todos os tipos de sangue, por isso é chamado de doador universal.
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Adjunto adverbial e Adjunto adnominal – pontos divergentes

estudar os termos, tendo em vista a função que estes desempenham dentro de um dado contexto, constatamos que determinados termos são dotados de características que os fazem ser semelhantes entre si.
Tal aspecto, na maioria das vezes, converge para um só fato: a dificuldade em identificarmos a verdadeira função exercida pelo termo em estudo. Para tanto, basta lembrarmo-nos do complemento nominal e do objeto indireto, uma vez que ambos são regidos de preposição, assim como acontece também com o complemento e o adjunto nominal, os quais possuem esse mesmo traço peculiar.
Partindo de tal pressuposto, o artigo em questão tem por finalidade apontar as demarcações que se manifestam entre o adjunto adverbial e o adjunto adnominal. Sendo assim, vejamo-las:

Trata-se aqui de um adjunto adverbial, uma vez que o termo expresso por “muita cautela” modifica o verbo dirigir, representando o modo pelo qual devemos dirigir. Assim, tal classificação (o adjunto adverbial) sempre se refere a verbos, adjetivos ou advérbios. Como em:

Analisemos, portanto, este outro exemplo:


Trata-se de um adjunto adnominal, visto que o termo em evidência modifica o substantivo “procedimento”. Sendo assim, diante de tal ocorrência, atribuímos-lhe a respectiva classificação (adjunto adnominal).

Por Vânia Duarte
Graduada em Letras

Conjunto

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Quando se trata de conjunto na matemática há algumas definições, representações, termos que são semelhantes a qualquer conjunto.

Quando queremos representar ou indicar um conjunto podemos faz isso de algumas formas:

• Pela designação de seus elementos
Para representarmos um conjunto pela designação de seus elementos devemos em primeiro lugar saber quem são os elementos pertencentes a esse conjunto e depois colocar todos esses elementos entre chaves.

Por exemplo: Um conjunto B dos números de dois algarismos que iniciam com a letra D, ficaria assim:

B = {2, 10, 12, 16, 17, 18, 19}

Quando utilizamos essa representação e a quantidade dos elementos do conjunto for muito grande ou infinita podemos colocar reticências entre os elementos ou no final, veja um exemplo:

Um conjunto A dos números de 0 a 101 que começam com a letra C:
A = {5, 50, 51, 52, ... , 100} as reticências estão entre os elementos, isso significa que entre eles existem outros elementos.

Um conjunto H dos números pares.
H = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} as reticências no final significa que esse conjunto não tem fim.


• Pela propriedade de seus elementos.

Para representarmos um conjunto pela propriedade de seus elementos, basta darmos uma característica que sirva para todos os elementos desse conjunto. Dado um conjunto, para que outro elemento x pertença a esse conjunto ele terá que assumir a mesma característica de todos os outros elementos.

Por exemplo, o conjunto C = {-1, -2, -3, -4, -5, -6,....} está representado pela designação de seus elementos, podendo ser representado da seguinte forma:

C = {x ׀ x é inteiro negativo} está representado pela propriedade de seus elementos.
A leitura dessa representação seria o conjunto C é formado por qualquer valor desde que esse valor seja inteiro negativo.

• Diagramas
Diagrama é outra forma de representarmos um conjunto. Por exemplo, o diagrama do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.



Os elementos que estão dentro da linha fechada são os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Quadrado da soma

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Tem duas formas de provar como resolver o quadrado da soma.

A primeira é resolvendo algebricamente, veja como:

(a + b)² é o mesmo que (a + b) . (a + b)
Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular:

(a + b) . (a + b) ------ utilizando a propriedade distributiva.


a ² + ab + ab + b ² ------ operar os termos semelhantes.

a ² + 2ab + b ²

Concluímos que:

(a + b) . (a + b) = (a + b)²

A segunda forma é geometricamente, veja como:

Observe o quadrado de lado (a + b) e calculemos a sua área.









Da igualdade entre as áreas das figuras, temos:

Concluimos que (a + b)² = a ² + 2ab + b ²

(a + b)2 = quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.

Por Danielle de Miranda

Quadrado da diferença

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As expressões que possuem a forma (a – b)² podem ser resolvidas de duas formas distintas: aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou a regra prática.

Utilizando a propriedade distributiva na expressão (a – b)².
Pela definição de potenciação sabemos que (a – b)² pode ser escrito na forma
(a – b)* (a – b).

(a – b)* (a – b) = a*a – a*b – b*a + b*b = a² – 2ab + b²
(x – 4)² = (x – 4) * (x – 4) = x*x – 4*x – 4*x + 4*4 = x² – 8x + 16
(2y – 5)² = (2y – 5) * (2y – 5) = 2y*2y – 2y*5 – 5*2y + 5*5 = 4y² – 20y + 25
(5a – 2b)² = (5a – 2b) * (5a – 2b) = 5a*5a – 5a*2b – 2b*5a + 2b*2b = 25a² – 20ab + 4b²

Utilizando a regra prática na expressão (a – b)².
“O quadrado do primeiro termo menos, duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.”

(y – 6)² = (y)² – 2*y*6 + (6)² = y² – 12y + 36

(4b – 9)² = (4b)² – 2*4b*9 + (9)² = 16b² – 72b + 81

(7y – 6x)² = (7y)² – 2*7y*6x + (6x)² = 49y² – 84xy + 36x²

(10x – 2z)² = (10x)² – 2*10x*2z + (2z)² = 100x² – 40xz + 4z²

Por Marcos Noé