Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Equação de 1º grau
Resolvido:
sexta-feira, 12 de junho de 2020
Soma e produto das raizes
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Ao resolvermos uma equação do 2º grau temos as seguintes possibilidades para o resultado:
∆ > 0, duas raízes reais e distintas.
∆ = 0, uma única raiz real e distinta.
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Nos casos em que equação possui raízes reais algumas relações são observadas. Veja:
Soma das raízes – (x1 + x2)
Produto das raízes – (x1 * x2)
As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:
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om base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes.
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Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.
Observe:
A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:
Soma
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Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:
7 e 2
S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14
–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14
7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14
–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14
Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Taxa de Juros Acumulada
Algumas situações cotidianas voltadas para a Matemática Financeira envolvem a variação dos preços de mercadorias. As variações podem ocorrer no sentido dos preços aumentarem ou diminuírem, ocorrendo, respectivamente, inflação ou deflação.
É comum em momentos de inflação o reajuste sucessivo de preços, envolvendo índices percentuais. Caso um determinado produto seja reajustado continuamente, temos a incidência de vários índices percentuais sobre o preço original. Nesse caso, dizemos que a incidência desses índices, sucessivas vezes, é chamada de taxa de juros acumulada.
É comum em momentos de inflação o reajuste sucessivo de preços, envolvendo índices percentuais. Caso um determinado produto seja reajustado continuamente, temos a incidência de vários índices percentuais sobre o preço original. Nesse caso, dizemos que a incidência desses índices, sucessivas vezes, é chamada de taxa de juros acumulada.
A taxa de juros acumulada de determinado produto é dada pela seguinte expressão matemática:
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Exemplo 1
Em razão da alta da inflação em sucessivos meses, o preço de uma mercadoria foi reajustado nos meses de janeiro, fevereiro, março e abril em 5%, 8%, 12% e 7%, respectivamente. Determine a taxa de juros acumulada desses quatro meses.
Transformando taxas percentuais em taxas unitárias:
5% = 5/100 = 0,05
8% = 8/100 = 0,08
12% = 12/100 = 0,12
7% = 7/100 = 0,07
8% = 8/100 = 0,08
12% = 12/100 = 0,12
7% = 7/100 = 0,07
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A taxa de juros acumulada nos quatro meses foi equivalente a 35,9% ou, de forma arredondada, 36%.
Exemplo 2
Ao ser pesquisado mensalmente o preço de uma mercadoria, foram registrados os seguintes valores no último dia do mês:
Agosto: R$ 5,50
Setembro: R$ 6,20
Outubro: R$ 7,00
Novembro: R$ 7,10
Dezembro: R$ 8,90
Setembro: R$ 6,20
Outubro: R$ 7,00
Novembro: R$ 7,10
Dezembro: R$ 8,90
Determine a taxa de juros acumulada referente ao aumento da mercadoria em questão.
Vamos primeiramente calcular os índices de aumento. Veja:
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Taxa acumulada
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A taxa acumulada dos aumentos sucessivos de preços dessa mercadoria é equivalente a 61,79% ou, de forma arredondada, 62%.
Por Marcos Noé
Combinações
Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza.
Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?
Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações.
As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos.
Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:
ABC, BAC, CAB, DAB
ABD, BAD, CAD, DAC
ACB, BCA, CBA, DBA
ACD, BCD, CBD, DBC
ADB, BDA, CDA, DCA
ADC, BDC, CDB, DCB
Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
Cn,p = n!
p! (n – p)
n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
Substituindo os dados acima na fórmula teremos:
n = 4
p = 3
C4,3 = 4!
3! (4-3)!
C4,3 = 4 . 3!
3! . 1
C4,3 = 4
Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?
Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações.
As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos.
Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:
ABC, BAC, CAB, DAB
ABD, BAD, CAD, DAC
ACB, BCA, CBA, DBA
ACD, BCD, CBD, DBC
ADB, BDA, CDA, DCA
ADC, BDC, CDB, DCB
Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
Cn,p = n!
p! (n – p)
n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
Substituindo os dados acima na fórmula teremos:
n = 4
p = 3
C4,3 = 4!
3! (4-3)!
C4,3 = 4 . 3!
3! . 1
C4,3 = 4
Espaço Amostral e Evento
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br
Espaço Amostral e Evento
Marcos Noé
Probabilidade
Espaço amostral é o conjunto estabelecido por todos os possíveis resultados de um experimento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por “cara” ou “coroa”. No lançamento de um dado, o espaço amostral é representado pelas faces enumeradas 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Em um baralho de cartas, o espaço amostral envolve 52 cartas.
Evento é a representação de um subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, em relação aos espaços amostrais citados anteriormente, o número de eventos são:
Moeda: dois eventos
Dado: seis eventos
Baralho de cartas: cinquenta e dois eventos
Para determinarmos a probabilidade de algo acontecer, basta realizarmos a divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis. Observe:
Vamos determinar a probabilidade de, no lançamento de um dado ocorrer o número 6.
Na face do dado temos exatamente um lado com o número 6. Ao lançarmos o dado, a chance de obtermos o número indicado é de 1 em 6. Portanto:
No lançamento de uma moeda, a chance de retirarmos cara ou coroa é de 50% em cada.
No baralho de cartas, temos 52 cartas divididas em quatro naipes: copas, espadas, paus e ouro. Dessa forma, temos 13 cartas de cada naipe. Caso queira retirar uma carta ao acaso, a probabilidade da carta ser de copas é de 13 em 52, isso corresponde a 25% de chance, pois:
No baralho de cartas, temos 52 cartas divididas em quatro naipes: copas, espadas, paus e ouro. Dessa forma, temos 13 cartas de cada naipe. Caso queira retirar uma carta ao acaso, a probabilidade da carta ser de copas é de 13 em 52, isso corresponde a 25% de chance, pois:
quinta-feira, 4 de junho de 2020
Trinômio: Soma e Produto
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia www.accbarrosogestar.wordpress.com
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Trinômio: Soma e Produto
Por Marcos Noé
Trinômio
(x + a) * (x + b) = x2 + xb + xa + ab = x2 + x(a + b) + ab
Observe que o termo ligado à incógnita x é originado pela soma de a com b e o termo constante é resultado da multiplicação de a por b. Portanto, todas as multiplicações envolvendo (x + a) * (x + b) são representadas pela expressão x² + Sx + P.
No trinômio x2 + 2x – 24, temos que a forma fatorada é dada pela expressão (x + 6) * (x – 4), pois:
Soma = 6 – 4 = 2
Produto = 6 * (–4) = –24
Veja mais exemplos:
x2 + 4x – 21 = (x + 7) * (x – 3)
Soma = 7 – 3 = 4
Produto = 7 * (–3) = – 21
x2 – 9x + 20 = (x – 4) * (x – 5)
Soma = – 4 – 5 = – 9
Produto = (–4) * (–5) = 20
x2 + x – 72 = (x + 9) * (x – 8)
Soma = 9 – 8 = 1
Produto = 9 * (–8) = – 72
x2 + 13x + 22 = (x + 2) * (x + 11)
Soma = 2 + 11 = 13
Produto = 2 * 11 = 22
Húmus
Húmus é um componente orgânico, resultante da decomposição microbiana de resíduos de animais e plantas. Com aspecto macio acastanhado, essa substância amorfa traz muitos benefícios ao solo, tais como:
* Melhora muito as propriedades físicas do solo.
* Promove a liberação de nutrientes lentamente, tornando a adubação mais eficaz e duradoura.
* Contribui para o aumento da capacidade de tamponamento do solo.
* Retém a umidade do solo por mais tempo.
* Funciona como reservatório fixo de nitrogênio, que é fundamental para manter a fertilidade do solo.
* Impede a compactação de solos argilosos e promove a agregação de solos arenosos.
* O húmus diluído na água funciona como um adubo foliar suave além de contribuir na prevenção de várias pragas agrícolas.
humusO processo de formação do húmus, denominado humificação, pode ser natural (produzida por fungos e bactérias) ou artificial (induzida através da adição de produtos químicos e água em solo pouco produtivo).
O húmus é composto por frações de ácido húmico, ácido fúlvico e humina.
Humina: É o maior componente das substâncias húmicas do solo. É uma fração insolúvel em meio ácido e alcalino que representa maior peso molecular. A humina é considerada o produto final do processo de humificação.
Ácido Húmico: É uma fração solúvel em meio alcalino e insolúvel em meio ácido. São muito complexos quimicamente e muito importantes em vários processos, como no processo de intemperismo.
Ácido Fúlvico: É uma fração das substâncias húmicas de menor peso molecular. Em meio alcalino ou ácido são solúveis.
fraçõeshumus
Compostagem
Compostagem são técnicas de tratamento dos resíduos sólidos orgânicos. É um processo natural de decomposição dos resíduos orgânicos (folhas, grama, vegetais, frutas, etc.) em partes menores, produzindo o húmus.
Através da respiração aeróbica, os microorganismos conseguem decompor o material e para isso necessitam do oxigênio presente no ar. A água é um importante fator para estes microorganismos viverem e se proliferarem. Ainda no processo da respiração, estes microorganismos expelem dióxido de carbono e calor. Este processo é conhecido como compostagem aeróbica.
COMPOSTAGEM
No processo de compostagem anaeróbica, os microorganismos conseguem decompor a matéria sem a presença de oxigênio. Esta compostagem é mais demorada, ocorre em baixas temperaturas e exala odores fortes.
Vermicompostagem
minhoca humusVermicompostagem é o nome do processo de produção de húmus ou vermicomposto por meio de utilização das minhocas. Esses anelídeos pertencentes à classe Oligoqueta, decompõem resíduos orgânicos como restos de cozinha, estrumes, resíduos de jardim, entre outros.
As minhocas digerem estas substâncias que são excretadas sob a forma de húmus ou vermicomposto, que é um rico fertilizante, inodoro, contendo micronutrientes (ferro, zinco, cloro, boro, molibdênio, cobre) e macronutrientes (nitrogênio, fósforo, potássio).
Utilização do Húmus
Por ser um fertilizante natural e contribuir para um crescimento rápido e vigoroso das plantas, o húmus é muito utilizado em plantios comerciais e cultivos domésticos.
Pode ser utilizado sob variadas formas, como:
* Para encher tabuleiros e vasos de germinação, o húmus pode ser utilizado unicamente ou também misturado com areia ou turfa.
* Pode-se espalhar o húmus no solo em cima de plantas, árvores e arbustos.
* Pode-se diluir em água para rega ou pulverização.
Sendo um poderoso fertilizante e contendo um PH neutro, o húmus, não causa nenhuma reação maléfica como envenenamento, queimaduras ou apodrecimento de plantas.
Referências Bibliográficas:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Húmus
http://www.uenf.br/uenf/centros/cct/qambiental/so_comporg.html
http://www.emepa.org.br/anais/volume2/av209.pdf
http://casa.hsw.uol.com.br/compostagem.htm
http://hotsites.sct.embrapa.br/diacampo/programacao/2004/a-minhocultura-na-producao-de-insumos-para-a-agricultura-organica
Tipos de Reação Química
01 - Reação de adição: quando dois reagentes formam um único produto.
Exemplo: Reação entre o eteno ou etileno com bromo. Forma-se o 1,2-dibromo-etano ou brometo de etileno.
Observe a animação a seguir:
A molécula do eteno sofre ruptura na ligação pi, transformando-se no radical orgânico bivalente etileno, enquanto que na molécula do bromo, por ação de ativadores, rompe-se a ligação sigma.
Os dois átomos de bromo são adicionados ao radical orgânico etileno, produzindo um único composto: brometo de etileno.
Regra de Markownikov: Nas reações de adição, adicionar o hidrogênio ao carbono mais hidrogenado.
02 - Reação de substituição: quando um átomo ou radical é substituído por outro átomo ou radical na molécula orgânica.
Exemplo:
Regra de Markownikov: Nas reações de substituição, o hidrogênio preso ao carbono menos hidrogenado é o mais facilmente substituído.
Exemplo:
03 - Reação de eliminação: quando átomos ou radicais são eliminados da molécula orgânica.
Exemplo:
Regra de Saytzeff: Nas reações de eliminação, o hidrogênio preso ao carbono menos hidrogenado é mais facilmente eliminado.
Exemplo:
04 - Reação de oxidação: quando ocorre - na maioria das vezes - com adição de oxigênio.
A reação da oxidação pode ser: parcial ou total.
4.1 - Oxidação parcial de álcool primário.
Exemplo:
4.2 - Oxidação parcial de álcool secundário.
Exemplo:
4.3 - Oxidação de aldeído.
Exemplo:
4.4 - Oxidação total de álcool primário.
Exemplo:
05 - Reação de redução: é o inverso da reação de oxidação. Ocorre - na maioria das vezes - com adição de hidrogênio.
A reação de redução pode ser: parcial ou total.
5.1 - Redução parcial de ácido orgânico.
Exemplo:
5.3 - Redução de cetona.
Exemplo:
5.4 - Redução total de ácido orgânico.
Exemplo:
06 - Reação de esterificação: é a reação entre ácido orgânico e álcool, dando éster orgânico e água.
OBS.: A reação é reversível. No sentido da formação do éster é chamada de esterificação e no sentido inverso é chamada de hidrólise.
Exemplo:
07 - Reação de saponificação: é a reação entre éster de ácido graxo e base mineral, dando sal de ácido graxo (sabão) e triálcool.
Exemplo:
08 - Reação de polimerização: produz macromoléculas constituídas por moléculas que se repetem.
A unidade repetida é chamada de monômero e o produto final é chamado de:.
- dímero = quando o monômero é repetido duas vezes.
Exemplo:
- trímerto = quando o monômero é repetido três vezes. Exemplo:
- polímero = quando o monômero é repetido muitas vezes.
Exemplo:
8.1 - Reação de adição: quando o polímero é formado a partir de um só monômero.
Exemplo:
8.2 - Reação de copolimerização: quando o polímero é formado a partir de dois ou mais monômeros diferentes.
Exemplo:
8.3 - Reação de condensação: quando o polímero é formado a partir de dois ou mais monômeros diferentes, com eliminação de um produto inorgânico - geralmente água ou amônia.
Exemplo:
www.algosobre.com.br
Exemplo: Reação entre o eteno ou etileno com bromo. Forma-se o 1,2-dibromo-etano ou brometo de etileno.
Observe a animação a seguir:
A molécula do eteno sofre ruptura na ligação pi, transformando-se no radical orgânico bivalente etileno, enquanto que na molécula do bromo, por ação de ativadores, rompe-se a ligação sigma.
Os dois átomos de bromo são adicionados ao radical orgânico etileno, produzindo um único composto: brometo de etileno.
Regra de Markownikov: Nas reações de adição, adicionar o hidrogênio ao carbono mais hidrogenado.
02 - Reação de substituição: quando um átomo ou radical é substituído por outro átomo ou radical na molécula orgânica.
Exemplo:
Regra de Markownikov: Nas reações de substituição, o hidrogênio preso ao carbono menos hidrogenado é o mais facilmente substituído.
Exemplo:
03 - Reação de eliminação: quando átomos ou radicais são eliminados da molécula orgânica. Exemplo:
Regra de Saytzeff: Nas reações de eliminação, o hidrogênio preso ao carbono menos hidrogenado é mais facilmente eliminado. Exemplo:
04 - Reação de oxidação: quando ocorre - na maioria das vezes - com adição de oxigênio.
A reação da oxidação pode ser: parcial ou total.
4.1 - Oxidação parcial de álcool primário.
Exemplo:
4.2 - Oxidação parcial de álcool secundário.
Exemplo:
4.3 - Oxidação de aldeído.
Exemplo:
4.4 - Oxidação total de álcool primário.
Exemplo:
05 - Reação de redução: é o inverso da reação de oxidação. Ocorre - na maioria das vezes - com adição de hidrogênio.
A reação de redução pode ser: parcial ou total.
5.1 - Redução parcial de ácido orgânico.
Exemplo:
5.2 - Redução de aldeído.
Exemplo: 5.3 - Redução de cetona.
Exemplo:
5.4 - Redução total de ácido orgânico. Exemplo:
06 - Reação de esterificação: é a reação entre ácido orgânico e álcool, dando éster orgânico e água.
OBS.: A reação é reversível. No sentido da formação do éster é chamada de esterificação e no sentido inverso é chamada de hidrólise.
Exemplo:
07 - Reação de saponificação: é a reação entre éster de ácido graxo e base mineral, dando sal de ácido graxo (sabão) e triálcool.
Exemplo:
08 - Reação de polimerização: produz macromoléculas constituídas por moléculas que se repetem.
A unidade repetida é chamada de monômero e o produto final é chamado de:.
- dímero = quando o monômero é repetido duas vezes.
Exemplo:
- trímerto = quando o monômero é repetido três vezes. Exemplo:
- polímero = quando o monômero é repetido muitas vezes.
Exemplo:
8.1 - Reação de adição: quando o polímero é formado a partir de um só monômero.
Exemplo:
8.2 - Reação de copolimerização: quando o polímero é formado a partir de dois ou mais monômeros diferentes.
Exemplo:
8.3 - Reação de condensação: quando o polímero é formado a partir de dois ou mais monômeros diferentes, com eliminação de um produto inorgânico - geralmente água ou amônia.
Exemplo:
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Medida de Tempo
Medidas de tempo
IntroduçãoÉ comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:
Qual a duração dessa partida de futebol?
Qual o tempo dessa viagem?
Qual a duração desse curso?
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a
 do dia solar médio. |
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
| ||
| minutos | hora | dia |
| min | h | d |
| 60 s | 60 min = 3.600 s | 24 h = 1.440 min = 86.400s |
- décimo de segundo
- centésimo de segundo
- milésimo de segundo
Observe:
Outras importantes unidades de medida:
mês (comercial) = 30 dias
ano (comercial) = 360 dias
ano (normal) = 365 dias e 6 horas
ano (bissexto) = 366 dias
|
semana = 7 dias
quinzena = 15 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
quadrimestre = 4 meses
|
semestre = 6 meses
biênio = 2 anos
lustro ou qüinqüênio = 5 anos
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1.000 anos
|
www.somatematica.com.br
Escala
Escala
Definimos escala de um desenho como sendo a razão entre o comprimento do projeto e o comprimento real correspondente,
sempre medidos na mesma unidade.
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos, da planta de uma casa ou de uma cidade, mapas,
maquetes, etc.
Se num mapa a escala indicada é de 1 : 1000, isso quer dizer que cada medida no desenho do mapa é 1000 vezes menor que a
realidade, sendo assim : Cada 1 cm medido no mapa representará no real ->1000 cm = 10 m
Se num projeto arquitetônico cada cm desenhado equivale a 120 cm ( 1,2 m ) de dimensão real, afirmamos que esse modelo está
na escala de 1 : 120, ou seja, tudo na realidade é 120 vezes maior que no projeto arquitetônico.
Se num aeromodelo cada cm do protótipo equivale a 32 cm no real, afirmamos que esse modelo está na escala de 1 : 32, ou seja,
tudo no avião é 32 vezes maior que no modelo.
Todo mapa cartográfico é feito em escala
Todo projeto arquitetônico é feito em escala
Toda maquete reproduz fielmente o real, já que sempre é projetada em escala
Ambas as casas estão desenhadas em escala. A moça que aparece a frente da casa rosa tem, por definição em projetos de
arquitetura, a altura de 1,70 m. Assim se tem uma idéia melhor das dimensões da casa.
Outros dois projetos, também executados em escala.
O Mapa parcial do município do Rio de Janeiro está construído na escala 1:450.000, ou seja, cada cm medido no mapa, medirá,
na verdade 450.000 vezes maior, ou seja : 1 cm no mapa será equivalente, no mapa, a 450.000 cm = 4.500 m = 4,5 km.
Escala - Exercícios Resolvidos
Exemplo 01) Um protótipo foi desenhado na escala 1:100. Qual será o comprimento desse protótipo se o modelo em tamanho real tem
um comprimento igual a 4,00 m ? 4 cm
Resolução : Os exercícios de escalas sempre serão resolvidos por meio de proporção. Se a escala é de 1:100, podemos escrever :
Exemplo 02) Qual é escala da planta de um terreno no qual um comprimento de 48 metros foi representado no papel por um segmento
de 2,4 dm ?
Resolução : Já sabemos que escala é a razão entre a dimensão de projeto e a dimensão verdadeira. Assim, podemos escrever :
Exemplo 03) Uma bandeira brasileira oficial tem o comprimento de 10 metros e a largura de 7 metros. Que escala estaremos
trabalhando ao desenharmos nossa bandeira com 8 cm de comprimento ?
Resolução : Como escala é a razão entre a dimensão de projeto e a dimensão verdadeira. Assim, podemos escrever :
Escala - Exercícios Propostos
01) Qual deve ser a escala de uma planta de uma parede de 17,5 m, que está representada por um segmento de 0,35 dm ?
02) A distância entre duas cidades é de 150 km e está representada em um mapa por 10 cm. Determine a escala desse mapa.
03) A extensão de uma estrada de ferro é de 420 km. Qual foi a escala usada, se a mesma foi representada por 5 cm ?
04) Numa planta elaborada na escala de 1:25 a sala de jantar está com as seguintes dimensões: 12,6 cm e 1,74 dm. Calcule,
em metros quadrados, a área real da sala.
05) Em um mapa de escala 1 : 4.500.000, a distância entre duas cidades é de 100 mm. Qual será a escala de um outro mapa, no qual
estas mesmas cidades distem 2 cm entre si ?
06) Num desenho cuja escala é 1 : 500, tem-se um comprimento de 9 em, que no natural mede 45 metros. Calcule, em centímetros, o
mesmo comprimento do desenho na escala 1 :200.
07) Numa planta na escala 1 : 1.000, que dimensões (em m) devem ser atribuídas, a um compartimento de 0,5 dm por 60 mm ?
08) Qual o comprimento que devemos representar uma avenida de 42 hm de comprimento, ao desenhar a planta de um bairro, na
escala de 1 : 20.000 ?
09) Num mapa, uma rua mede 72 cm. Calcule o comprimento natural da rua, sabendo-se que o mapa foi desenhado na escala de
1 : 250.
10) Um prédio está desenhado na escala 1 : 150. Qual é o perímetro e a área de uma sala, que no desenho mede 4 cm x 5 cm ?
11) Sabe-se que um terreno tem 8.400 m2. Para representá-la por um retângulo de 6 cm por 2 cm, que escala deveremos representar?
Escala - Exercícios - Questões Objetivas
12) Um muro de 28,5 m está representado num desenho na escala 1 : 75. O comprimento do muro desenhado, é:
a) 0,38 m b) 0,38 cm c) 3,8 cm d) 1,9 m e) 0,19 dm
13) Num mapa de escala 1 : 2.000.000, a distância entre duas cidades é de 10 cm. Qual a distância entre as cidades ?
a) 10 km b) 20 km c) 100 km d) 200 km
14) Numa carta geográfica, a distância entre as cidades A e B é de 10 em. A distância real entre elas é de 500 km. Qual é a escala
da carta ?
a) 1 : 100.000 b) 1 : 500.000 c) 1 : 1.000.000 d) 1 : 5.000.000
15) ( UFCE ) Em um mapa cartográfico, 4 cm representam 12 km. Nesse mesmo mapa, 10 cm representarão quantos quilômetros ?
a) 60 km b) 30 km c) 15 km d) 18 km e) 25 km
16) ( UNICAMP - SP ) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50. As dimensões de uma sala retangular são
10 cm e 8 cm. Calcule a área total da sala projetada.
a) 20 m2 b) 22 m2 c) 25 m2 d) 36 m2 e) 42 m2
Escala - Respostas dos Exercícios Propostos
01 1:500 02 1:1.500.000 03 1:840.000 04 13,7025 m2
05 1 : 2.250.000 06 18 m 07 50 m e 60 m 08 0,21 m = 21 cm
09 180 m 10 27 m e 45 m2 11 1:3.000 12 letra A
13 letra D 14 letra D 15 Letra B 16 Letra A
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Definimos escala de um desenho como sendo a razão entre o comprimento do projeto e o comprimento real correspondente,
sempre medidos na mesma unidade.
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos, da planta de uma casa ou de uma cidade, mapas,
maquetes, etc.
Se num mapa a escala indicada é de 1 : 1000, isso quer dizer que cada medida no desenho do mapa é 1000 vezes menor que a
realidade, sendo assim : Cada 1 cm medido no mapa representará no real ->1000 cm = 10 m
Se num projeto arquitetônico cada cm desenhado equivale a 120 cm ( 1,2 m ) de dimensão real, afirmamos que esse modelo está
na escala de 1 : 120, ou seja, tudo na realidade é 120 vezes maior que no projeto arquitetônico.
Se num aeromodelo cada cm do protótipo equivale a 32 cm no real, afirmamos que esse modelo está na escala de 1 : 32, ou seja,
tudo no avião é 32 vezes maior que no modelo.
Todo mapa cartográfico é feito em escala
Todo projeto arquitetônico é feito em escala
Toda maquete reproduz fielmente o real, já que sempre é projetada em escala
Ambas as casas estão desenhadas em escala. A moça que aparece a frente da casa rosa tem, por definição em projetos de
arquitetura, a altura de 1,70 m. Assim se tem uma idéia melhor das dimensões da casa.
Outros dois projetos, também executados em escala.
O Mapa parcial do município do Rio de Janeiro está construído na escala 1:450.000, ou seja, cada cm medido no mapa, medirá,
na verdade 450.000 vezes maior, ou seja : 1 cm no mapa será equivalente, no mapa, a 450.000 cm = 4.500 m = 4,5 km.
Escala - Exercícios Resolvidos
Exemplo 01) Um protótipo foi desenhado na escala 1:100. Qual será o comprimento desse protótipo se o modelo em tamanho real tem
um comprimento igual a 4,00 m ? 4 cm
Resolução : Os exercícios de escalas sempre serão resolvidos por meio de proporção. Se a escala é de 1:100, podemos escrever :
Exemplo 02) Qual é escala da planta de um terreno no qual um comprimento de 48 metros foi representado no papel por um segmento
de 2,4 dm ?
Resolução : Já sabemos que escala é a razão entre a dimensão de projeto e a dimensão verdadeira. Assim, podemos escrever :
Exemplo 03) Uma bandeira brasileira oficial tem o comprimento de 10 metros e a largura de 7 metros. Que escala estaremos
trabalhando ao desenharmos nossa bandeira com 8 cm de comprimento ?
Resolução : Como escala é a razão entre a dimensão de projeto e a dimensão verdadeira. Assim, podemos escrever :
Escala - Exercícios Propostos
01) Qual deve ser a escala de uma planta de uma parede de 17,5 m, que está representada por um segmento de 0,35 dm ?
02) A distância entre duas cidades é de 150 km e está representada em um mapa por 10 cm. Determine a escala desse mapa.
03) A extensão de uma estrada de ferro é de 420 km. Qual foi a escala usada, se a mesma foi representada por 5 cm ?
04) Numa planta elaborada na escala de 1:25 a sala de jantar está com as seguintes dimensões: 12,6 cm e 1,74 dm. Calcule,
em metros quadrados, a área real da sala.
05) Em um mapa de escala 1 : 4.500.000, a distância entre duas cidades é de 100 mm. Qual será a escala de um outro mapa, no qual
estas mesmas cidades distem 2 cm entre si ?
06) Num desenho cuja escala é 1 : 500, tem-se um comprimento de 9 em, que no natural mede 45 metros. Calcule, em centímetros, o
mesmo comprimento do desenho na escala 1 :200.
07) Numa planta na escala 1 : 1.000, que dimensões (em m) devem ser atribuídas, a um compartimento de 0,5 dm por 60 mm ?
08) Qual o comprimento que devemos representar uma avenida de 42 hm de comprimento, ao desenhar a planta de um bairro, na
escala de 1 : 20.000 ?
09) Num mapa, uma rua mede 72 cm. Calcule o comprimento natural da rua, sabendo-se que o mapa foi desenhado na escala de
1 : 250.
10) Um prédio está desenhado na escala 1 : 150. Qual é o perímetro e a área de uma sala, que no desenho mede 4 cm x 5 cm ?
11) Sabe-se que um terreno tem 8.400 m2. Para representá-la por um retângulo de 6 cm por 2 cm, que escala deveremos representar?
Escala - Exercícios - Questões Objetivas
12) Um muro de 28,5 m está representado num desenho na escala 1 : 75. O comprimento do muro desenhado, é:
a) 0,38 m b) 0,38 cm c) 3,8 cm d) 1,9 m e) 0,19 dm
13) Num mapa de escala 1 : 2.000.000, a distância entre duas cidades é de 10 cm. Qual a distância entre as cidades ?
a) 10 km b) 20 km c) 100 km d) 200 km
14) Numa carta geográfica, a distância entre as cidades A e B é de 10 em. A distância real entre elas é de 500 km. Qual é a escala
da carta ?
a) 1 : 100.000 b) 1 : 500.000 c) 1 : 1.000.000 d) 1 : 5.000.000
15) ( UFCE ) Em um mapa cartográfico, 4 cm representam 12 km. Nesse mesmo mapa, 10 cm representarão quantos quilômetros ?
a) 60 km b) 30 km c) 15 km d) 18 km e) 25 km
16) ( UNICAMP - SP ) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50. As dimensões de uma sala retangular são
10 cm e 8 cm. Calcule a área total da sala projetada.
a) 20 m2 b) 22 m2 c) 25 m2 d) 36 m2 e) 42 m2
Escala - Respostas dos Exercícios Propostos
01 1:500 02 1:1.500.000 03 1:840.000 04 13,7025 m2
05 1 : 2.250.000 06 18 m 07 50 m e 60 m 08 0,21 m = 21 cm
09 180 m 10 27 m e 45 m2 11 1:3.000 12 letra A
13 letra D 14 letra D 15 Letra B 16 Letra A
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