Polígonos Regulares Lados e Apótema de polígonos Inscritos Aula 2

Sistema Linear Homogêneo

Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o terno (0, 0, 0), chamamos de solução nula ou trivial.
Podemos dizer que um sistema linear homogêneo é SPD ou SPI.
Será:
SPD: se admitir somente uma solução trivial.
SPI: se admitir uma solução trivial e outras soluções.
Generalizando, podemos representar um sistema linear homogêneo da seguinte forma:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ...+a_1nx_n = 0
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃+ ... +a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃+...+a_mnx_n= 0


Consideremos o sistema:
2x + 2y + 2z = 0
4x – 2y – 2z = 0
2x + 2y – 4z = 0

Ao aplicarmos Sarrus:
2 2 2
4 -2 - 2
2 2 -4

Verificamos que D = 72, portanto D ≠ 0 e m = n (m: número de linhas e n: número de colunas).
Podemos concluir que o sistema é normal.


Obs.: Se temos um sistema com D = 0 e m = n dizemos que ele é possível e indeterminado ou impossível.

Equação Reduzida da Reta

Podemos representar uma reta no plano cartesiano por meio da condição geométrica ou por uma equação matemática. Em relação à equação matemática, a reta pode ser escrita nas seguintes formas: reduzida, segmentária, geral ou paramétrica. Vamos abordar a representação de uma equação reduzida de reta, demonstrando três possíveis situações.

Vamos considerar a equação da reta que passa por um ponto Q(x1, y1), com coeficiente angular a, observe:

y – y1 = a * (x – x1)

Escolhendo ao acaso, o ponto (0, b) e determinando que a reta o intersecte, temos que:

y – b = a * (x – 0)
y – b = a * x – a * 0
y – b = ax
y = ax + b

Portanto, a equação reduzida da reta possui a seguinte lei de formação:

y = ax +b

1ª situação

Utilizando o ponto P₁(2, 7), no qual x = 2 e y = 7, temos:

y – y₁ = a * (x – x₁)
y – 7 = 4 * (x – 2)
y – 7 = 4x – 8
y = 4x – 8 + 7
y = 4x – 1


2ª situação

A forma geral da equação reduzida da reta é dada pela expressão: y = ax + b. Utilizando o ponto P1(2, 7), temos:

y = ax + b
7 = a * 2 + b
2a + b = 7

Utilizando o ponto P2(–1, –5), temos:

–5 = a * (–1) + b
–5 = –a + b
–a + b = –5


Resolvendo o sistema, , determinamos o coeficiente angular e o linear.

Substituindo os valores de a e b na expressão matemática, temos:

y = ax + b
y = 4x – 1

3ª situação

Podemos construir uma matriz quadrada com os pontos fornecidos e um ponto genérico (x, y). O determinante dessa matriz será a equação da reta. Observe:

P1(2, 7) e P2(–1, –5)

Aplicando Sarrus: produto dos termos da diagonal principal subtraído do produto dos termos da diagonal secundária.

[(x * 7 * 1) + (–1 * 1 * y) + (–5 * 2 * 1)] – [(–1 * 7 * 1) + (y * 2 * 1) + (–5 * x * 1)] = 0
[7x – y –10] – [–7 + 2y – 5x] = 0
7x – y – 10 + 7 – 2y + 5x = 0
12x – 3y – 3 = 0
–3y = –12x + 3 (dividir todos por – 3)
y = 4x – 1

a = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção da reta com o eixo y)
Note que a equação reduzida da reta se apresenta fornecendo a coordenada y em função de x.

Construindo a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P₁(2, 7) e P2(–1, –5).

Vamos determinar o coeficiente angular da reta, caso seja necessário sua utilização:

Média Ponderada

Alguns cálculos envolvendo média podem ser efetuados utilizando os critérios de média simples ou média ponderada. Na utilização da média simples, a ocorrência dos valores possui a mesma importância e no caso da média ponderada são atribuídos aos valores importâncias diferentes.

Na média simples os valores são somados e dividos pela quantidade de termos adicionados. A média ponderada é calculada através do somatório das multiplicações entre valores e pesos divididos pelo somatório dos pesos. Vamos, através de exemplos, demonstrar os cálculos envolvendo a média ponderada.

Exemplo 1

Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado ao bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a:

1º Bimestre: 7,0
2º Bimestre: 6,0
3º Bimestre: 8,0
4º Bimestre: 7,5

A média anual de Gabriel é correspondente a 7,3.

Exemplo 2

Buscando melhorar o atendimento ao usuário do sistema de saúde de um município, a prefeitura realizou uma pesquisa de rendimento satisfatório com 500 pessoas. As notas disponibilizadas aos entrevistados no intuito de avaliar o nível de satisfação compreendem a notas inteiras de 1 a 10. Veja os resultados na tabela a seguir:

A média de satisfação dos usuários do sistema de saúde do município em questão foi igual a 5,0.

Por Marcos Noé

ÓXIDOS

ÓXIDOS

1. Nomenclatura
2. Óxidos ácidos, óxidos básicos e óxidos anfóteros
3. Sais mais comuns na química do cotidiano

Óxido - Composto binário de oxigênio com outro elemento menos eletronegativo.

Nomenclatura

Óxido ExOy:

nome do óxido = [mono, di, tri ...] + óxido de [mono, di, tri...] + [nome de E]

* O prefixo mono pode ser omitido.
* Os prefixos mono, di, tri... podem ser substituídos pelo nox de E, escrito em algarismo romano.
* Nos óxidos de metais com nox fixo e nos quais o oxigênio tem nox = -2, não há necessidade de prefixos, nem de indicar o nox de E.

Óxidos nos quais o oxigênio tem nox = -1:

nome do óxido = peróxido de + [nome de E ]

Óxidos ácidos, óxidos básicos e óxidos anfóteros

* Os óxidos dos elementos fortemente eletronegativos (não-metais), como regra, são óxidos ácidos. Exceções: CO, NO e N2O.
* Os óxidos dos elementos fracamente eletronegativos (metais alcalinos e alcalino-terrosos) são óxidos básicos.
* Os óxidos dos elementos de eletronegatividade intermediária, isto é, dos elementos da região central da Tabela Periódica, são óxidos anfóteros.

Óxidos ácidos
Cl2O Cl2O7 I2O5 SO2 SO3 N2O3 N2O5 P2O3 P2O5 CO2 SiO2 CrO3 MnO3 Mn2O7
Reações caraterísticas Exemplos de reações
óxido ácido + água ® ácido
óxido ácido + base ® sal + água SO3 + H2O ® H2SO4
SO3 +2KOH ® K2SO4 + H2O
N2O5 + H2O ® 2HNO3
N2O5 + 2KOH ® 2KNO3 + H2O
Óxidos ácidos mistos
NO2
Reações caraterísticas Exemplos de reações
óxido ácido misto + água ® ácido(1) + ácido(2)
óxido ácido misto + base ® sal(1) + sal(2) + água 2NO2 + H2O ® HNO3 + HNO2
2NO2 + 2KOH ® KNO3 + KNO2 + H2O
Óxidos básicos
Li2O Na2O K2O Rb2O Cs2O MgO CaO SrO BaO RaO
Cu2O CuO Hg2O HgO Ag2O FeO NiO CoO MnO
Reações caraterísticas Exemplos de reações
óxido básico + água ® base
óxido básico + ácido ® sal + água Na2O + H2O ® 2NaOH
Na2O + 2HCl ® 2NaCl + H2O
CaO + H2O ® Ca(OH)2
CaO + 2HCl ® CaCl2
Óxidos anfóteros
As2O3 As2O5 Sb2O3 Sb2O5 ZnO Al2O3 Fe2O3 Cr2O3 SnO SnO2 PbO PbO2 MnO2
Reações caraterísticas Exemplos de reações
óxido anfótero + ácido ® sal + água
óxido anfótero + base ® sal + água ZnO + 2HCl ® ZnCl2 + H2O
ZnO + 2KOH ® K2ZnO2 + H2O
Al2O3 + 6HCl ® 2AlCl3 + 3H2O
Al2O3 + 2KOH ® 2KAlO2 + H2O
Óxidos neutros
NO N2O CO
Não reagem com a água, nem com os ácidos, nem com as bases.
Óxidos salinos
Fe3O4 Pb3O4 Mn3O4
Reações caraterísticas Exemplos de reações
óxido salino + ácido ® sal(1) + sal(2) + água Fe3O4 + 8HCl ® 2FeCl3 + FeCl2 + 4H2O
Peróxidos
Li2O2 Na2O2 K2O2 Rb2O2 Cs2O2 MgO2 CaO2 SrO2 BaO2 RaO2 Ag2O2 H2O2
Reações caraterísticas Exemplos de reações
peróxido + água ® base + O2
peróxido + ácido ® sal + H2O2 Na2O2 + H2O ® 2NaOH + 1/2 O2
Na2O2 + 2HCl ® 2NaCl + H2O2

Óxidos mais comuns na química do cotidiano

* Óxido de cálcio (CaO)
o É um dos óxidos de maior aplicação e não é encontrado na natureza. É obtido industrialmente por pirólise de calcário.
o Fabricação de cal hidratada ou Ca(OH)2.
o Preparação da argamassa usada no assentamento de tijolos e revestimento das paredes.
o Pintura a cal (caiação).
o Na agricultura, para diminuir a acidez do solo.
* Dióxido de carbono (CO2)
o É um gás incolor, inodoro, mais denso que o ar. Não é combustível e nem comburente, por isso, é usado como extintor de incêndio.
o O CO2 não é tóxico, por isso não é poluente. O ar contendo maior teor em CO2 que o normal (0,03%) é impróprio à respiração, porque contém menor teor em O2 que o normal.
o O CO2 é o gás usado nos refrigerantes e nas águas minerais gaseificadas. Aqui ocorre a reação:
CO2 + H2O « H2CO3 (ácido carbônico)
o O CO2 sólido, conhecido por gelo seco, é usado para produzir baixas temperaturas.
o Atualmente, o teor em CO2 na atmosfera tem aumentado e esse fato é o principal responsável pelo chamado efeito estufa.
* Monóxido de carbono (CO)
o É um gás incolor extremamente tóxico. É um seríssimo poluente do ar atmosférico.
o Forma-se na queima incompleta de combustíveis como álcool (etanol), gasolina, óleo, diesel, etc.
o A quantidade de CO lançada na atmosfera pelo escapamento dos automóveis, caminhões, ônibus, etc. cresce na seguinte ordem em relação ao combustível usado:
álcool < gasolina < óleo diesel.
o A gasolina usada como combustível contém um certo teor de álcool (etanol), para reduzir a quantidade de CO lançada na atmosfera e, com isso, diminuir a poluição do ar, ou seja, diminuir o impacto ambiental.
* Dióxido de enxofre (SO2)
o É um gás incolor, tóxico, de cheiro forte e irritante.
o Forma-se na queima do enxofre e dos compostos do enxofre:
S + O2 (ar) ® SO2
o O SO2 é um sério poluente atmosférico. É o principal poluente do ar das regiões onde há fábricas de H2SO4. Uma das fases da fabricação desse ácido consiste na queima do enxofre.
o A gasolina, óleo diesel e outros combustíveis derivados do petróleo contêm compostos do enxofre. Na queima desses combustíveis, forma-se o SO2 que é lançado na atmosfera. O óleo diesel contém maior teor de enxofre do que a gasolina e, por isso, o impacto ambiental causado pelo uso do óleo diesel, como combustível, é maior do que o da gasolina.
o O álcool (etanol) não contém composto de enxofre e, por isso, na sua queima não é liberado o SO2. Esta é mais uma vantagem do álcool em relação à gasolina em termos de poluição atmosférica.
o O SO2 lançado na atmosfera se transforma em SO3 que se dissolve na água de chuva constituindo a chuva ácida, causando um sério impacto ambiental e destruindo a vegetação:
2SO2 + O2 (ar) ® 2SO3
SO3 + H2O ® H2SO4
* Dióxido de nitrogênio (NO2)
o É um gás de cor castanho-avermelhada, de cheiro forte e irritante, muito tóxico.
o Nos motores de explosão dos automóveis, caminhões, etc., devido à temperatura muito elevada, o nitrogênio e oxigênio do ar se combinam resultando em óxidos do nitrogênio, particularmente NO2, que poluem a atmosfera.
o O NO2 liberado dos escapamentos reage com o O2 do ar produzindo O3, que é outro sério poluente atmosférico
NO2 + O2 ® NO + O3
o Os automóveis modernos têm dispositivos especiais que transformam os óxidos do nitrogênio e o CO em N2 e CO2 (não poluentes).
o Os óxidos do nitrogênio da atmosfera dissolvem-se na água dando ácido nítrico, originando assim a chuva ácida, que também causa sério impacto ambiental.
Os óxidos são compostos binários, isto é, são substâncias formadas pela combinação de dois elementos. Um desses elementos é sempre o oxigênio (O).
• Alguns óxidos reagem com a água formando ácidos.
• Outros óxidos reagem com a água formando hidróxidos.
• Outros reagem com hidróxidos formando sais e água.
• Há óxidos que reagem com ácidos, formando sais e água.

Principais Óxidos
• Óxido de Cálcio (CaO) --> Obtido a partir da decomposição do calcário, é usado na agricultura para diminuir a acidez do solo e também na preparação de argamassa na construção civil.
• Óxido Nitroso (N2O) --> Conhecido como gás hilariante, esse óxido inalado em pequena quantidade provoca euforia, mas pode causar sérios problemas de saúde; é utilizado como anestésico.
• Dióxido de Enxofre (SO2) --> É usado para a obtenção de ácido sulfúrico e no branqueamento de óleos alimentícios, entre outras aplicações. É um dos principais poluentes atmosféricos; em dias úmidos, combina-se com o vapor de água da atmosfera e origina a chamada chuva ácida.
• Monóxido de Carbono (CO) --> Usado para obter certos produtos químicos e na metalurgia do aço. É normalmente o principal poluente da atmosfera das zonas urbanas; inalado combina com a hemoglobina das hemácias do sangue, neutralizando-as para o transporte de gás oxigênio no organismo.

Regra de Sociedade

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com

http://accbarrosogestar.blogspot.com.br 

A regra de sociedade está ligada à divisão de lucros e prejuízos entre administradores de uma empresa. A divisão das finanças precisa ser realizada conforme o investimento de cada pessoa, isto é, o cálculo precisa ser proporcional ao dinheiro investido pelos acionistas. Por exemplo, vamos imaginar que uma sociedade foi constituída entre duas pessoas, as quais aplicaram as quantias de R$ 1.000,00 e R$ 500,00 respectivamente, e obtiveram um lucro de R$ 3.000,00. De acordo com a divisão proporcional, a primeira pessoa precisa receber o dobro do valor da segunda pessoa. De acordo com os investimentos de R$ 1.000,00 e R$ 500,00, as pessoas receberão R$ 2.000,00 e R$ 1.000,00 respectivamente.

Observe os exemplos a seguir, eles demonstrarão detalhadamente a forma de dividir proporcionalmente as finanças.

Exemplo 1

Duas pessoas investiram R$ 45.000,00 e R$ 30.000,00 na compra de uma casa em sociedade. Após determinado tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90.000,00. Qual a parte que cada um irá receber pela venda dessa casa?
Resolução:

Observe que o lucro foi igual a R$ 15.000,00, pois eles investiram R$ 75.000,00 e venderam por R$ 90.000,00.



A divisão do lucro será a seguinte: quem investiu R$ 45.000,00 receberá R$ 9.000,00 e a pessoa que investiu R$ 30.000,00 receberá o valor de R$ 6.000,00.

Exemplo 2

Três pessoas formaram uma sociedade. A primeira entrou com R$ 20.000,00, a segunda, com R$ 50.000,00 e a terceira, com R$ 30.000,00. No balanço final de ano houve um lucro de R$ 20.000,00. Qual foi a quantia que cada sócio recebeu?
Resolução:



O 1º sócio recebeu R$ 4.000,00, o 2º, R$ 10.000,00 e o terceiro, R$ 6.000,00.

Marcos Noé Pedro da Silva

A Cinemática

A Cinemática, parte da mecânica que se ocupa da descrição do movimento e não de suas causas, que são estudadas pela dinâmica.

Na mecânica clássica, o movimento de um corpo é descrito por meio de três funções do tempo: a posição em relação a um referencial, a velocidade e a aceleração. Em princípio, dada a aceleração do corpo como função do tempo, podemos determinar sua velocidade em qualquer instante e depois sua posição.

Os movimentos encontrados na natureza são inúmeros e, na maioria das vezes, combinações extremamente complexas de translações e rotações. Esse é o caso de uma bola de futebol chutada com efeito, cujo exemplo mais célebre é a "folha seca" do mestre Didi, assim chamada porque o movimento da bola assemelhava-se ao de uma folha caindo ao sabor do vento. Movimentos desse tipo exigem uma descrição matemática sofisticada que muitas vezes só é possível com auxílio de computadores de grande capacidade de processamento. Alguns movimentos, porém, são relativamente simples e podem ser estudados com métodos simples. É o caso, por exemplo, do movimento retilíneo uniforme (MRU), do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ou do movimento circular uniforme (MCU).

A análise dos movimentos observados nas partículas e sistemas, independentemente de suas causas, é o objeto do estudo da cinemática. É difícil descrever qualquer movimento na natureza sem recorrer a simplificações iniciais que abordem esse movimento como composição de outros mais simples, regidos por trajetórias que podem ser expressas matematicamente. Em cinemática distinguem-se fundamentalmente dois tipos de movimentos básicos simples: o retilíneo e o circular. O movimento circular se define pela determinação da posição do corpo e do ângulo de rotação, em relação a um sistema de referência inercial.

Define-se como movimento uniforme aquele que apresenta velocidade constante, linear ou angular, de modo que seja possível determinar a posição de um sistema apenas pela multiplicação de sua velocidade pelo tempo transcorrido, e pelo acréscimo do resultado a sua posição inicial. Tal definição se expressa em termos matemáticos por meio das seguintes equações:

s = so + v.t

em que s é a posição atual; so é a posição inicial; v é a velocidade linear, que no sistema MKS se expressa em metros por segundo; e t é o tempo transcorrido; e

j = j0 + v.t

em que j é o ângulo atual; j0 é o ângulo inicial; v é a velocidade angular, que no sistema MKS se expressa em radianos por segundo; e t é o tempo transcorrido.

O movimento uniformemente variado é aquele em que se verifica uma variação uniforme de velocidade, ou aceleração constante, regido por leis matemáticas expressas pelas seguintes fórmulas:

s = so + vo.t + 1/2 a.t²

em que vo é a velocidade linear inicial; a é a aceleração linear, que no sistema MKS se expressa em metros por segundo ao quadrado, e

j = j0 + v0 . t + 1/2y.t²

em que v0 é a velocidade angular inicial e y é a aceleração angular, que no sistema MKS se mede em radianos por segundo ao quadrado.

Os movimentos não uniformemente acelerados têm expressões matemáticas bem mais complicadas. O movimento uniforme e o uniformemente variado permitem estudar dois fenômenos cinemáticos de grande interesse: a queda livre de dois corpos, motivada por uma aceleração constante, chamada de gravidade (g), e o lançamento de projéteis, que pode ser decomposto em dois movimentos simultâneos, um horizontal uniforme e outro vertical uniformemente acelerado, com aceleração g. Do ponto de vista cinemático, muitos sistemas estáveis reagem às perturbações a seu funcionamento normal oscilando, como forma de recuperar o equilíbrio perdido. O movimento oscilatório harmônico, como é conhecido, define-se pela existência de uma força que em todo momento se opõe à direção do movimento.

Autoria: Danielle Teixeira