domingo, 3 de maio de 2020
Função inversa
O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f –1 da seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є f.
Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo:
Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo:
Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)}
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5.
Veja o diagrama abaixo:
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5.
Veja o diagrama abaixo:
Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)}
O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa.
Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Observe:
Exemplo 1
Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo:
x = 3y – 5
–3y = –x –5 (multiplicar por –1)
3y = x + 5
y = (x + 5)/3
Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3.
Exemplo 2
Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:
Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo:
x = y²
√x = √y²
√x = y
y = √x
A função f(x) = x² terá inversa f –1(x) = √x
Exemplo 3
Determine a inversa da função f(x) = (2x+3)/(3x–5), para x ≠ 5/3.
Realizando a troca entre x e y na expressão y = (2x+3)/(3x–5) → x = (2y+3)/(3y–5), logo:
x = (2y+3)/(3y–5)
x*(3y–5) = 2y + 3
3yx – 5x = 2y + 3
3yx – 2y = 5x + 3
y(3x – 2) = 5x + 3
y = (5x+3)/(3x–2), para x ≠ 2/3.
mundoeducacao
O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa.
Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Observe:
Exemplo 1
Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo:
x = 3y – 5
–3y = –x –5 (multiplicar por –1)
3y = x + 5
y = (x + 5)/3
Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3.
Exemplo 2
Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:
Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo:
x = y²
√x = √y²
√x = y
y = √x
A função f(x) = x² terá inversa f –1(x) = √x
Exemplo 3
Determine a inversa da função f(x) = (2x+3)/(3x–5), para x ≠ 5/3.
Realizando a troca entre x e y na expressão y = (2x+3)/(3x–5) → x = (2y+3)/(3y–5), logo:
x = (2y+3)/(3y–5)
x*(3y–5) = 2y + 3
3yx – 5x = 2y + 3
3yx – 2y = 5x + 3
y(3x – 2) = 5x + 3
y = (5x+3)/(3x–2), para x ≠ 2/3.
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Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função
Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função
Marcos Noé
Função
Os elementos do conjunto A serão relacionados com os elementos do conjunto B através de uma lei de formação. Observe:
O conjunto A é formado pelos elementos {–1, 0, 2, 3, 4} e o conjunto B pelos elementos {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}. Observe que os elementos do conjunto A se relacionam com os elementos de B segundo a função de A → B (função de A em B) pela lei de formação f(x) = 2x + 1. Observe:
f(–1) = 2 * (–1) + 1 = –2 + 1 = –1
f(0) = 2 * 0 + 1 = 0 + 1 = 1
f(2) = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5
f(3) = 2 * 3 + 1 = 6 + 1 = 7
f(4) = 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9
Nessa relação, temos que o domínio é dado pelo conjunto A, o contradomínio representado pelo conjunto B e a imagem pelos elementos de B que possuem relação com os elementos do conjunto A.
Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4}
Contradomínio: {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}
Imagem: {–1, 1, 5, 7, 9}
Na seguinte situação, relacionaremos o conjunto A com o conjunto B, obedecendo a uma nova lei de formação, dada por f(x) = x² – 2. Observe os cálculos que determinarão o conjunto imagem dos elementos de A.
f(–1) = (–1)² – 2 = 1 – 2 = –1
f(0) = 0² – 2 = 0 – 2 = –2
f(2) = 2² – 2 = 4 – 2 = 2
f(3) = 3² – 2 = 9 – 2 = 7
f(4) = 4² – 2 = 16 – 2 = 14
Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4}
Contradomínio: {–2, –1, 2, 7, 14}
Imagem: {–2, –1, 2, 7, 14}
Em algumas situações o contradomínio e a imagem são iguais, isto é, possuem os mesmos elementos.
Na seguinte relação, a lei de formação será dada por f(x) = x³, o conjunto A será formado pelos elementos {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Vamos determinar o conjunto B imagem desse domínio representado pelo conjunto A.
f(–2) = (–2)³ = –8
f(–1) = (–1)³ = –1
f(0) = 0³ = 0
f(1) = 1³ = 1
f(2) = 2³ = 8
f(3) = 3³ = 27
Contradomínio: {–2, –1, 2, 7, 14}
Imagem: {–2, –1, 2, 7, 14}
Em algumas situações o contradomínio e a imagem são iguais, isto é, possuem os mesmos elementos.
Na seguinte relação, a lei de formação será dada por f(x) = x³, o conjunto A será formado pelos elementos {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Vamos determinar o conjunto B imagem desse domínio representado pelo conjunto A.
f(–2) = (–2)³ = –8
f(–1) = (–1)³ = –1
f(0) = 0³ = 0
f(1) = 1³ = 1
f(2) = 2³ = 8
f(3) = 3³ = 27
Domínio: {–2, –1, 0, 1, 2, 3}
Contradomínio: {–8, –1, 0, 1, 8, 27}
Imagem: {–8, –1, 0, 1, 8, 27}
Contradomínio: {–8, –1, 0, 1, 8, 27}
Imagem: {–8, –1, 0, 1, 8, 27}
Tegumento - Exercícios resolvidos
Tegumento - Exercícios resolvidos
01. (FUVEST) O gráfico abaixo representa duas curvas que indicam o que acontece com o metabolismo de animais: uma para animais que mantêm constante temperatura do corpo e outra para animais cuja temperatura do corpo é igual à do ambiente.
Que animais têm curva do tipo Y?
a) camundongo, canário e rã;
b) caranguejo, lula e pescada;
c) elefante, baleia e avestruz;
d) gaivota, pescada e jacaré;
e) baleia, tubarão e pescada.
Resposta: B
02. Como são classificados, em relação à temperatura corporal, os animais desenhados abaixo?
ResoLUÇÃO: A e C são homeotermos; B e D são pecilotermos.
03. Analise o desenho abaixo e assinale a alternativa FALSA:
a) a epiderme é avascular, possui tecido epitelial pavimentoso e origina-se do ectoderma do embrião;
b) a glândula sudorípara ocorre nas aves e nos mamíferos e está relacionada à homeotermia;
c) a derme possui tecido conjuntivo fibroso, rico em material intercelular, colágeno e elastina;
d) a hipoderme possui tecido conjuntivo adiposo e origina-se do mesoderma do embrião;
e) a derma é vascular, possui terminações nervosas e origina-se do mesoderma do embrião.
Resposta: B
04. (UNICAMP) Em relação ao peixe-boi, o padre Fernão Cardim escreveu, por volta de 1625 “...este peixe é nestas partes real, estimado sobre todos os demais peixes... tem carne toda de fibras, como a da vaca... e também tem toucinho... sua cabeça é toda de boi com couro e cabelos... olhos e língua...” No trecho citado, identifique a única palavra que permite reconhecer, sem dúvida, o peixe-boi como sendo um mamífero.
ResoLUÇÃO: Cabelos.
05. (CESGRANRIO) A queratinização das células do tegumento nos vertebrados tem por função:
a) originar, por invaginações da epiderme, os diferentes tipos de glândulas que lubrificam o organismo;
b) proteger as células vivas subjacentes da epiderme contra a ação de agentes externos;
c) estabelecer uma zona de recepção sensorial, controle e regulação dos estímulos internos do corpo;
d) formar a derme, cuja missão principal é dar firmeza e flexibilidade à epiderme;
e) produzir depósitos de substâncias calcáreas, como os ossos chatos do crânio de muitos vertebrados e
as escamas dos peixes teleósteos.
Resposta: B
06. (FUVEST) Cite três mecanismos que permitem a manutenção de temperatura relativamente constante nos animais homeotermos em repouso.
ResoLUÇÃO: No frio: aumento do metabolismo, vasoconstrição periférica, diminuição da transpiração.
No calor: diminuição do metabolismo, vasodilatação periférica, aumento da transpiração.
07. Considere os quatro mecanismos seguintes, relacionados com a regulação da temperatura do corpo dos mamíferos:
I. dilatação dos vasos sangüíneos superficiais;
II. eriçamento dos pêlos;
III. aumento da secreção de suor;
IV. tremor do corpo.
Em um mamífero que esteja em um ambiente frio e úmido ocorrerão apenas:
a) I e II
b) I e III
c) I e IV
d) II e III
e) II e IV
Resposta: E
08. O que são melanócitos?
ReSoLUÇÃO: Células tegumentares portadoras do pigmento denominado melanina. No homem essas células localizam-se
nas camadas mais profundas da epiderme.
09. O que é homocromia?
ResoLUÇÃO: Capacidade do ser vivo imitar a coloração ambiental, facilitando o ataque e a defesa. Ex.: camaleão.
10. No homem, a função principal da sudorese é:
a) nutrir as células epidérmicas desprovidas de irrigação sangüínea;
b) dissolver e remover o produto das glândulas sebáceas que se acumula sobre a pele;
c) acelerar a perda de calor, provocando, pela evaporação, um abaixamento da temperatura na superfície da
pele;
d) eliminar o excesso de água do tecido celular subcutâneo, sem a perda de substâncias que normalmente
seriam eliminadas pelos rins;
e) evitar a morte das células superficiais da epiderme por dessecação.
Resposta: C
www.colaweb.com
01. (FUVEST) O gráfico abaixo representa duas curvas que indicam o que acontece com o metabolismo de animais: uma para animais que mantêm constante temperatura do corpo e outra para animais cuja temperatura do corpo é igual à do ambiente.
Que animais têm curva do tipo Y?
a) camundongo, canário e rã;
b) caranguejo, lula e pescada;
c) elefante, baleia e avestruz;
d) gaivota, pescada e jacaré;
e) baleia, tubarão e pescada.
Resposta: B
02. Como são classificados, em relação à temperatura corporal, os animais desenhados abaixo?
ResoLUÇÃO: A e C são homeotermos; B e D são pecilotermos.
03. Analise o desenho abaixo e assinale a alternativa FALSA:
a) a epiderme é avascular, possui tecido epitelial pavimentoso e origina-se do ectoderma do embrião;
b) a glândula sudorípara ocorre nas aves e nos mamíferos e está relacionada à homeotermia;
c) a derme possui tecido conjuntivo fibroso, rico em material intercelular, colágeno e elastina;
d) a hipoderme possui tecido conjuntivo adiposo e origina-se do mesoderma do embrião;
e) a derma é vascular, possui terminações nervosas e origina-se do mesoderma do embrião.
Resposta: B
04. (UNICAMP) Em relação ao peixe-boi, o padre Fernão Cardim escreveu, por volta de 1625 “...este peixe é nestas partes real, estimado sobre todos os demais peixes... tem carne toda de fibras, como a da vaca... e também tem toucinho... sua cabeça é toda de boi com couro e cabelos... olhos e língua...” No trecho citado, identifique a única palavra que permite reconhecer, sem dúvida, o peixe-boi como sendo um mamífero.
ResoLUÇÃO: Cabelos.
05. (CESGRANRIO) A queratinização das células do tegumento nos vertebrados tem por função:
a) originar, por invaginações da epiderme, os diferentes tipos de glândulas que lubrificam o organismo;
b) proteger as células vivas subjacentes da epiderme contra a ação de agentes externos;
c) estabelecer uma zona de recepção sensorial, controle e regulação dos estímulos internos do corpo;
d) formar a derme, cuja missão principal é dar firmeza e flexibilidade à epiderme;
e) produzir depósitos de substâncias calcáreas, como os ossos chatos do crânio de muitos vertebrados e
as escamas dos peixes teleósteos.
Resposta: B
06. (FUVEST) Cite três mecanismos que permitem a manutenção de temperatura relativamente constante nos animais homeotermos em repouso.
ResoLUÇÃO: No frio: aumento do metabolismo, vasoconstrição periférica, diminuição da transpiração.
No calor: diminuição do metabolismo, vasodilatação periférica, aumento da transpiração.
07. Considere os quatro mecanismos seguintes, relacionados com a regulação da temperatura do corpo dos mamíferos:
I. dilatação dos vasos sangüíneos superficiais;
II. eriçamento dos pêlos;
III. aumento da secreção de suor;
IV. tremor do corpo.
Em um mamífero que esteja em um ambiente frio e úmido ocorrerão apenas:
a) I e II
b) I e III
c) I e IV
d) II e III
e) II e IV
Resposta: E
08. O que são melanócitos?
ReSoLUÇÃO: Células tegumentares portadoras do pigmento denominado melanina. No homem essas células localizam-se
nas camadas mais profundas da epiderme.
09. O que é homocromia?
ResoLUÇÃO: Capacidade do ser vivo imitar a coloração ambiental, facilitando o ataque e a defesa. Ex.: camaleão.
10. No homem, a função principal da sudorese é:
a) nutrir as células epidérmicas desprovidas de irrigação sangüínea;
b) dissolver e remover o produto das glândulas sebáceas que se acumula sobre a pele;
c) acelerar a perda de calor, provocando, pela evaporação, um abaixamento da temperatura na superfície da
pele;
d) eliminar o excesso de água do tecido celular subcutâneo, sem a perda de substâncias que normalmente
seriam eliminadas pelos rins;
e) evitar a morte das células superficiais da epiderme por dessecação.
Resposta: C
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Volume do cone
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Cones
Considere um cone circular reto de altura h e raio r como mostra a figura.
Como a base do cone é uma circunferência de raio r, temos que:
Assim, a fórmula para o cálculo do volume do cone pode ser reescrita da seguinte forma:
Onde,
r → é a medida do raio da base
h → é a altura do cone
V → é o volume do cone
Observe que para obter o volume do cone não é necessário conhecer a medida da geratriz e a fórmula é semelhante à da pirâmide.
Vejamos alguns exemplos de aplicação da fórmula.
Exemplo 1. Calcule o volume de um cone circular reto de 13 cm de altura e raio da base medindo 6 cm. (Use π = 3,14)
Solução: Pelo enunciado do problema, temos que:
r = 6 cm
h = 13 cm
V = ?
Utilizando a fórmula do volume, obtemos:
Portanto, o cone apresenta um volume de 489,84 cm3.
Exemplo 2. Um reservatório de água possui a forma de um cone de revolução com 8 metros de profundidade. Sabendo que o diâmetro da base mede 4 metros, determine a capacidade, em litros, desse reservatório. (Use π = 3,14)
Solução:
Segundo o enunciado do problema, temos que:
h = 8 m (profundidade)
r = d/2 = 4/2 = 2 m
Determinar a capacidade é o mesmo que calcular o volume do reservatório. Assim, utilizando a fórmula do volume do cone, obtemos:
Como o problema deseja saber a capacidade do reservatório em litros, devemos lembrar da seguinte relação:
1 m3 = 1000 litros
Assim, a capacidade do reservatório será:
V = 33,49 ×1000 = 33490 litros
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