Função inversa

O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f ^–1 da seguinte maneira: (x,y) Є f ^–1 (y,x) Є f.


Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo:

Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)}

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa.

A sua função inversa será indicada por f ^–1: B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f ^–1(x) = x – 5.
Veja o diagrama abaixo:

Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)}

O que é domínio na função f vira imagem na f ^–1(x)e vice e versa.



Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Observe:

Exemplo 1

Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f ^–1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo:

x = 3y – 5
–3y = –x –5 (multiplicar por –1)
3y = x + 5
y = (x + 5)/3

Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3.



Exemplo 2

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo:

x = y²
√x = √y²
√x = y
y = √x

A função f(x) = x² terá inversa f ^–1(x) = √x


Exemplo 3

Determine a inversa da função f(x) = (2x+3)/(3x–5), para x ≠ 5/3.

Realizando a troca entre x e y na expressão y = (2x+3)/(3x–5) → x = (2y+3)/(3y–5), logo:

x = (2y+3)/(3y–5)
x*(3y–5) = 2y + 3
3yx – 5x = 2y + 3
3yx – 2y = 5x + 3
y(3x – 2) = 5x + 3
y = (5x+3)/(3x–2), para x ≠ 2/3.
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