Cubo da soma e cubo da diferença

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

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Cubo da soma e cubo da diferença

Por Marcelo Rigonatto

Calculo de produtos notáveis

Os produtos notáveis são estruturas algébricas que apresentam características comuns ao serem desenvolvidas. Essas estruturas apresentam muita utilidade no campo da álgebra, principalmente na simplificação de expressões algébricas. É importante conhecê-las e saber utilizá-las nas diversas situações em que haja necessidade de simplificar uma sentença matemática. O cubo da soma e da diferença de dois termos são dois dos produtos notáveis. Vamos observar como eles são obtidos.

Cubo da soma
Sejam a e b números reais diferentes de zero. Temos que:

(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + 2a²b +ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Observe que utilizamos o quadrado da soma, que é outro produto notável, para obter o cubo da soma. De uma forma geral, o cubo da soma pode ser obtido da seguinte maneira:

Cubo da diferença
O cubo da diferença é feito de maneira análoga ao cubo da soma. Observe:

(a – b)³ = (a – b)²(a – b) = (a² – 2ab + b²)(a – b) = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

De uma forma geral, temos:

Vejamos alguns exemplos para melhor esclarecimento.

Exemplo 1. Desenvolva os seguintes produtos notáveis.

Solução:

Procedendo como foi explicado antes do exemplo e tendo o cuidado ao realizar as potências e a multiplicações, não há como errar. O procedimento é sempre o mesmo para o cubo da soma e para o cubo da diferença, diferindo somente o sinal do segundo membro e do último.

Exemplo 2. Simplifique a expressão abaixo.



Solução: Observe que no numerador e no denominador da fração aparecem dois produtos notáveis. No numerador há um cubo da soma de dois termos que foi desenvolvido e no denominador, um quadrado da soma de dois termos. Assim, podemos reescrevê-los da seguinte forma:


Logo, a expressão pode ser escrita como:

Para chegar ao resultado utilizamos a propriedade da divisão de potências de bases iguais (conserva a base e subtrai os expoentes).

Exemplo 3. Desenvolva o seguinte produto notável