Condição de alinhamento de três pontos

A geometria analítica utiliza meios algébricos para compreender e estudar as propriedades das figuras e entes geométricos. Utilizando equações e expressões é possível descrever o comportamento e as características de formas geométricas planas e espaciais. Vamos utilizar os conceitos dessa geometria a fim de determinar a condição para que três pontos distintos do plano estejam alinhados.

Considere A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C) como sendo três pontos quaisquer e distintos do plano cartesiano.
Esses pontos estão alinhados se, e somente se:

Ou seja, três pontos do plano estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero.
Vejamos alguns exemplos para melhor entendimento.

Exemplo 1. Verifique se os pontos A(1, 5), B(6, 0) e C(4, 3) estão alinhados.

Solução: Devemos calcular o determinante das coordenadas dos três pontos e verificar se é igual a zero para que os pontos estejam alinhados.

Como o cálculo do determinante resultou em um número diferente de zero, concluímos que os pontos não estão alinhados.

Exemplo 2. Verifique se os pontos X(2, 3), Y(8, 9) e Z( – 2, – 1) estão alinhados.

Solução: Vamos realizar o cálculo do determinante e verificar se resulta em zero.

Como o determinante das coordenadas dos pontos resultou em zero, podemos afirmar que os pontos X, Y e Z estão alinhados.
Exemplo 3. Determine o valor de c para que os pontos D(5, c), E(3, 7) e F(4, 9) estejam alinhados.

Solução: Para que os pontos D, E e F estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deve ser igual a zero. Assim, temos que:

Como vimos, para os três pontos estarem alinhados o determinante deve ser igual a zero. Logo, teremos:
c – 11 = 0
c = 11.

Exemplo 4. Qual deve ser o valor de x para que os pontos A(x² – 3, 0), B(5, 1) e C(4, 2) estejam alinhados?

Solução: Para que os pontos estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deverá ser igual a zero. Assim, temos que:

Como o determinante deve ser igual a zero, teremos:
-x² + 9 = 0
-x² = -9
x² = 9
x = ±3
Marcelo Rigonatto