Binômio de Newton

O binômio de Newton é uma maneira de expressar o desenvolvimento de um binômio na forma (a + b)ⁿ, com "n" natural.

(a + b)⁰ = 1
(a + b)¹ = a + b
(a + b)² = a² + 2 . a . b + b²
(a + b)³ = a³ + 3 . a² . b + 3 . a . b² + b³
(a + b)⁴ = a⁴ + 4 . a³ . b + 6 . a . b² + 4 . a . b³ + b⁴ 

A fórmula para o desenvolvimento é dada por:
(a + b)ⁿ =   . a^n–p . b^p

O número de termos do desenvolvimento é n + 1.

Os coeficientes obtidos pelos números  = C_n,p são chamados de números binomiais.
Os números binomiais podem também ser obtidos pelo triangulo de Pascal.

O triângulo de Pascal

1
1           1
1           2            1
1           3            3            1
1           4            6            4            1
1           5           10          10           5            1
1           6           15          20          15           6            1
1           7           21          35          35          21           7           1
1           8           28          56          70          56          28          8          1
1           9           36          84         126         126         84         36          9         1
1          10          45         120         210        252         210       120       45       10         1
.
.
.
C_n,0          C_n,1         C_n,2         C_n,3         .      .       .        C_n,n–3         C_n,n–2         C_n,n–1         C_n,n 

Cada linha é criada pela soma do elemento que está na posição acima do que se quer escrever mais o elemento anterior a ele.

Assim, por exemplo, na linha do expoente n = 4 ( considerando que a 1ª linha é a do expoente zero ), tem-se que:
para a 2ª coluna: acima dela tem o número 3 e o anterior é 1, somando-se 3 + 1 = 4;
para a 3ª coluna: acima dela tem o número 3 e o anterior é 3, somando-se 3 + 3 = 6;
para a 4ª coluna: acima dela tem o número 1 e o anterior é 3, somando-se 1 + 3 = 4;
para a 5ª coluna: acima dela não há número e o anterior é 1, somando-se dá 1.

Assim, a linha do expoente n = 4 fica:
1; 4; 6; 4; 1 ( total 5 coeficientes binomiais, pois vem de n + 1 )

Exemplo:
No desenvolvimento de (x + 1)⁶ tem-se que:
os números binomias são 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
(x + 1)⁶ = 1 . x⁶ . 1⁰ + 6 . x⁵ . 1¹ + 15 . x⁴ . 1² + 20 . x³ . 1³ + 15 . x² . 1 ⁴ + 6 . x¹ . 1⁵ + 1 . x⁰ . 1⁶
(x + 1)⁶ = x⁶ + 6 . x⁵ + 15 . x⁴ + 20 . x³ + 15 . x² + 6 . x + 1

Termo geral

As vezes deseja-se obter apenas um elemento do desenvolvimento, assim para se encontrar tal termo usa-se o termo geral.
T_p+1 = C_n,p . a^n–p . b^p

Exemplo:
para se obter, por exemplo, o 4° termo do desenvolvimento (2x + 3)⁷.

Neste caso, para que se tenha T₄ ( quarto termo ) deve-se ter p = 3, e daí:
T_{3 + 1} =  . (2x)^7–3 . 3³
T₄ = (7 . 6 . 5) / 3! . (2x)⁴ . 27
T₄ = 35 . 2⁴ . x⁴ . 27
T₄ = 35 . 16 . 27 . x⁴
T₄ = 15120 x⁴ 

Soma dos coeficientes

A soma de todos os coeficientes numéricos do desenvolvimento de um binômio de Newton é feita apenas elevando os coeficientes que estão nos termos do binômio pelo expoente n.

Exemplo:
A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)⁵ é dada por:
(2 + 3)⁵ = 5⁵ = 3125.

Logo, a soma dos coeficientes de (x + y)ⁿ é dada por:
(1 + 1)ⁿ = 2ⁿ.

Exercícios Resolvidos

R01 — Determine a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (5x – 7)⁸.

A soma dos coeficientes é dada por:
(5 – 7)⁸ = (– 2)⁸ = 256.

R02 — O último termo do desenvolvimento do binômio (1 – x)ⁿ⁺¹ é o 11º. Obtenha o 4º termo.

Se o último é o 11ª então há n + 1 = 10, assim n = 9.
O 4ª termo é dado por:
T₃₊₁ = C_9,3 . 1⁶ . (– x)³
T₄ = 84 . 1 . (– x³) = – 84 x³.

R03 — Qual o termo médio do desenvolvimento de (x + 2)⁶?

Como está elevado a 6 então há 7 termos, e o central é o 4ª termo.
T₃₊₁ = C_6,3 . x³ . 2³
T₄ = 20 . x³ . 8
T₄ = 160 x³

R04 — Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x)¹⁰.

Para o termo ser independente de x, o expoente de x tem que ser zero, assim:
Em C_n,p . x^n–p . (1/x)^p tem-se:
C_10,p . x^10–p . (x)^–p e daí, 10 – p – p = 0
10 – 2p = 0, ou seja, p = 5.
C_10,3 = 10 . 9 . 8 / 3! = 120.

R05 — O terceiro termo de um desenvolvimento de um binômio é C_n,2 . x^n–2. Qual o valor de "n" se o coeficiente binomial desse termo é 30?

Neste caso tem-se que C_n,2 = 35, logo:
n . (n – 1) = 30
n² – n – 30 = 0
 = (– 1)² – 4 . 1 . (– 30) = 1 + 120 = 121 n' = (1 + 11) / 2 = 6        e        n'' = (1 – 11) / 2 = – 5 ( está descartado, pois n tem que ser um número natural )
Logo, n = 6.

Exercícios Propostos

P01 — Qual é o termo que tem x⁵ no desenvolvimento de (x + 3)⁸?

P02 — Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x – 3y)⁵.

P03 — No desenvolvimento de (3x + 13)ⁿ há 13 termos. Qual a soma dos coeficientes destes termos?

P04 — Determine o 6º termo do binômio (2x + 1)⁸, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.

P05 — (UFBA) Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)^m é igual a 256, calcule (m/2)!

P06 — (MACK-SP) Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x² + 1/(2x))ⁿ estão em progressão aritmética. O valor de n é:
a) 4                  b) 6                  c) 8                  d) 10                  e) 12

P07 — (FGV-SP) Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x – 1/x)]⁶, obtém-se como termo independente de x o valor:
a) 10                  b) – 10                  c) 20                  d) – 20                  e) 36

P08 — (UFBA) Calcule o termo independente de "x" no desenvolvimento de (x² + 1/x)⁹.

P09 — (UFPI) Se "a" e "b" são números reais tais que (a + b)¹⁰ = 1024 e se o 6º termo do desenvolvimento binomial é 252, então:
a) a = 1/2 e b = 3/2           b) a = 3 e b = – 1           c) a = 2/3 e b = 4/3           d) a = 1/2 e b = 5/3           e) a = 1 e b = 1

P10 — Qual o termo independente de "x" no desenvolvimento de (x/2 + 1/x)⁶?

fonte:hpdemat.apphb.com