Função do 2º grau

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax² + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.

Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.

Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.

Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:

f(x) = 5x² – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)

f(x) = x² – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)

f(x) = – x²; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.

Exemplo 1

A função do 2º grau f(x) = – x² + x – 2, pode ser representada por y = – x² + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:

x = – 3
y = – (–3)² + (–3) – 2
y = –9 – 3 – 2
y = – 12 – 2
y = – 14

x = – 2
y = –( – 2)² + (– 2) – 2
y = – 4 – 2 – 2
y = – 8

x = –1
y = – (–1)² + (–1) – 2
y = – 1 – 1 – 2
y = – 2 – 2
y = – 4

x = 0
y = 0² + 0 – 2
y = – 2

x = 1
y = – 1² + 1 – 2
y = – 1 + 1 – 2
y = – 2


x = 2
y = – 2² + 2 – 2
y = – 4 + 2 – 2
y = – 4

Exemplo 2

Dada a função y = 2x² + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.

x = –2
y = 2*(–2)² + (–2) + 3
y = 2*4 – 2 + 3
y = 8 – 2 + 3
y = 9

x = –1
y = 2*(–1)² + (–1) + 3
y = 2 – 1 + 3
y = 4

x = 0
y = 2*0² + 0 + 3
y = 3

x = 1
y = 2*1² + 1 + 3
y = 2 + 1 + 3
y = 6

x = 2
y = 2*2² + 2 + 3
y = 8 + 2 + 3
y = 13

x = 3
y = 2*3² + 3 + 3
y = 18 + 3 + 3
y = 24

x = 4
y = 2*4² + 4 + 3
y = 32 + 4 + 3
y = 39

Exemplo 3

Com relação à função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.

f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9 pode ser escrita assim: y = 3x² – 5x + m² – 9, agora basta fazer as substituições:

f(x) = 3x² – 5x + m² – 9
f(0) = 3 * 0² – 5 * 0 + m² – 9
0 = m² – 9
m² = 9
m = √9
m = – 3 ou + 3

Marcos Noé Pedro da Silva

Análise Sintática do Período Simples

Frase é todo enunciado (palavra ou conjunto de palavras) que apresente sentido complexo.
Ex.: Até logo! Psiu! Espero que todos aprendam.

Oração é a frase ou fragmento de frase que contém um verbo ou expressão verbal.
Ex.:
Estamos muito bem. Quero [Oração] / que todos participem [Oração].
Ele não tem trabalhado ultimamente.

Período é o conjunto formado por uma (período simples) ou várias orações (período composto). Ex.: Estamos muito bem. (Período simples / oração absoluta). Quero que todos aprendam. (Período composto).

Os termos oracionais estão classificados em:

- Essenciais
- Integrantes
- Acessórios
- Independente

Predicado

Predicado é o termo essencial da oração que constitui a parte da enunciação referente ao sujeito. É a parte da oração que contém os verbos referentes ao sujeito. Os predicados podem se apresentar como: predicados nominais (têm um nome como núcleo de significação), predicados verbais (têm um verbo como núcleo central de significação) e predicados verbo-nominais (composto por verbos e nomes como núcleos significativos).

Predicado Nominal

Predicado nominal é o predicado que apresenta um nome como núcleo significativo. Os predicados nominais são formados com a presença de um verbo de ligação mais um predicativo.

Exemplos:
Ele está só, Os dias permanecem os mesmos;
Ficamos muito bem por aqui;
Isto parece uma grande mentira.

Predicado Verbal

Predicado verbal é o predicado que apresenta um verbo como núcleo significativo. Os predicados verbais são formados com a presença de verbos transitivos e intransitivos.

Exemplos:
O escritor criou seu universo fictício;
João deu asas à imaginação;
Assim que o trem parou, os passageiros desceram.

Predicado Verbo-Nominal

Predicado verbo-nominal é o predicado que apresenta um verbo e um predicativo como núcleos de significação.

Exemplos:
Magda abriu o pacote, surpresa;
E então, o rapaz perguntou ao mestre, aflito.

Predicativo do Objeto

Predicativo do objeto é um agente modificador do objeto. Esse predicativo ocorre apenas nos predicados verbo-nominais.

Exemplos: Os incidentes constantes o tornaram insensível;
Encontraram a criança fatigada e triste.

Determinante de matriz de ordem 1, 2 ou 3

Podemos calcular o determinante de qualquer matriz desde que essa seja quadrada, ou seja, que a matriz tenha o mesmo número de linhas e de colunas (seja uma matriz de ordem n x n).

Podemos dizer que determinante de uma matriz quadrada é o seu valor numérico.

Os elementos de uma matriz podem ser colocados entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas e os elementos dos determinantes são colocados entre duas barras.

Matriz de ordem 1

Quando uma matriz possui apenas um elemento ou possui apenas uma linha e uma coluna, dizemos que essa matriz é de ordem 1. Veja alguns exemplos:

Se A = [10], então o seu determinante será representado assim: det A = |10| = 10

Se B = (-25), então o seu determinante será representado assim: det B = |-25| = -25

Podemos concluir que o determinante de ordem 1 terá o seu valor numérico sempre igual ao seu elemento.
Matriz de ordem 2
Dada a matriz A de ordem dois A = , o seu determinante será calculado da seguinte forma:

O determinante de ordem dois possui uma diagonal principal e uma diagonal secundária.



O cálculo do seu valor numérico é feito pela diferença do produto da diagonal principal com o produto da diagonal secundária.

det A = = - 3 – (- 10) = - 3 + 10 = 7

Matriz de ordem 3

Dada a matriz de ordem 3, B = o valor numérico do seu determinante é calculado da seguinte forma:

Primeiro representamos essa matriz em forma de determinante e repetimos as duas primeiras colunas.

det B =

Depois calculamos os produtos das diagonais principais e os produtos das diagonais secundárias.

det B =

Deve-se pegar o oposto dos produtos das diagonais secundárias e somar com os produtos das diagonais principais.

Det B = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59

Essa regra utilizada no cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é chamada de Regra de Sarrus.
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Binômio de Newton

Atribuímos o desenvolvimento da expressão (a + b)n ao grande físico e matemático Isaac Newton, no intuito de calcular os polinômios decorrentes da expressão, quando n > 3.
Newton elaborou a fórmula do termo geral que pode ser aplicada para tais situações, pois ela possui uma lei de formação de fácil compreensão e desenvolvimento.
Termo geral:

Importante: Na expressão do termo geral, temos que o expoente de a será a diferença entre o numerador e o denominador do coeficiente binomial e o expoente de b será o denominador do coeficiente binomial.

Desenvolvimento da expressão (a + b)n

Exemplo 1: determine o polinômio correspondente ao desenvolvimento da expressão
(2x + 3)4.


(2x + 3)4 = (2x)4 * 1 + (2x)³ * 3 + (2x)² * 9 + (2x)¹*27 + (2x)0 * 81

(2x + 3)4 = 16x4 + 24x³ + 36x² + 54x + 81

Também podemos resolver pelo método da distribuição. Observe:

(2x + 3)4 = (2x + 3) * (2x + 3) * (2x + 3) * (2x + 3) = 16x4 + 24x³ + 36x² + 54x + 81

Porém, para situações nas quais o expoente indicado apresenta valores mais elevados, é aconselhado utilizar o binômio de Newton no desenvolvimento da expressão.

Para desenvolvermos uma expressão do tipo (2x – 3)4 , devemos alternar os sinais, iniciando com o sinal de positivo. A expressão (2x – 3)4 ficaria da seguinte forma:

(2x + 3)4 = 16x4 - 24x³ + 36x² - 54x + 81


Exemplo 2: determine o desenvolvimento da expressão (x – 2y)5.

(x – 2y)5 = x5*1 + x4*(–2y) + x³*(4y) + x² * (–8y) + x*(16y) + 1*(–32y)

(x – 2y)5 = x5 – 2x4y + 4x³y – 8x²y + 16xy – 32y
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Cloroplasto

Cloroplastos em células vegetais.

Os cloroplastos, uma classe de cromoplastos (plastídeos), são organelas que contém pigmentação de clorofila, sendo responsáveis pelo fenômeno biológico da fotossíntese, estando presentes exclusivamente no citoplasma de células de planta e de algas.

Sua estrutura possui característica semelhante à de uma mitocôndria: apresenta dupla membrana, DNA próprio, forma esférica ou ovóide, tamanho e quantidade variando conforme o tipo celular e origem endossimbionte, porém, são bem maiores que as mitocôndrias.

Segundo a teoria endosimbionte, os cloroplastos teriam surgidos a partir de uma cianobactéria ancestral engolfada pela célula eucariótica.

Existem células com apenas um cloroplasto, contudo, a maioria contém aproximadamente de 50 a 150 cloroplastos, que por inércia se deslocam em decorrência da intensidade luminosa incidente (ciclose).

Normalmente, cada uma dessas organelas possui a seguinte composição básica: proteínas, lipídeos, clorofila, água e carotenóides. Grande concentração das proteínas necessárias a um cloroplasto é sintetizada pelo núcleo da célula, migrando para o interior de sua matriz, denominada estroma. Já a produção dos lipídeos, fica a cargo de seu próprio metabolismo.

Mergulhado no estroma, existe um sistema de membrana que forma um conjunto de sacos achatados em forma de discos chamados de membrana tilacóide (do grego thylakos = saco). Ao conjunto de discos empilhados dá-se o nome de granum.

3º caso de fatoração: Trinômio do quadrado perfeito

A terceira maneira de fatorar expressões algébricas é utilizando a regra do trinômio do quadrado perfeito. Para que possa fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito.

Então, para compreender melhor esse tipo de fatoração vamos recapitular o que é um trinômio e quando um trinômio pode ser um quadrado perfeito.

Trinômio

Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio, ela deverá conter exatamente 3 monômios, veja alguns exemplos de trinômios:

x³ + 2x² + 2x

- 2x⁵ + 5y – 5

ac + c – b

É importante ressaltar que nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É preciso verificar se um trinômio pode ser escrito na forma de um quadrado perfeito.

Quadrado perfeito

Veja a demonstração do que é um quadrado perfeito:

Um número é um exemplo de quadrado perfeito, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um quadrado perfeito, pois
6² = 36.
Agora, para aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado (todos os lados iguais) a abaixo com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.



Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:

1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado² , então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A1 = (x + y) . (x + y) que é o mesmo que A1 = (x + y)², então podemos dizer que:

O resultado dessa área A1 = (x + y)² é um quadrado perfeito.

2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A2 = x² + xy + xy + y², como xy e xy são semelhantes podemos somá-los

A2 = x² +2xy + y²

O resultado da área A2 = x² +2xy + y² é um trinômio.


As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:

A1 = A2
(x + y)² = x² +2xy + y2

Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.

Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito, a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x² +2xy + y² fatorado fica (x + y)².

Como já foi dito, nem todos os trinômios são quadrados perfeitos, por isso é preciso que saibamos identificar se um trinômio é quadrado perfeito ou não. Veja como é feita essa identificação:

Quando um trinômio é quadrado perfeito

O quadrado perfeito (x + y)² é composto por dois fatores (x e y) , a resolução dele é um trinômio x² +2xy + y², o primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo e o segundo monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo.

Esse trinômio do quadrado perfeito é considerado uma forma geral seguida para qualquer quadrado perfeito.

Portanto, para que um trinômio seja quadrado perfeito ele tem que seguir esse modelo. Fazendo um resumo podemos dizer que:

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja alguns exemplos:

Veja se o trinômio 9a² – 12ab + 4b² é um quadrado perfeito, para isso siga as regras que foram citadas.



Dois membros do trinômio 9a² – 12ab + 4b² têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio 9a² – 12ab + 4b² é (3a – 2b)², pois é a soma das raízes ao quadrado.

Exemplo:

Dado o trinômio 4x² – 8xy + y², devemos tirar as raízes dos termos 4x² e y² , as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.

Danielle de Miranda