Casos Simples de Fatoração Algébrica
Como já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto em um produto de fatores primos. Assim, tem-se
30 = 2 X 3 X 5 ; 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32
Da mesma forma, podemos decompor algumas expressões algébricas em fatores.
Assim, por exemplo : a2 - b2 = (a+b) (a - b) ; a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ; 12a2b3 - 18ab2 = 6ab2(2ab - 3)
O processo pelo qual transformamos uma adição algébrica em um produto algébrico denominamos fatoração algébrica, ou
simplesmente, fatoração.
No estudo da fatoração são conhecidos vários casos. Vamos estudá-los, classificando-os, para uma melhor compreensão.
Primeiro Caso de Fatoração : Evidenciação
Consideremos o polinômio 6ax2 - 4ax3 + 2ax, que pode ser escrito como :
(2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que o fator 2ax esta presente em todos os termos do polinômio. 2ax é o fator comum e
deverá ser colocado em evidência. Assim :
6ax2 - 4ax3 + 2ax = (2ax) (3x - 2x2 + 1)
Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m2p4 - 14m3p2 + 21m4p3
Colocando o fator comum 7m2p2 em evidência, teremos :
7m2p4 - 14m3p2 + 21m4p3 = 7m2p2 ( p2 - 2m + 3m2p)
Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m3(a - b) + 8m2( a - b)
Colocando o fator comum 2m2(a - b) em evidência, teremos :
2m3(a - b) + 8m2( a - b ) = [2m2(a - b)] ( m + 4) = 2m2(a - b)( m + 4)
Segundo Caso de Fatoração : Trinômio Quadrado Perfeito
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a2 ± 2ab + b2 em sua forma fatorada (a ± b)2.
E para tal precisamos compreender que um trinômio será quadrado perfeito quando possuir dois de seus três termos quadrados e o
terceiro sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos quadrados.
Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m2 + 12mn2 + 9n4
O polinômio possui dois termos quadrados 4m2 e 9n4, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 2m e 3n2. O dobro do
produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 12mn2.
E dessa forma o polinômio 4m2 + 12mn2 + 9n4 é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a raiz do segundo termo quadrado é 3n2 e o sinal que os une será o sinal do
terceiro termo + 12mn2. Dessa forma, teremos :
4m2 + 12mn2 + 9n4 = ( 2m + 3n2)2
Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x4 + 36x2y3 + 25y6
O polinômio possui dois termos quadrados 16x4 e 25y6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 4x2 e 5y3. O dobro do produto
entre essas raízes é igual a 40x2y3 que é diferente do terceiro termo 36x2y3.
E dessa forma o polinômio 16x4 + 36x2y3 + 25y6 não é um trinômio quadrado perfeito e não pode, portanto, ser fatorado, pelo menos
como um trinômio quadrado perfeito.
Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n
O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p12n, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 6 e 116n. O dobro do produto
entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p6n.
E dessa forma o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto, ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a raiz do segundo termo quadrado é 11p6n e o sinal que os une será o sinal do terceiro
termo - 132p6n, Dessa forma, teremos :
36 - 132p6n + 121p12n = ( 6 - 11p6n)2
Terceiro Caso de Fatoração : Diferença de Dois Quadrados
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b) (a - b) = a2 - b2
O que faremos agora é transformarmos a diferença algébrica a2 - b2 em sua forma fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos extrair
as raízes quadradas de ambos os termos e montarmos com essas raízes a sua soma multiplicada por sua diferença.
Exemplo 06) Fatore o binômio 64x2 - 25y8
O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x2 e 25y8, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 8x e 5y4.
Montando a soma (8x + 5y4) e a diferença (8x - 5y4) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim :
64x2 - 25y8 = (8x + 5y4) (8x - 5y4)
Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k6
O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e 0,49k6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 9 e 0,7k3.
Montando a soma (9 + 0,7k3) e a diferença (9 - 0,7k3) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim :
81 - 0,49k6 = (9 + 0,7k3) (9 - 0,7k3)
Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24.
Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados utilizando a fatoração, que acabamos de aprender:
49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5 ) = 12 x 2 = 24 ( deu, é claro, o mesmo resultado )
Quarto Caso de Fatoração : Trinômio de Stevin
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b) (a + c) = a2 + (b + c)a + bc, que podemos escrever como : a2 + Sa + P, onde S é a soma dos termos não comuns e P o seu
produto.
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a2 + Sa + P em sua forma fatorada (a + b) (a + c).
E para tal precisamos extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrirmos dois número cuja soma seja S e cujo produto seja P. e
verificarmos se a soma aparece multiplica pela raiz quadrada do termo comum.
Só com alguns exemplos poderemos entender melhor esse tipo de fatoração. Vamos a eles.
Exemplo 08) Fatore o trinômio k2 + 8k + 15
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k2, teremos k. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a 8 e
multiplicados sejam iguais a 15. Esses números serão 3 e 5, já que: 3 + 5 = 8 e 3 x 5 = 15. Percebemos, também, que a soma 8 aparece
multiplicada pela raiz quadrada k de k2.
Assim : k2 + 8k + 15 = (k + 3) (k + 5)
Exemplo 09) Fatore o trinômio m4 - 6m2 + 8
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado m4, teremos m2. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 6 e
multiplicados sejam iguais a 8. Esses números serão - 2 e - 4 , já que: - 2 + - 4 = - 6 e (- 2) x (- 4) = + 8. Percebemos, também, que a
soma - 6 aparece multiplicada pela raiz quadrada m2 de m4.
Assim : m4 - 6m2 + 8 = (m2 - 2) (m2 - 4)
Exemplo 10) Fatore o trinômio 25y6 + 20y3 - 21
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 25y6, teremos 5y3. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a + 4,
lembremos que a raiz de 9y6, está presente nesse termo, assim, 20y3 : 5y3 = 4 e multiplicados sejam iguais a - 21.
Esses números serão - 3 e + 7 , já que: - 3 + 7 = 4 e (- 3) x (+ 7) = - 21. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4 aparece
multiplicada pela raiz quadrada 5y3 de 25y6.
Assim : 25y6 + 20y3 - 21 = (5y3 + 7) (5y3 - 3)
Exemplo 11) Fatore o trinômio 4p8 - 8p4a - 5a2
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 4p8, teremos 2p4. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 4a,
lembremos que a raiz de 4p8, está presente nesse termo, assim, - 8p4a : 2p4 = 4a e multiplicados sejam iguais a - 5a2.
Esses números serão - 5a e + 1a , já que: - 5a + 1a = 4a e (- 5a) x (+ a) = - 5a2. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4a aparece
multiplicada pela raiz quadrada 2p4 de 4p8.
Assim : 4p8 - 8p4a - 5a2 = (2p4 + a) (2p4 - 5a)
Quinto Caso de Fatoração : Soma de Dois Cubos
Um binômio soma da forma x3 + y3 pode ser fatorado em um produto da forma:
x3 + y3 = (x + y) ( x2 - xy + y2)
A melhor forma para fatorarmos uma soma de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a soma das raízes cúbicas dos
termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro menos o produto entre o primeiro e
o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração.
Exemplo 12) Fatore a soma de dois cubos 8p6 + 125
Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de 8p6 é 2p2 e a raiz cúbica de 125 é 5. Assim já temos o nosso primeiro fator (2p2 + 5)
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 2p2 é 4p4 ; o produto entre 2p2 e 5 é 10p2 e o quadrado do
segundo é 52 = 25. E dessa forma, teremos:
8p6 + 125 = (2p2 + 5) ( 4p4 - 10p2 + 25)
Exemplo 13) Fatore 27x3y9 + 64z6
Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de 27x3y9 é 3xy3 e a raiz cúbica de 64z6 é 4z3.
Assim já temos o nosso primeiro fator (3xy3 + 4z2)
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 3xy3 é 9x2y6 ; o produto entre 3xy3 e 4z2 é 12xy3z2 e o quadrado do
segundo é (4z2)2 = 16z4.
E dessa forma, teremos: 27x3y9 + 64z6 = (3xy3 + 4z2) (9x2y6 - 12xy3z2 + 16z4)
Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois Cubos
Um binômio diferença da forma x3 - y3 pode ser fatorado em um produto da forma:
x3 - y3 = (x - y)( x2 + xy + y2)
A melhor forma para fatorarmos uma diferença de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a diferença das raízes
cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro mais o produto entre o
primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração.
Exemplo 14) Fatore a diferença de dois cubos 216p3 - 125m6
Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de 216p3 é 6p e a raiz cúbica de 125 m6 é 5m2. Assim já temos o nosso primeiro fator (6p - 5m2)
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 6p é 36p2 ; o produto entre 6p e 5m2 é 30pm2 e o quadrado do segundo
é (5m2)2 = 25m4.
E dessa forma, teremos: 216p3 - 125m6 = (6p - 5m2) ( 36p2 + 30pm2 + 25m4)
Sétimo Caso de Fatoração : Agrupamento
Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem um termo comum que evidenciado faz aparecer um termo comum à fatoração
dos demais termos. Só com alguns exemplos podemos compreender melhor esse caso de fatoração.
Por essa razão o deixamos como o último caso de fatoração.
Exemplo 15) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª resolução )
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum b em
evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E colocando o novo fator comum (c + d) em evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d) (a + b)
Exemplo 16) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª resolução )
Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e, também, o segundo e o quarto termo.
ac + ad + bc + bd = ac + bc + ad + bd
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum c em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum d em
evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)
E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b) (c + d)
Exemplo 17) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum - 3b em
evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n).
E colocando o novo fator comum (2m + n) em evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m + n) (a - 3b)
Exemplo 18) Fatore 3a2x - 2b2 + 2a2 - 3b2x
Reagrupando o polinômio, teremos : 3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum 3x em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum 2 em
evidência, teremos :
3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2)
E colocando o novo fator comum (a2 - b2) em evidência, teremos :
3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2)
E como o fator (a2 - b2) é fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente :
3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2)
Com isso, apresentamos os mais importantes casos de fatoração. Alguns exercícios resolvidos e um pouco mais complexos,
nos ajudarão no entendimento desse assunto da Álgebra, que é um dos que mais dificuldades apresenta aos alunos.
Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica
Exemplo 19) Fatore c2 - 2bc - a2 + b2
Reagrupando o polinômio, teremos : b2 - 2bc + c2 - a2 = (b2 - 2bc + c2) - a2
O trinômio b2 - 2bc + c2 pode ser fatorado como : (b - c)2
E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c)2 - a2, e finalmente, teremos :
(b - c)2 - a2 = (b - c + a) (b - c - a)
Exemplo 20) Fatore: 5m8 + 10m4 - 15
Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:
5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3)
O trinômio m8 + 2m4 - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela raiz quadrada m4 de m8.
Dessa forma, teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3) = 5(m4 + 3) (m4 - 1)
E como (m4 - 1) = (m2 + 1) (m2 - 1) , e como (m2 - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m4 + 3)(m2 + 1)(m + 1)(m - 1)
Exemplo 21) Fatore: (x - y)2 + 2(y - x) - 24
Antes de mais nada, lembremos que (x - y)2 = (y - x)2 ( verifique se isso é verdade )
Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x)2 + 2(y - x) - 24
Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então :
(y - x)2 + 2(y - x) - 24 = A2 + 2A - 24
O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece multiplicada pela raiz
quadrada A de A2.
E assim : A2 + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y)2 + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y - x - 4)
Exemplo 22) Fatore x6 - y6
1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos
Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y6 é y2. Assim já temos o nosso primeiro fator x2 - y2
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x2 é x4 ; o produto entre x2 e y2 é x2y2 e o quadrado do
segundo é y2 é y4.
E dessa forma, teremos:
x6 - y6 = (x2 - y2) ( x4 + x2y2 + y4). Como a diferença de quadrados (x2 - y2) ainda pode ser fatorado, teremos :
x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x4 + x2y2 + y4).
Se escrevermos o trinômio ( x4 + x2y2 + y4) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá ser fatorado. Vejamos :
x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2, que é uma diferença de dois quadrados.
Assim : (x2 + y2)2 - x2y2 = ( x2 + y2 + xy) ( x2 + y2 - xy) = ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2). E finalmente :
x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)
2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma diferença de dois quadrados.
A raiz quadrada de x6 é x3 e a raiz quadrada de y6 é y3.
Assim já temos o nosso primeiro fator (x3 + y3) e o segundo fator (x3 - y3).
Assim, teremos : x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) .
Como a soma e a diferença de dois cubos (x3 + y3) e (x3 - y3) ainda podem ser fatorados, teremos :
x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) = (x + y) ( x2 - xy + y2) (x - y) ( x2 + xy + y2) , ou ainda :
x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE
Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar o sinal de identidade
que é uma ampliação do conceito de igualdade.
Vamos entender melhor essa diferenciação:
Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.
Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença verdadeira.
Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade .
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, dizemos que:
