Números reais
O conjunto R
O conjunto de números reais é simbolizado pela letra R. Todo número inteiro ou decimal é considerado real.
Estrutura de R
Propriedades da adição
Associativa: (x + y) + z = x + (y + z)
Comutativa: x + y = y + x
Elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x
Simétrico Aditivo ou aposto: x + (-x) = (-x) + x = 0
Propriedades de multiplicação
Associativa: (x. y) . z = x . (y. z) Comutativa: x . y = y. x
Elemento neutro: x . 1 = 1 . x = x
Simétrico multiplicativo ou inverso: x . x-1 = x-1 . x = 1
Propriedade distributiva da multiplicação em relação á adição
x . (y + z) = xy + xz
Propriedades da Relação de ordem
Reflexiva: x ≤ x
Anti-simétrica: x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y Transitiva: x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z
Tricotomia ou ordem total: x < y ou x = y ou x > y
Compatibilidade com a adição: x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
Compatibilidade com a multiplicação:
z > 0 logo, x ≤ y ⇒ x . z ≤ y . z
z < 0 logo, x ≤ z ⇒ x . z ≥ y . z
Valor absoluto
Considere . Sendo assim, o módulo de x (valor absoluto de x), é um número real positivo, representado por |x|. Este número é determinado desta maneira:
x ≥ 0 ⇒ |x| = x
x ≥ 0 ⇒ |x| = - x
sábado, 30 de novembro de 2019
Funções
Funções |
Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por
f : A ® B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A ,
um único elemento de B .
um único elemento de B .
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B , podendo entretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.
Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja:
y está associado a x através da função f.
y está associado a x através da função f.
Exemplos:
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.
Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
Quando D(f) (domínio) Ì R e CD(f)(contradomínio) Ì R , sendo R o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x , chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de conjunto imagem da função . Assim, por exemplo, para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero.
Nota: o símbolo Ì significa “contido em”.
Nota: o símbolo Ì significa “contido em”.
Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x),
podemos representar os pares ordenados (x,y) Î f onde x Î A e y Î B ,num sistema de coordenadas cartesianas .
O gráfico obtido será o gráfico da função f .
Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:
podemos representar os pares ordenados (x,y) Î f onde x Î A e y Î B ,num sistema de coordenadas cartesianas .
O gráfico obtido será o gráfico da função f .
Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:
a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .
b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .
c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .
b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .
c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .
Veja a figura abaixo, relativa aos ítens 1, 2 e 3 acima:
2 -Tipos de funções
2.1 - Função sobrejetora
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio .
Exemplo:
Exemplo:
2.2 - Função injetora
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas,
isto é:
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) .
isto é:
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) .
Exemplo:
2.3 - Função bijetora
Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .
Exemplo:
Exercícios resolvidos:
1 - Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
Solução:
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) .
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) .
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais - tal que
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).
Solução:
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u \ x = u + 5
Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u \ x = u + 5
Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40
3 – UEFS 2005-1 ) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2,
para todo x Î R, pode-se afirmar que b/a é igual a
a) 2
b) 3/2
c) 1/2
d) -1/3
e) -3Solução:
Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b
Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, vem, igualando:
a(2x2 + 1) + b = - 2x2 + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:2ax2 + a + b = -2x2 + 2
Então, poderemos escrever: 2a = -2 \ a = -2 /2 = -1
E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3
Logo, o valor procurado a/b será a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente à alternativa D.
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40
3 – UEFS 2005-1 ) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2,
para todo x Î R, pode-se afirmar que b/a é igual a
a) 2
b) 3/2
c) 1/2
d) -1/3
e) -3Solução:
Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b
Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, vem, igualando:
a(2x2 + 1) + b = - 2x2 + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:2ax2 + a + b = -2x2 + 2
Então, poderemos escrever: 2a = -2 \ a = -2 /2 = -1
E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3
Logo, o valor procurado a/b será a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente à alternativa D.
Agora resolva este:A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).
Resp: 9x + 5
Resp: 9x + 5
3 - Paridade das funções
3.1 - Função par
A função y = f(x) é par, quando " x Î D(f) , f(- x ) = f(x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio,
f( x ) = f ( - x ). Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
O símbolo " , lê-se “qualquer que seja”.
f( x ) = f ( - x ). Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
O símbolo " , lê-se “qualquer que seja”.
Exemplo:
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x.
Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x.
Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráfico abaixo, é de uma função par.
4.2 - Função ímpar
A função y = f(x) é ímpar , quando " x Î D(f) , f( - x ) = - f (x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( - x) = - f( x ). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:
y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.
y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.
O gráfico abaixo é de uma função ímpar:
Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.
Exemplo:
O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.
Exemplo:
O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.
O governo de Itamar Franco
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia www.youtube.com/accbarroso1
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br
O governo de Itamar Franco
Itamar Franco, "pai" do Plano Real, que estabilizou a economia brasileira.
A principal medida adotada no governo Itamar foi a criação de um plano para barrar o crescimento da inflação: o Plano Real. Idealizado e organizado pelo Ministro da Fazenda (e posteriormente, Presidente da República) Fernando Henrique Cardoso, o Plano Real obteve êxito, reduzindo a inflação de 50% para 4%, em um mês. No dia 21 de abril de 1993, o Presidente Itamar Franco convocou um plebiscito para escolher a nova forma de governo: se manteria o presidencialismo e a república, ou se retornaria à monarquia e ao parlamentarismo. O regime republicano e presidencialista foi escolhido por uma maioria esmagadora dos votos.
Um fato curioso, acontecido no governo Itamar, foi sua sugestão à fábrica alemã Volkswagen, a retomar a fabricação do Fusca, carro muito popular nas décadas de 60 e 70, no Brasil. Itamar visava aquecer a venda de automóveis, tornando-os mais acessíveis aos brasileiros. A fábrica havia parado de fabricar o Fusca em 1978 e, a pedido do presidente, retomou sua fabricação (que cessou em 1996). O carro, apelidado de Fusca do Itamar, não atendeu às necessidades do povo, mas a ideia de popularização dos veículos foi adotada por outras fábricas.
O governo de Itamar foi curto (cerca de dois anos), mas foi o suficiente para levantar a economia nacional e, consequentemente, o orgulho dos brasileiros, ferido nos anos de chumbo da ditadura e destroçado no governo corrupto de Collor. Itamar alcançou índices tão altos de popularidade e aprovação, que seu apoio foi imprescindível para a eleição de seu Ministro e sucessor, Fernando Henrique Cardoso, nas eleições presidenciais de 1994.
sexta-feira, 29 de novembro de 2019
Sistema Respiratório - Exercícios resolvidos
Sistema Respiratório - Exercícios resolvidos
01. (UECE) Nos mamíferos, incluindo o homem, o percurso do ar inspirado, nos pulmões é:
a) bronquíolos ® brônquios ® alvéolos;
b) brônquios ® bronquíolos ® alvéolos;
c) alvéolos ® brônquios ® bronquíolos;
d) bronquíolos ® alvéolos ® brônquios.
e) n.d.a.
Resposta: B
02. Qual é a diferença entre o sangue venoso e o arterial?
ResoLUÇÃO: O venoso é pobre em oxigênio e rico em bicarbonato. O arterial é rico em oxigênio, formando oxiemoglobina.
03. (UNESP) Vários atletas do continente americano foram convidados a participar de uma competição de atletismo na cidade do Rio de Janeiro. Assim que os atletas desembarcaram no Aeroporto Internacional, eram submetidos a vários testes e exames, um dos quais o hemograma. Um determinado atleta tendo perdido seu passaporte durante a viagem, alegou ser mexicano e que morava na Cidade do México.
a) Qual o elemento figurado do sangue que, analisado através do hemograma deste atleta, possibilita acreditar na sua
origem?
b) Justifique sua resposta.
ResoLUÇÃO: a) Hemácia
b) Indivíduos provenientes de regiões de elevada altitude possuem um número maior de hemácias, para
compensar a baixa pressão parcial do O2, nessas regiões onde o ar é rarefeito.
04. (FUVEST) Jogadores de futebol que vive em altitudes próximas ao nível do mar sofrem adaptações quando jogam em cidades de grande altitude. Algumas adaptações são imediatas, outras só ocorrem após uma permanência de pelo menos três semanas. Qual alternativa inclui as realizações imediatas e as que podem ocorrer em longo prazo?
a) aumentam a freqüência respiratória, os batimentos cardíacos e a pressão arterial, em longo prazo diminui
o número de hemácias;
b) diminuem a freqüência respiratória e os batimentos cardíacos; diminui a pressão arterial, em longo prazo
aumenta o número de hemácias
c) aumentam a freqüência respiratória e os batimentos cardíacos; diminui a pressão arterial em longo prazo
diminui o número de hemácias;
d) aumentam a freqüência respiratória, os batimentos cardíacos e a pressão arterial, em longo prazo aumenta
o número de hemácias;
e) diminuem a freqüência respiratória, os batimentos cardíacos e a pressão arterial, em longo prazo aumenta
o número de hemácias.
Resposta: D
05. Por que a inalação do monóxido de carbono pode ocasionar até a morte?
ResoLUÇÃO: Ele se combina com a hemoglobina, formando carboxiemoglobina, composto estável que não transporta mais o
oxigênio.
06. O que é fosforilação oxidativa?
RESOLUÇÃO: Síntese de ATP (adenosina trifosfato) utilizando energia obtida nas oxidações celulares.
07. Quais são os processos básicos da respiração aeróbia de uma molécula de glicose?
RESOLUÇÃO: Glicólise, ciclo de Krebs, cadeia respiratória ou transportadora de elétrons.
08. Qual é a equação geral da respiração aeróbia de uma molécula de glicose?
RESOLUÇÃO: C6H12O6 + 6O2 + 6H2Og 6CO2 + 12H2O +
Segundo muitos bioquímicos, o lucro energético seria de 38ATP. Outros acreditam ser de 36ATP.
09. Quem é o aceptor final de hidrogênio na respiração celular?
RESOLUÇÃO: É o oxigênio. Ele se une ao hidrogênio, formando água.
10. Onde ocorre o ciclo do ácido cítrico?
RESOLUÇÃO: Na matriz mitocondrial.
www.colaweb.com
01. (UECE) Nos mamíferos, incluindo o homem, o percurso do ar inspirado, nos pulmões é:
a) bronquíolos ® brônquios ® alvéolos;
b) brônquios ® bronquíolos ® alvéolos;
c) alvéolos ® brônquios ® bronquíolos;
d) bronquíolos ® alvéolos ® brônquios.
e) n.d.a.
Resposta: B
02. Qual é a diferença entre o sangue venoso e o arterial?
ResoLUÇÃO: O venoso é pobre em oxigênio e rico em bicarbonato. O arterial é rico em oxigênio, formando oxiemoglobina.
03. (UNESP) Vários atletas do continente americano foram convidados a participar de uma competição de atletismo na cidade do Rio de Janeiro. Assim que os atletas desembarcaram no Aeroporto Internacional, eram submetidos a vários testes e exames, um dos quais o hemograma. Um determinado atleta tendo perdido seu passaporte durante a viagem, alegou ser mexicano e que morava na Cidade do México.
a) Qual o elemento figurado do sangue que, analisado através do hemograma deste atleta, possibilita acreditar na sua
origem?
b) Justifique sua resposta.
ResoLUÇÃO: a) Hemácia
b) Indivíduos provenientes de regiões de elevada altitude possuem um número maior de hemácias, para
compensar a baixa pressão parcial do O2, nessas regiões onde o ar é rarefeito.
04. (FUVEST) Jogadores de futebol que vive em altitudes próximas ao nível do mar sofrem adaptações quando jogam em cidades de grande altitude. Algumas adaptações são imediatas, outras só ocorrem após uma permanência de pelo menos três semanas. Qual alternativa inclui as realizações imediatas e as que podem ocorrer em longo prazo?
a) aumentam a freqüência respiratória, os batimentos cardíacos e a pressão arterial, em longo prazo diminui
o número de hemácias;
b) diminuem a freqüência respiratória e os batimentos cardíacos; diminui a pressão arterial, em longo prazo
aumenta o número de hemácias
c) aumentam a freqüência respiratória e os batimentos cardíacos; diminui a pressão arterial em longo prazo
diminui o número de hemácias;
d) aumentam a freqüência respiratória, os batimentos cardíacos e a pressão arterial, em longo prazo aumenta
o número de hemácias;
e) diminuem a freqüência respiratória, os batimentos cardíacos e a pressão arterial, em longo prazo aumenta
o número de hemácias.
Resposta: D
05. Por que a inalação do monóxido de carbono pode ocasionar até a morte?
ResoLUÇÃO: Ele se combina com a hemoglobina, formando carboxiemoglobina, composto estável que não transporta mais o
oxigênio.
06. O que é fosforilação oxidativa?
RESOLUÇÃO: Síntese de ATP (adenosina trifosfato) utilizando energia obtida nas oxidações celulares.
07. Quais são os processos básicos da respiração aeróbia de uma molécula de glicose?
RESOLUÇÃO: Glicólise, ciclo de Krebs, cadeia respiratória ou transportadora de elétrons.
08. Qual é a equação geral da respiração aeróbia de uma molécula de glicose?
RESOLUÇÃO: C6H12O6 + 6O2 + 6H2Og 6CO2 + 12H2O +
Segundo muitos bioquímicos, o lucro energético seria de 38ATP. Outros acreditam ser de 36ATP.
09. Quem é o aceptor final de hidrogênio na respiração celular?
RESOLUÇÃO: É o oxigênio. Ele se une ao hidrogênio, formando água.
10. Onde ocorre o ciclo do ácido cítrico?
RESOLUÇÃO: Na matriz mitocondrial.
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Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que
a) seja equivalente à expressão dada;
b) esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável.
Há diversas técnicas de fatoração que estudaremos em seguida, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis.
a) seja equivalente à expressão dada;
b) esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável.
Há diversas técnicas de fatoração que estudaremos em seguida, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis.
A. Fator Comum
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida colocamos em evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma algébrica.
Observe os exemplos abaixo.
Observe os exemplos abaixo.
B. Agrupamento
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência.
Observe:
Observe:
C. Diferença de Quadrados
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios cujas literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais expressões é obtida com os seguintes passos:
1º) Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio;
2º) Dividimos por dois os expoentes das literais;
3º) Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos.
Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada da seguinte forma
1º) Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio;
2º) Dividimos por dois os expoentes das literais;
3º) Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos.
Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada da seguinte forma
D. Trinômio Quadrado Perfeito
Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios.
Por exemplo, o trinômio x4 + 4 x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2 .
São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas seguintes:
Por exemplo, o trinômio x4 + 4 x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2 .
São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas seguintes:
E. Trinômio Quadrado da Forma ax2 + bx + c
Supondo sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio, 
, dizemos que:
Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas através da fórmula de Bhaskara:
F. Soma de diferença de cubos
Se efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a2 – ab + b2, obtemos o seguinte desenvolvimento:
O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir que, para fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado.
Assim, dizemos que:
Fatoração
Casos Simples de Fatoração Algébrica
Como já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto em um produto de fatores primos. Assim, tem-se
30 = 2 X 3 X 5 ; 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32
Da mesma forma, podemos decompor algumas expressões algébricas em fatores.
Assim, por exemplo : a2 - b2 = (a+b) (a - b) ; a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ; 12a2b3 - 18ab2 = 6ab2(2ab - 3)
O processo pelo qual transformamos uma adição algébrica em um produto algébrico denominamos fatoração algébrica, ou
simplesmente, fatoração.
No estudo da fatoração são conhecidos vários casos. Vamos estudá-los, classificando-os, para uma melhor compreensão.
Primeiro Caso de Fatoração : Evidenciação
Consideremos o polinômio 6ax2 - 4ax3 + 2ax, que pode ser escrito como :
(2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que o fator 2ax esta presente em todos os termos do polinômio. 2ax é o fator comum e
deverá ser colocado em evidência. Assim :
6ax2 - 4ax3 + 2ax = (2ax) (3x - 2x2 + 1)
Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m2p4 - 14m3p2 + 21m4p3
Colocando o fator comum 7m2p2 em evidência, teremos :
7m2p4 - 14m3p2 + 21m4p3 = 7m2p2 ( p2 - 2m + 3m2p)
Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m3(a - b) + 8m2( a - b)
Colocando o fator comum 2m2(a - b) em evidência, teremos :
2m3(a - b) + 8m2( a - b ) = [2m2(a - b)] ( m + 4) = 2m2(a - b)( m + 4)
Segundo Caso de Fatoração : Trinômio Quadrado Perfeito
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a2 ± 2ab + b2 em sua forma fatorada (a ± b)2.
E para tal precisamos compreender que um trinômio será quadrado perfeito quando possuir dois de seus três termos quadrados e o
terceiro sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos quadrados.
Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m2 + 12mn2 + 9n4
O polinômio possui dois termos quadrados 4m2 e 9n4, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 2m e 3n2. O dobro do
produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 12mn2.
E dessa forma o polinômio 4m2 + 12mn2 + 9n4 é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a raiz do segundo termo quadrado é 3n2 e o sinal que os une será o sinal do
terceiro termo + 12mn2. Dessa forma, teremos :
4m2 + 12mn2 + 9n4 = ( 2m + 3n2)2
Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x4 + 36x2y3 + 25y6
O polinômio possui dois termos quadrados 16x4 e 25y6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 4x2 e 5y3. O dobro do produto
entre essas raízes é igual a 40x2y3 que é diferente do terceiro termo 36x2y3.
E dessa forma o polinômio 16x4 + 36x2y3 + 25y6 não é um trinômio quadrado perfeito e não pode, portanto, ser fatorado, pelo menos
como um trinômio quadrado perfeito.
Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n
O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p12n, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 6 e 116n. O dobro do produto
entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p6n.
E dessa forma o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto, ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a raiz do segundo termo quadrado é 11p6n e o sinal que os une será o sinal do terceiro
termo - 132p6n, Dessa forma, teremos :
36 - 132p6n + 121p12n = ( 6 - 11p6n)2
Terceiro Caso de Fatoração : Diferença de Dois Quadrados
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b) (a - b) = a2 - b2
O que faremos agora é transformarmos a diferença algébrica a2 - b2 em sua forma fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos extrair
as raízes quadradas de ambos os termos e montarmos com essas raízes a sua soma multiplicada por sua diferença.
Exemplo 06) Fatore o binômio 64x2 - 25y8
O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x2 e 25y8, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 8x e 5y4.
Montando a soma (8x + 5y4) e a diferença (8x - 5y4) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim :
64x2 - 25y8 = (8x + 5y4) (8x - 5y4)
Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k6
O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e 0,49k6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 9 e 0,7k3.
Montando a soma (9 + 0,7k3) e a diferença (9 - 0,7k3) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim :
81 - 0,49k6 = (9 + 0,7k3) (9 - 0,7k3)
Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24.
Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados utilizando a fatoração, que acabamos de aprender:
49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5 ) = 12 x 2 = 24 ( deu, é claro, o mesmo resultado )
Quarto Caso de Fatoração : Trinômio de Stevin
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b) (a + c) = a2 + (b + c)a + bc, que podemos escrever como : a2 + Sa + P, onde S é a soma dos termos não comuns e P o seu
produto.
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a2 + Sa + P em sua forma fatorada (a + b) (a + c).
E para tal precisamos extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrirmos dois número cuja soma seja S e cujo produto seja P. e
verificarmos se a soma aparece multiplica pela raiz quadrada do termo comum.
Só com alguns exemplos poderemos entender melhor esse tipo de fatoração. Vamos a eles.
Exemplo 08) Fatore o trinômio k2 + 8k + 15
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k2, teremos k. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a 8 e
multiplicados sejam iguais a 15. Esses números serão 3 e 5, já que: 3 + 5 = 8 e 3 x 5 = 15. Percebemos, também, que a soma 8 aparece
multiplicada pela raiz quadrada k de k2.
Assim : k2 + 8k + 15 = (k + 3) (k + 5)
Exemplo 09) Fatore o trinômio m4 - 6m2 + 8
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado m4, teremos m2. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 6 e
multiplicados sejam iguais a 8. Esses números serão - 2 e - 4 , já que: - 2 + - 4 = - 6 e (- 2) x (- 4) = + 8. Percebemos, também, que a
soma - 6 aparece multiplicada pela raiz quadrada m2 de m4.
Assim : m4 - 6m2 + 8 = (m2 - 2) (m2 - 4)
Exemplo 10) Fatore o trinômio 25y6 + 20y3 - 21
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 25y6, teremos 5y3. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a + 4,
lembremos que a raiz de 9y6, está presente nesse termo, assim, 20y3 : 5y3 = 4 e multiplicados sejam iguais a - 21.
Esses números serão - 3 e + 7 , já que: - 3 + 7 = 4 e (- 3) x (+ 7) = - 21. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4 aparece
multiplicada pela raiz quadrada 5y3 de 25y6.
Assim : 25y6 + 20y3 - 21 = (5y3 + 7) (5y3 - 3)
Exemplo 11) Fatore o trinômio 4p8 - 8p4a - 5a2
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 4p8, teremos 2p4. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 4a,
lembremos que a raiz de 4p8, está presente nesse termo, assim, - 8p4a : 2p4 = 4a e multiplicados sejam iguais a - 5a2.
Esses números serão - 5a e + 1a , já que: - 5a + 1a = 4a e (- 5a) x (+ a) = - 5a2. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4a aparece
multiplicada pela raiz quadrada 2p4 de 4p8.
Assim : 4p8 - 8p4a - 5a2 = (2p4 + a) (2p4 - 5a)
Quinto Caso de Fatoração : Soma de Dois Cubos
Um binômio soma da forma x3 + y3 pode ser fatorado em um produto da forma:
x3 + y3 = (x + y) ( x2 - xy + y2)
A melhor forma para fatorarmos uma soma de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a soma das raízes cúbicas dos
termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro menos o produto entre o primeiro e
o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração.
Exemplo 12) Fatore a soma de dois cubos 8p6 + 125
Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de 8p6 é 2p2 e a raiz cúbica de 125 é 5. Assim já temos o nosso primeiro fator (2p2 + 5)
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 2p2 é 4p4 ; o produto entre 2p2 e 5 é 10p2 e o quadrado do
segundo é 52 = 25. E dessa forma, teremos:
8p6 + 125 = (2p2 + 5) ( 4p4 - 10p2 + 25)
Exemplo 13) Fatore 27x3y9 + 64z6
Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de 27x3y9 é 3xy3 e a raiz cúbica de 64z6 é 4z3.
Assim já temos o nosso primeiro fator (3xy3 + 4z2)
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 3xy3 é 9x2y6 ; o produto entre 3xy3 e 4z2 é 12xy3z2 e o quadrado do
segundo é (4z2)2 = 16z4.
E dessa forma, teremos: 27x3y9 + 64z6 = (3xy3 + 4z2) (9x2y6 - 12xy3z2 + 16z4)
Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois Cubos
Um binômio diferença da forma x3 - y3 pode ser fatorado em um produto da forma:
x3 - y3 = (x - y)( x2 + xy + y2)
A melhor forma para fatorarmos uma diferença de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a diferença das raízes
cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro mais o produto entre o
primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração.
Exemplo 14) Fatore a diferença de dois cubos 216p3 - 125m6
Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de 216p3 é 6p e a raiz cúbica de 125 m6 é 5m2. Assim já temos o nosso primeiro fator (6p - 5m2)
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 6p é 36p2 ; o produto entre 6p e 5m2 é 30pm2 e o quadrado do segundo
é (5m2)2 = 25m4.
E dessa forma, teremos: 216p3 - 125m6 = (6p - 5m2) ( 36p2 + 30pm2 + 25m4)
Sétimo Caso de Fatoração : Agrupamento
Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem um termo comum que evidenciado faz aparecer um termo comum à fatoração
dos demais termos. Só com alguns exemplos podemos compreender melhor esse caso de fatoração.
Por essa razão o deixamos como o último caso de fatoração.
Exemplo 15) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª resolução )
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum b em
evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E colocando o novo fator comum (c + d) em evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d) (a + b)
Exemplo 16) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª resolução )
Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e, também, o segundo e o quarto termo.
ac + ad + bc + bd = ac + bc + ad + bd
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum c em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum d em
evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)
E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b) (c + d)
Exemplo 17) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum - 3b em
evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n).
E colocando o novo fator comum (2m + n) em evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m + n) (a - 3b)
Exemplo 18) Fatore 3a2x - 2b2 + 2a2 - 3b2x
Reagrupando o polinômio, teremos : 3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum 3x em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum 2 em
evidência, teremos :
3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2)
E colocando o novo fator comum (a2 - b2) em evidência, teremos :
3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2)
E como o fator (a2 - b2) é fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente :
3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2)
Com isso, apresentamos os mais importantes casos de fatoração. Alguns exercícios resolvidos e um pouco mais complexos,
nos ajudarão no entendimento desse assunto da Álgebra, que é um dos que mais dificuldades apresenta aos alunos.
Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica
Exemplo 19) Fatore c2 - 2bc - a2 + b2
Reagrupando o polinômio, teremos : b2 - 2bc + c2 - a2 = (b2 - 2bc + c2) - a2
O trinômio b2 - 2bc + c2 pode ser fatorado como : (b - c)2
E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c)2 - a2, e finalmente, teremos :
(b - c)2 - a2 = (b - c + a) (b - c - a)
Exemplo 20) Fatore: 5m8 + 10m4 - 15
Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:
5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3)
O trinômio m8 + 2m4 - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela raiz quadrada m4 de m8.
Dessa forma, teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3) = 5(m4 + 3) (m4 - 1)
E como (m4 - 1) = (m2 + 1) (m2 - 1) , e como (m2 - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m4 + 3)(m2 + 1)(m + 1)(m - 1)
Exemplo 21) Fatore: (x - y)2 + 2(y - x) - 24
Antes de mais nada, lembremos que (x - y)2 = (y - x)2 ( verifique se isso é verdade )
Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x)2 + 2(y - x) - 24
Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então :
(y - x)2 + 2(y - x) - 24 = A2 + 2A - 24
O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece multiplicada pela raiz
quadrada A de A2.
E assim : A2 + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y)2 + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y - x - 4)
Exemplo 22) Fatore x6 - y6
1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos
Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y6 é y2. Assim já temos o nosso primeiro fator x2 - y2
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x2 é x4 ; o produto entre x2 e y2 é x2y2 e o quadrado do
segundo é y2 é y4.
E dessa forma, teremos:
x6 - y6 = (x2 - y2) ( x4 + x2y2 + y4). Como a diferença de quadrados (x2 - y2) ainda pode ser fatorado, teremos :
x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x4 + x2y2 + y4).
Se escrevermos o trinômio ( x4 + x2y2 + y4) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá ser fatorado. Vejamos :
x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2, que é uma diferença de dois quadrados.
Assim : (x2 + y2)2 - x2y2 = ( x2 + y2 + xy) ( x2 + y2 - xy) = ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2). E finalmente :
x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)
2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma diferença de dois quadrados.
A raiz quadrada de x6 é x3 e a raiz quadrada de y6 é y3.
Assim já temos o nosso primeiro fator (x3 + y3) e o segundo fator (x3 - y3).
Assim, teremos : x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) .
Como a soma e a diferença de dois cubos (x3 + y3) e (x3 - y3) ainda podem ser fatorados, teremos :
x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) = (x + y) ( x2 - xy + y2) (x - y) ( x2 + xy + y2) , ou ainda :
x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE
Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar o sinal de identidade
que é uma ampliação do conceito de igualdade.
Vamos entender melhor essa diferenciação:
Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.
Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença verdadeira.
Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade .
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Fatoração de Polinômios
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br
Fatoração de Polinômios
Por Marcos Noé
Polinômios
As fatorações mais conhecidas são: fator comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto.
Fator comum em evidência
Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:
No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.
x² + 2x → x * (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2
Veja mais exemplos de fatoração por evidência:
4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1
16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1
Fatoração por Agrupamento
Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:
2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.
2yx – x → x * (2y – 1)
–6y + 3 → –3 * (2y – 1)
2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1)
Observe mais exemplos:
bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x * (b + 1) – 2 * (b + 1) → (x – 2) * (b + 1)
10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x * (5x + 2) + 3y * (5x + 2) → (2x + 3y) * ( 5x + 2)
Diferença entre dois quadrados
Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:
4x² – 16 → (2x + 4) * (2x – 4)
√4x² = 2x
√16 = 4
25x² – 100 → (5x + 10) * (5x – 10)
√25x² = 5x
√100 = 10
81x4 – 144 → (9x² + 12) * (9x² – 12)
√81x4 = 9x²
√144 = 12
400x² – 49 → (20x + 7) * (20x – 7)
√400x² = 20x
√49 = 7
Trinômio quadrado perfeito
Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:
x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9) * (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81
4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12) * (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144
Trinômio Soma e Produto
São as fatorações envolvendo trinômios do tipo x² + Sx + P, que podem ser fatorados e escritos da seguinte forma (x + a) * (x + b). Nessa situação temos que Soma = a + b e Produto = a * b. Observe:
x² + 10x + 16 → (x + 8) * (x + 2)
Soma = 10
Produto = 16
Os números são 8 e 2, pois:
8 + 2 = 10
8 * 2 = 16
x² – 13x + 42 → (x – 6) * (x – 7)
Soma = –13
Produto = 42
Os números são –6 e –7, pois:
– 6 – 7 = – 13
(–6) * (–7) = 42
x² + 3x – 10 → (x – 2) * (x + 5)
Soma = 3
Produto = –10
Os números são 3 e –10, pois:
– 2 + 5 = 3
(–2) * 5 = – 10
x² – 2x – 63 → (x – 9) * (x + 7)
Soma = –2
Produto = – 63
Os números são –9 e 7, pois:
– 9 + 7 = – 2
(–9) * 7 = – 63
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