Ensino de Matemática

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Definição: Potenciação ou Exponenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo:

32 (leia-se “três elevado ao quadrado”, ou “três elevado à segunda potência” ou ainda “três elevado à dois”).

No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9.

Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27

Algumas outras definições que podem ser utilizadas:

a1 = a
a0 = 1, a ≠ 0
Propriedades

1 – Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes:

an . am = an+m

2 – Divisão de potências de bases iguais – mantenha a base e subtraia os expoentes:

(an) / (am) = an-m , “a” diferente de zero.

3 – Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes:

(am)n = am . n
Atenção

As potências abaixo NÃO são iguais:

(am)n

e

amn

na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n, e depois elevar a ao resultado da operação anterior.

4 – (a . b)n = an . bn

5 – (a/b)n = an/bn , “b” diferente de zero.
Potenciação com números negativos

Observe os exemplos abaixo:

(-3)2 = 9
-32 = -9

O sinal de negativo ( – ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado.

Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo:
(-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27

se tirarmos os parênteses

-33 = – 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27
Lucas Martins

Ciclo de Krebs

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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O Ciclo de krebs e a produção de energia para o trabalho celular.
O Ciclo de Krebs, ou também conhecido como ciclo do ácido cítrico por ser a primeira substância a ser formada durante o ciclo, é uma das etapas do processo da respiração celular dos organismos aeróbios, ocorrendo no interior das mitocôndrias das células eucariontes.

Devido o seu caráter metabólico, catabólico e anabólico, é considerado como rota anfibólica, de degradação e construção de substâncias com finalidade de produzir energia suficiente para as atividades desenvolvidas pela célula.

Esse ciclo composto por oito reações controladas enzimaticamente, tem seu início a partir da degradação por oxidação, uma reação do ácido oxalacético com a acetil-coenzima-A, substância originada na glicólise em conseqüência da ação catabólica da enzima desidrogenase sobre o piruvato (molécula altamente energética), produzindo duas moléculas de CO2.

O produto dessa oxidação origina uma molécula de citrato, mediador de um composto com cinco carbonos (cetoglutarato), que durante o percurso desse ciclo é quebrado liberando prótons receptados pelo NAD (aceptor intermediário de hidrogênios).

A degradação contínua e o cetoglutarato formam o alfa-cetoglutarato, molécula menos energética contendo quatro carbonos. No entanto, ainda quebrada, libera mais H+, recolhidos nesse momento pela molécula de FAD, finalizando o processo com a restituição do ácido oxalacético, enzima iniciadora do ciclo.

Além do dióxido de carbono são produzidos íons H+, conforme mencionado são absorvidos pelo NAD e FAD (NADH e FADH2), destinados às cristas mitocôndriais, onde ocorre a cadeia respiratória e produção de ATP.
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Relações ecológicas

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

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Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Relações ecológicas

Em um ecossistema, os seres vivos relacionam-se com o ambiente físico e também entre si, formando o que chamamos de relações ecológicas.
As relações ecológicas ocorrem dentro da mesma população (isto é, entre indivíduos da mesma espécie), ou entre populações diferentes (entre indivíduos de espécies diferentes). Essas relações estabelecem-se na busca por alimento, água, espaço, abrigo, luz ou parceiros para reprodução.

A seguir veremos alguns exemplos desses tipos de relações.

Relações Harmônicas (relações positivas)

Intra-específica (entre indivíduos da mesma espécie)

Sociedade

União permanente entre indivíduos em que há divisão de trabalho. Ex.: insetos sociais (abelhas, formigas e cupins)

O que mais chama a atenção em uma colméia é a sua organização. Todo o trabalho é feito por abelhas que não se reproduzem, as operárias. Elas se encarregam de colher o néctar das flores, de limpar e defender a colméia e de alimentar as rainhas e as larvas (as futuras abelhas) com mel, que é produzido a partir do néctar.

A rainha é a única fêmea fértil da colméia coloca os ovos que irão originar outras operárias e também os zangões (os machos), cuja única função é fecundar a rainha.

Portanto, uma sociedade é composta por um grupo de indivíduos da mesma espécie que vivem juntos de forma a permanente e cooperando entre si.

Entre os mamíferos também encontramos vários exemplos de sociedades, como os dos castores, a dos gorilas, a dos babuínos e a da própria espécie humana. A divisão de trabalho não é tão rigorosa quanto as abelhas, mas também há varias formas de cooperação. É comum, por exemplo, um animal soltar um grito de alarme quando vê um predador se aproximar do grupo; ou mesmo um animal dividir alimento com outros.

Colônia

Associação anatômica formando uma unidade estrutural e funcional. Ex.: coral-cérebro, caravela.

Colônia é um grupo de organismos da mesma espécie que formam uma entidade diferente dos organismos individuais. Por vezes, alguns destes indivíduos especializam-se em determinadas funções necessárias à colônia. Um recife de coral, por exemplo, é construído por milhões de pequenos animais (pólipos) que secretam à sua volta um esqueleto rígido. A garrafa-azul (Physalia) é formada por centenas de pólipos seguros a um flutuador, especializados nas diferentes funções, como a alimentação e a defesa; cada um deles não sobrevive isolado da colônia.

As bactérias e outros organismos unicelulares também se agrupam muitas vezes dentro de um invólucro mucoso.

As abelhas e formigas, por outro lado, diferenciam-se em rainha, zangão com funções reprodutivas e as obreiras (ou operárias) com outras funções, mas cada indivíduo pode sobreviver separadamente. Por isso, estas espécies são chamadas eusociais, ou seja, formam uma sociedade e não uma colônia.

Interespecífica (entre indivíduos de espécies diferentes)

Mutualismo

Associação obrigatória entre indivíduos, em que ambos se beneficiam. Ex.: líquen, bois e microorganismos do sistema digestório.

Abelhas, beija-flores e borboletas são alguns animais que se alimentam do néctar das flores. O néctar é produzido na base das pétalas das flores e é um produto rico em açucares. Quando abelhas, borboletas e beija-flores colhem o néctar, grãos de pólen se depositam em seu corpo. O pólen contém células reprodutoras masculinas da planta. Pousando em outra flor, esses insetos deixam cair o pólen na parte feminina da planta. As duas células reprodutoras - a masculina e a feminina - irão então se unir e dar origem ao embrião (contido dentro da semente). Perceba que existe uma relação entre esses insetos e a planta em que ambos lucram. Esse tipo de relação entre duas espécies diferentes e que traz benefícios para ambas é chamada mutualismo. Os animais polinizadores obtêm alimento e a planta se reproduz.

Outro exemplo, é os liquens, associação mutualística entre algas e fungos. Os fungos protegem as algas e fornecem-lhes água, sais minerais e gás carbônico, que retiram do ambiente. As algas, por sua vez, fazem a fotossíntese e, assim, produzem parte do alimento consumido pelos fungos.

Liquens e polinizadores
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Teoria de conjuntos

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

A Teoria dos conjuntos é a teoria matemática dedicada ao estudo da associação entre objetos com uma mesma propriedade, elaborada por volta do ano de 1872. Sua origem pode ser encontrada nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845-1918), os quais buscavam a mais primitiva e sintética definição de conjunto. Tal teoria ficou conhecida também como “teoria ingênua” ou “teoria intuitiva” por causa da descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) associados à ideia central da própria teoria. Tais antinomias levaram a uma axiomatização das teorias matemáticas futuras, influenciando de modo indelével as ciências da matemática e da lógica. Mais tarde, a teoria original receberia complementos e aperfeiçoamentos no início do século XX por outros matemáticos.

O conhecimento prévio de tal teoria serve como base para o desenvolvimento de outros temas na matemática, como relações, funções, análise combinatória, probabilidade, etc.

Como definição intuitiva de conjuntos, dadas por Cantor, surgiam em sua teoria exemplos como:

1. um conjunto unitário possui um único elemento
2. dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos
3. conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento
4. Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto finito pode ser definido reunindo todos os seus elementos separados por vírgulas. Já um conjunto infinito pode ser definido por uma propriedade que deve ser satisfeita por todos os seus membros.

A ideia de conjunto era um conceito primitivo e auto explicativo de acordo com a teoria; não necessitaria de definição.
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração de seus elementos é denominada “forma de listagem”. Poderia-se representar o mesmo conjunto por uma determinada propriedade de seus elementos, sendo x, por exemplo, um número qualquer do conjunto Z representado abaixo:

Z = {1,3,5,7,9,11, … }

teríamos, concluindo:

Z = { x | x é ímpar e positivo } = { 1,3,5, … }.

Merece destaque outras relações básicas, que independem de um cálculo matemático mais complexo, utilizando-se lógica básica e pura. São exemplos desta afirmação as relações a seguir:

1 – Pertinência, que estabelece se um elemento pertence ou não pertence a um conjunto pré-estabelecido:

- dado um número x, caso ele pertença ao conjunto, escrevemos x ∈ A, ou “x” pertence ao conjunto A
- caso “x” não pertença ao conjunto, registra-se x ∉ A
- um conjunto sem elementos é um conjunto vazio, representado pela letra grega φ (phi)

2 – Subconjunto:

Caso todo o elemento do conjunto A pertença também ao conjunto B, sem que todos os elementos deste segundo grupo pertençam todos a B, diremos que “A é subconjunto de B”: A ⊂ B

3 – Conjuntos numéricos fundamentais:

Trata-se de qualquer conjunto cujos elementos são números, entre eles, o conjunto de números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6…}; o conjunto de números inteiros Z = {…, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,… } (sendo que N ⊂ Z); conjunto de números racionais Q = { 2/3, -3/7, 0,001, 0,75, 3, etc.) (sendo que N ⊂ Z ⊂ Q); conjunto de números irracionais, etc.

4 – União

Ocorre união quando o conjunto união contempla todos os elementos de dado conjunto A ou de dado conjunto B.

Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}

Assim, através de suas numerosas combinações, que fornecem poderosa ferramenta para a construção da matemática de base axiomática, apesar de seu conteúdo predominantemente dedutivo, logo surgiu o “Paradoxo de Russel”, que é a contradição mais famosa da teoria dos conjuntos.

Bibliografia:
http://www.dcc.ufam.edu.br/~ruiter/afc/node1.html - página do Departamento de Ciência da Computação da UFAM – Teoria dos Conjuntos
http://www.paulomarques.com.br/arq1-1.htm – Página “Matemática do Científico e Vestibular”, de Paulo Marques – Noções de conjuntos

Números Romano

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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