Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Equação de 1º grau
Resolvido:
sexta-feira, 12 de junho de 2020
Soma e produto das raizes
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Ao resolvermos uma equação do 2º grau temos as seguintes possibilidades para o resultado:
∆ > 0, duas raízes reais e distintas.
∆ = 0, uma única raiz real e distinta.
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Nos casos em que equação possui raízes reais algumas relações são observadas. Veja:
Soma das raízes – (x1 + x2)
Produto das raízes – (x1 * x2)
As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:
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om base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes.
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Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.
Observe:
A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:
Soma
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Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:
7 e 2
S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14
–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14
7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14
–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14
Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Taxa de Juros Acumulada
Algumas situações cotidianas voltadas para a Matemática Financeira envolvem a variação dos preços de mercadorias. As variações podem ocorrer no sentido dos preços aumentarem ou diminuírem, ocorrendo, respectivamente, inflação ou deflação.
É comum em momentos de inflação o reajuste sucessivo de preços, envolvendo índices percentuais. Caso um determinado produto seja reajustado continuamente, temos a incidência de vários índices percentuais sobre o preço original. Nesse caso, dizemos que a incidência desses índices, sucessivas vezes, é chamada de taxa de juros acumulada.
É comum em momentos de inflação o reajuste sucessivo de preços, envolvendo índices percentuais. Caso um determinado produto seja reajustado continuamente, temos a incidência de vários índices percentuais sobre o preço original. Nesse caso, dizemos que a incidência desses índices, sucessivas vezes, é chamada de taxa de juros acumulada.
A taxa de juros acumulada de determinado produto é dada pela seguinte expressão matemática:
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Exemplo 1
Em razão da alta da inflação em sucessivos meses, o preço de uma mercadoria foi reajustado nos meses de janeiro, fevereiro, março e abril em 5%, 8%, 12% e 7%, respectivamente. Determine a taxa de juros acumulada desses quatro meses.
Transformando taxas percentuais em taxas unitárias:
5% = 5/100 = 0,05
8% = 8/100 = 0,08
12% = 12/100 = 0,12
7% = 7/100 = 0,07
8% = 8/100 = 0,08
12% = 12/100 = 0,12
7% = 7/100 = 0,07
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A taxa de juros acumulada nos quatro meses foi equivalente a 35,9% ou, de forma arredondada, 36%.
Exemplo 2
Ao ser pesquisado mensalmente o preço de uma mercadoria, foram registrados os seguintes valores no último dia do mês:
Agosto: R$ 5,50
Setembro: R$ 6,20
Outubro: R$ 7,00
Novembro: R$ 7,10
Dezembro: R$ 8,90
Setembro: R$ 6,20
Outubro: R$ 7,00
Novembro: R$ 7,10
Dezembro: R$ 8,90
Determine a taxa de juros acumulada referente ao aumento da mercadoria em questão.
Vamos primeiramente calcular os índices de aumento. Veja:
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Taxa acumulada
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A taxa acumulada dos aumentos sucessivos de preços dessa mercadoria é equivalente a 61,79% ou, de forma arredondada, 62%.
Por Marcos Noé
Combinações
Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza.
Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?
Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações.
As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos.
Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:
ABC, BAC, CAB, DAB
ABD, BAD, CAD, DAC
ACB, BCA, CBA, DBA
ACD, BCD, CBD, DBC
ADB, BDA, CDA, DCA
ADC, BDC, CDB, DCB
Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
Cn,p = n!
p! (n – p)
n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
Substituindo os dados acima na fórmula teremos:
n = 4
p = 3
C4,3 = 4!
3! (4-3)!
C4,3 = 4 . 3!
3! . 1
C4,3 = 4
Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?
Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações.
As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos.
Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:
ABC, BAC, CAB, DAB
ABD, BAD, CAD, DAC
ACB, BCA, CBA, DBA
ACD, BCD, CBD, DBC
ADB, BDA, CDA, DCA
ADC, BDC, CDB, DCB
Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
Cn,p = n!
p! (n – p)
n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
Substituindo os dados acima na fórmula teremos:
n = 4
p = 3
C4,3 = 4!
3! (4-3)!
C4,3 = 4 . 3!
3! . 1
C4,3 = 4
Espaço Amostral e Evento
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br
Espaço Amostral e Evento
Marcos Noé
Probabilidade
Espaço amostral é o conjunto estabelecido por todos os possíveis resultados de um experimento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por “cara” ou “coroa”. No lançamento de um dado, o espaço amostral é representado pelas faces enumeradas 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Em um baralho de cartas, o espaço amostral envolve 52 cartas.
Evento é a representação de um subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, em relação aos espaços amostrais citados anteriormente, o número de eventos são:
Moeda: dois eventos
Dado: seis eventos
Baralho de cartas: cinquenta e dois eventos
Para determinarmos a probabilidade de algo acontecer, basta realizarmos a divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis. Observe:
Vamos determinar a probabilidade de, no lançamento de um dado ocorrer o número 6.
Na face do dado temos exatamente um lado com o número 6. Ao lançarmos o dado, a chance de obtermos o número indicado é de 1 em 6. Portanto:
No lançamento de uma moeda, a chance de retirarmos cara ou coroa é de 50% em cada.
No baralho de cartas, temos 52 cartas divididas em quatro naipes: copas, espadas, paus e ouro. Dessa forma, temos 13 cartas de cada naipe. Caso queira retirar uma carta ao acaso, a probabilidade da carta ser de copas é de 13 em 52, isso corresponde a 25% de chance, pois:
No baralho de cartas, temos 52 cartas divididas em quatro naipes: copas, espadas, paus e ouro. Dessa forma, temos 13 cartas de cada naipe. Caso queira retirar uma carta ao acaso, a probabilidade da carta ser de copas é de 13 em 52, isso corresponde a 25% de chance, pois:
quinta-feira, 4 de junho de 2020
Trinômio: Soma e Produto
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia www.accbarrosogestar.wordpress.com
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Trinômio: Soma e Produto
Por Marcos Noé
Trinômio
(x + a) * (x + b) = x2 + xb + xa + ab = x2 + x(a + b) + ab
Observe que o termo ligado à incógnita x é originado pela soma de a com b e o termo constante é resultado da multiplicação de a por b. Portanto, todas as multiplicações envolvendo (x + a) * (x + b) são representadas pela expressão x² + Sx + P.
No trinômio x2 + 2x – 24, temos que a forma fatorada é dada pela expressão (x + 6) * (x – 4), pois:
Soma = 6 – 4 = 2
Produto = 6 * (–4) = –24
Veja mais exemplos:
x2 + 4x – 21 = (x + 7) * (x – 3)
Soma = 7 – 3 = 4
Produto = 7 * (–3) = – 21
x2 – 9x + 20 = (x – 4) * (x – 5)
Soma = – 4 – 5 = – 9
Produto = (–4) * (–5) = 20
x2 + x – 72 = (x + 9) * (x – 8)
Soma = 9 – 8 = 1
Produto = 9 * (–8) = – 72
x2 + 13x + 22 = (x + 2) * (x + 11)
Soma = 2 + 11 = 13
Produto = 2 * 11 = 22
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