Fechamento: A propriedade de fechamento é satisfeita, pois o produto de dois números naturais ainda é um número natural.
Associatividade: Na multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar os fatores de diferentes modos que o produto é sempre o mesmo. A propriedade de associatividade é satisfeita na multiplicação, pois:
por exemplo:
3.5.2 =15.2 =30
3.(5.2) =3.10 =30
Observe que os resultados obtidos são iguais. Os parênteses indicam a multiplicação que deve ser feita primeiro.
Existência de Elemento Neutro: O elemento neutro na multiplicação é o número 1, pois qualquer número natural multiplicado por 1 é esse próprio número natural.
Por exemplo: 8 x 1 = 8 e 1 x 8 = 8
Comutatividade: A propriedade comutativa também é satisfeita pela multiplicação, pois a ordem dos fatores não altera o produto.
Observe:
7 x 5 = 35 5 x 7 = 35
4 x 5 = 20 5 x 4 = 20
Distributividade: Um jeito simples de explicar a propriedade distributiva é com o seguinte exemplo, tenho 3 laranjas e ganho mais 5 laranjas então na verdade eu fiquei com (3 + 5) laranjas agora substituímos as laranjas por um número, por exemplo, o número 6.
Assim temos, 3.6 + 5.6 = (3 + 5) . 6.
quarta-feira, 15 de setembro de 2021
Monômios e Polinômios
Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
extraído do www.mundoeducacao.com.br
Monômio
Expressão algébrica definida apenas pela multiplicação entre o coeficiente e a parte literal. Exemplos:2x, 4ab, 10x², 20xyz, 30abc, 2z, y, b³, 100ax³
Monômios semelhantes
Expressões algébricas que possuem a parte literal semelhante.
Exemplos:
2x e 4x
7x² e 8x²
10ab e 3ab
2ya e 6ya
7bc e 9cb
100z e 20z
Adição e subtração de monômio
A adição e a subtração de monômio devem ser efetuadas quando as partes literais são semelhantes. Exemplos:
2a + 7a = 9a
5x – 2x = 3x
10ab – 9ab = ab
6y – 9y = – 3y
7bc + 3cb = 10bc ou 10cb
– 12xy – 10xy = – 22xy
Multiplicação entre monômios
Ao multiplicar monômios em que as partes literais são semelhantes devemos seguir os seguintes passos:
1º passo: multiplicar os coeficientes
2º passo: conservar a parte literal e somar os expoentes.
Exemplos:
2x * 2x = 4x²
4xy * 6xy² = 24x²y³
10a²b * 9a²b³ = 90a4b4
5xyz * 6x²y³z = 30x³y4z²
Ao multiplicar monômios com parte literal diferente devemos:
1º passo: multiplicar os coeficientes
2º passo: se as letras são diferentes, agrupe-as
Exemplo:
2x * 3y = 6xy
4ab * 5z = 20abz
20c * 2ab = 40abc
x * 6a = 6xa
Divisão entre monômios
Parte literal semelhantes
1º passo: dividir os coeficientes.
2º passo: conservar a parte literal e subtrair os expoentes.
Exemplo:
5x³ : 5x² = x
10x²y² : 2x = 5xy²
30z : 5z = 6
20b³ : 10b = 2b²
Polinômios
Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles.
Exemplos:
2x² + 7x – 6
10x³ + x² – 9x
6x + 5
120x² – 10x + 9
14x4 + 7x³ – 20x² – 60x – 100
Recifes de corais (2) As ameaças de destruição aos recifes de corais
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email
accbarroso@hotmail.com
Uma das maiores ameaças aos recifes de corais é o chamado "branqueamento de corais", processo que leva à morte centenas de corais ao redor do mundo. O fenômeno ocorre quando a temperatura da água aumenta, devido a causas naturais, como o El Niño, ou provocadas pelo homem, como o aquecimento global.
Com o aquecimento da água, as zooxantelas elevam sua taxa de fotossíntese e passam a produzir uma quantidade de oxigênio que é tóxica para os corais, que então as expulsam de seus tecidos. Como conseqüência, os corais se tornam quebradiços e esbranquiçados (daí o nome branqueamento) e acabam morrendo e desestruturando os recifes.
A fauna habitante dos corais também é ameaçada pela pesca excessiva e pela coleta de peixes ornamentais para aquários. Uma das técnicas de captura consiste em jogar uma substância tóxica na água do mar, ao redor do recife. Essa substância possui efeito anestésico nos peixes, tornando a sua coleta mais fácil.
Química tóxica
Essa química é, porém, extremamente tóxica para os peixes, que, freqüentemente, acabam morrendo poucos meses após a captura. Além disso, o método atinge indiscriminadamente outras espécies de peixes e animais marinhos, que também acabam morrendo.
Outra ameaça ao habitat é a acidificação dos oceanos. O aumento do gás carbônico na atmosfera, devido à queima de combustíveis fósseis, entre outras causas, leva ao aumento da concentração desse gás dissolvido na água do mar. O gás carbônico reage com a água e forma um ácido que faz com que o pH dos oceanos diminua (fique mais ácido). A diminuição no pH prejudica a secreção de calcário pelos corais e algas, interferindo negativamente na formação dos recifes.
Conservação
As ameaças aos recifes de coral vêm aumentando nas últimas duas décadas. Cientistas calculam que, se a taxa de destruição dos recifes não diminuir, dentro de 50 anos cerca de 70% dos recifes do mundo terão desaparecido.
Assim, para que estes incríveis ambientes marinhos não desapareçam, são necessárias medidas de proteção e conservação, como a criação de áreas de proteção ambiental nas regiões onde os recifes ocorrem e a promoção de atividades pesqueiras sustentáveis. Além disso, são necessárias medidas gerais de proteção ao meio ambiente, como a redução na emissão de gás carbônico para o combate ao aquecimento global.
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regra de três
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
www.youtube.com/accbarroso1Definição
Regra de três é o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou grandezas inversamente proporcionais.
O problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais comumente chamado de regra de três simples.
Exercício de fixação da definição:
Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?
Grandeza 1: Distância percorrida
Grandeza 2: Tempo necessário
Cálculo:
Distância 1 = 480 Km - 02 horas
Distância 2 = ? Km - 06 horas
01 hora percorrida = 240 km
06 horas percorrida = 240 Km x 6
Resultado: 1440 Kms
Método mais prático de solução da regra de três simples
Faça um X na equação, pegue o primeiro número de cima (480) e multiplique pelo segundo número de baixo (06) depois é só dividir pelo número que restou (02) - O que você deseja saber está em Km, portanto a resposta será em Km
480 km - 02 horas
X
? km - 06 horas
Resp: ? = 480 . 06 / 02 = 1440 Km
Regra de três composta – Este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais.
Exercícios de fixação da definição:
1) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?
Grandeza 1 : Número de homens trabalhando
Grandeza 2 : Tempo de duração do trabalho
Grandeza 3 : Tamanho do muro
2) Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias??
Grandeza 1: Número de carros
Grandeza 2: Número de dias
Grandeza 3: Quantidade combustível
Método mais prático de solução da regra de três composta
Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.
A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura.
Veja:
1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.
Regra de 3 composta
Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração
2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?
Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)
Regra de 3 composta
Assim: 22 metros custarão R$ 110,00
3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas
Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas)
Regra de 3 composta
Exercícios de regra de três simples e composta
As respostas estão no final da página.
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?
10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?
12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?
23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?
25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?
31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?
32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?
33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?
34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?
35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?
36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :
a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?
b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?
37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?
38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?
39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?
40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?
41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?
42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?
43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?
44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?
45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?
46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?
47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?
48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?
49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?
50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?
51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?
52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?
53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?
54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?
55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?
56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?
57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?
58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?
59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?
60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?
61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?
62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?
63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?
64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?
65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?
66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.
67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?
69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?
70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?
71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?
72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?
73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?
74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?
75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?
76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?
78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?
80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.
81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?
82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?
83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.
Regra de Três – Questões Objetivas
84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:
a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias
85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :
a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50
86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:
a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000
87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:
a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km
88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?
a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas
89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?
a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias
90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?
a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias
91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:
a) 2 min b) 2 min e 19 segundos
c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos
92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :
a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros
93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18
94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?
a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas
95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?
a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00
c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00
96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :
a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.
c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.
97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :
a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.
c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00
98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5
99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :
a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.
100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:
a) 8 dias b) 9 dias
c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.
101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?
a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos
102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos
d) 5 gatos e) 6 gatos
102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :
a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias
103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :
a) triplicar o nº de operários
b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia
c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de
operários
d) duplicar o nº de operários
e) duplicar o nº de operários e o número de horas
trabalhadas por dia
104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?
a) 7h 42 min
b) 7h 44 min
c) 7h 46 min
d) 7h 48 min
e) 7h 50 min
105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:
a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias
d) 45 dias e) 180 dias
106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?
a) 30 b) 40 c) 45 d) 50
107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :
a) b) c) d) e)
Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta
01) 40 kg
02) 14 sacas
03) 42 litros
04) 60 min
05) 60 minutos = 1 hora
06) 8 máquinas
07) 702 litros
08) 77 caixas
09) 532 km
10) 15 litros
11) 33 h 20 min
12) 6 minutos
13) 9 min / 54 min / 15 dias
14) 14 cm
15) 10 cm
16) 40 m3
17) 5.250 voltas
18) 110 g
19) 18 cm
20) 55 fitas
21) 56.250 litros
22) Nota 8
23) 9 metros
24) 30 m
25) 371 cm ou 3,71 m
26) 7.840 litros
27) 43.925 cm
28) 3.600 g
29) 300 azulejos
30) 40 graus
31) 770 m2
32) 42 m/s
33) 108 km/h
34) 270 recenseadores
35) 1.034 voltas
36) a)84 min b) 1 h 24 min
37) 14 dias
38) 10 dias
39) 4 horas
40) 60 km/h
41) 20 caminhões
42) 41 m
43) 20 metros
44) 40 dias
45) 14 peças
46) 16 pessoas
47) 4 h 15 min
48) 96 horas
49) 25 operários
50) 40 latas
51) 3 minutos
52) 10 caminhões
53) 4 horas
54) 25 m
55) 20 cm
56) 16 dias e 16 horas
57) 320 páginas
58) 420 páginas
59) 80 km/h
60) 75 voltas
61) 2.170 km
62) 2 horas
63) 4 dias
64) 150 kg
65) 50 dias
66) 250 litros
67) 12 operários
68) 15 dias
69) 16 dias
70) 4 dias
71) 216 caixas
72) 7 kw
73) 24 ovos
74) 5 min
75) 12 máquinas
76) 5 kg
77) 9 horas
78) 1.800 toneladas
79) 18 dias
80) 300 litros
81) 360 famílias
82) 480 colares
83) 5 horas
84) letra d
85) letra b
86) letra c
87) letra d
88) letra b
89) letra c
90) letra b
91) letra c
92) letra d
93) letra c
94) letra c
95) letra b
96) letra a
97) letra a
98) letra d
99) letra c
100) letra a
101) letra c
102) letra a
103) letra e
104) letra d
105) letra d
106) letra d
107) letra e
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Anelídeos
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
www.youtube.com/accbarroso1
Anelídeos
O solo é uma parte da biosfera geralmente repleta de vida. Muitos dos seres vivos que habitam o interior do solo não são visíveis a olho nú, mas há outros que podem ser vistos com facilidade. Um exemplo é a minhoca. Ela vive em solo úmido, como é, geralmente, o solo fértil que serve como canteiro (de horta ou jardim).
A minhoca pertence ao filo dos anelídeos - nome que inclui vermes com o corpo segmentado, dividido em anéis. Os anelídeos compreendem cerca de 15 mil espécies, com representantes que vivem no solo úmido, na água doce e na água salgada. Podem ser parasitas ou de vida livre.
Características gerais dos anelídeos
Além da minhoca, existem várias espécies de anelídeos. Podemos citar animais pequenos - como a sanguessuga, que pode medir apenas alguns milímetros de comprimento - e também animais de grande porte - como o minhocuçu, que atinge dois metros.
Sanguessuga
Minhocuçu
O habitat dos anelídeos pode ser a água dos mares e oceanos ou a água doce e a terra úmida. Eles são considerados os mais complexos dos vermes. Além do tubo digestório completo, têm um sistema circulatório fechado, isto é, têm boca e ânus e também apresentam um sistema circulatório em que o sangue só circula dentro dos vasos.
O corpo dos anelídeos é revestido por uma pele fina e úmida. Essa é uma característica importante da respiração cutânea - respiração realizada através da pele, pois os gases respiratórios não atravessam superfícies secas.
Na maioria das vezes, os anelídeos são hermafroditas, isto é, cada animal possui os dois sistemas reprodutores: o masculino e o feminino. No entanto, eles realizam fecundação cruzada e recíproca, ou seja, dois animais hermafroditas cruzam e se fecundam mutuamente.
Classificação dos anelídeos
Podemos classificar os anelídeos utilizando como critério a presença ou a ausência de estruturas semelhantes a pelos e a quantidade dessas cerdas.
Há três grupos de anelídeos: oligoquetos, poliquetos e aquetos. Pelo significado dessas palavras, é possível identificar como são as cerdas (quetos) desses animais: oligo significa "poucos"; poli significa "muitos"; e a significa "sem".
Oligoquetos
Apresentam poucas cerdas por anel. Não há parapódios (pequenas projeções do corpo que auxiliam a locomoção) nem cabeça diferenciada do restante do corpo.
O principal representante desse grupo é a minhoca. Ela tem a pele coberta por uma fina película e produz uma substância viscosa; esse muco diminui o atrito com o solo, protege a pele do contato com possíveis substâncias tóxicas e mantém a umidade, que é fundamental para a respiração cutânea.
Nesse animal, é visível o clitelo - um anel mais claro por onde os animais se unem na fecundação cruzada, trocando espermatozóides. Após a reprodução, cada um dos vermes libera no solo um casulo cheio de ovos. Alguns dias depois, saem desses ovos vermes jovens.
* O sistema digestório é formado por uma boca; um papo, que parece uma grande câmera; uma moela, por onde o alimento é triturado; um longo intestino, que termina no ânus, situado no ultimo anel do corpo.
* O sistema circulatório é fechado, e nele o sangue circula dentro dos vasos. O sangue possui hemoglobina, o mesmo pigmento vermelho que nós, seres humanos, possuímos.
* O sistema nervoso é formado por células nervosas que coordenam várias funções do corpo.
A minhoca desempenha um papel importante na fertilidade do solo. Ela cava "túneis", atua como arado, aumentando a aeração e a circulação da água. Além disso, as suas fezes contêm, substâncias nutritivas que se misturam com a terra e agem como adubo, fertilizando o solo.
Poliquetos
Possuem muitas cerdas em cada segmento, ou seja, em cada anel. Cada anel tem um par de projeções laterais, os parapódios, no qual estão implantadas as cerdas.
Os poliquetos são carnívoros. Muitas vezes, são canibais, isto é, devoram outros poliquetos.
Aquetos
Os aquetos (também chamados hirudíneos) não possuem cerdas e apresentam ventosas, que ajudam na fixação e na locomoção.
Nesse grupo, está a sanguessuga. Ela é hermafrodita e vive em solo úmido e pantanoso ou em água doce. Existem também algumas espécies marinhas.
A sanguessuga chupa o sangue de outros animais pelas ventosas, mas também pode se alimentar de minhocas e de restos de animais. É de pequeno porte, o seu comprimento varia de 1 a 20 centímetros.
Sanguessuga
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Circunferência
Introdução
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.
Raio - Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.
Arco – é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.
Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.
Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ.
Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as
extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.
O Comprimento da circunferência
Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será o seu comprimento. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro.
No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada.
* riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
* desenhar um círculo no seu caderno?
* marcar o limite das escavações de um poço no chão?
Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar.
A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo.
Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências.
O compasso possui duas “pernas”, uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência, a outra ponta,
com a grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência.
Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso.
À distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência.
Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz podem-se riscar uma circunferência no chão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam usar uma corda e duas estacas.
Portanto, (x - a)² + (y - b)² = r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
* os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
* não deve existir o termo xy.
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
* 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente
* 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a) ² + (y - b) ² - r²:
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² > 0, então P é exterior à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² = 0, então P pertence à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² <>P é interior à circunferência.
Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência α :
(x - a) ² + ( y - b ) ² = r², temos:
Assim:
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P
* Externo:
d > r ;
d - r > 0
* Interno:
d <>
d - r <>
* Pertence à Circunferência:
d = r
d - r = 0
’
A reta tem um só ponto A comum com a circunferência, e os outros pontos da reta são exteriores à circunferência. A tangente a um círculo, num ponto, é a perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto.
d = r
* Secante:
A reta tem dois pontos distintos A e B comuns com a circunferência.
d <>
A reta não tem ponto comum com a circunferência. Todos os pontos da reta são exteriores à circunferência
d > r
A duas circunferências não têm ponto em comum.
d > r1 + r2
* Internamente:
As duas circunferências não têm pontos em comum e os pontos de uma delas são interiores à outra.
d < |r1 - r2|
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são exteriores à outra. O ponto comum é o ponto de tangência.
d = r1 + r2
* Internamente:
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são interiores à outra. O ponto comum é o ponto da tangência.
d = |r1 - r2|
* São Secantes:
As duas circunferências têm dois pontos distintos em comum. São denominadas circunferências SECANTES.
|r1 - r2| < alt="" src="http://www.coladaweb.com/matematica/circun_arquivos/image062.jpg" width="71" border="0" height="55">
d = 0
Autoria: Daiane Fernandes
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência.
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas.
Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada.
Circunferência
A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.
Algumas definições
Raio - Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.
Arco – é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.
Corda – é um segmento de infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos o que chamamos de diâmetro.
O diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio.
Assim, para medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.
Secante – é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contem uma corda.
Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou seja, corda PQ.Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ.
Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as
extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.
O Comprimento da circunferência
No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada.
Círculo
Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. É uma figura geométrica bastante comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, a mesa de refeição...
Agora pense, o que faríamos para:* riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
* desenhar um círculo no seu caderno?
* marcar o limite das escavações de um poço no chão?
Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar.
A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo.
Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências.
O compasso possui duas “pernas”, uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência, a outra ponta,
com a grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência.
Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso.
À distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência.
Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz podem-se riscar uma circunferência no chão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam usar uma corda e duas estacas.
Equação reduzida da circunferência
Uma circunferência é determinada quando conhecemos a posição do seu centro e o valor do seu raio. Imaginando no plano cartesiano uma circunferência de centro no ponto C = (a, b) e com raio R, vamos representar por P = (x, y) um ponto qualquer que pertence a essa circunferência. Que propriedade tem o ponto P?
Se P pertence à circunferência, sua distância até o centro é igual ao raio.
Como a distância do ponto C = (a, b) ao ponto P = (x, y) é igual a R, usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:
(x - a)2 + (y - b)2 = R
Elevando ao quadrado os dois membros, a expressão obtida é a equação da circunferência de centro (a, b) e raio R.
Portanto, (x - a)² + (y - b)² = r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .
Exemplo:
Seja uma circunferência cuja equação é:
(x - 2) ² + (y - 3)² = 100
Verificar se a circunferência passa pela origem ,quais as coordenadas do centro e quanto vale o raio:
Pela expressão temos que: R = 10 e C(2,3)
Fazendo x=0 e y=0, temos que: (-2) ² + (-3) ² = 13
Como 13 é diferente de 100, logo a circunferência não passa pela origem.
Equação geral da circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
(x - 2)² +(y + 3) ² = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
* os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
* não deve existir o termo xy.
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.
Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:* 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente
x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 6
* 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes* 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
(x - 3) ² + (y + 1) ² = 16
* 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio
Posição de um ponto em relação a uma circunferência
Em relação à circunferência de equação (x - a) ² + (y - b) ² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a) ² + (y - b) ² - r²:
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² > 0, então P é exterior à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² = 0, então P pertence à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² <>P é interior à circunferência.
Posição de uma reta em relação a uma circunferência
Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência α de equação (x - a) ² + (y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e α :Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência α :
(x - a) ² + ( y - b ) ² = r², temos:
Assim:
Condições de tangência entre reta e circunferência
Dados uma circunferência α e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P
Posições Relativas entre Ponto e Circunferência
* Externo:
d > r ;
d - r > 0
* Interno:
d <>
d - r <>
* Pertence à Circunferência:
d = r
d - r = 0
’
Posições Relativas entre Reta e Circunferência
* Tangente: A reta tem um só ponto A comum com a circunferência, e os outros pontos da reta são exteriores à circunferência. A tangente a um círculo, num ponto, é a perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto.
d = r
* Secante:
A reta tem dois pontos distintos A e B comuns com a circunferência.
d <>
* Externo:
A reta não tem ponto comum com a circunferência. Todos os pontos da reta são exteriores à circunferência
d > r
Posições Relativas entre duas Circunferências
* Não se interceptam: (d = distância entre os Centros)
* Externamente: A duas circunferências não têm ponto em comum.
d > r1 + r2
* Internamente:
As duas circunferências não têm pontos em comum e os pontos de uma delas são interiores à outra.
d < |r1 - r2|
* São Tangentes:
* Externamente: As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são exteriores à outra. O ponto comum é o ponto de tangência.
d = r1 + r2
* Internamente:
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são interiores à outra. O ponto comum é o ponto da tangência.
d = |r1 - r2|
* São Secantes:
As duas circunferências têm dois pontos distintos em comum. São denominadas circunferências SECANTES.
|r1 - r2| < alt="" src="http://www.coladaweb.com/matematica/circun_arquivos/image062.jpg" width="71" border="0" height="55">
* Caso particular: Concêntricas:
As duas circunferências são interiores e os centros das duas são coincidentes.d = 0
Conclusão
Nosso trabalho consiste em falar sobre circunferência. Nesta ação, conseguimos compreender o que é circunferência; é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.Autoria: Daiane Fernandes
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