Perímetro do Círculo

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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O perímetro de uma figura é calculado através da soma dos comprimentos de todos os lados. Portanto, não temos uma expressão definida para o cálculo do perímetro de figuras. Mas na circunferência, a maneira de calcular o perímetro é diferente, pois as regiões circulares não são formadas por segmentos de retas. O comprimento da circunferência é dado em função do raio, isto de forma proporcional, quanto maior o raio maior o comprimento da circunferência.

Para determinarmos o comprimento da circunferência ou seu perímetro, utilizamos uma expressão única, sempre dependendo do tamanho do raio, observe:

C = 2 * π * r, onde:

C = raio da circunferência (medida do centro à extremidade)
π = 3,14 (aproximadamente)
r = raio


Exemplo 1

Determine quantos metros, aproximadamente, uma pessoa percorrerá se der 8 voltas completas em torno de um canteiro circular de 2 m de raio.

Resolução:
Calcular quantos metros essa pessoa percorre em uma volta e depois multiplicar por 8.

C = 2 * π * r
C = 2 * 3,14 * 2
C = 12,56

Comprimento do percurso
C = 12,56 * 8
C = 100,48 metros

Exemplo 2
O pneu de um veículo, com 400 mm de raio, ao dar uma volta completa, percorre quantos metros aproximadamente?

Resolução:

Precisamos transformar 400 mm em metros, para isso basta dividirmos 400 por 1000, resultando em 0,4m. Agora basta aplicarmos a expressão do comprimento de uma circunferência.

C = 2 * π * r
C = 2 * 3,14 * 0,4
C = 2,512 metros

O pneu percorre aproximadamente 2,5 metros.

Exemplo 3

Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 600 km sobre uma pista circular de raio 100 m. Qual o número aproximado de voltas que ele dará?

Resolução:

Calcular o comprimento da pista
C = 2 * π * r
C = 2 * 3,14 * 100
C = 628 metros

Convertendo 500 km em metrosComo 1 km possui 1000 metros, então 600 * 1000 = 600 000 metros

Calculando o número aproximado de voltasBasta dividir o percurso pelo comprimento da pista:
600 000 : 628 = 955 (aproximadamente)

Portanto, o ciclista deverá dar aproximadamente 955 voltas
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Poesia Versos, estrofes, métrica

O que é poesia? Qual a diferença em relação à prosa? Essas são questões centrais para os estudiosos de literatura. A palavra vem do grego poiésis, criação, fabricação.

O poema é uma obra de arte e tem valor permanente. No poema a seguir, o poeta latino Catulo, traduzido por Haroldo de Campos, cantou o amor.




Algumas definições de poesia referem-se à emoção, à beleza, à concisão, à perfeição da elaboração poética, ao sintetizar uma experiência universal. O escritor italiano Umberto Eco define a poesia de uma forma simples e eficaz:

"Poesia é aquela coisa que muda de linha antes que a página tenha terminado."

:: VEJA IMAGENS DE GRANDES POETAS ::

Escritura contínua

O verso, portanto, define a poesia, por oposição à prosa - basicamente, é cada uma das linhas que ocupa a poesia. A prosa é uma escrita contínua, sem pausas, métrica ou ritmo. A prosa é o veículo natural das narrativas, como o conto, a novela ou o romance.

Apesar disto, certas obras narrativas, como a Odisseia ou a Ilíada, de Homero, foram escritas em versos.

Também existem poemas em prosa. Embora sejam escritos em prosa, têm todas as características da poesia, como os temas, o estilo e a inspiração.

Podemos dizer que o poema é uma obra fechada em si mesma, curta e escrita em versos. O poema tem uma relação direta e intensa com a língua em que é escrito; nele, a informação aparece condensada, o significado está tensionado.

Segundo o poeta norte-americano Ezra Pound, há três grandes formas de a linguagem se carregar de significado:

Induzindo correlações emocionais pelo som e pelo ritmo ("melopeia");

Trazendo um objeto para a imaginação visual ("fanopeia");

Produzindo associações emocionais e intelectuais ("logopeia").

Escrita métrica

O verso é uma escrita métrica. Ele pode ser medido. Nas línguas clássicas, como o grego e o latim, a medida dos versos é indicada pela alternância de sílabas longas e breves.

Em português, a medida de um verso é indicada pelo número de sílabas que ele apresenta. Os dois primeiros versos do poema Bilhete, do poeta gaúcho Mário Quintana, apresentam dez sílabas, isto é, são decassílabos.

A contagem das sílabas métricas vai apenas até a última sílaba tônica do verso.

Estrofe

Um conjunto de versos chama-se "estrofe". Um soneto, por exemplo, é um poema que apresenta quatro estrofes - dois quartetos (estrofes de quatro versos) e dois tercetos (estrofes de três versos).

Para conhecer a estrutura interna de um poema, é importante conhecer o número de estrofes e o número de versos em cada estrofe.

Os efeitos rítmicos também podem ser obtidos através de rimas, estribilhos, repetições e variações de sons. Há uma infinidade de recursos que criam a sonoridade peculiar de um poema.

Sons e imagens

O poeta se comunica por sons e por imagens. Ele percebe e cria relações entre o que vê, imagina, sente e pensa. Ele estabelece comparações e contrastes e cria imagens e analogias, isto é, procura semelhanças e diferenças entre as coisas. A linguagem poética tem um grande poder de evocação, de criar novas realidades.

Eu lírico

Por fim, é importante lembrar que não é o próprio autor que se expressa no poema, mas sim um "Eu poético" ou "Eu lírico". O Eu poético também é uma criação literária, uma ficção.

Mas afinal o que é poesia? O poeta Manuel Bandeira assim se expressou:

"Compreendi que a poesia está nas palavras, se faz com palavras e não com ideias e sentimentos, muito embora, bem entendido, seja pela força do sentimento ou pela tensão do espírito que acodem ao poeta as combinações de palavras onde há carga de poesia."

Heidi Srecker é filósofa e educadora.

Sistema Endócrino

Sistema Endócrino



O que define a hora de o beber nascer?

O que determina que a mãe produza leite para alimentar o seu bebê?

O que indica que as pessoas não são mais crianças e se tornam adultos sexualmente maduros com características de machos e fêmeas?

O que coordena e integra as funções e as atividades do corpo?

Todas as funções e atividades do nosso corpo são coordenadas e integradas pelo sistema nervoso e pelo sistema endócrino (hormonal). O sistema endócrino é composto de várias glândulas que se situam em diferentes pontos do nosso corpo. Glândulas são estruturas que produzem substâncias que tem determinada função no nosso corpo.



As glândulas endócrinas e as suas funções

As glândulas endócrinas produzem e lançam no sangue substâncias reguladoras denominadas hormônios – estes, ao serem lançados no sangue, percorrem o corpo até chegar aos órgãos-alvo sobre os quais atuam.



Hipófise

A hipófise pode ser considerada a “glândula-mestre” do nosso corpo. Ela produz vários hormônios e muitos deles estimulam o funcionamento de outras glândulas, com a tireóide, as supra-renais e as glândulas-sexuais (ovários e testículos). O hormônio do crescimento é um dos hormônios produzidos pela hipófise. O funcionamento do corpo depende do equilíbrio hormonal. O excesso, por exemplo, de produção do hormônio de crescimento causa uma doença chamada gigantismo (crescimento exagerado) e a falta dele provoca o nanismo, ou seja, a falta de crescimento do corpo.

Outro hormônio presente no corpo humano e também produzido pela hipófise é o antidurético (ADH). Essa substância permite ao corpo economizar água na excreção (formação de urina).



Tireóide

A tireóide produz a tiroxina, hormônio que controla a velocidade de metabolismo do corpo. Se ocorrer hipertireoidismo, isto é, funcionamento exagerado da tireóide, todo o metabolismo fica acelerado: o coração bate mais rapidamente, a temperatura do corpo fica mais alta que o normal; a pessoa emagrece porque gasta mais energia. Esse quadro favorece o desenvolvimento de doenças cardíacas e vasculares, pois o sangue passa a circular com maior pressão. Pode ocorrer o bócio, ou seja, um “papo” causado pelo crescimento exagerado da tireóide. Também pode aparecer a exoftalmia, isto é, os olhos ficam “saltados


Se a tireóide trabalha menos ou produz menor quantidade de tiroxina que o normal, ocorre o hipotireoidismo, e o organismo também se altera: o metabolismo se torna mais lento, algumas regiões do corpo ficam inchadas, o coração bate mais vagarosamente, o sangue circula mais


lentamente, a pessoa gasta menos energia, tornando-se mais propensa à obesidade, as respostas físicas e mentais tornam-se mais lentas. Aqui, também pode ocorre o bócio.

Quando o hipotireoidismo ocorre na infância, pode provocar um retardamento físico e mental. Um das possíveis causas dessa doença é a falta (ou insuficiência) de iodo na alimentação, já que o iodo é um elemento presente na composição da tiroxina. Na maioria dos países assim como no Brasil, existem leis que obrigam os fabricantes de sal de cozinha a adicionar iodo nesse produto. Com tal medida, garante-se que a maioria das pessoas consuma diariamente a quantidade necessária de iodo.
Paratireóides

As paratireóides são quatro glândulas localizadas em volta da tireóide. Elas produzem o paratormônio, hormônio que regula a quantidade de cálcio e fósforo no sangue.



Supra-renais

As supra-renais, duas glândulas que se situam acima dos rins, produzem adrenalina, também conhecida como hormônio das “situações de emergência”. A adrenalina prepara o corpo para a ação, ou seja, em termos biológicos, para atacar ou fugir.



Os principais efeitos da adrenalina no organismo são:

* Taquicardia (o coração dispara e impulsiona mais sangue para os braços e pernas, dando-nos capacidade de correr mais ou de nos exaltar mais em uma situação tensa, como uma briga);
* Aumento da frequência respiratória e da taxa de glicose no sangue (isso permite que as células produzam mais energia);
* Contração dos vasos sanguíneos da pele (o organismo envia mais sangue para os músculos esqueléticos) – por essa razão, ficamos pálidos de susto e também “gelados de medo”!



Pâncreas

O pâncreas produz dois hormônios importantes na regulação da taxa de glicose (açúcar) no sangue: a insulina e o glucagon.

A insulina facilita a entrada da glicose nas células (onde ela será utilizada para a produção de energia) e o armazenamento no fígado, na forma de glicogênio. Ela retira o excesso de glicose do sangue, mandando-o para dentro das células ou do fígado. Isso ocorre, logo após as refeições, quando a taxa de açúcar sobe no sangue. A falta ou a baixa produção de insulina provoca o diabetes, doença caracterizada pelo excesso de glicose no sangue (hiperglicemia).



Já o glucagon funciona de maneira oposta à insulina. Quando o organismo fica muitas horas sem se alimentar, a taxa de açúcar no sangue cai muito e a pessoa pode ter hipoglicemia, que dá a sensação de fraqueza, tontura, podendo até desmaiar. Quando ocorre a hipoglicemia o pâncreas produz o glucagon, que age no fígado, estimulando-o a “quebrar” o glicogênio em moléculas de glicose. A glicose é, então enviada para o sangue, normalizando a taxa de açúcar.

Além de hormônios, o pâncreas produz também o suco pancreático, que é lançado no intestino delgado e desempenha um papel muito importante no processo digestivo.



Glândulas sexuais

As glândulas sexuais são os ovários (femininos) e os testículos (masculinos). Os ovários e os testículos são estimulados por hormônios produzidos pela hipófise. Enquanto os ovários produzem estrogênio e progesterona, os testículos produzem testosterona.



O mecanismo de feedback

A regulação hormonal obedece a um equilíbrio dinâmico que se estabelece por meio da retroalimentação ou do feedback, ou seja, do mecanismo através do qual o efeito controla a causa. Quando a taxa de um determinado hormônio no sangue está alta, a glândula que produz esse hormônio é inibida e pára de produzi-lo. Da mesma maneira, quando a tava está abaixo do nível normal, a glândula recebe estímulo para produzir esse hormônio.

Graças à retroalimentação, o funcionamento é ajustado às necessidades do organismo e, assim, um hormônio não é produzido em quantidade excessiva, não havendo desperdício de energia.
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Exercício 7ª série imprima e resolva

Classificação de um Sistema de Equações:

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso www.accbarrosogestar.wordpress.com

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Classificação de um Sistema de Equações:

Sistemas

Vamos abordar a classificação de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Ao resolver os sistemas pelo método da adição ou da substituição, verificaremos três condições de classificação:

Sistema Determinado – SD
Sistema Possível Indeterminado – SID
Sistema Impossível – SI


Sistema Determinado

Um sistema de equações é considerado determinado quando apresenta uma única solução, isto é, no caso de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, há um único par ordenado. Observe:

Ao resolvermos o sistema , obtemos uma única possível solução: (4, 3).

Sistema Possível Indeterminado

Esse sistema admite infinitas soluções, isto é, temos infinitos pares ordenados (x, y) que satisfazem ao sistema. Observe o sistema , ele possui infinitas soluções.

Observe que quando temos 0y = 0, podemos considerar qualquer valor para y que mesmo assim, a igualdade se mantém verdadeira.



Sistema Impossível

Nesse sistema dizemos que não existem soluções possíveis, isto é, ele não possui par ordenado que satisfaça à condição do sistema de equações. Na resolução do sistema ocorre uma condição inexistente na Matemática. Observe:

EXERCÍCIOS Números inteiros II

1) Elimine os parênteses

a) -(+5) = -5
b) -(-2) = +2
c) - (+4) = -4
d) -(-7) = +7
e) -(+12) = -12
f) -(-15) = +15
g) -(-42) = +42
h) -(+56) = -56

2) Calcule:

a) (+7) - (+3) = (R: +4)
b) (+5) - (-2) = (R: +7)
c) (-3) - ( +8) = (R: -11)
d) (-1) -(-4) = (R: +3)
e) (+3) - (+8) = (R: -5)
f) (+9) - (+9) = (R: 0 )
g) (-8) - ( +5) = (R: -13)
h) (+5) - (-6) = (R: +11)
i) (-2) - (-4) = (R: +2)
j) (-7) - (-8) = (R: +1)
l) (+4) -(+4) = (R: 0)
m) (-3) - ( +2) = (R: -5)
n) -7 + 6 = (R: -1)
o) -8 -7 = (R: -15)
p) 10 -2 = (R: 8)
q) 7 -13 = (R: -6)
r) -1 -0 = (R: -1)
s) 16 - 20 = (R: -4)
t) -18 -9 = (R: -27)
u) 5 - 45 = (R:-40)
v) -15 -7 = (R: -22)
x) -8 +12 = (R: 4)
z) -32 -18 = (R:-50)

3) Calcule:

a) 7 - (-2) = (R: 9)
b) 7 - (+2) = (R: 5)
c) 2 - (-9) = (R: 11)
d) -5 - (-1) = (R: -4)
e) -5 -(+1) = (R: -6)
f) -4 - (+3) = (R: -7)
g) 8 - (-5) = (R: 13)
h) 7 - (+4) = (R: 3)
i) 26 - 45 = (R: -19)
j) -72 -72 = (R: -144)
l) -84 + 84 = (R: 0)
m) -10 -100 = (R: -110)
n) -2 -4 -1 = (R: -7)
o) -8 +6 -1 = (R: -3)
p) 12-7 + 3 = (R: 8)
q) 4 + 13 - 21 = (R: -4)
r) -8 +8 + 1 = (R: 1)
s) -7 + 6 + 9 = (R: 8)
t) -5 -3 -4 - 1 = (R: -13)
u) +10 - 43 -17 = (R: -50)
v) -6 -6 + 73 = (R: 61)
x) -30 +30 - 40 = (R: -40)
z) -60 - 18 +50 = (R: -28)



4) Calcule:

a) (-4) -(-2)+(-6) = (R: -8)
b) (-7)-(-5)+(-8) = (R: -10)
c) (+7)-(-6)-(-8) = (R: 21)
d) (-8) + (-6) -(+3) = (R: -17)
e) (-4) + (-3) - (+6) = (R: -13)
f) 20 - (-6) - (-8) = (R: 34)
g) 5 - 6 - (+7) + 1 = (R: -7)
h) -10 - (-3) - (-4) = (R: -3)
i) (+5) + (-8) = (R: -3)
j) (-2) - (-3) = (R: +1)
l) (-3) -(-9) = (R: +6)
m) (-7) - (-8) =(R: +1)
n) (-8) + (-6) - (-7) = (R: -7)
o) (-4) + (-6) + (-3) = (R: -13)
p) 15 -(-3) - (-1) = (R: +19)
q) 32 - (+1) -(-5) = (R: +36)


5) Calcule:

a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (R: -9)
b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9)
c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0)
d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12)
e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13)
f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 )
g) -2 + (-1) -6 = (R: -9)
h) -(+7) -4 -12 = (R: -23)
i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 )
j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50)
l) -50 - (+7) -43 = (R: -100)
m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4)
n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11)
o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10)
p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40)
q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11)
r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20)


ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES

1) parenteses precedidos pelo sinal +

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) + (-4 + 5) = -4 + 5

b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7

2) Parênteses precedidos pelo sinal -

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de - que os precede, devemos trocar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) -(4 - 5 + 3) = -4 + 5 -3

b) -(-6 + 8 - 1) = +6 -8 +1

EXERCICIOS

1) Elimine os parênteses:

a) +(-3 +8) = (R: -3 + 8)
b) -(-3 + 8) = (R: +3 - 8)
c) +(5 - 6) = (R: 5 -6 )
d) -(-3-1) = (R: +3 +1)
e) -(-6 + 4 - 1) = (R: +6 - 4 + 1)
f) +(-3 -2 -1) = (R: -3 -2 -1 )
g) -(4 -6 +8) = (R: -4 +6 +8)
h) + (2 + 5 - 1) = (R: +2 +5 -1)

2) Elimine os parênteses e calcule:

a) + 5 + ( 7 - 3) = (R: 9)
b) 8 - (-2-1) = (R: 11)
c) -6 - (-3 +2) = (R: -5)
d) 18 - ( -5 -2 -3 ) = (R: 28)
e) 30 - (6 - 1 +7) = (R: 18)
f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4) = (R: 3)
g) 4 + (3 - 5) + ( -2 -6) = (R: -6)
h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) = (R: 13)
i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) = (R: 16)
j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) = (R: 27)

3) Calcule:

a) 10 - ( 15 + 25) = (R: -30)
b) 1 - (25 -18) = (R: -6)
c) 40 -18 - ( 10 +12) = (R: 0)
d) (2 - 7) - (8 -13) = (R: 0 )
e) 7 - ( 3 + 2 + 1) - 6 = (R: -5)
f) -15 - ( 3 + 25) + 4 = (R: -39)
g) -32 -1 - ( -12 + 14) = (R: -35)
h) 7 + (-5-6) - (-9 + 3) = (R: 2)
i) -(+4-6) + (2 - 3) = (R: 1)
j) -6 - (2 -7 + 1 - 5) + 1 = (R: 4)
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Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de expressões mais simples.

Casos de fatoração:

FATOR COMUM
ax + bx + cx = x . (a + b + c)
O fator comum é x.
12x3 - 6x2 + 3x = 3x . (4x2 - 2x + 1)
O fator comum é 3x.

AGRUPAMENTO

ax + ay + bx + by
Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum.
(ax + ay) + (bx + by)
Colocar em evidência o fator comum de cada grupo
a(x + y) + b(x + y)
Colocar o fator comum (x + y) em evidência
(x + y) . (a + b) Þ Este produto é a forma fatorada da expressão dada

DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

A expressão a2 - b2 representa a diferença de dois quadrados e sua forma fatorada é :
(a + b) (a - b)
Ex: x2 - 36 = (x + 6) (x - 6)

TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

a2 + 2ab + b2
Um trinômio é quadrado perfeito quando :
- dois de seus termos são quadrados perfeitos (a2 e b2 )
- o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos (2ab)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Ex: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Ex: x2 - 6x + 9 = (x - 3)2

TRINÔMIO DO 2O GRAU

Trinômio do tipo x2 + Sx + P
Devemos procurar dois números a e b que tenham soma S e produto P.
x2 + Sx + P = (x + a) (x + b)
Ex: x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
x2 + 2x - 8 = (x + 4) (x - 2)
x2 - 5x + 6 = (x - 2) (x - 3)
x2 - 2x - 8 = (x - 4) (x + 2)

SOMA DE DOIS CUBOS

A expressão a3 + b3 representa a soma de dois cubos.
Sua forma fatorada é :
(a + b) (a2 - ab + b2)
Ex: x3 + 8 = (x + 2) (x2 - 2x + 4)

DIFERENÇA DE DOIS CUBOS

A expressão a3 - b3 representa a diferença de dois cubos.
Sua forma fatorada é :
(a - b) (a2 + ab + b2)
Ex: x3 - 27 = (x - 3) (x2 + 3x + 9)

Fonte: www.sosmatematica.com

Fatoração

Quando a gente fatora uma expressão, na verdade, a gente esta transformando
esta expressão em fatores de uma multiplicação. Para conseguirmos isto utilizamos
algumas técnicas tais como:
1. Fator comum em evidência
2. Agrupamento de termos semelhantes
3. Diferença de dois quadrados
4. Trinômio quadrado perfeito.
5. Trinômio do segundo grau.
Achou alguns nomes acima complicados ? Não se preocupe! Vamos ver, a seguir,
um exemplo de cada uma destas técnicas utilizadas para a fatoração de uma expressão.

1. Fator comum em evidência: 12x2 + 4x3 - 8x4

Nesta técnica a gente verifica cada um dos termos, procurando ver se os
coeficientes (o que fica na na frente das variáveis x, y etc), podem ser
divididos por um certo número. Neste caso 12, +4, -8 podem ser divididos
por 4. Então, colocamos o número 4 em evidência, ou seja, antes de um
parênteses, dividimos cada um dos coeficientes por 4 e escrevemos o
resultado no lugar o próprio coeficiente. Veja:
12x2 + 4x3 - 8x4
4 (3x2 + 1x3 - 2x4). Observe que se multiplicarmos o 4 pelos novos coeficientes
3, 1 e -2 iremos ter de volta os coeficientes originais 12, 4 e -8.
Nós escolhemos o 4 para dividir os coeficientes porquê ele é o maior número que
pode dividir cada um dos coeficientes. Não poderíamos ter escolhido, o 8, por exemplo, pois ele é maior que o 4 e não daria para fazer divisão exata, ok ?

1. Fator comum em evidência (Continuação) :

12x2 + 4x3 - 8x4 = 4 (3x2 + 1x3 - 2x4)
Agora precisamos verificar se podemos dividir cada um dos termos que estão dentro
dos parênteses, por um mesmo fator literal (que contém letra). Neste caso podemos
notar que o fator x2 serve para dividir cada uma dos termos da expressão.
Desta forma, escrevemos o x2 antes dos parênteses, ao lado do número 4, e dividimos
cada um dos termos por ele. Veja como fica:
4x2 (3 + 1x - 2x2)
Lembrete: x4 / x3 = x (Divisão de
de mesmba base: repete a base e subtrai
os expoentes.
Observe que se multiplicarmos o 4x2 pelos termos dentro dos parênteses iremos obter
a expressão original 12x2 + 4x3 - 8x4. Desta forma, através da técnica de por o fator
comum em evidência, da fatoração, concluímos que 12x2 + 4x3 - 8x4 = 4x2 (3 + x - 2x2).

2. Agrupamento dos termos semelhantes: xy + xz + ay + az

Esta técnica de fatoração consiste em juntar os termos que são iguais e tentar
colocar algo em evidência como fizemos nos exemplos anteriores. Vejamos:
vamos fatorar xy + xz + ay + az.
Primeiro a gente tenta ver os termos que têm partes iguais. Neste caso o xy e xz
têm algo igual: a letra x e, portanto, a gente pode por o x em evidência, que nem fizemos
no exemplo anterior, e o y e o z dentro dos parênteses. Veja:xy + xz = x(y +z).
Então até agora estamos assim: xy + xz + ay + az = x(y +z) + ay + az.
Segundo, a gente nota também que o ay e o az têm parte comum: a letra a. Então
fazemos a mesma coisa: ay + az = a (y + z). Desta forma a expressão original
xy + xz + ay + az é igual a x(y +z) + a (y + z). Finalmente notamos que (y + z) é
comum a x e a, então fazemos novamente a mesma coisa. Colocamos o (y + z) em
evidência e o x e o a dentro dos parênteses. Veja: (y + z) (x + a). Observe que se
fizermos esta multiplicação obteremos a expressão original pois (y + z) (x + a) = xy + xz + ay + az.

3. Diferença de dois quadrados: x2 - y2

Esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte dela, nada mais é que
o resultado de um produto notável do tipo produto da soma pela diferença.
Neste caso, percebemos que a expressão x2 - y2 é o resultado do desenvolvimento
do produto notável (x + y )( x - y ).
Então ao invés de escrevermos x2 - y2 simplesmente escrevemos os fatores
(x + y )( x - y ) pois x2 - y2 = (x + y )( x - y ).

4. Trinômio quadrado perfeito: x2 +2xy + y2

Assim como o caso anterior, esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte dela,
nada mais é que o resultado de um produto notável do tipo a mais b ao quadrado.
Neste caso, percebemos que a expressão x2 +2xy + y2 é o resultado do desenvolvimento
do produto notável (x + y )2.
Então ao invés de escrevermos x2 +2xy + y2 simplesmente escrevemos (x + y )2 pois
x2 +2xy + y2 = (x + y )2.

5. Trinômio do segundo grau: x2 +7x +12

Nesta última técnica, procuramos identificar na expressão, um trinômio do
segundo grau. No exemplo acima, se observarmos atentamente, notaremos
que -7 é a soma das raízes da equação e 12 é o produto destas raízes.
Lembrete: Numa equação do segundo grau a soma das raízes é dada por
-b/a e o produto é dado por c/a, sabendo-se que neste caso a=1, b=7,
e c=12, fica fácil perceber que a Soma é -7/1=-7 e o Produto é 12/1 = 12.
Agora que sabemos a soma (-7) e o produto (12) calculamos por tentativa,
dois número cuja soma seja -7 e o produto seja 12...é claro que os números
são -3 e -4 pois (-3) + (-4) = -7 e (-3).(-4) = 12. Daí escrevemos os fatores
(x - primeira raiz ).(x - segunda raiz) = (x - (-3).(x - (-4) = (x + 3) (x + 4).
Note que efetuando a multiplicação dos fatores (x + 3) (x + 4) obteremos
a expressão original x2 +7x +12.

Fonte: www.interaula.com

Fatorção

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:

1) Fator Comum em evidência

Quando os termos apresentam fatores comuns
Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada

Exs : Fatore:

2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:

ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exs: Fatore:

3) Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado
Assim: x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

Exs: Fatore:

4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios (a² + 2ab + b² ) e ( a² - 2ab + b² ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
(a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a2 - 2ab + b²

Fonte: www.vestibular1.com.br

Equação

Introdução às equações

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavras Sentença matemática

2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

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Vamos trabalhar com uma situação real e a partir dela, tirar algumas informações importantes. Observe a seguinte balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos observar que toda equação tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, denominados variáveis ou incógnitas;

Um sinal de igualdade, denotado por =.

Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro;

Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro.

No link sobre Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2 x + 2 = 14

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizaremos o seguinte procedimento para obter o valor de x.

2x + 2 = 14 Equação original

2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros

2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros

x = 6 Solução

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Resolução: Primeiro passaremos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:

c + a = 22

c + (c - 4) = 22

2c - 4 = 22

2c - 4 + 4 = 22 + 4

2c = 26

c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Resolução: Identificaremos a cidade A com e letra A e a cidade B com B=3A. Assim:

A + B = 100000

A + 3A = 100000

4A = 100000

A = 25000

Resposta: Como B=3A, então a população de B é igual a: 3×25000=75000.

Uma casa contendo 260m2 de área construída possui 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2 ?

Resolução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.

3x + 140 = 260

3x = 260-140

3x = 120

x = 40

Resposta: Cada dormitório tem 40m2.

Exercícios: Resolver as equações.

2 x + 4 = 10

5 k - 12 = 20

2 y + 15 - y = 22

9 h - 2 = 16 + 2 h

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Desigualdades do primeiro grau (1 variável)

Relacionadas com as equações de 1o. grau, temos as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

< > < >

menor maior menor

ou igual maior

ou igual

Nas desigualdades, deseja-se obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

2x + 2 < 14 Para resolver esta desigualdade, deveremos seguir os seguintes passos: 2x + 2 < 14 Equação original 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros 2x < 12 Dividimos por dois os dois membros x < 6 Solução Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6: S = { 1, 2, 3, 4, 5 } Para obter todos os números pares positivos satisfazendo à desigualdade 2x + 2 < 14 o conjunto solução será: S = { 2, 4 } Observação: Quando aparece mais do que um dos quatro de desigualdade, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma. Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as desigualdades: 12 < 2x + 2 < 20 Para resolver estas desigualdades, poderemos seguir o seguinte processo: 12 < 2x + 2 < 20 Equação original 12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros 10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros 5 < x < 9 Solução Concluímos que o conjunto solução é: S = { 6, 7, 8, 9 } Para obter todos os números inteiros negativos satisfazendo às desigualdades 12 < 2x + 2 < 20 teremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é: S = Ø = { } --------------------------------------------------------------------- Desigualdades do primeiro grau (2 variáveis) Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser: a x + b y < c onde a, b e c são valores dados. Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais: 2x + 3y > 0

Como exemplo, observamos que o conjunto solução contem os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

Traçamos a reta 2x+3y=0;

Identificamos um par ordenado fora da reta, por exemplo o par (1,1);

Se este ponto satisfaz à desigualdade, colorimos a região que o contém.

Se este ponto não satisfaz à desigualdade, colorimos a região que não contém o ponto.

A região colorida representa o conjunto solução para a desigualdade.

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Sistemas de equações do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja

2 x + 3 y = 38

3 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações. Podemos observar que x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10,6) }

Um processo para obter a solução deste sistema : A idéia básica é isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação. Este é o método de substituição.

Consideremos o sistema:

2 x + 3 y = 38

3 x - 2 y = 18

Para extrair o valor de x na primeira equação, usamos o seguinte processo:

2 x + 3 y = 38 Primeira equação

2 x = 38 - 3 y Passamos 3y para o 2o. membro

x = 19 - (3y/2) Dividimos ambos os membros por 2

Para substituir o valor de x na segunda equação 3x-2y=18, seguiremos o seguinte:

3 x - 2 y = 18 Segunda equação

3 [19 - (3 y / 2)] - 2 y = 18 x substituído

57 - 9 y/2 - 2 y = 18 eliminamos os colchetes

114 - 9 y - 4 y = 36 multiplicamos os termos por 2

114 - 13 y = 36 reduzimos os termos semelhantes

114 - 36 = 13 y separamos variáveis e números

78 = 13 y simplificamos a equação

13 y = 78 mudamos de posição, dividindo por 6

y = 6 Valor obtido para y

Substituindo y=6 na equação x = 19 - (3y/2), obtemos:

x = 19 - 3×6/2

x = 19 - 18/2

x = 19 - 9 = 10

Exercício: Determinar a solução do sistema de equações:

x + y = 2

x - y = 0

Cada equação do sistema apresentado representa uma reta no plano cartesiano. Construir as duas retas no plano e verificar que a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Observação: Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano. Há três possibilidades para construir estas retas no plano cartesiano:

Retas concorrentes

O sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;

Retas paralelas

O sistema não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;

Retas coincidentes

O sistema admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Acerca das três situações, apresentamos exemplos com as equações postas uma ao lado da outra e não uma sobre a outra como é comum encontrar nos livros.

Tipos de retas 1a. equação 2a. equação

Concorrentes x + y = 2 x - y = 0

Paralelas x + y = 2 x + y = 4

Coincidentes x + y = 2 2x + 2y = 4

Exemplos: Os mesmos problemas apresentados antes, vistos agora do ponto de vista de equações.

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Resolução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:

C + A = 22

C - A = 4

Resposta: C = 13 e A = 9

A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Resolução: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:

A + B = 100000

A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000.

Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2 ?

Resolução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:

3D + O = 260

O = 140

Resposta: D = 40

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Desigualdades com 2 Equações (2 variáveis)

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:

a x + b y < c d x + e y > f

onde a, b, c, d, e e f são valores conhecidos.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 6

5x + 2y < 20

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

Traçamos a reta 2x+3y=6 (em vermelho no desenho);

Escolhemos um ponto fora da reta, por exemplo, o par (2,2);

Observamos que este ponto satisfaz à primeira desigualdade;

Colorimos o semi-plano contendo o ponto (2,2) (cor rosa).

Traçamos a reta 5x+2y=20 (em azul no desenho);

Escolhemos um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2). (não é necessário que seja o mesmo)

Observamos que este ponto satisfaz à segunda desigualdade;

Colorimos o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)

Construímos a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.

Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.

Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos de otimização. O ramo da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.

Números

Número, palavra ou símbolo utilizado para designar quantidades ou entidades que se comportem como quantidades.


NÚMEROS REAIS

Números racionais: os inteiros e quebrados positivos e negativos junto com o número zero formam o sistema dos números racionais. Qualquer número racional pode ser representado como um decimal periódico e vice-versa.

Números irracionais: números reais que não podem ser representados como fração ou decimal periódico. Por exemplo, Ã = 1,4142135623... e ð = 3,1415926535... são números irracionais e suas expansões decimais são necessariamente infinitas e não periódicas.

O conjunto dos números racionais junto com o dos irracionais forma o conjunto dos números reais.


NÚMEROS IMAGINÁRIOS

Os números imaginários representam raízes quadradas de números negativos. O símbolo i representa a unidade dos números imaginários e equivale a Á. Qualquer número imaginário pode ser escrito como ai, sendo a um número real.


NÚMEROS COMPLEXOS

Os números complexos resultam da combinação de números reais com imaginários. De forma geral, um número complexo é representado como a + bi, sendo a e b números reais.

Número Complexo, expressão da forma a + bi, sendo a e b números reais e sendo i Á. Estes números podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, formando um corpo.

Em um número complexo a + bi, a é conhecido como a parte real e b como a parte imaginária. A adição de números complexos realiza-se somando as partes reais e imaginárias separadamente: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.

A multiplicação de números complexos baseia-se em que i · i = -1 e em concluir que esta operação é distributiva quanto à adição: (a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i.

Os números complexos podem ser representados como pontos de um plano no chamado diagrama de Argand. Dado que os pontos do plano podem ser definidos em função de suas coordenadas polares r e è, todo número complexo z pode ser escrito da forma z = r (cos è + i sen è), sendo r o módulo de z ou a distância do ponto à origem e è é o argumento de z, ou ângulo entre z e o eixo das abscissas x.

Corpo (matemática), conjunto de elementos com os quais se pode realizar operações que satisfazem certas propriedades. A teoria matemática dos corpos é uma das principais ferramentas para estudar as propriedades fundamentais dos números.

Formalmente, um corpo é um conjunto F, junto com duas operações, Å e Ä, que satisfazem certas propriedades. Os símbolos Å e Ä podem indicar a adição e a multiplicação comuns ou outro par qualquer de operações semelhantes. As propriedades que o conjunto F tem que cumprir para ser um corpo são as seguintes: (1) A adição e a multiplicação devem ser uniformes e estar bem definidas: a Å b e a Ä b são elementos únicos de F para qualquer a e b de F (2) Para qualquer par de elementos de F, cumpre-se a propriedade comutativa da adição:

a Å b = b Å a (3) Para qualquer trio de elementos de

F, se cumprem as propriedades associativas da adição e da multiplicação:

(a Å b) Å c = a Å (b Å c) e (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c)

(4) Existem os elementos neutros da adição e a multiplicação, que se representam como 0 e 1, sendo 0 ≠ 1, que cumprem: a Å 0 = a = 0 Å a e a Ä 1 = a = 1 Ä a para qualquer a de F

(5) Todo elemento a de F tem um elemento simétrico, -a, tal que: a Å (-a) = 0 = (-a) Å a

(6) Todo elemento a de F diferente de zero tem um elemento inverso, a-1, tal que: a Ä a-1 = 1 = a-1 Ä a

(7) A propriedade distributiva cumpre-se para todos os elementos de F: a Ä (b Å c) = a Ä b Å a Ä c

A subtração se define utilizando a quinta propriedade, isto é, a - b = a Å (-b).

A divisão se define utilizando a sexta propriedade, isto é, a / b = a Ä b-1, para todo b diferente de zero.

Sistema de coordenadas, sistema de identificação de elementos em um conjunto de pontos, marcando-os com números. Estes números são chamados de coordenadas e indicam a posição de um ponto dentro do conjunto.

As coordenadas cartesianas são as mais usadas. Em duas dimensões, são formadas por um par de retas que se cortam em ângulo reto. Cada reta é chamada de eixo e desenhada como a horizontal (eixo x) e a vertical (eixo y). Em três dimensões, acrescenta-se o eixo z, perpendicular aos outros.

Em coordenadas polares, a cada ponto do plano são atribuídas as coordenadas (r,è) com relação a uma reta fixa no plano, denominada eixo polar, e a um ponto desta linha chamado de origem. Para um ponto qualquer do plano, a coordenada r é a distância do ponto até a origem, e a è é o ângulo entre o eixo polar e a linha que une a origem e o ponto.

PRODUTOS NOTÁVEIS - Cubos

As expressões algébricas possuem um processo prático na resolução e dispensam o uso da propriedade distributiva no desenvolvimento. Nesses casos a distribuição gera cálculos excessivos e a probabilidade de erros se torna aparente. A utilização da regra prática exige certa memorização da regra que deverá ser adquirida através da resolução sistemática de exercícios, mas os riscos de erros no desenvolvimento diminuem consideravelmente.

Cubo da Soma (a + b)³
(2x + 3)³
1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 3 = 36x²3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (3)² = 54x4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (3)³ = 27
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ + 36x² + 54x + 27
Exemplos

(4x + 3)³
1º passo: (4x)³ = 64x³2º passo: 3 * (4x)² * 3 = 144x²3º passo: 3 * 4x * (3)² = 108x4º passo: (3)³ = 275º passo: 64x³ + 144x² + 108x + 27
(2x + 3z)³

1º passo: (2x)³ = 8x³
2º passo: 3 * (2x)² * 3z = 36x²z3º passo: 3 * 2x * (2z)² = 24xz²4º passo: (3z)³ = 27z³5º passo: 8x³ + 36x²z + 24xz² + 27z³
(5x + 7z)³
1º passo: (5x)³ = 125x³2º passo: 3 * (5x)² * 7z = 525x²z3º passo: 3 * 5x * (7z)² = 735xz²4º passo: (7z)³ = 343z³5º passo: 125x³ + 525x²z + 735xz² + 343z³
O cubo da diferença se assemelha ao desenvolvimento do cubo da soma, devemos ter cuidado na questão dos sinais do polinômio formado pelo desenvolvimento da expressão. A seguir demonstraremos algumas situações aplicando a forma de resolução através da regra prática.


Cubo da Diferença (a – b)³
(2x – 4)³
1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 4 = 48x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (4)² = 96x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (4)³ = 64
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ – 48x² + 96x – 64

Exemplos

(4x – 2)³

1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 2 = 96x²
3º passo: 3 * 4x * (2)² = 48x
4º passo: (2)³ = 8
5º passo: 64x³ – 96x² + 48x – 8

(3x – 2z)³

1º passo: (3x)³ = 27x³
2º passo: 3 * (3x)² * 2z = 54x²z
3º passo: 3 * 3x * (2z)² = 36xz²
4º passo: (2z)³ = 8z³
5º passo: 27x³ – 54x²z + 36xz² – 8z³

(7x – 5z)³

1º passo: (7x)³ = 343x³
2º passo: 3 * (7x)² * 5z = 735x²z
3º passo: 3 * 7x * (5z)² = 525xz²
4º passo: (5z)³ = 125z³
5º passo: 343x³ – 735x²z + 525xz² – 125z³
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RAIZ QUADRADA

Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado.
Exemplos:
a) √49 = 7 porque 7² = 49
b) √100 = 10 porque 10² = 100

NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS 

Vamos calcular os quadrados dos primeiros números naturais:
0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49

Os números : 0,1,4,9,16,25,36,49,..........chamam-se quadrado perfeito. Somente esses números possuem raiz quadrada exata em IN.



RAIZ QUADRADA APROXIMADA 

Vamos calcular a raiz quadrada do número 23.

Esse número compreendido entre os quadrados perfeitos 16 e 25

Veja: 16 é menor 23 é menor 25.

Extraindo a raiz quadrada desses números, temos: √16, √23, √25.
4 é menor que √23 é menor que 5.

Dizemos então que: 4 é raiz quadrada aproximada, por falta, de 23.
E 5 é a raiz quadrada aproximada por excesso de 23

1) Determine cada raiz, justificando o resultado: Exercício resolvido : √25 = 5 porque 5² = 25

a) √4 = (R: 2)b) √64 = ( R: 8)
c) √81 = (R: 9)d) √49 = (R: 7)e) √0 = ( R: 0)f) √1 = (R: 1)g) √100 = (R: 10)h) √121 = (R: 11)i) √169 = ( R: 13)j) √400 = (R: 20)k) √900 = (R: 30)l) √225 = (R:15)
2) Calcule

a) √1 + √0 = (R: 1)
b) √64 - √49 = ( R: 1)
c) 15 + √81 = (R: 24)d) 2 + √4/9 = (R: 8/3)
e) -3 + √16 = ( R: 1)
f) -5 - √36 = (R: -11)
g) 3√16 – 9 = (R: 3)

3) Calcule

a) √81 = (R: 9)
b) √36 = (R: 6)
c) √144 = (R: 12)
d) √196 = (R: 14)
e) √1600 = (R: 40)
f) √100 = (R:10)
g) -√100 = (R: -10)
h) √121 = (R: 11)
i) -√121 = (R: -11)
j) √400 = (R: 20)
k) -√400 = (R: -20)
l) √4/9 = (R: 2/3)
m) √1/16 = ( R: 1/4)
n) √64/81 = (R: 8/9)
o) √49/25 = (R: 7/5)


4) Calcule

a) 10.√4 = (R: 20)
b) 3 + √25 = (R: 8)
c) 1 - √4/9 = ( R: 2/3)
d) √81-√9 = ( R: 6)
e) √100 - √25 = (R: 5)
f) √25/36 - √1/9 = (R:3/6)
g) 4 . √4/100 = (R:8/10 ou 4/5)

5) Se √x = 30, então o valor de x é:

a) 60
b) 90
c) 600
d) 900 (X)
6) O valor de expressões √0 + √1 - √1/4 é:

a) 1/4
b) 3/2
c) 1/2 (X)d) 3/4

7) O valor da expressão 7² - √64 + 3² é:
a) 42
b) 51
c) 50 (x)d) 38
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