Locução Adjetiva

Locução adjetiva é uma expressão constituída por mais de uma palavra para caracterizar o substantivo, e possuem o mesmo valor, sentido e função de um adjetivo.

Amor de pai (locução adjetiva) - substituir por paterno (adjetivo)

Cara de anjo (locução adjetiva) - substituir por angelical (adjetivo)

Carne de porco (locução adjetiva) - substituir por suíno (adjetivo)

Uma vez por ano (locução adjetiva) - substituir por anual (adjetivo)

Curso da tarde (locução adjetiva) - substituir por vespertino (adjetivo)

Máscara de cabelo (locução adjetiva) - substituir por capilar (adjetivo)
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Jogo matemático: Dedo no gatilho

Crianças têm muita dificuldade em “decorar” a tabuada. Uma das maneiras de tornar essa atividade mais prazerosa e menos monótona é utilizar jogos matemáticos como apoio. Um deles é o dedo no gatilho que é adequado para crianças de 8 a 11 anos.

Esse jogo contém: duas cartelas com frente e verso, nelas terão que ter resultados de duas tabuadas a sua escolha. No exemplo iremos colocar o resultado das tabuadas de 3 e 4.

Número de participante: 2 (um para cada lado da tabela).

Regras do jogo:
• Cada participante escolhe um lado da cartela (frente ou verso)
• Depois de fazer a escolha, o professor propõe uma multiplicação referente à tabela de 3 ou 4. Os jogadores devem apontar o resultado em sua cartela.
• O jogador que apontar primeiro, marca um ponto.
• O jogo continua com o professor propondo outras multiplicações.
• Vence quem obtiver o maior número de pontos.

OBSERVAÇÂO:

• Caso o professor não tenha como construir as cartelas, uma opção é fazê-las no quadro e propor a competição dividindo a turma em dois grupos, cada um deles ficará com um lado da tabela. Cada grupo forma uma fila e conforme o professor for falando uma multiplicação o primeiro de cada fila corre em direção ao quadro e aponta o resultado correto, quem apontar primeiro o resultado correto marca um ponto.
• Não é necessário trabalhar apenas com multiplicação com esses números, o professor pode trabalhar problemas matemáticos como outras operações, como: adição, divisão, subtração, radiciação ou potenciação.

Por Danielle de Miranda

Função inversa

O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f –1 da seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є f.


Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo:

Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)}

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa.

A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5.
Veja o diagrama abaixo:

Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)}

O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa.



Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Observe:

Exemplo 1

Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo:

x = 3y – 5
–3y = –x –5 (multiplicar por –1)
3y = x + 5
y = (x + 5)/3

Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3.



Exemplo 2

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo:

x = y²
√x = √y²
√x = y
y = √x

A função f(x) = x² terá inversa f –1(x) = √x


Exemplo 3

Determine a inversa da função f(x) = (2x+3)/(3x–5), para x ≠ 5/3.

Realizando a troca entre x e y na expressão y = (2x+3)/(3x–5) → x = (2y+3)/(3y–5), logo:

x = (2y+3)/(3y–5)
x*(3y–5) = 2y + 3
3yx – 5x = 2y + 3
3yx – 2y = 5x + 3
y(3x – 2) = 5x + 3
y = (5x+3)/(3x–2), para x ≠ 2/3.
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Divisão de polinômios

Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).
Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema:

Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. Observe:

Exemplo 1:

Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado.

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo4x * (3x² + x – 2) + 0
12x³ + 4x² – 8x

Caso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja:

Exemplo 2:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo(2x – 5) * (5x – 9) + (–5)
10x² – 18x – 25x + 45 + (–5)
10x² – 43x + 45 – 5
10x² – 43x + 40


Observe o exemplo de número 3:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 0
6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5
6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5


Exemplo 4:

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7)
12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7)
12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7
12x³ – 19x² + 15x – 3

Por Marcos Noé

Sistema Excretor

Função

O aparelho excretor é um conjunto de órgãos que produzem e excretam a urina, o principal líquido de excreção do organismo, os dois rins filtram todas as substâncias da corrente sanguínea, estes resíduos formam parte da urina que passa, de forma contínua, pelos ureteres até a bexiga.

Depois de armazenada na bexiga, a urina passa por um conduto denominado uretra até o exterior do organismo. A saída da urina produz-se pelo relaxamento involuntário de um esfíncter que se localiza entre a bexiga e a uretra e também pela abertura voluntária de um esfíncter na uretra.

Excreção

Excreção é o processo pelo qual eliminam substâncias nitrogenadas tóxicas (denominadas excretas ou excreções que provêm principalmente da degradação de aminoácidos ingeridos no alimento), produzidas durante o metabolismo celular.

sistema excretor

Uréia

A uréia é a principal excreta, sendo eliminada dissolvida em água, formando a urina. Por terem a uréia como principal excreta, os homens são chamados de ureotélicos.

Distúrbios do Sistema Excretor

Das doenças que atacam as pessoas nos países desenvolvidos, os distúrbios renais ocupam o quarto lugar. Muitas são as causas das doenças renais; infecções, envenenamento por substâncias químicas (como o mercúrio e o tetracloreto de carbono), lesões, tumores, formação de "pedras" (cálculos renais), paralisia, problemas circulatórios, etc.

Uma das doenças renais mais comum é a glomerulonefrite, em que há lesões dos glomérulos de Malpighi, com grave prejuízo da função renal. A glomerulonefrite pode ter diversas causas, mas a principal é a destruição dos glomérulos pelo próprio sistema de defesa do corpo, o sistema imunitário.

Por motivos ainda não muito bem conhecidos, alguns glóbulos brancos do sangue passam a produzir anticorpos que atacam os glomérulos renais. Uma vez que o próprio sistema imunitário volta-se contra o organismo, fala-se que esse tipo de glomerulonefrite é uma doença auto-imune.
Uma glomerulonefrite pode levar à progressiva perda das funções renais, até que o sangue praticamente não seja mais filtrado, ou submetê-la a um transplante renal.

Rim Artificial

O rim artificial é uma máquina que realiza a hemodiálise, ou seja, filtra artificialmente o sangue, que passa a circular por tubos de paredes semipermeáveis da máquina de hemodiálise, os quais estão mergulhados em uma solução constituída por substâncias normalmente presentes no plasma sanguíneo.

Os excretas tendem a difundir através dos finos poros das membranas semipermeáveis, abandonando o sangue. Com a repetida circulação do sangue pela máquina, a maior parte dos excretas deixa o sangue, difundindo-se para o líquido de diálise.

Cada sessão de hemodiálise dura entre 4 e 6 horas e deve ser repetida 2 ou 3 vezes por semana. O método é eficiente e remove a uréia do sangue mais rápido que um rim normal. No entanto, alem de não realizar todas as funções renais, a hemodiálise é um processo caro, incômodo para o paciente e pode trazer diversos efeitos colaterais.

Transplante Renal

Quando os rins sofrem prejuízo irreversível de suas funções, pode-se tentar o transplante renal, que é a substituição de um dos rins do paciente por um rim sadio, podendo ser obtido por doadores mortos ou vivos. Quando este for vivo, o doador passa a viver com apenas um rim, o que é perfeitamente compatível com a vida.

É necessário esta certa compatibilidade entre os sistemas imunitários do doador e do receptor para evitar que o rim implantado seja rejeitado. Mesmo assim, o receptor de um transplante tem de tomar permanentemente medicamentos que deprimem parcialmente seu sistema imunitário para evitar a rejeição. O único caso em que não há rejeição é quando o transplante é feito entre gêmeos univitelinos (idênticos).

Graças ao aprimoramento das técnicas cirúrgicas e, principalmente, ao desenvolvimento de novos medicamentos imunossupressores (que suprimem as defesas do organismo), os transplantes de rim tem alcançado altos índices de sucesso. A maioria dos pacientes transplantados pode ter vida quase normal durante vários anos. Há diversos casos em que o paciente mantém-se saudável por mais de 20 anos após a cirurgia. Um sério obstáculo aos transplantes de rim é a falta de doadores. A doação de órgãos pode salvar muitas vidas. Cada um de nós deve refletir seriamente sobre essa questão.
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Sistema Circulatório

Em anatomia e fisiologia, o sistema circulatório é percorrido pelo sangue através das artérias, dos capilares e das veias. Este trajeto começa e termina no coração. O aparelho circulatório é responsável pelo fornecimento de oxigênio, substâncias nutritivas e hormônios aos tecidos; além disso, também exerce a função de transportar os produtos finais do metabolismo (excretas como CO2 e uréia) até os órgãos responsáveis por sua eliminação.

A circulação inicia-se no princípio da vida fetal. Calcula-se que uma porção determinada de sangue complete seu trajeto em um período aproximado de um minuto.

Vasos sanguíneos

Os vasos sanguíneos são tubos pelo qual o sangue circula. Há três tipos principais: as artérias, que levam sangue do coração ao corpo; as veias, que o reconduzem ao coração; e os capilares, que ligam artérias e veias. Num circulo completo, o sangue passa pelo coração duas vezes: primeiro rumo ao corpo; depois rumo aos pulmões.

vasos sanguíneos

Coração (o centro funcional)

O aparelho circulatório é formado por um sistema fechado de vasos sanguíneos, cujo centro funcional é o coração. O coração bombeia sangue para todo o corpo através de uma rede de vasos. O sangue transporta oxigênio e substâncias essenciais para todos os tecidos e remove produtos residuais desses tecidos.

O coração é formado por quatro cavidades; as aurículas direita e esquerda e os ventrículos direito e esquerdo. O lado direito do coração bombeia sangue carente de oxigênio, procedente dos tecidos, para os pulmões, onde este é oxigenado. O lado esquerdo do coração recebe o sangue oxigenado dos pulmões, impulsionando-os, através das artérias, para todos os tecidos do organismo.

Circulação pulmonar

O sangue procedente de todo o organismo chega à aurícula direita através de duas veias principais; a veia cava superior e a veia cava inferior. Quando a aurícula direita se contrai, impulsiona o sangue através de um orifício até o ventrículo direito. A contração deste ventrículo conduz o sangue para os pulmões, onde é oxigenado. Depois, ele regressa ao coração na aurícula esquerda. Quando esta cavidade se contrai, o sangue passa para o ventrículo esquerdo e dali, para a aorta, graças à contração ventricular.

Sistema Circulatório

sistema circulatório

Ramificações

As artérias menores dividem-se em uma fina rede de vasos ainda menores, os chamados capilares. Deste modo, o sangue entra em contato estreito com os líquidos e os tecidos do organismo. Nos vasos capilares, o sangue desempenha três funções; libera o oxigênio para os tecidos, proporciona os nutrientes às células do organismo, e capta os produtos residuais dos tecidos. Depois, os capilares se unem para formar veias pequenas. Por sua vez, as veias se unem para formar veias maiores, até que por último, o sangue se reúne na veia cava superior e inferior e conflui para o coração, completando o circuito.

Circulação portal

A circulação portal é um sistema auxiliar do sistema nervoso. Um certo volume de sangue procedente do intestino é transportado para o fígado, onde ocorrem mudanças importantes no sangue, incorporando-o à circulação geral até a aurícula direita.
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Bexiga Urinária

Situada na parte inferior do abdômen, por detrás da arcada do púbis, à frente do reto nos homens e defronte ao útero das mulheres, a bexiga é um reservatório músculo membranoso onde se recebe e acumula a urina nos intervalos das micções.

É uma bolsa de parede elástica, dotada de musculatura lisa, constituída por três túnicas: uma externa, conjuntiva; uma média, mucosa; e uma interna, muscular.

bexiga urinária

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Função

A função da bexiga é acumular a urina produzida nos rins. A urina chega à bexiga por dois ureteres e é eliminada para o exterior através de um tubo chamado de uretra. O esvaziamento da bexiga é uma reação reflexa que as crianças demoram vários anos para controlar inteiramente. A capacidade média da bexiga de um adulto é de meio litro de líquido.
A bexiga e os órgãos genitais femininos são muito relacionados, por isso o seu funcionamento é mutuamente alterado quando há infecções, tanto da bexiga como dos órgãos genitais.
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Baricentro de um triângulo

O triângulo é uma figura geométrica muito importante, bastante utilizado na construção civil. No estudo analítico dos triângulos, quando conhecemos as coordenadas dos seus vértices, conseguimos determinar qual é o tipo de triângulo, qual a sua área e quais as coordenadas de seu baricentro. Faremos o estudo de como obter as coordenadas do baricentro do triângulo. Antes, precisamos definir o que é baricentro.

Considere o triângulo de vértices A, B e C abaixo. Os pontos M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Os segmentos de reta MC, AN e PB são as medianas do triângulo. Denominamos baricentro (G) de um triângulo o ponto de encontro das medianas.

Agora vamos considerar um triângulo no plano cartesiano de vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C) e baricentro G(x_G, y_G).

As coordenadas do baricentro do triângulo ABC serão dadas por:


Exemplo 1. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A(2, 7), B(5, 3) e C(2, 2).

Solução: Vamos calcular as coordenadas do Baricentro do triângulo separadamente, para não haver confusão no entendimento da fórmula, que é muito simples.
Sabemos que:

Portanto, o baricentro do triângulo ABC tem coordenadas G(3, 4).

Exemplo 2. Determine as coordenadas do vértice B do triângulo ABC sabendo que seu baricentro tem coordenadas G(5, 8) e que os outros dois vértices são A(5, 8) e C(7, 6).

Solução: Como conhecemos as coordenadas do baricentro do triângulo e as coordenadas de dois vértices, vamos utilizar a fórmula para a determinação do baricentro para determinar as coordenadas de B.

Segue que:


Temos também que:

Portanto, o vértice B tem coordenadas B(3, 10).

  Marcelo Rigonatto

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com

http://accbarrosogestar.blogspot.com.br  

extraído do http://jmpmat8.blogspot.com/

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA



DEFINÇÃO
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16).
Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:
4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2
Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2.
Podemos, então, dizer que:

Progressão aritmética é a sequência de números onde, a partir do primeiro termo,todos são obtidos somando uma constante chamada razão.



São exemplos de PA:

• • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5
• • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
• • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0

Notação

PA( a1, a2, a3, a4, ...., an)
Onde:
a1= primeiro termo
an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo
n = número de termos( se for uma PA finita )
r = razão

Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)
a1 = 5
an = a6 = 25
n = 6
r = 4


Classificação

QUANTO A RAZAO:

• • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5.
Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente

• • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
Toda PA de razão negativa é decrescente.

• • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0
Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária.


QUANTO AO NÚMERO DE TERMOS:

• • (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10.
Toda PA de n° de termos finito é limitada.

• • (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2
Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada.



PROPRIEDADES

P1:Três termos consecutivos

Numa PA, qualquer termo,a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor.

Exemplo:

Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:

4 + 12/ 2 = 8
8 + 16 / 2 = 12
20 + 28 / 2 = 24


P2: Termo Médio

Numa PA de números impares nos dois extremos, o termo do meio (médio)é a média artmética do primeiro termos e do ultimo


Exemplo:
Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último.

3 + 21 / 2 = 12


P3: Termos Eqüidistantes

A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos


Exemplo:
Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).

7 e 3
11 e 23 são os termos eqüidistantes dos extremos 3 e 31
15 e 19




Termo Geral

Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma:

PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an)


PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r )

Portanto, o termo geral será:

an= a1+(n-1)r



Exercícios Resolvidos

1. 1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...).

Resolução:
a1=3
a2=9
r = a2 - a1 = 9 – 3 = 6
(a1, a2, a3, a4,... )


Então:
a4 = a1 + r + r + r
a4 = a1 + 3r
a4 = 3 + 3.6
a4 = 3+18
a4 = 21

com a formula do termo geral:

an = a1 + (n - 1 ) r
a4= 3 + (4 - 1) 6
a4 = 3 + 3.6
a4 = 9 + 18
a4 = 21

2. 2. Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e r = -3.

Resolução:
a3 = 8
r = -3
(a1, ...,a3, a4, a5, a6, a7, a8,... )



Então:
a8 = a3 + r + r + r + r + r
a8 = a3 + 5r
a8 = 8 + 5.-3
a8 = 8 - 15
a8 = - 7

com a formula do termo geral :

an = a1 + (n -1)r
a8 = 15 + ( 8 -1) . (-3) --como a razão é negativa a PA é decrescente sendo a1 = 15
a8 = 15 + (-21)
a8 = -7


3. 3. Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 18.
Resolução:
Devemos formar a PA(2, ___, ___, ___, 18), em que:
a1 = 2
an = a5 = 18
n = 2 + 3 = 5
Para interpolarmos os três termos devemos determinar primeiramente a razão da PA. Então:
a5 = a1 + r + r + r + r
a5 = a1 + 4r
18 = 2 + 4r
16 = 4r
r = 16/4
r = 4
Logo temos a PA(2, 6, 10, 14, 18)

Soma dos Termos de uma PA finita


Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).
Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20).
Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe:


a1+a10 = 2 + 20 = 22
a2+a9 = 4 + 18 = 22
a3+a8 = 6 + 16 = 22
a4+a7 =8 + 14 = 22
a5+a6 = 10 + 12 = 22

Note, que a soma dos termos eqüidistantes é constante ( sempre 22 ) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invés de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S10 = 110 ( soma dos 10 termos ).
E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), Como faríamos?
Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai se repetir 50 vezes(metade de 100), portanto S100 = 101x50 = 5050.

Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos escrever:

sn=(a1 + an)n/2



Exercícios Resolvidos

1. 1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(2, 6, 10,...).
Resolução:
a1 = 2
r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4
Para podemos achar a soma devemos determinar o an(ou seja, a50):
a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198

Aplicando a fórmula temos:
S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 200.25=5000

2. 2. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas?

Resolução:
PA = (20, 17,14,...)
a1 = 20
r = a2 – a1 = 17 - 20 = -3

Para podemos achar quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas devemos somas os 5 primeiros termos da PA e para isto precisamos do an (ou seja, a5):
a5 = a1 + 4r = 20 + 4.-3 = 20 - 12 = 8

Aplicando a fórmula temos:
S5 = (a1+an).n/2 = (20+8).5/2 = 14.5 = 70
Logo ele percorreu em 5 horas 70 km.

EXERCICIOS

1) Qual é o décimo quinto termo da PA (4, 10......)? (R:88)

2) Qual é o centésimo número natural par? (R:198)

3) Ache o sexagésimo número natural ímpar (R:119)

4) Numa PA de razão 5 o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44? (R:9ª)

5) Calcule o numero de termos da PA(5,10.....785) (R:157)

6) Ache a soma dos quarenta primeiros termos da PA(8, 2....) (R:-4360)

7) Numa progressão aritmética, a19=70 e a razão é 7 determine:
---a)O primeiro termo (R:-56)
---b)O décimo termo (R:7)
---c)A soma dos 20 primeiros termos (R:210)

8) O vigésimo termo da Progressão Aritmética , 3, 8, 13, 18 .é
obs: dados an= a1 + (n - 1)r
a) 63
b) 74
c) 87
d) 98 (X)
e) 104

9)Se x, x + 5, -6 são termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) então o valor de x é
a) -16 (X)b) -14
c) -18
d) -12
e) -20

10) Achar o 14º termo da PA (3,10,17,.....)(R:94)

11) Escrever os três primeiros termos de uma PA de razão 2, sabendo que a32 =79 (R:17,19,21)

12)Determine a localização do número 22 na PA (82,76,70,....) (R:11)

13) Os termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) são x; 10; 12. Podemos concluir que x vale
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8 (X)

Sistema Esquelético

Sistema Esquelético

Pense na quantidade de movimentos que você realiza todos os dias, desde a hora em que acorda até o momento em que vai dormir novamente. Você levanta da cama, escova os dentes, leva os alimentos do café da manhã até à boca, mastiga, vai à escola, volta, faz ginástica, corre, usa as mãos para segurar algum objeto, passeia, espirra, boceja, empurra e puxa objetos, ensaia passos de dança ao ouvir música, joga basquete, pratica qualquer outro esporte




Função do esqueleto

O esqueleto humano adulto é constituído por cerca de 200 ossos. O esqueleto sustenta o corpo, protege órgãos diversos e está associado a muitos dos movimentos que executamos. O ser humano e os outros animais vertebrados se locomovem das mais diversas formas e para os mais diversos fins.



O esqueleto ósseo, além de sustentação corporal, apresenta três importantes funções:

* Reservas de sais minerais, principalmente de cálcio e fósforo, que são fundamentais para o funcionamento das células e devem estar presentes no sangue. Quando o nível de cálcio diminui no sangue, sais de cálcio são mobilizados dos ossos para suprir a deficiência.
* Determinados ossos ainda possuem medula amarela (ou tutano). Essa medula é constituída principalmente por células adiposas, que acumulam gorduras como material de reserva.
* No interior de alguns ossos (como o crânio, coluna, bacia, esterno, costelas e as cabeças dos ossos do braço e coxa), há cavidades preenchidas por um tecido macio, a medula óssea vermelha, onde são produzidas as células do sangue: hemácias, leucócitos e plaquetas.





Crescimento Ósseo

Há um esqueleto cartilaginoso durante a vida embrionária, o qual será quase totalmente substituído por um esqueleto ósseo. É o que se denomina ossificação endocondral (do grego endos, dentro, e chondros, cartilagem).









Os ossos começam a se formar a partir do segundo mês da vida intra-uterina. Ao nascer, a criança já apresenta um esqueleto bastante ossificado, mas as extremidades de diversos ossos ainda mantêm regiões cartilaginosas que permitem o crescimento. Entre os 18 e 20 anos, essas regiões cartilaginosas se ossificam e o crescimento cessa. Nos adultos, há cartilagens em locais onde a flexibilidade é importante (na ponta do nariz, orelha, laringe, parede da traquéia e extremidades dos ossos que se articulam).



Ossos longos

Observe o esquema a seguir, que mostra a estrutura de um osso longo.


Podemos perceber que esse osso apresenta:

Epífises – as extremidades do osso, recobertas por cartilagem;

Periósteo – a membrana fibrosa que reveste externamente o osso;

Diáfise – a porção do osso situada entre as epífises e envolvida pelo periósteo.

Canal ósseo – o canal onde se encontra a medula óssea.

Os ossos são órgãos formados por vários tipos de tecido. O periósteo, por exemplo, é uma membrana fibrosa de tecido conjuntivo. A medula óssea vermelha também é formada por um tipo de tecido conjuntivo e pode ser encontrada nas costelas e nas vértebras; ela produz células do sangue. Na diáfise de ossos longos como o fêmur, encontra-se a medula óssea amarela, que armazena gorduras, o tutano.

Mas é o tecido ósseo que confere a rigidez característica dos ossos. Nele se encontram células como os osteócitos. Entre as células, existe a matriz óssea, que representa o material intercelular, constituída, basicamente, de sais de cálcio e de fósforo, além de proteínas chamadas colágeno. Os sais de cálcio e as proteínas do tipo colágeno são responsáveis pela rigidez do tecido ósseo.

Forma dos ossos

Quanto à forma, os ossos podem ser longos, curtos e chatos. Os ossos longos apresentam o comprimento maior que a largura e a espessura. Exemplos: o fêmur (o osso da coxa), o úmero (o osso do braço) e a tíbia (um dos ossos da perna).

Os ossos curtos apresentam comprimento, largura e espessura quase iguais. Exemplos: a patela, popularmente chamada de “rótula” (osso do joelho)., os ossos do carpo (alguns dos ossos da mão) e do tarso (alguns dos ossos do pé). Os ossos chatos são finos e achatados. Exemplos: a escápula, osso situado na região do ombro, as costelas e os ossos do c



Juntas e Articulações

Juntas é o local onde dois ossos se tocam. Algumas são fixas (ex.: crânio), onde os ossos estão firmemente unidos entre si. Em outras juntas (ex.: articulações), os ossos são móveis, permitindo ao esqueleto realizar movimentos.



Há vários tipos de articulações:

Tipo "bola-e-soquete" - Nos ombros, possibilitando movimentos giratórios dos braços.

Tipo "dobradiça" - Nos joelhos e cotovelos, permitindo dobrar.



Articulação

Os ossos de uma articulação têm de deslizar um sobre o outro suavemente e sem atrito, ou se gastariam. Os ossos de uma articulação são mantidos em seus devidos lugares por meio de cordões resistentes, constituídos por tecido conjuntivo fibroso: os ligamentos, que estão firmemente aderidos às membranas que revestem os ossos.
Divisão do esqueleto

O esqueleto humano pode ser dividido em três partes principais:

Cabeça

O crânio é uma estrutura óssea que protege o cérebro e forma a face. Ele é formado por 22 ossos separados, o que permite seu crescimento e a manutenção da sua forma. Esses ossos se encontram ao longo de linhas chamadas suturas, que podem ser vistas no crânio de um bebê ou de uma pessoa jovem, mas que desaparecem gradualmente por volta dos 30 anos.

A maioria dos ossos cranianos formam pares, um do lado direito e o outro do lado esquerdo. Para tornar o crânio mais forte, alguns desses pares, como os dos ossos frontais, occipitais e esfenóides, fundem-se num osso único. Os pares de ossos cranianos mais importantes são os parietais, temporais, maxilares, zigomáticos, nasais e palatinos. Os ossos cranianos são finos mas, devido a seu formato curvo, são muito fortes em relação a seu peso - como ocorre com a casca de um ovo ou o capacete de um motociclista.



Tronco

Formado pela coluna vertebral, pelas costelas e pelo osso esterno. O tronco e a cabeça formam o esqueleto axial.






Coluna Vertebral

Ou espinha dorsal, é constituída por 33 ossos (as vértebras). A sobreposição dos orifícios presentes nas vértebras forma um tubo interno ao longo da coluna vertebral, onde se localiza a medula nervosa.



Costela e Osso Esterno

A costela e o osso esterno protegem o coração, os pulmões e os principais vasos sanguíneos. A musculatura da caixa torácica é responsável, juntamente ao diafragma, pelos movimentos respiratórios. A caixa torácica é formada pelas costelas, que são ossos achatados e curvos que se unem dorsalmente à coluna vertebral e ventralmente ao esterno. A maioria das pessoas possui 12 pares de costelas. Algumas têm uma extra (mais comum em homens do que mulheres). Os dois últimos pares de costelas são ligados à coluna vertebral, não se ligam ao esterno (as costelas flutuantes).

Membros Superiores e Inferiores

Os ossos dos membros superiores e inferiores ligam-se ao esqueleto axial por meio das cinturas articulares.

Membros Superiores

Composto por braço, antebraço, pulso e mão.

O braço só tem um osso: o úmero, que é um osso do membro superior.

O antebraço é composto por dois ossos: o rádio que é um osso longo e que forma com o cúbito (ulna) o esqueleto do antebraço. O cúbito também é um osso longo que se localiza na parte interna do antebraço.

A mão é composta pelos seguintes ossos: ossos do carpo, ossos do metacarpo e os ossos do dedo. Os ossos do carpo (constituída por oito ossos dispostos em duas fileiras), são uma porção do esqueleto que se localiza entre o antebraço e a mão. O metacarpo é a porção de ossos que se localiza entre o carpo e os dedos.

Membros Inferiores

São maiores e mais compactos, adaptados para sustentar o peso do corpo e para caminhar e correr. Composto por coxa, perna, tornozelo e pé.

A coxa só tem um osso - o fêmur - que se articula com a bacia pela cavidade catilóide. O fêmur tem volumosa cabeça arredondada, presa a diáfise por uma porção estreitada - o colo anatômico. A extremidade inferior do fêmur apresenta para diante uma porção articular - a tróclea - que trás dois côndilos separados pela chanfradura inter-condiliana. O fêmur é o maior de todos os ossos do esqueleto.

A perna e composta por dois ossos: a tíbia e a fíbula (perônio). A tíbia é o osso mais interno e a fíbula é o osso situado ao lado da tíbia.

Os dedos são prolongamentos articulados que terminam nos pés. O pé é composto pelos ossos tarso, metatarso e os ossos dos dedos. O metatarso é a parte do pé situada entre o tarso e os dedos. O tarso é a porção de ossos posterior do esqueleto do pé.




Cintura Pélvica

Ou bacia, conecta os membros inferiores ao tronco. Podem distinguir o homem da mulher. Nas mulheres é mais larga, o que representa adaptação ao parto.
Cuidados com o esqueleto e as articulações

Todos nos devemos adotar certas medidas para evitar problemas nos ossos e nas articulações. Veja algumas delas:

* Mantenha sempre uma postura correta – ao andar, sentar-se ou ficar de pé. Ao sentar, mantenha toda a extensão das costas apoiada na cadeira ou no sofá.
* Evite carregar muito peso ou transportar objetos pesados apenas de uma lado do corpo. Isso vale para quando estiver levando, por exemplo, uma mochila cheia de cadernos e livros.
* Alimente-se corretamente, procurando manter seu peso dentro dos limites adequados; o excesso de peso pode acarretar vários problemas, como sobrecarga na coluna vertebral.
* Cuidado com pancadas, quedas ou movimentos bruscos: você pode fraturar os ossos ou sofrer deslocamentos nas articulações.
* Pratique exercícios físicos regularmente, sempre com a orientação de especialistas.

Os devidos cuidados com a postura podem evitar as seguintes deformações da coluna:

Lordose- É o aumento anormal da curva lombar levando a uma acentuação da lordose lombar normal (hiperlordose). Os músculos abdominais fracos e um abdome protuberante são fatores de risco. Caracteristicamente, a dor nas costas em pessoas com aumento da lordose lombar ocorre durante as atividades que envolvem a extensão da coluna lombar, tal como o ficar em pé por muito tempo (que tende a acentuar a lordose). A flexão do tronco usualmente alivia a dor, de modo que a pessoa frequentemente prefere sentar ou deitar.

Cifose - É definida como um aumento anormal da concavidade posterior da coluna vertebral, sendo as causas mais importantes dessa deformidade, a má postura e o condicionamento físico insuficiente. Doenças como espondilite anquilosante e a osteoporose senil também ocasionam esse tipo de deformidade.

Escoliose - É a curvatura lateral da coluna vertebral, podendo ser estrutural ou não estrutural. A progressão da curvatura na escoliose depende, em grande parte, da idade que ela inicia e da magnitude do ângulo da curvatura durante o período de crescimento na adolescência, período este onde a progressão do aumento da curvatura ocorre numa velocidade maior. O tratamento fisioterápico usando alongamentos e respiração são essenciais para a melhora do quadro.
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Propriedades operatórias do logaritmo

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

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Propriedades operatórias do logaritmo

Marcelo Rigonatto

Propriedades do logaritmo

Os logaritmos encontram aplicações em diversas áreas do conhecimento, como na Física, Engenharia, Geologia e outras. Muitas vezes os cálculos envolvendo logaritmo tornam-se muito complexos, por se tratar de sentenças que envolvem propriedades exponenciais. Para facilitar esses cálculos, além do uso de calculadoras, existem algumas propriedades operatórias.

Vejamos quais são essas propriedades e como utilizá-las.

Propriedade 1: Logaritmo do produto.

Exemplo:

Propriedade 2: Logaritmo do quociente.

Exemplo:

Propriedade 3: Logaritmo de uma potência.

Exemplo:

Propriedade 4: Logaritmo de uma raiz.

Essa propriedade é uma extensão da propriedade 3, uma vez que toda raiz pode ser escrita na forma de uma potência.

Exemplo:

Propriedade 5: Propriedade da mudança de base.

Essa propriedade é utilizada quando o logaritmo a ser calculado apresenta uma base que torna os cálculos mais complexos, e ela nos permite escolher a base que seja mais conveniente, tornando os cálculos mais simples. A propriedade da mudança de base também é fundamental para a simplificação de expressões que envolvem logaritmos com bases diferentes.

Exemplo: Se desejarmos calcular o valor do seguinte logaritmo log₅ 11, nem com uso de uma calculadora científica seria possível, pois ela trabalha com logaritmos na base 10 ou na base e. Nesse caso, seria necessário fazer a mudança para uma dessas bases. Assim, teremos:

Os cálculos dos logaritmos, após a mudança de base, foram feitos com o auxílio de uma calculadora científica.

Tabela Trigonométrica

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Tabela Trigonométrica (Ângulos em graus)

Ângulo	seno	co-seno	tangente	................	Ângulo	seno	co-seno	tangente
0	0	1	0		185	-0,09	-0,99	0,09
5	0,09	0,99	0,09		190	-0,17	-0,98	0,17
10	0,17	0,98	0,17		195	-0,26	-0,96	0,27
15	0,26	0,96	0,27		200	-0,34	-0,94	0,36
20	0,34	0,94	0,36		205	-0,42	-0,91	0,47
25	0,42	0,91	0,47		210	-0,50	-0,87	0,58
30	0,50	0,87	0,58		215	-0,57	-0,82	0,70
35	0,57	0,82	0,70		220	-0,64	-0,77	0,84
40	0,64	0,77	0,84		225	-0,71	-0,71	1
45	0,71	0,71	1		230	-0,77	-0,64	1,19
50	0,77	0,64	1,19		235	-0,82	-0,57	1,43
55	0,82	0,57	1,43		240	-0,87	-0,50	1,73
60	0,87	0,50	1,73		245	-0,91	-0,42	2,14
65	0,91	0,42	2,14		250	-0,94	-0,34	2,75
70	0,94	0,34	2,75		255	-0,96	-0,26	3,73
75	0,96	0,26	3,73		260	-0,98	-0,17	5,67
80	0,98	0,17	5,67		265	-0,99	-0,09	11,4
85	0,99	0,09	11,4		270	-1	0	ñ existe
90	1	0	ñ existe		275	-0,99	0,09	-11,4
95	0,99	-0,09	-11,4		280	-0,98	0,17	-5,67
100	0,98	-0,17	-5,67		285	-0,96	0,26	-3,73
105	0,96	-0,26	-3,73		290	-0,94	0,34	-2,75
110	0,94	-0,34	-2,75		295	-0,91	0,42	-2,14
115	0,91	-0,42	-2,14		300	-0,87	0,50	-1,73
120	0,87	-0,50	-1,73		305	-0,82	0,57	-1,43
125	0,82	-0,57	-1,43		310	-0,77	0,64	-1,19
130	0,77	-0,64	-1,19		315	-0,71	0,71	-1
135	0,71	-0,71	-1		320	-0,64	0,77	-0,84
140	0,64	-0,77	-0,84		325	-0,57	0,82	-0,70
145	0,57	-0,82	-0,70		330	-0,50	0,87	-0,58
150	0,50	-0,87	-0,58		335	-0,42	0,91	-0,47
155	0,42	-0,91	-0,47		340	-0,34	0,94	-0,36
160	0,34	-0,94	-0,36		345	-0,26	0,96	-0,27
165	0,26	-0,96	-0,27		350	-0,17	0,98	-0,18
170	0,17	-0,98	-0,18		355	-0,09	0,99	-0,09
175	0,09	-0,99	-0,09		360	0	1	0
180	0	1	0

Fonte: br.geocities.com

Fatoração

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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FATOR COMUM
ax + bx + cx = x . (a + b + c)
O fator comum é x.
12x3 - 6x2 + 3x = 3x . (4x2 - 2x + 1)
O fator comum é 3x.

AGRUPAMENTO

ax + ay + bx + by
Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum.
(ax + ay) + (bx + by)
Colocar em evidência o fator comum de cada grupo
a(x + y) + b(x + y)
Colocar o fator comum (x + y) em evidência
(x + y) . (a + b) Þ Este produto é a forma fatorada da expressão dada

DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

A expressão a2 - b2 representa a diferença de dois quadrados e sua forma fatorada é :
(a + b) (a - b)
Ex: x2 - 36 = (x + 6) (x - 6)

TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

a2 + 2ab + b2
Um trinômio é quadrado perfeito quando :
- dois de seus termos são quadrados perfeitos (a2 e b2 )
- o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos (2ab)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Ex: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Ex: x2 - 6x + 9 = (x - 3)2

TRINÔMIO DO 2O GRAU

Trinômio do tipo x2 + Sx + P
Devemos procurar dois números a e b que tenham soma S e produto P.
x2 + Sx + P = (x + a) (x + b)
Ex: x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
x2 + 2x - 8 = (x + 4) (x - 2)
x2 - 5x + 6 = (x - 2) (x - 3)
x2 - 2x - 8 = (x - 4) (x + 2)

SOMA DE DOIS CUBOS

A expressão a3 + b3 representa a soma de dois cubos.
Sua forma fatorada é :
(a + b) (a2 - ab + b2)
Ex: x3 + 8 = (x + 2) (x2 - 2x + 4)

DIFERENÇA DE DOIS CUBOS

A expressão a3 - b3 representa a diferença de dois cubos.
Sua forma fatorada é :
(a - b) (a2 + ab + b2)
Ex: x3 - 27 = (x - 3) (x2 + 3x + 9)

Fonte: www.sosmatematica.com