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Poliibridismo


Chamamos de poliibridismo quando o cruzamento analisa três ou mais características. Nestes casos, a utilização do quadro de cruzamentos torna-se inviável; então, podemos obter os resultados por meio de métodos mais práticos como veremos a seguir:

I – Para determinar o número de genótipos do cruzamento AabbCc x aaBBCc:

1.° decomponha o poliíbrido e analise cada caráter separadamente;

2.° tendo determinado o número de genótipos para cada caráter, efetue o produto dos números encontrados.

Decompondo


Então: 2 x 1 x 3 = 6 genótipos

II – Para determinar o número de fenótipos: proceda como para os genótipos.

Resolvendo:



Então: 2 x 1 x 2 = 4 fenótipos diferentes.

III– Para determinar o número total de combinações gaméticas ou genotípicas: acha-se o número de gametas de cada indivíduo e multiplicam-se os números obtidos. Isso nos dá o total de combinações genotípicas.

Resolvendo:

1.° indivíduo – AabbCc = 2n = 2² = 4 gametas

2.° indivíduo – aaBBCc= 2n = 2¹ = 2 gametas

Logo: 4 x 2 = 8 combinações

IV– Determinação de qualquer classe genotípica.

Exemplo: No cruzamento AabbCc x aaBBCc, determine a probabilidade de nascer um indivíduo AaBbCC.

Desmembrando:



Logo: 1/2 x 1 x 1/4 = 1/8

V– Determinação de qualquer classe fenotípica.

Exemplo: Dado o cruzamento AabbCc x aaBBCc, determine a probabilidade de se obter um indivíduo com o seguinte fenótipo para os três caracteres analisados: dominante, dominante e dominante.

Utiliza-se o mesmo procedimento utilizado anteriormente.

Desmembrando:



Então: 1/2 x 1 x 3/4 = 3/8



Gregor Mendel partiu para a análise de dois ou mais caracteres, simultaneamente, em um mesmo cruzamento. Os resultados demonstraram que os genes determinantes de caracteres diferentes distribuem-se independentemente nos gametas, recombinando-se ao acaso. Assim, podemos analisar, por meio da segregação independente, cruzamentos envolvendo dois, três ou mais pares de alelos.

DIIBRIDISMO

Quando são analisados dois pares de alelos.

Exemplo:

Em ervilhas:

Cor da semente Textura da semente

Amarela: V_ Lisa: R_

Verde: vv Rugosa: rr_




Como tirar gametas?

Para determinar os gametas de um determinado indivíduo, combine de todas as formas possíveis os genes de um caráter com os genes do outro caráter que está sendo analisado em conjunto.


Modo prático para achar o número de gametas produzidos por um determinado genótipo:

Número de gametas = 2n

n = número de heterozigotos ou híbridos existentes no genótipo.

Exemplos:

a) VVRr : 2n = 2¹ = 2 gametas diferentes ( VR e Vr).

b) VvRr : 2n = 2² = 4 gametas diferentes (VR, Vr, vR e vr).

c) vvrr : 2n = 2º = 1 um só tipo de gameta (vr).

Demonstração de cruzamentos:


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Funções de 2º grau

Função inversa

O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f ^–1 da seguinte maneira: (x,y) Є f ^–1 (y,x) Є f.


Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo:

Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)}

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa.

A sua função inversa será indicada por f ^–1: B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f ^–1(x) = x – 5.
Veja o diagrama abaixo:

Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)}

O que é domínio na função f vira imagem na f ^–1(x)e vice e versa.



Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Observe:

Exemplo 1

Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f ^–1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo:

x = 3y – 5
–3y = –x –5 (multiplicar por –1)
3y = x + 5
y = (x + 5)/3

Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3.



Exemplo 2

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo:

x = y²
√x = √y²
√x = y
y = √x

A função f(x) = x² terá inversa f ^–1(x) = √x


Exemplo 3

Determine a inversa da função f(x) = (2x+3)/(3x–5), para x ≠ 5/3.

Realizando a troca entre x e y na expressão y = (2x+3)/(3x–5) → x = (2y+3)/(3y–5), logo:

x = (2y+3)/(3y–5)
x*(3y–5) = 2y + 3
3yx – 5x = 2y + 3
3yx – 2y = 5x + 3
y(3x – 2) = 5x + 3
y = (5x+3)/(3x–2), para x ≠ 2/3.
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Produtos Notáveis Cubo da soma de dois termos aula 5

Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função

Marcos Noé

Função

Uma função é dada por uma relação entre dois conjuntos, definida por uma lei de formação. Ao estudarmos uma função determinamos o domínio, o contradomínio e a imagem. Vamos através de diagramas de flechas demonstrar esses três elementos pertencentes ao estudo das funções.

Os elementos do conjunto A serão relacionados com os elementos do conjunto B através de uma lei de formação. Observe:

O conjunto A é formado pelos elementos {–1, 0, 2, 3, 4} e o conjunto B pelos elementos {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}. Observe que os elementos do conjunto A se relacionam com os elementos de B segundo a função de A → B (função de A em B) pela lei de formação f(x) = 2x + 1. Observe:

f(–1) = 2 * (–1) + 1 = –2 + 1 = –1
f(0) = 2 * 0 + 1 = 0 + 1 = 1
f(2) = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5
f(3) = 2 * 3 + 1 = 6 + 1 = 7
f(4) = 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9

Nessa relação, temos que o domínio é dado pelo conjunto A, o contradomínio representado pelo conjunto B e a imagem pelos elementos de B que possuem relação com os elementos do conjunto A.

Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4}
Contradomínio: {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}
Imagem: {–1, 1, 5, 7, 9}


Na seguinte situação, relacionaremos o conjunto A com o conjunto B, obedecendo a uma nova lei de formação, dada por f(x) = x² – 2. Observe os cálculos que determinarão o conjunto imagem dos elementos de A.

f(–1) = (–1)² – 2 = 1 – 2 = –1
f(0) = 0² – 2 = 0 – 2 = –2
f(2) = 2² – 2 = 4 – 2 = 2
f(3) = 3² – 2 = 9 – 2 = 7
f(4) = 4² – 2 = 16 – 2 = 14

Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4}
Contradomínio: {–2, –1, 2, 7, 14}
Imagem: {–2, –1, 2, 7, 14}

Em algumas situações o contradomínio e a imagem são iguais, isto é, possuem os mesmos elementos.


Na seguinte relação, a lei de formação será dada por f(x) = x³, o conjunto A será formado pelos elementos {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Vamos determinar o conjunto B imagem desse domínio representado pelo conjunto A.

f(–2) = (–2)³ = –8
f(–1) = (–1)³ = –1
f(0) = 0³ = 0
f(1) = 1³ = 1
f(2) = 2³ = 8
f(3) = 3³ = 27

Domínio: {–2, –1, 0, 1, 2, 3}
Contradomínio: {–8, –1, 0, 1, 8, 27}
Imagem: {–8, –1, 0, 1, 8, 27}

Tegumento - Exercícios resolvidos

Tegumento - Exercícios resolvidos

01. (FUVEST) O gráfico abaixo representa duas curvas que indicam o que acontece com o metabolismo de animais: uma para animais que mantêm constante temperatura do corpo e outra para animais cuja temperatura do corpo é igual à do ambiente.





Que animais têm curva do tipo Y?



a) camundongo, canário e rã;

b) caranguejo, lula e pescada;

c) elefante, baleia e avestruz;

d) gaivota, pescada e jacaré;

e) baleia, tubarão e pescada.



Resposta: B

02. Como são classificados, em relação à temperatura corporal, os animais desenhados abaixo?



ResoLUÇÃO: A e C são homeotermos; B e D são pecilotermos.



03. Analise o desenho abaixo e assinale a alternativa FALSA:





a) a epiderme é avascular, possui tecido epitelial pavimentoso e origina-se do ectoderma do embrião;

b) a glândula sudorípara ocorre nas aves e nos mamíferos e está relacionada à homeotermia;

c) a derme possui tecido conjuntivo fibroso, rico em material intercelular, colágeno e elastina;

d) a hipoderme possui tecido conjuntivo adiposo e origina-se do mesoderma do embrião;

e) a derma é vascular, possui terminações nervosas e origina-se do mesoderma do embrião.



Resposta: B



04. (UNICAMP) Em relação ao peixe-boi, o padre Fernão Cardim escreveu, por volta de 1625 “...este peixe é nestas partes real, estimado sobre todos os demais peixes... tem carne toda de fibras, como a da vaca... e também tem toucinho... sua cabeça é toda de boi com couro e cabelos... olhos e língua...” No trecho citado, identifique a única palavra que permite reconhecer, sem dúvida, o peixe-boi como sendo um mamífero.



ResoLUÇÃO: Cabelos.



05. (CESGRANRIO) A queratinização das células do tegumento nos vertebrados tem por função:



a) originar, por invaginações da epiderme, os diferentes tipos de glândulas que lubrificam o organismo;

b) proteger as células vivas subjacentes da epiderme contra a ação de agentes externos;

c) estabelecer uma zona de recepção sensorial, controle e regulação dos estímulos internos do corpo;

d) formar a derme, cuja missão principal é dar firmeza e flexibilidade à epiderme;

e) produzir depósitos de substâncias calcáreas, como os ossos chatos do crânio de muitos vertebrados e

as escamas dos peixes teleósteos.



Resposta: B



06. (FUVEST) Cite três mecanismos que permitem a manutenção de temperatura relativamente constante nos animais homeotermos em repouso.



ResoLUÇÃO: No frio: aumento do metabolismo, vasoconstrição periférica, diminuição da transpiração.

No calor: diminuição do metabolismo, vasodilatação periférica, aumento da transpiração.



07. Considere os quatro mecanismos seguintes, relacionados com a regulação da temperatura do corpo dos mamíferos:



I. dilatação dos vasos sangüíneos superficiais;

II. eriçamento dos pêlos;

III. aumento da secreção de suor;

IV. tremor do corpo.



Em um mamífero que esteja em um ambiente frio e úmido ocorrerão apenas:



a) I e II

b) I e III

c) I e IV

d) II e III

e) II e IV



Resposta: E



08. O que são melanócitos?



ReSoLUÇÃO: Células tegumentares portadoras do pigmento denominado melanina. No homem essas células localizam-se

nas camadas mais profundas da epiderme.



09. O que é homocromia?



ResoLUÇÃO: Capacidade do ser vivo imitar a coloração ambiental, facilitando o ataque e a defesa. Ex.: camaleão.



10. No homem, a função principal da sudorese é:



a) nutrir as células epidérmicas desprovidas de irrigação sangüínea;

b) dissolver e remover o produto das glândulas sebáceas que se acumula sobre a pele;

c) acelerar a perda de calor, provocando, pela evaporação, um abaixamento da temperatura na superfície da

pele;

d) eliminar o excesso de água do tecido celular subcutâneo, sem a perda de substâncias que normalmente

seriam eliminadas pelos rins;

e) evitar a morte das células superficiais da epiderme por dessecação.



Resposta: C
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Valor Númerico de Polinômio aula 6

Volume do cone

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Marcelo Rigonatto

Cones

O cone é um dos sólidos geométricos com bastante aplicação no cotidiano. Diversas embalagens, produtos e até reservatórios apresentam a forma de um cone circular reto. Em virtude da sua grande utilização, é necessário conhecer seus elementos e fórmulas para o cálculo de sua área e volume. Vejamos o que é necessário para obter o volume de um cone de revolução.

Considere um cone circular reto de altura h e raio r como mostra a figura.

Assim como na pirâmide, o volume do cone é dado em função da área de sua base e da altura h. Podemos pensar no cone como sendo uma pirâmide com uma das faces arredondadas. Logo, seu volume pode ser obtido fazendo:

Como a base do cone é uma circunferência de raio r, temos que:

Assim, a fórmula para o cálculo do volume do cone pode ser reescrita da seguinte forma:

Onde,

r → é a medida do raio da base
h → é a altura do cone
V → é o volume do cone

Observe que para obter o volume do cone não é necessário conhecer a medida da geratriz e a fórmula é semelhante à da pirâmide.

Vejamos alguns exemplos de aplicação da fórmula.

Exemplo 1. Calcule o volume de um cone circular reto de 13 cm de altura e raio da base medindo 6 cm. (Use π = 3,14)

Solução: Pelo enunciado do problema, temos que:
r = 6 cm
h = 13 cm
V = ?

Utilizando a fórmula do volume, obtemos:

Portanto, o cone apresenta um volume de 489,84 cm³.

Exemplo 2. Um reservatório de água possui a forma de um cone de revolução com 8 metros de profundidade. Sabendo que o diâmetro da base mede 4 metros, determine a capacidade, em litros, desse reservatório. (Use π = 3,14)

Solução:

Segundo o enunciado do problema, temos que:
h = 8 m (profundidade)
r = d/2 = 4/2 = 2 m

Determinar a capacidade é o mesmo que calcular o volume do reservatório. Assim, utilizando a fórmula do volume do cone, obtemos:

Como o problema deseja saber a capacidade do reservatório em litros, devemos lembrar da seguinte relação:

1 m³ = 1000 litros

Assim, a capacidade do reservatório será:

V = 33,49 ×1000 = 33490 litros

Aula de Matematica

Aula Da 7ªA

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Operações da Lógica Proposicional

Nesta seção, serão enfocadas as operações utilizadas na Lógica Proposicional. No entanto, para cumprir esteobjetivo, é necessário que se entenda o que é Lógica.

Investigando a literatura sobre o assunto é possível inferir que existem muitas definições para a palavra Lógica. Em todas as definições, faz – se referência ao Estudo das leis do pensamento ou termos semelhantes. Para representar as mais variadas definições, observe – se que define COPI (1977, p 15): “ Lógica é uma ciência do raciocínio”. Em outras palavras, como o raciocínio se estrutura e se fundamenta enquanto formação de uma rede semântica própria.

Esta formação de redes semânticas, e suas mais variadas formas de apresentação, requerem um conjunto de símbolos que convertem a expressão falada em símbolos anteriormente sistematizados.

Para que esta conversão ocorra, são necessárias algumas convenções simbólicas que vêm expressar raciocínio que seriam expressos na linguagem falada. Uma parte destas convenções são as chamadas Operações da Lógica Proposicional.

Chama-se Lógica Proposicional por que está fundamentada em Proposições. A lógica Proposicional pretende estudar as proposições declarativas simples, isto é, proposições que são os elementos básicos de transmissão do conhecimento humano.

Pode-se entender Proposição como sendo “todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento em sentido completo”.( FILHO, 2002, p. 11). A combinação de proposições retornam resultados verdadeiros ou falsos.

As operações anteriormente citadas serão objetos de análise a seguir.

1 Conjunção ( ˄ )

Chama – se de conjunção à uma conclusão lógica verdadeira quando as duas premissas são verdadeiras. Nos demais casos, retornam – se resultados falsos. Genericamente, chamar – se – ão proposições as letras p e q. Sendo assim, se p e q são proposições, p ^ q representa a conjunção entre as duas proposições. Assim, têm – se os seguintes resultados possíveis:

Tabela 1 – Tabela Verdade – Conjunções

p	q	p ^ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Fonte:  FILHO, 2002, p. 12

Exemplo de conjunção:

‘Maria foi à uma loja e pediu para ver saias pretas e brancas’. Neste exemplo, caso o e no termo “pretas e brancas” tiver sentido conjuntivo, podemos inferir que ao chegar à loja, Maria queria ver saias que teriam em sua estampa as cores preta e branca frisadas ou dispostas de alguma outra forma.

2 Disjunção ( ˅ )

A disjunção de duas proposições p e q retorna um valor lógico verdadeiro quando, pelo menos uma das duas premissas, for verdadeira. Quando ambas são falsas, o valor lógico atribuído à disjunção será falso.

Com isso, tem – se a seguinte tabela verdade:
Tabela 2 – Tabela Verdade – Disjunções

p	q	p ˅ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Fonte:  FILHO, 2002, p. 13

Exemplo de disjunção:

‘O Joaquim é português ou brasileiro’. Esta expressão pode ser entendida de duas maneiras: o sentido, se for exclusivo, significa Joaquim tanto pode ser português como brasileiro, mas não possui as duas nacionalidades. Caso contrário, em se tratando do sentido inclusivo, Joaquim pode ser português, brasileiro, ou ter as duas nacionalidades.

3 Disjunção Exclusiva ( v )

Neste caso, retorna – se um valor lógico verdadeiro somente quando uma das duas é verdadeira. O fato de ambas ( p e q ) serem verdadeiras, o valor lógico da Disjunção Exclusiva retornará um valor falso. A tabela verdade, neste caso, tem o seguinte padrão:
Tabela 3 – Tabela Verdade – Disjunções Exclusivas

p	q	p  q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Fonte:  FILHO, 2002, p. 13

Exemplo de Disjunção Exclusiva:

‘José ou é filho de Armando ou é filho de Leandro’. A disjunção é exclusiva por que José não pode ser filho de ambos simultaneamente. Caso seja filho de um, não o será do outro.

4 Condicional (→)

A condicional retorna um valor lógico falso quando p é verdadeiro e q for falso quando p e q estão dispostos na seguinte ordem: p → q (se p então q). p é o termo antecedente e q o consequante. O siímbolo → chama – se implicação. Para este caso, tem – se a seguinte tabela verdade:

Tabela 4 – Tabela Verdade – Condicionais

p	q	p →q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Fonte:  FILHO, 2002, p. 22

5 Bicondicional (↔)

A bicondicional retorna um valor lógico verdadeiro quando p e q são verdadeiros ou quando p e q forem falsos.  Nos demais casos, têm – se valores lógicos falsos. A seguinte tabela verdade, para este caso, é a seguinte:

Tabela 5 – Tabela Verdade – Bicondicionais

p	q	p ↔q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Exemplo de Bicondicional:

‘O açúcar é doce, se e somente se o Brasil está na América do Sul’. Neste caso, teremos um valor lógico verdadeiro uma vez que a primeira proposição é verdadeira e a segunda também é verdadeira. Em qualquer sentido que a expressão seja tratada, o valor lógico é o mesmo.

6 Negação (~)

Chama – se negação a proposição representada por ‘não p’ que apresenta valor lógico verdadeiro quando p é falsa e valor lógico falso quando p é verdadeira.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 
COPI, I. M. Introdução à Lógica. São Paulo. Mestre Jou, 1977
FILHO, E. A. Introdução à Lógica Matemática. São Paulo. Nobel, 2002

Triângulo equilátero inscrito numa circunferência

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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O uso da geometria plana, das suas definições, conceitos e fórmulas é muito comum em diversas situações cotidianas. Diariamente nos envolvemos com situações em que a geometria se faz presente, como o cálculo de comprimentos, áreas, medidas de ângulos e outras. É um dos ramos da matemática que mais apresenta aplicações na vida prática, portanto, fundamental é conhecer, compreender e aplicar suas fórmulas na resolução de situações-problema.

Vejamos como podemos determinar a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r em função da medida do raio.

Considere um triângulo equilátero de lado l, inscrito numa circunferência de raio r, como mostra a figura.

Onde a é o apótema do triângulo equilátero.

O centro C da circunferência é o ortocentro e baricentro do triângulo equilátero. Logo, seu comprimento equivale a 1/3 do valor da altura do triângulo. Ou seja,

Dessa forma, podemos constatar, também, que o raio r equivale a 2/3 do valor da altura do triângulo. Assim, podemos escrever:

Verificamos também que o apótema equivale à metade do valor do raio da circunferência. Ou seja:

Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por:

A = base x altura

Para o triângulo equilátero, sabemos que:

Logo, a área do triângulo equilátero será:

Nosso objetivo é determinar a área do triângulo equilátero em função do raio da circunferência. Temos que:

Daí, obtemos a seguinte igualdade:

Dessa forma, a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência, em função do raio r, será:

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Determine a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 8 cm de raio.

Solução: Pelo enunciado, temos que r = 8 cm. A área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência pode ser obtida conhecendo-se somente o valor do raio. Segue que:

Exemplo 2. Um triângulo equilátero com lados medindo 10 cm está inscrito numa circunferência de raio r. Calcule a área dessa circunferência.

Solução: Para determinar a área da circunferência precisamos conhecer a medida de seu raio. Como sabemos a medida do lado do triângulo equilátero, podemos obter o valor de r pela fórmula:

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática