Operações de conjuntos

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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a) Conjuntos
A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:

• Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
• Conjunto dos números inteiros pares;
• Conjunto dos dias da semana;
• Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.

b) Elemento
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:

• V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
• 2, 4, 6 são elementos do segundo;
• Sábado, Domingo do terceiro; e
• FHC, Lula do último.

c) Pertinência entre elemento e conjunto
Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.
Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.

Notação

Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:

Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:

Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração
Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.
Exemplos:

• Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
• Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
• Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos
Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.
Exemplos:

• A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
• B = {x | x é um número inteiro par e 8 <>
• C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.
Exemplos de Conjuntos Unitários:

• Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
• Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
• Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

• {x | x > 0 e x <>
• Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
• {x | x² = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:
Observações:

1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:
onde a notaçãosignifica “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:
Exemplos:

• {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• Ø C {a, b};
• {a, b} C {a, b};
• {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:
Exemplos:

• Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
• Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
• Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2^n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2³, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 2² e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2¹.

Ciclo Menstrual

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Ciclo menstrual

O ciclo menstrual obedece às interações de hormônios produzidos na hipófise (FSH e LH) com hormônios ovarianos (estrógeno e progesterona). Os primeiros ciclos menstruais iniciam-se por volta dos 11-15 anos de idade; a primeira menstruação é chamada de menarca.

Para compreender melhor o que se passa no ciclo menstrual, sugerimos que leia o texto a seguir, acompanhando a figura abaixo.

Sob ação do hormônio FSH, um folículo ovariano (conjunto de células com um ovócito primário em seu interior) inicia seu desenvolvimento. O ovócito I (que se encontra em prófase I no folículo) dá continuidade à meiose e, em poucos dias, o folículo ovariano encontra-se cheio de um líquido (folículo de Graaf). Durante o desenvolvimento folicular, as células foliculares secretam estrógeno, hormônio responsável pela determinação e manutenção das características sexuais secundárias femininas (aumento da vagina e do útero; alargamento dos quadris; desenvolvimento das mamas; desenvolvimento de pêlos nas axilas e púbis).

Uma outra importante função do estrógeno é provocar a proliferação das células do endométrio (camada mais interna do útero). O estrógeno ainda vai estimular a liberação do hormônio LH pela hipófise. Em menos de 24 horas aumenta-se acentuadamente a concentração de LH, que provoca a ruptura do folículo maduro (ovulação). O óvulo, capturado pelas fímbrias da tuba uterina, permanece viável por aproximadamente 30 horas (período fértil da mulher).

Após o rompimento do folículo, as células foliculares dão origem ao corpo lúteo (sob ação do LH), o qual passa a produzir doses crescentes do hormônio progesterona, cuja ação acentua o espessamento do endométrio, promovendo a sua vascularização; dessa forma, cerca de 6 dias após a fecundação, o endométrio encontra-se apto a receber o embrião.

A progesterona, produzida pelo corpo lúteo, passa a inibir a produção de FSH e LH pela hipófise. Com a queda do hormônio LH, o corpo lúteo regride (transforma-se em corpo albicans), que é inativo. Como conseqüência, há redução da taxa de progesterona e estrógeno; sem esses hormônios, o endométrio não se mantém e sua camada mais superficial se descama: é a menstruação (que se caracteriza por um sangramento cuja duração varia, normalmente, de três a sete dias).

Com a redução da taxa de estrógeno e de progesterona, a hipófise passa a secretar mais FSH, e um novo folículo entra em desenvolvimento, recomeçando novo ciclo menstrual.

Fonte: http://www.drcarlos.med.br/cicl_mentr_1gif.gif

A figura abaixo mostra a evolução do ciclo menstrual no ovário.

FASES DO CICLO MENSTRUAL

- Fase menstrual: corresponde aos dias do ciclo em que está ocorrendo sangramento.

- Fase proliferativa (estrogênica): período de secreção de estrógeno pelo folículo ovariano, que se encontra em desenvolvimento.

- Fase secretora (lútea; progesterônica): Inicia-se após a ovulação e se caracteriza pela ação da progesterona. Nessa fase, o útero está pronto para receber o embrião (é a nidação).

- Fase pré-menstrual (isquêmica): período que antecede a próxima menstrual, caracterizando-se pela redução das taxas de estrógeno e progesterona, onde o endométrio deixa de receber seu suprimento sangüíneo.

Caso a mulher mantenha relação sexual no período fértil, provavelmente, haverá fecundação. Entre o 5º e o 7º dia após a fecundação, a massa de células que constitui o embrião se implanta no endométrio (nidação), que se encontra bem desenvolvido pela ação dos hormônios estrógeno e progesterona. Com a nidação, o trofoblasto passa a secretar gonadotrofina coriônica (HCG) que mantém o corpo lúteo ativo e, assim, a taxa de estrógeno e de progesterona não diminui; conseqüentemente, a mulher não menstrua. Por volta da 15ª semana de gestação a placenta está completamente formada e também secreta progesterona e estrógeno.

(Extraído de: http://www.dombosco.com.br/Curso/estudemais/biologia/imagens/embr_1.jpg)

No final da gestação a placenta diminui a produção de progesterona e a hipófise passa a produzir doses maiores de ocitocina, hormônio que aumenta a frequência das contrações uterinas; é o momento do parto.

Entre os 45 e 55 anos, o ovário perde a sensibilidade ao FSH e ao LH. Como conseqüência, os ciclos menstruais deixam de ocorrer e a mulher pode apresentar algumas sintomas desagradáveis como ondas de calor, vertigens, desconforto e dor nas relações sexuais. Essa fase de término da atividade reprodutiva recebe o nome de menopausa.

Agora responda a essa questão da Fuvest:

(FUVEST/2004) Foram feitas medidas diárias das taxas dos hormônios: luteinizante (LH), folículo estimulante (FSH), estrógeno e progesterona, no sangue de uma mulher adulta, jovem, durante vinte e oito dias consecutivos. Os resultados estão mostrados no gráfico:

Os períodos mais prováveis de ocorrência da menstruação e da ovulação, respectivamente, são
a) A e C.
b) A e E.
c) C e A.
d) E e C.
e) E e A.

Resp.: E

* Evandro Marques: Bacharel e Licenciado em Ciências Biológicas pela UFV-MG; Pós-Graduado em Biologia pela UFLA-MG; Professor do Ensino Médio e Pré-Vestibulares desde 1988.

Equação geral da reta

Marcelo Rigonatto

Equação geral

Vamos considerar uma reta s que passe pelos pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa mesma reta s. Como os pontos A, B e P pertencem a uma mesma reta, podemos afirmar que eles estão alinhados. Dessa forma, o determinante das coordenadas desses pontos deve ser igual a zero. Ou seja,

Desenvolvendo o determinante obtemos:

x₁y₂ + xy₁ + x₂y – xy₂ – x₂y₁ – x₁y = 0

ou

xy₁ – xy₂ + x₂y – x₁y + x₁y₂ – x₂y₁ = 0

Colocando x e y em evidência, ficamos com:

x(y₁ – y₂) + y(x₂ – x₁) + (x₁y₂ – x₂y₁) = 0

Lembrando que x₁, x₂, y₁ e y₂ são coordenadas de pontos conhecidos da reta, podemos fazer:

y₁ – y₂ = a
x₂ – x₁ = b
x₁y₂ – x₂y₁ = c

Dessa forma, teremos:

ax + by + c =0 → que é a equação geral da reta.

Exemplo: Determine a equação geral da reta t que passa pelos pontos A(2, 2) e B(3, 5).
Solução: Vamos considerar P(x, y) como sendo um ponto qualquer da reta t. Assim,

Desenvolvendo o determinante, obtemos:

2x + 3y + 10 – 2y – 5x – 6 = 0

Ou

– 3x + y + 4 = 0

Podemos multiplicar a equação por -1, obtendo:

3x – y – 4 = 0 → que é a equação geral da reta t.

Exemplo 2. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A( -1, 0) e B(0, 5).
Solução: Vamos considerar P(x, y) um ponto qualquer da reta procurada. Assim, teremos:


Desenvolvendo o determinante, obtemos:

0x + 0y + (– 5) – ( – y + 5x + 0) = 0

Ou

– 5x + y – 5 = 0

Multiplicando a equação por – 1, obtemos:

5x – y + 5 = 0 → que é a equação geral da reta.
Exemplo 3. Verifique se o ponto A(5 , 10) pertence à reta s de equação 2x – y =0.
Solução: Para verificar se o ponto A pertence à reta s, devemos substituir as coordenadas do ponto na equação da reta e verificar se satisfaz a igualdade, ou seja, se resultará zero. Vejamos:

A(5, 10) → x = 5 e y = 10. Substituindo na equação da reta teremos:
2x – y = 0
2*5 – 10 = 10 – 10 = 0

Portanto, o ponto A(5, 10) pertence à reta s.

Exemplo 4. Determine o valor de c para que o ponto B(– 4, c) pertença à reta r de equação
x – 3y + 16 = 0.
Solução: Se o ponto B(4, c) pertence à reta r, então, ao substituir as coordenadas de B na equação da reta, a igualdade deverá ser satisfeita. Assim, teremos:

– 4 – 3c + 16 = 0
– 3c + 12 = 0
– 3c = – 12
c = 4

Ângulos na Circunferência

Áreas e comprimento de circunferências

Equações polinomiais,raízes Racionais

Dedução da formula de Baskara

Paralelismo

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Paralelismo

Marcelo Rigonatto

Paralelas

Considere duas retas distintas e paralelas r e s, como mostra a figura.

Temos que:

r ∕∕ s ↔ tg α₁ = tg α₂ ou m_r = m_s

Isso quer dizer que duas retas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares forem iguais.

Exemplo 1. Verifique se as retas r: y = 3x – 2 e s: 6x – 2y + 5 = 0 são paralelas.
Solução: Precisamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.

Vamos determinar o coeficiente angular da reta r:

Como a equação da reta r está na forma reduzida, fica fácil ver que mr = 3.

Agora vamos determinar o coeficiente angular da reta s.
6x – 2y + 5 = 0
2y = 6x + 5
y = 3x + 5/2

Daí, vemos que m_s = 3

Como m_r =m_s =3, podemos afirmar que r // s.

Exemplo 2. Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é paralela à reta t de equação y = 5x – 7.
Solução: Como s // t → m_s = m_t = 5

Conhecemos um ponto da reta s e seu coeficiente angular. Basta utilizarmos a fórmula:
y – y₀ = m_s(x – x₀)
y – 5 = 5(x – 3)
y – 5 = 5x – 15
y = 5x – 10 → equação da reta s.

Exemplo 3. Para quais valores de k as retas 3x + 2y – 1 = 0 e kx – 3y + 1 = 0 são paralelas?
Solução: Para as duas retas serem paralelas, os seus coeficientes angulares devem ser iguais. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas em questão.

Daí segue que:

RELAÇÕES E FUNÇÕES

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CONCEITOS DE RELAÇÃO R DE A EM B


Considere os conjuntos;

A = { 1,2,5}
B = { 2,4}

Formemos o produto cartesiano de A por B:

A x B = { (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (5,2) , (5,4) }

Exemplos:

Sejam A = { 1,2,3} e  B = { 5,6}, os subconjuntos de A x B :

R1 = { (1,5),(2,6), ( 3,6)}

R2 = { (2,6), (3,5)}

R3= { (1,6) ,(2,6),(3,5),(3,6)}

são relações de A em B

EXERCÍCIOS

FUNÇÃO

Uma relação de A em B é determinada de função ou aplicação quando associa a todo elemento de A um único elemento em B

Exemplos

São funções de A em B, as relações representadas nos diagramas:

Obeserve:

-Em A, não sobra elementos, em B pode sobrar

- Em A, de cada elemento "parte"uma unica flecha

- Em B, um elemento pode receber mais de uma flecha

Não são funçoes de A em B, as representadas no diagramas:

Exercícios

1) Indique os diagramas que representam uma função de E em F:

DOMÍNIO CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

Seja f uma função de A em B.

f = { (1,2),(2,4),(3,6)}

O conjunto A é o dominio da função (conjuntode partida)

No exemplo temos:

domínio = { 1,2,3}

O conjunto B é o contradominio da funbção (conjunto de chegada)

No exemplo, temos:

contradominio = { 2,3,4,5,6,7}

A imagem da função é formadapor todos os elementos de B que ficam associados a elemntos de A (elementos de B que rebem flechas )

No exemplo temos :

imagem = { 2,4,6}

O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio.

NOTAÇÃO DE FUNÇÃO

Considere a função f definida de R em R, tal que y = 2x + 1.

Observ e, por exemplo, que:

Para x=3, temos y = 2 . 3+1 = 7

para x=4, temos y = 2 . 4 +1= 9

para x = 5, temos y = 2 . 5 +1 = 11

Dizemos que:

7 é a imagem de 3 pela função f.  [Escreveos f(3) = 7]

9 é a imagem de 4 pela fução f  [escrevemos f(4) = 9]

11 é a imagem de 5 pela função f  [ escrevemos f(5) = 11]

Então:

Em vez de escrever y = 2x + 1, podemos escrever f(x) = 2x + 1

Onde:

x --- reprsenta um elelmento genérico do domínio da função

f(x) ---- representa o valor da função para o x considerado.

Nota:

Para definir uma função, é necessário especificar o seu domínio e o seu contra-dominio. Neste livro estudaremos as funções definidas de R em R

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Dada a função definida por:

2) Dada a função definida por:

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1) Entre as relações abaixo dadas por diagrama, quais são as funções de G em H

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Polígonos Inscritos e circunscrito

Teorema de Tales