Equações Algébricas Fracionárias

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Toda equação fracionária algébrica possui no seu denominador uma incógnita. Devemos sempre observar as restrições, pois não podemos ter divisões por zero.
A equação abaixo é um exemplo de equação algébrica fracionária que possui restrições:

Resolução de uma Equação Algébrica Fracionária

Exemplo 1


Exemplo 2


Exemplo 3
A densidade de um corpo de massa igual a 600 g e volume x cm³ e diminuída de 50g/cm³ é igual a 100g/cm³. Qual é o volume desse corpo?


Marcos Noé

Numerais coletivos

A classe gramatical representada pelos numerais apresenta características semelhantes à classe representada pelos substantivos. Tal semelhança refere-se a uma particularidade por excelência: o fato de um numeral, grafado sob a forma singularizada, representar uma coletividade, ou seja, assim como temos o cardume, que mesmo tratando-se de um termo expresso no singular representa uma multiplicidade de seres de uma mesma espécie, como também temos o semestre, o qual indica um período de vários meses, para sermos mais precisos, seis.
Diante de tais constatações, ampliemos nossos conhecimentos no intento de conhecermos melhor como se materializa essa ocorrência linguística. Portanto, vejamos:

Por Vânia Duarte
Graduada em Letras
Equipe Brasil Escola

Probabilidade da união de dois eventos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

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Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Probabilidade da união de dois eventos

Marcelo Rigonatto

Probabilidade

A probabilidade é a área da matemática que investiga e determina as chances ou possibilidades de um evento ocorrer, como por exemplo, a chance de alguma pessoa ganhar na mega sena. Quando queremos determinar a possibilidade de ocorrer um evento A ou um evento B, teremos que calcular a probabilidade da união desses dois eventos. É muito importante lembrar que, na lógica matemática, a palavra “ou” quer dizer união.

Vamos obter a fórmula para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos.

Dados dois eventos, A e B, de um espaço amostral S, pela teoria de conjuntos temos que:

Onde,

n(A) é o número de elementos do evento A.
n(B) é o número de elementos do evento B.
n(A ∩ B) é o número de elementos de A intersecção com B.
n(A U B) é o número de elementos de A união com B.

Dividindo todos os membros da igualdade acima por n(S), que corresponde ao número de elementos do espaço amostral, obtemos:

Mas,

Assim, teremos:

Que é a fórmula para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos.

Vejamos um exemplo para melhor compreensão da fórmula.

Exemplo 1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número par ou maior que 2?

Solução: Observe que o problema consiste em determinar a probabilidade de ocorrer um evento ou outro, ou seja, a probabilidade da união de dois eventos. Primeiro passo para resolução desse tipo de problema é determinar os eventos A e B e o espaço amostral. O espaço amostral consiste no conjunto de todos os resultados possíveis. Assim, temos que:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → Uma vez que no lançamento de um dado pode sair qualquer número entre 1 e 6.

Vamos determinar os eventos A e B.

Evento A: sair um número par.
A = {2, 4, 6}

Evento B: sair um número maior que 2.
B = {3, 4, 5, 6}

Precisamos, também, determinar o conjunto A ∩ B, que consiste nos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Assim, teremos:
A ∩ B = {4, 6}

Feitas as identificações dos conjuntos, podemos utilizar a fórmula da probabilidade da união para chegar à solução.

Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, ou seja, não há possibilidade deles ocorrerem simultaneamente, a probabilidade de A união com B será dada por:

Pois P(A∩B) = ø.
Exemplo 2. Considere o experimento: lançamento de um dado. Qual a probabilidade de sair um número maior que 5 ou um número ímpar?

Solução: Temos que:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Chamaremos de A o evento: sair um número maior que 5.
A = {6}

Chamaremos de B o evento: sair um número ímpar.
B = {1, 3, 5}

Note que A∩B = ø.

Assim, teremos:

Radicais

O objetivo é apresentar as principais técnicas utilizadas na racionalização de denominadores de frações irracionais, uma vez que não é possível estabelecer uma regra geral face à infinidade de formas que esses denominadores podem assumir.

Para que o entendimento seja mais efetivo é imprescindível o conhecimento das propriedades de Radiciação e Potenciação, dentre outros conceitos que serão apresentados mas não demonstrados, por fugirem ao escopo da matéria.

O assunto está sendo tratado em decorrência do resultado da pesquisa feita no Blog, em que obteve a segunda colocação entre os temas propostos (11 votos). Maiores detalhes podem ser obtidos através do link Consultar Pesquisas na barra lateral de navegação.
FRAÇÕES IRRACIONAIS
Definição

Fração irracional é a que tem pelo menos um termo, o numerador ou o denominador, irracional ou sob radical.
Exemplos:

Exemplos de Frações Irracionais
RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES DE FRAÇÕES IRRACIONAIS

As técnicas a serem explicitadas considerarão, claro, as frações irracionais dos tipos indicados nos exemplos b) e c) acima.

Tem grande importância no processo de racionalização a seguinte propriedade das frações: Uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.
Definições

Racionalização dos denominadores irracionais de uma fração irracional é a operação que tem por finalidade transformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional.
Exemplos


[Exemplos de Racionalização]

Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também irracional, em que o produto entre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, que a torne uma expressão racional.

Para que o significado de fator racionalizante seja melhor entendido nada como alguns exemplos:


Exemplos de Fatores Racionalizantes

Observe que nos exemplos da definição de Racionalização dos denominadores irracionais foi utilizado o conceito de fator racionalizante.
Produtos Notáveis

Os produtos notáveis, ou derivados deles, têm um papel importante na racionalização de denominadores de frações irracionais. Por isso, faço um parêntesis para, antes de colocar as técnicas, definir alguns dos mais utilizados:

1) a2 – b2 = (a + b)(a – b)

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

3) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Note que no exemplo b) acima foi utilizado o produto notável definido em 1) e no c) o definido em 2).
Técnicas ou Regras de Racionalização Mais Frequentes

T1. Frações irracionais do tipo:

Racionalização do Tipo T1

têm como fator racionalizante:


Fator Racionalizante Tipo T1
Exemplos:


Exemplos Racionalização do Tipo T1

T2. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

Racionalização do Tipo T2

têm como fatores racionalizantes:


Fatores Racionalizantes T2

respectivamente.

Demonstração do segundo tipo:

Bem simples, basta somente usar o produto notável definido em 1) acima:


Demonstração do Fator Racionalizante Tipo T2

A demonstração dos demais seguem raciocínio semelhante e ficam como exercício.
Exemplos

Exemplos Racionalização do Tipo T2

T3. Frações irracionais que têm no denominador um polinômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

Racionalização do Tipo T3

A idéia é fazer recair no caso anterior mediante uma adequada associação de termos. Para ilustrar, é apresentada a demonstração para n = 3. Você observará que a racionalização necessitará de dois fatores racionalizantes.

Demonstração:

Demonstração do Fator Racionalizante Tipo T3
Exemplo:

Exemplos Técnica T3 de Racionalização

T4. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 3 (raízes cúbicas):


Técnica T4 de Racionalização

têm como fator racionalizante:


Fator Racionalizante Tipo T4

A demonstração já foi feita no exemplo c) da definição de fator racionalizante e é consequência dos produtos notáveis 2) e 3) definidos anteriormente.

Referências:

1. Abecedário da Álgebra (Volume 1 – Ciclo Ginasial), Darcy Leal de Menezes, Rio de Janeiro, Departamento de Imprensa Nacional, primeira edição, 1959;
2. Praticando Matemática, Álvaro Andrini, São Paulo, Editora do Brasil S/A.

JUROS SIMPLES E COMPOSTO

JUROS SIMPLES

Quando se deposita ou empresta uma certa quantia, denominada capital por um certo tempo, recebe-se como compensação outra quantia , chamada juros.

Capital __c___ (quantia emprestada)
Taxa____ i___ (porcentagem envolvida)
Tempo___t___ (período do empréstimo)
Juros____j____(a renda obtida)


Os problemas sobre juros simples podem ser resolvidos por meio de uma regra de três composta. Na pratica são resolvidos através de formula.

Exemplo:
O capital 100 em 1 ano produz i
O capital c em t anos produzira j

Capital______tempo______juros

100_________1____________i
c___________ t____________J

I/j=100/c.1/t

i/j= 100/c.t

100j= c.i.t

j=c.i.t/100



OBESERVAÇÃO

A formula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidade

Exemplos

Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 5.000,00 empregado à taxa de 90% ao ano, durante 2 anos

Solução
J = ?, c = 5000, i = 90% ao ano, t = 2 anos

Temos: j = c.i.t / 100
Substituindo temos:

J = 5000.90.2 / 100
J = 900000/ 100
J = 9000

Exemplo “2”
Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado à taxa de 3% ao mês, durante um ano.

Temos: j = c . i . t / 100

J= 10000.3.12 / 100
J = 360000 / 100
J = 3600

Exemplo “3”

Qual o capital que, em quatro meses, rendeu R$ 11.520,00 de juros à taxa de 96% ao ano?

Temos : j = c.i.t / 100

11520 = c.8.4 / 100
32c = 1152000
c = 1152000 / 32
c = 36000

Exemplo “4”

Durante quanto tempo ficou empregado um capital de R$ 45.000,00 que rendeu R$ 8.100,00 de juros, à taxa de 2% ao mês?

Temos : j = c.i.t / 100

8100 = 45000. 2. t / 100
90000t = 810000
t = 810000 / 90000
t = 9

EXERCICIOS

1) Calcule o juro produzido por R$ 50.000,00 durante 2 anos , a taxa de 30% ao ano. (R=30.000)
2) Calcule o juro produzido por R$ 18.000,00, durante 3 meses, a taxa de 7% ao mês. (R=3780)
3) Calcule o juro produzido por R$ 72.000,00, durante 2 meses , a taxa de 60% ao ano (R=7200)
4) Calcule o juro produzido por R$ 12.000,00, durante 5 meses, a taxa de 6,5% ao mês (R= 3900)5) Por quanto tempo devo aplicar R$ 10.000,00 para que a renda R$ 4.000,00 a uma taxa de 5% ao mês? (R=8)
6) Por quanto tempo devo aplicar R$ 3.000,00 para que renda R$ 1.440,00 a taxa de 12% ao mês? (R = 4)
7) A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 10.000,00 para que, no fim de 2 meses renda R$ 2.000,00 de juros? (R=10%)
8) A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 20.000,00 para que, no fim de 10 meses renda R$ 18.000,00 de juros? (R= 9%)
9) Qual será o capital que em 9 meses, a 6% ao mês, renderá R$ 32.400,00 de juros ? (R= 60.000)10) Qual será o capital que,em 3 meses, a 72% ao ano renderá R$ 720,00 de juros? (R=4.000)
http://jmpmat4.blogspot.com/

Circunferência e Circulo

Teorema de D’Alembert

O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para
x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.


Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.

Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x² + 3x – 10) : (x – 3).

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:

P(3) = R
3² + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.

Exemplo 2
Verifique se x⁵ – 2x⁴ + x³ + x – 2 é divisível por x – 1.

Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.

P(1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2
P(1) = 3 – 4
P(1) = – 1

Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.

Exemplo 3
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio
P(x) = x⁴ – mx³ + 5x² + x – 3 por x – 2 seja 6.

Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6

P(2) = 2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8


Exemplo 4
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x³ + x² – 6x + 7 por 2x + 1.

R = P(x) → R = P(– 1/2)

R = 3*(–1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Genética Molecular - Exercícios resolvidos

Genética Molecular - Exercícios resolvidos

01. De que maneira os genes determinam o fenótipo de um organismo?

RESOLUÇÃO: Através de síntese de proteínas que, produzindo estruturas celulares ou funcionando como enzimas,

determinam as características de um organismo.



02. Defina os seguintes termos, usados em genética molecular:

a) cistron

b) códon



RESOLUÇÃO: a) Cistron ou gene é o segmento de DNA que, através das bases nitrogenadas, codifica a seqüência de

aminoácidos de uma proteína.

b) É a seqüência de três bases que codificam um código.



03. Considere um segmento de molécula de DNA com a seguinte seqüência de bases: AAT – CAA – AGA – TTT – CCG.

Quantos aminoácidos poderá ter, no máximo, uma molécula de proteína formada pelo segmento considerado?



a) 15

b) 10

c) 5

d) 3

e) 1



Resposta: C



04. Analise as alternativas abaixo, relacionadas com o código genético:



I. Um mesmo códon pode codificar mais de um aminoácido.

II. Um aminoácido pode ser codificado por diferentes códons.

III. O código usado na espécie humana é o mesmo dos vírus.



Estão corretas:



a) I e II

b) I e III

c) II e III

d) Apenas II

e) I, II e III



Resposta: C



05. Uma proteína é constituída por 350 aminoácidos. Quantos nucleotídeos apresenta a cadeia do ADN que codificou tal proteína?



a) 150

b) 350

c) 450

d) 700

e) 1 050



Resposta: E



06. (FUVEST) Qual o papel do RNA mensageiro e do RNA transportador na síntese de proteínas?

RESOLUÇÃO: RNA-m leva a mensagem genética ao ribossomo.

RNA-t transporta aminoácidos para os ribossomos.



07. Uma célula terminou de sintetizar uma enzima constituída por uma cadeia de 56 aminoácidos. Quantas moléculas de RNA-m e de RNA-t foram usadas na biossíntese?

RESOLUÇÃO: Uma molécula de RNA-m e 56 moléculas de RNA-t.



08. Em relação à síntese protéica é errado afirmar que:



a) Uma das fitas do DNA é transcrita, formando-se uma molécula de RNA mensageiro.

b) A tradução da fita do RNA mensageiro é feita nos ribossomos.

c) Os ribossomos originam-se do nucléolo.

d) Cada RNA mensageiro codifica uma cadeia polipeptídica.

e) Cada RNA de transferência possui um anticódon específico, que se prende ao aminoácido que irá transportar até o ribossomo.



RESPOSTA: E



09. (UF - Sergipe) A seleção de cada aminoácido que entra na composição de cadeia polipeptídica é determinada por uma seqüência de:



a) 2 nucleotídeos do DNA;

b) 2 nucleotídeos do RNA;

c) 3 nucleotídeos do RNA;

d) 3 desoxirriboses do DNA;

e) 3 riboses do RNA mensageiro.



RESPOSTA: C





Mendelismo - Exercícios resolvidos

01. O que são genes?

RESOLUÇÃO: Genes são segmentos da molécula de DNA, localizados nos cromossomos, estruturas intranucleares.



02. Explique a relação existente entre genótipo e fenótipo.

RESOLUÇÃO: Genótipo é a constituição genética do indivíduo.

Fenótipo é qualquer aspecto de um organismo resultante da interação do genótipo com o meio ambiente.



03. O termo genótipo refere-se ao:



a) conjunto de todos os caracteres de um organismo;

b) conjunto de caracteres externos de um organismo;

c) conjunto de caracteres internos de um organismo;

d) conjunto de cromossomos de um organismo;

e) conjunto de genes de um organismo.

RESPOSTA: E



04. O fenótipo de um indivíduo é:



a) herdado dos pais;

b) independente do genótipo;

c) independente do ambiente;

d) o resultado da interação do genótipo com o ambiente;

e) o conjunto de cromossomos.



RESPOSTA: D



05. No milho, um gene produz grãos vermelhos se a espiga for exposta à luz, mas, se as espigas ficarem cobertas, os grãos permanecem brancos. O fenômeno descrito ilustra:



a) a atuação do meio das mutações;

b) o processo da seleção natural;

c) a influência do ambiente na alteração do genótipo;

d) a interação do genótipo com o meio ambiente;

e) a transmissão dos caracteres adquiridos.



RESPOSTA: D



06. Nas ervilhas, a cor vermelha da flor é condicionada por um gene dominante B e a cor branca, pelo seu alelo recessivo b. Que tipos de gametas produzem as plantas BB, bb e Bb?



RESOLUÇÃO: Genótipos - Gametas

BB ; B

bb ; b

Bb ; B eb



07. Nas cobaias, o gene B para pelagem preta é dominante sobre b, que condiciona pelagem branca. Duas cobaias pretas heterozigotas são cruzadas. Calcule:



a) a proporção genotípica;

b) a proporção fenotípica.



RESOLUÇÃO: a) 1/4 BB; 1/2 Bb; 1/4 bb

b) 3/4 pretas; 1/4 brancas



08. Que porcentagem dos espermatozóides de um macho Aa conterá o gene recessivo?



a) 25%

b) 30%

c) 50%

d) 75%

e) 100%



RESPOSTA: C



09. A pelagem das cobaias pode ser arrepiada ou lisa, dependendo da presença do gene dominante L e do gene recessivo l. O resultado do cruzamento entre um macho liso com uma fêmea arrepiada heterozigota é:



a) 50% lisos e 50% arrepiados heterozigotos;

b) 50% arrepiados e 50% lisos heterozigotos;

c) 100% arrepiados;

d) 100% lisos;

e) 25% arrepiados, 25% lisos e 50% arrepiados heterozigotos.



RESPOSTA: A



10. Em uma raça bovina, animais mochos (M) são dominantes a animais com cornos (m). Um touro mocho foi cruzado com duas vacas. Com a vaca I, que tem cornos, produziu um bezerro mocho. Com a vaca II, que é mocha, produziu um bezerro com cornos. Assinale a alternativa que apresenta corretamente os genótipos dos animais citados:



TOURO VACA I VACA II

a) Mm mm Mm

b) Mm Mm Mm

c) MM mm Mm

d) MM Mm MM

e) Mm mm MM



RESPOSTA: A

Operações de conjuntos

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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a) Conjuntos
A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:

• Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
• Conjunto dos números inteiros pares;
• Conjunto dos dias da semana;
• Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.

b) Elemento
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:

• V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
• 2, 4, 6 são elementos do segundo;
• Sábado, Domingo do terceiro; e
• FHC, Lula do último.

c) Pertinência entre elemento e conjunto
Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.
Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.

Notação

Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:

Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:

Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração
Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.
Exemplos:

• Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
• Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
• Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos
Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.
Exemplos:

• A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
• B = {x | x é um número inteiro par e 8 <>
• C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.
Exemplos de Conjuntos Unitários:

• Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
• Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
• Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

• {x | x > 0 e x <>
• Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
• {x | x² = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:
Observações:

1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:
onde a notaçãosignifica “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:
Exemplos:

• {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• Ø C {a, b};
• {a, b} C {a, b};
• {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:
Exemplos:

• Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
• Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
• Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2^n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2³, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 2² e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2¹.

Ciclo Menstrual

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br

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www.accbarrosogestar.wordpress.com

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Ciclo menstrual

O ciclo menstrual obedece às interações de hormônios produzidos na hipófise (FSH e LH) com hormônios ovarianos (estrógeno e progesterona). Os primeiros ciclos menstruais iniciam-se por volta dos 11-15 anos de idade; a primeira menstruação é chamada de menarca.

Para compreender melhor o que se passa no ciclo menstrual, sugerimos que leia o texto a seguir, acompanhando a figura abaixo.

Sob ação do hormônio FSH, um folículo ovariano (conjunto de células com um ovócito primário em seu interior) inicia seu desenvolvimento. O ovócito I (que se encontra em prófase I no folículo) dá continuidade à meiose e, em poucos dias, o folículo ovariano encontra-se cheio de um líquido (folículo de Graaf). Durante o desenvolvimento folicular, as células foliculares secretam estrógeno, hormônio responsável pela determinação e manutenção das características sexuais secundárias femininas (aumento da vagina e do útero; alargamento dos quadris; desenvolvimento das mamas; desenvolvimento de pêlos nas axilas e púbis).

Uma outra importante função do estrógeno é provocar a proliferação das células do endométrio (camada mais interna do útero). O estrógeno ainda vai estimular a liberação do hormônio LH pela hipófise. Em menos de 24 horas aumenta-se acentuadamente a concentração de LH, que provoca a ruptura do folículo maduro (ovulação). O óvulo, capturado pelas fímbrias da tuba uterina, permanece viável por aproximadamente 30 horas (período fértil da mulher).

Após o rompimento do folículo, as células foliculares dão origem ao corpo lúteo (sob ação do LH), o qual passa a produzir doses crescentes do hormônio progesterona, cuja ação acentua o espessamento do endométrio, promovendo a sua vascularização; dessa forma, cerca de 6 dias após a fecundação, o endométrio encontra-se apto a receber o embrião.

A progesterona, produzida pelo corpo lúteo, passa a inibir a produção de FSH e LH pela hipófise. Com a queda do hormônio LH, o corpo lúteo regride (transforma-se em corpo albicans), que é inativo. Como conseqüência, há redução da taxa de progesterona e estrógeno; sem esses hormônios, o endométrio não se mantém e sua camada mais superficial se descama: é a menstruação (que se caracteriza por um sangramento cuja duração varia, normalmente, de três a sete dias).

Com a redução da taxa de estrógeno e de progesterona, a hipófise passa a secretar mais FSH, e um novo folículo entra em desenvolvimento, recomeçando novo ciclo menstrual.

Fonte: http://www.drcarlos.med.br/cicl_mentr_1gif.gif

A figura abaixo mostra a evolução do ciclo menstrual no ovário.

FASES DO CICLO MENSTRUAL

- Fase menstrual: corresponde aos dias do ciclo em que está ocorrendo sangramento.

- Fase proliferativa (estrogênica): período de secreção de estrógeno pelo folículo ovariano, que se encontra em desenvolvimento.

- Fase secretora (lútea; progesterônica): Inicia-se após a ovulação e se caracteriza pela ação da progesterona. Nessa fase, o útero está pronto para receber o embrião (é a nidação).

- Fase pré-menstrual (isquêmica): período que antecede a próxima menstrual, caracterizando-se pela redução das taxas de estrógeno e progesterona, onde o endométrio deixa de receber seu suprimento sangüíneo.

Caso a mulher mantenha relação sexual no período fértil, provavelmente, haverá fecundação. Entre o 5º e o 7º dia após a fecundação, a massa de células que constitui o embrião se implanta no endométrio (nidação), que se encontra bem desenvolvido pela ação dos hormônios estrógeno e progesterona. Com a nidação, o trofoblasto passa a secretar gonadotrofina coriônica (HCG) que mantém o corpo lúteo ativo e, assim, a taxa de estrógeno e de progesterona não diminui; conseqüentemente, a mulher não menstrua. Por volta da 15ª semana de gestação a placenta está completamente formada e também secreta progesterona e estrógeno.

(Extraído de: http://www.dombosco.com.br/Curso/estudemais/biologia/imagens/embr_1.jpg)

No final da gestação a placenta diminui a produção de progesterona e a hipófise passa a produzir doses maiores de ocitocina, hormônio que aumenta a frequência das contrações uterinas; é o momento do parto.

Entre os 45 e 55 anos, o ovário perde a sensibilidade ao FSH e ao LH. Como conseqüência, os ciclos menstruais deixam de ocorrer e a mulher pode apresentar algumas sintomas desagradáveis como ondas de calor, vertigens, desconforto e dor nas relações sexuais. Essa fase de término da atividade reprodutiva recebe o nome de menopausa.

Agora responda a essa questão da Fuvest:

(FUVEST/2004) Foram feitas medidas diárias das taxas dos hormônios: luteinizante (LH), folículo estimulante (FSH), estrógeno e progesterona, no sangue de uma mulher adulta, jovem, durante vinte e oito dias consecutivos. Os resultados estão mostrados no gráfico:

Os períodos mais prováveis de ocorrência da menstruação e da ovulação, respectivamente, são
a) A e C.
b) A e E.
c) C e A.
d) E e C.
e) E e A.

Resp.: E

* Evandro Marques: Bacharel e Licenciado em Ciências Biológicas pela UFV-MG; Pós-Graduado em Biologia pela UFLA-MG; Professor do Ensino Médio e Pré-Vestibulares desde 1988.

Equação geral da reta

Marcelo Rigonatto

Equação geral

Vamos considerar uma reta s que passe pelos pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa mesma reta s. Como os pontos A, B e P pertencem a uma mesma reta, podemos afirmar que eles estão alinhados. Dessa forma, o determinante das coordenadas desses pontos deve ser igual a zero. Ou seja,

Desenvolvendo o determinante obtemos:

x₁y₂ + xy₁ + x₂y – xy₂ – x₂y₁ – x₁y = 0

ou

xy₁ – xy₂ + x₂y – x₁y + x₁y₂ – x₂y₁ = 0

Colocando x e y em evidência, ficamos com:

x(y₁ – y₂) + y(x₂ – x₁) + (x₁y₂ – x₂y₁) = 0

Lembrando que x₁, x₂, y₁ e y₂ são coordenadas de pontos conhecidos da reta, podemos fazer:

y₁ – y₂ = a
x₂ – x₁ = b
x₁y₂ – x₂y₁ = c

Dessa forma, teremos:

ax + by + c =0 → que é a equação geral da reta.

Exemplo: Determine a equação geral da reta t que passa pelos pontos A(2, 2) e B(3, 5).
Solução: Vamos considerar P(x, y) como sendo um ponto qualquer da reta t. Assim,

Desenvolvendo o determinante, obtemos:

2x + 3y + 10 – 2y – 5x – 6 = 0

Ou

– 3x + y + 4 = 0

Podemos multiplicar a equação por -1, obtendo:

3x – y – 4 = 0 → que é a equação geral da reta t.

Exemplo 2. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A( -1, 0) e B(0, 5).
Solução: Vamos considerar P(x, y) um ponto qualquer da reta procurada. Assim, teremos:


Desenvolvendo o determinante, obtemos:

0x + 0y + (– 5) – ( – y + 5x + 0) = 0

Ou

– 5x + y – 5 = 0

Multiplicando a equação por – 1, obtemos:

5x – y + 5 = 0 → que é a equação geral da reta.
Exemplo 3. Verifique se o ponto A(5 , 10) pertence à reta s de equação 2x – y =0.
Solução: Para verificar se o ponto A pertence à reta s, devemos substituir as coordenadas do ponto na equação da reta e verificar se satisfaz a igualdade, ou seja, se resultará zero. Vejamos:

A(5, 10) → x = 5 e y = 10. Substituindo na equação da reta teremos:
2x – y = 0
2*5 – 10 = 10 – 10 = 0

Portanto, o ponto A(5, 10) pertence à reta s.

Exemplo 4. Determine o valor de c para que o ponto B(– 4, c) pertença à reta r de equação
x – 3y + 16 = 0.
Solução: Se o ponto B(4, c) pertence à reta r, então, ao substituir as coordenadas de B na equação da reta, a igualdade deverá ser satisfeita. Assim, teremos:

– 4 – 3c + 16 = 0
– 3c + 12 = 0
– 3c = – 12
c = 4

Ângulos na Circunferência

Áreas e comprimento de circunferências